中考数学压轴题详解—圆

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(第4题图)

H

E

D

B O

A

C

1 如图，将△AOB 置于平面直角坐标系中，其中点O 为坐标原点，点A 的坐标为（3，0），∠ABO=60°. （1）若△AOB 的外接圆与y 轴交于点D ，求D 点坐标.

（2）若点C 的坐标为（-1，0），试猜想过D 、C 的直线与△AOB 的外接圆的位置关系，并加以说明. （3）二次函数的图象经过点O 和A 且顶点在圆上，求此函数的解析式.

2 如图（4），正方形111OA B C 的边长为1，以O 为圆心、1OA 为半径作扇形

1111OAC AC ，与1OB 相交于点2B ，设正方形

111OA B C 与扇形11OA C 之间的阴影部分的面积为1S ；然后以2OB 为对角线作正方形222OA B C ，又以O 为圆心，、2OA 为半径作扇形22OA C ，22A C 与1OB 相交于点3B ，

设正方形222OA B C 与扇形22OA C 之间的阴影部分面积为2S ；按此规律继续作下去，设正方形n n n OA B C 与扇形n n OA C 之间的阴影部分面积为n S ． （1）求123S S S ，，；

（2）写出2008S ；

（3）试猜想n S （用含n 的代数式表示，n 为正整数）．

3 (10分)如图，点I 是△ABC 的内心，线段A I 的延长线交△ ABC 的外接圆于点D ，交BC 边于点E ．

（1）求证：I D =BD ；

（2）设△ABC 的外接圆的半径为5，I D =6，

AD x =，DE y =，当点A 在优弧

上运动时，求

y 与x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围．

4 如图，点A ，B ，C ，D 是直径为AB 的⊙O 上四个点，C 是劣弧BD 的中点，AC 交BD 于点E ， AE ＝2， EC ＝1． （1）求证：DEC △∽ADC △； （3分） （2）试探究四边形ABCD 是否是梯形？若是，请你给予 证明并求出它的面积；若不是，请说明理由． （4分） （3）延长AB 到H ，使BH ＝OB ．

求证：CH 是⊙O 的切线． （3分）

5 如图10，半圆O 为△ABC 的外接半圆，AC 为直径，D 为BC 上的一动点．

（1）问添加一个什么条件后，能使得BD BE

BC BD

=请说明理由； 1

B 2

B 3

A 1

A 2 A 3 O

C

C C

图4

S 2 S 1 S 3

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D

B

A

O C

E

·

图10

D

B A

O C

E

图11

（2）若AB ∥OD ，点D 所在的位置应满足什么条件？请说明理由；

（3）如图11，在 （1）和（2）的条件下，四边形AODB 是什么特殊的四边形？证明你的结论．

6 如图1，已知正方形ABCD 的边长为23，点M 是AD 的中点，P 是线段MD 上的一动点（P 不与M ，D 重合），以AB 为直径作⊙O ，过点P 作⊙O 的切线交

BC 于点F ，切点为E ．

（1）除正方形ABCD 的四边和⊙O 中的半径外，图中还有哪些相等的线段（不能添加字母和辅助线）？ （2）求四边形CDPF 的周长；

（3）延长CD ，FP 相交于点G ，如图2所示． 是否存在点P ，使BF*FG=CF*OF ？如果存在，试求此时AP 的长；如果不存在，请说明理由．

7 如图，在平面直角坐标系

xoy 中，M 是x 轴正半轴上一点，M 与x 轴的正半轴交于A B ，两点，A 在B 的左侧，且OA OB ，的长是方程

212270x x -+=的两根，ON 是M 的切线，N 为切点，N 在第四象限．

（1）求M 的直径．

（2）求直线ON 的解析式．

（3）在x 轴上是否存在一点T ，使OTN △是等腰三角形，若存在请在图2中标出T 点所在位置，并画出OTN △（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不证明，不求T 的坐标）若不存在，请说明理由．

1 解：（1）连结AD. ∵∠ABO=60°, ∴∠ADO=60°…..1分

由点A 的坐标为（3，0）得OA=3. ∵在Rt △ADO 中有

M

E

·

M · A

F C

O

P E

D

图1

·

P D

O

G

E

M F

B A

C

图2

y x

B M

A

O

N

图1

y

x

B M

A

O

N

图2

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cot ∠ADO=

OD

OA

,…………….2分

∴OD=OA ·cot ∠ADO=3·cot60°=3.

∴点D 的坐标为（03分

（2）DC 与△AOB 的外接圆相切于点D ，理由如下:

由（1）得

∴

AD ===又∵C 点坐标是（-1，0）, ∴OC=1.

∴2CD

===………………4分

∵AC=OA+OC=3+1=4,

∴CD 2

+AD 2

=22

)2

=42

=AC 2

…………………5分

∴∠ADC=90°,即AD ⊥DC. 由∠AOD=90°得AD 为圆的直径.

∴DC 与△AOB 的外接圆相切于点D ……………6分 （3）由二次函数图象过点O （0，0）和A （3，0）, 可设它的解析式为 y=ax(x-3)（a ≠0）.

如图，作线段OA 的中垂线交△AOB 的外接圆于E 、F 两点，交AD 于M 点，交OA 于N 点. 由抛物线的对称性及它的顶点在圆上可知，抛物线的顶点就是点E 或F. ∵EF 垂直平分OA ， ∴EF 是圆的直径. 又∵AD 是圆的直径,

∴EF 与AD 的交点M 是圆的圆心………….7分

由（1）、（2）得OA=3，

∴AN=

12OA=32，AM=FM=EM=12

∴MN

===

∴

∴点E 的坐标是(

32)，点F 的坐标是(3

2

……..8分

当点E 为抛物线顶点时，

有

32(3

2