近代数学简介

优先权的争论
• 牛顿和莱布尼兹都是他们时代的巨人。就微积分的创立而言，尽管 在背景、方法和形式上存在差异，各有特色，但是二者的功绩是相当的。 两人都相互独立的完成了微积分的发明，就发明时间而言，牛顿早于 莱布尼兹，就发表时间而言，莱布尼兹早于牛顿。
优先权的争论是“科学史上最不幸的一章”，它使得18世纪的英国数 学和欧陆国家分道扬镳，而英国数学家固守牛顿的传统而使自己逐渐远离 了分析的主流。
牛顿微积分学说最早的公开表述是1687年的力学名著《自然哲学的数学 原理》，成为了数学时上划时代的著作。《原理》中的微积分命题采用了 几何形式来叙述、证明，这使他的流数术显得僵硬呆板，固守牛顿的几何 形式在18世纪阻隔了英国数学的发展。
“如果我看得更远些，那是因为我站在巨人的肩膀上。” “心里总是装着研究的问题，等待那最初的一线希望渐渐变成普照一 切的光明。” ”
准备工作
牛顿的“流数术”
1665年夏到1667年春，牛顿在家乡躲避瘟疫期间，对微积分的探 讨取得了突破性的进展。1665年11月发明了正流数术，1666年5月 又建立了反流数术。1666年10月整理出论文《流数简论》，未正式 发表。这是历史上第一篇系统的微积分文献。 《简论》反映了牛顿微积分的运动学背景，以速度形式引进了流数 （即微商）的概念。《简论》中讨论了如何借助逆运算求面积，从而 建立了所谓的“微积分基本定理”。（巴罗在《几何学讲百度文库》中有一 条定理以几何形式表达了切线问题式面积问题的逆命题）在后来的著 作里，对微积分基本定理又给出了不依赖于运动学的较为清楚的证明 。 在牛顿之前面积总是被看作是无限小不可分量之和，牛顿则从确定 面积的变化率入手，通过反微分求面积。牛顿以足够的敏锐和能力将 面积问题和切线问题这种互逆关系明确地作为一般规律揭示出来，并 将其作为建立微积分普遍算法的基础。牛顿将古希腊以来求解无限小 问题的各种技巧统一为正反流数术（即微分和积分），并证明了两者 的互逆关系，从而使两类运算统一为整体。在这种意义下，我们说牛 顿发明了微积分。
思想萌芽
1. 积分学：体积、面积、曲线长问题（阿基米德、刘徽、祖冲之 父子） 2. 微分学：曲线的切线、瞬时变化率、函数的极大值极小值（古 希腊 切线看作是与曲线只在一点接触而且不穿过曲线的“切触线” 静态观点；天文历法关于天体运动的不均匀性和极大、小值问题 “招差术”即有限差分计算，回避了连续变化率）
史上三大数学危机
• 第一，一个底边为1的等腰直角三角形的斜边（即根号2）永远无法 用最简整数比来表示，从而发现了第一个无理数，推翻了毕达哥拉斯的 著名理论；危机解决：实数集合的出现。 第二，微积分的合理性遭到严重质疑，即是对牛顿无穷小量理论的 质疑，它究竟是不是0，这险些要把整个微积分理论推翻；危机解决： 语言的诞生。
微积分的创立被誉为“人类精神的最高胜利”，18世纪是分析的时代，也 是向现代数学过渡的重要时期。
微积分的完善
• 牛顿和莱布尼兹作为微积分的创始人，他们的工作都是很不完 善的，他们在无穷和无穷小量这个问题上，说法非常含糊。 牛顿的无穷小量，有时候是零，有时候又不是零而是有限的小量； 莱布尼兹的也不能自圆其说。这些基础方面的缺陷，最终导致了第二 次数学危机的产生。 19世纪初，以法国科学家柯西为首，对微积分的理论进行了认真研 究，建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严 格化，使极限理论成为了微积分的坚实基础，从而使微积分进一步的发 展开来。 欧氏几何，以及上古和中世纪的代数学都是一种常量数学，微积分是 真正的变量数学，是数学中的大革命，在微积分的历史上还闪烁着很多明 星：贝奴利兄弟、欧拉、拉格朗日等等。 微积分创始之时就是为了从万有引力定律导出开普勒行星三大定律。 此后，微积分的发展极大推动了数学的发展，同时也极大推动了天文学 ，力学，物理学，化学，生物学，工程学，经济学等自然科学，社会科 学以及应用科学各个分支中的发展，同时计算机出现更有助于这些应用 的不断发展。
“除了顽强的毅力和失眠的习惯，我不觉得自己与常人有什么区别。
莱布尼兹的微积分
帕斯卡《关于四分之一圆的正弦》的启发，使他看到了切线问 题和面积问题的互逆关系，发现切线问题就是求差，求积问题就是 求和，然而他的真正目标是建立起更一般的算法。
1684年发表了《一种求极大与极小值与求切线的新方法》，这 是数学史上第一篇正式发表的微积分文献。 莱布尼兹微积分对符号的精心选择，后来获得了普遍接受并且沿用 至今，而牛顿的符号基本上被淘汰掉了。 1666年《组合艺术》提出了符号逻辑的思想。 1679年《二进制算术》使他成为了二进记数制的发明人。他是制 造计算机的先驱，1674年演示了自己的能做四则运算的“算数计算 机。” 行列式的发明者
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• 第三，罗素悖论：S由一切不属于这个集合的元素所组成，那S 属于S吗？用通俗一点的话来说，小明有一天说：“我永远撒谎！” 问小明到底撒谎还是说实话。罗素悖论的可怕在于，它不涉及集 合的高深知识，它很简单，轻松摧毁集合理论！危机解决：集合 的公理化系统。
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1.开普勒与旋转体体积：球－小圆锥－薄圆盘 2.卡瓦列里不可分量原理：两个等高的立体，如果它们的平行于底面且 离开地面有相等距离的截面面积之间总有给定的比，那么这两个立体的体积 之间也有同样的比。 3.笛卡尔“圆法”:作为解析几何的两位创始人笛卡尔和费马，他们都 将坐标方法引进了微分学问题的研究，圆法事实上是一种代数方法，它在 推动微积分的早期发展方面有很大的影响，牛顿就是以笛卡尔的“圆法” 为起跑点而踏上研究微积分的道路的。 4.费马的最大、小值求法：几乎相当于现今微分学中所用的方法，只是 增量用符号e代替了. 5.巴罗的“微分三角形”（特征三角形）：相对于笛卡尔，他在1669 年出版的《几何讲义》中提出了求曲线切线的方法，不过他使用的是几何 方法。巴罗是牛顿的老师，剑桥大学第一个“卢卡斯数学教授”，巴罗让 贤在科学史上传为佳话。 6.沃利斯的“无穷算法”：他是在牛顿和莱布尼兹之前，将分析方法引 入微积分贡献最突出的数学家，他将卡瓦列里的幂函数积分公式推广到了 分数幂的情形，另一项重要研究是计算四分之一单位圆的面积，并由此得 到圆周率的无穷乘积表达式，引导牛顿发现了有理数幂的二项式定理。
1667年到1693年之间，牛顿先后写成了三篇微积分论文 1. 《分析学》 微积分和无穷级数紧密结合； 2. 《流数术》1666年《简论》的直接发展； 3.《曲线求积术》是最成熟的微积分著述，改变了对无限小量的依赖并 批评了自己过去那种经常随意忽略无限小瞬o的做法。第一次引进了 后来被普遍采用的流数记号。
主要内容
1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续 2. 微积分学: 一元微积分 (上册) 多元微积分 (下册) 3. 向量代数与空间解析几何 4. 无穷级数 5. 常微分方程
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微积分的创立 • 解析几何：
奠基人之一的笛卡尔是法国哲学家, 数学家, 物理学家, 1637年他 发表的《几何学》论文分析了几何学与代数学的优缺点,进而提出 了 “一种包含这两门科学的优点而避免其缺点的方法”,另外把几 何问题化成代数问题 ,给出了几何问题的统一作图法,从而提出了 解析几何学的主要思想和方法。
近代微积分的酝酿
• 1608年，望远镜的发明 伽利略制成了第一架天文望远镜，引 起了天文学的新高涨，而且推动了光学的研究。 1619年，开普勒行星三大定律，如何从数学上推证 ？ 确定非匀速运动物体的速度和加速度：瞬时变化率 望远镜的光程设计 ： 透镜曲面上任一点的切线 炮弹的最大射程以及寻求行星轨道的近日点和远日点： 函数的最大、 小值； 行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的面积以及物体中心与引力的 计算： 面积、体积、曲线长、重心、引力计算