高三文科数学(解析几何)练习.doc

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专题五解析几何文科数学

专题五文科数学解析几何1．（2011·朝阳期末）已知圆的方程为086222=++-+y x y x ，那么下列直线中经过圆心的直线方程为( B )（A ）012=+-y x （B ）012=++y x （C ）012=--y x （D ）012=-+y x2．（2011·朝阳期末）设椭圆的两个焦点分别为1F ，2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P ，若△12F P F 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( A )（A ）1-（B ）12（C ）（D ）23．（2011·朝阳期末）经过点(2, 3)-且与直线250x y +-=垂直的直线方程为 280x y -+= ．4．（2011·朝阳期末）（本小题满分13分）已知点(4, 0)M ，(1, 0)N ，若动点P 满足6||M N M P P N ⋅=．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设过点N 的直线l 交轨迹C 于A ，B 两点，若181275N A N B -⋅- ≤≤，求直线l 的斜率的取值范围.解：（Ⅰ）设动点(, )P x y ，则(4, )M P x y =- ，(3, 0)M N =- ，(1, )P N x y =--. …………………2分由已知得22)()1(6)4(3y x x -+-=--，化简得223412x y +=，得22143xy+=.所以点P 的轨迹C 是椭圆，C 的方程为13422=+yx. ………………………6分（Ⅱ）由题意知，直线l 的斜率必存在，不妨设过N 的直线l 的方程为(1)y k x =-，设A ，B 两点的坐标分别为11(, )A x y ，22(, )B x y .由22(1),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得2222(43)84120k x k x k +-+-=. ………………8分因为N 在椭圆内，所以0∆>.所以212221228,34412.34kx x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩………………………………………………………10分因为2121212(1)(1)(1)(1)(1)NA NB x x y y k x x ⋅=--+=+--]1)()[1(21212++-+=x x x x k222222243)1(943438124)1(kk k kkkk ++-=+++--+=， …………12分所以22189(1)127345k k-+--+≤≤. 解得213k ≤≤.所以1k -≤或1k ≤≤. …………………………………………13分5．(2011·丰台期末)过点(34)-，且与圆22(1)(1)25x y -+-=相切的直线方程为 43240x y -+= ． 6．(2011·丰台期末) （本小题满分14分）已知O 为平面直角坐标系的原点，过点(20)M -，的直线l 与圆221x y +=交于P ，Q 两点．（Ⅰ）若PQ =，求直线l 的方程；（Ⅱ）若12M P M Q =，求直线l 与圆的交点坐标．解：（Ⅰ）依题意，直线l 的斜率存在，因为直线l 过点(2,0)M -，可设直线l ：(2)y k x =+．因为PQ =，圆的半径为1，P ，Q 两点在圆221x y +=上，所以圆心O到直线l12 =．又因为12 =，所以15k=±，所以直线l的方程为20x-+=或20x++=．………………………7分（Ⅱ）设11(,)P x y，22(,)Q x y，所以22(2,)M Q x y=+，11(2,)M P x y=+．因为2M Q M P=，所以212122(2)2x xy y+=+⎧⎨=⎩即21212(1)2x xy y=+⎧⎨=⎩（*）；因为P，Q两点在圆上，所以2211222211x yx y⎧+=⎪⎨+=⎪⎩把（*）代入，得2211221114(1)41x yx y⎧+=⎪⎨++=⎪⎩，所以11788xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩，22144xy⎧=⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩，所以P点坐标为7(88-或7(88--，，Q点坐标为1(44，或1(44-，．………………………14分7. (2011·东莞期末)已知双曲线22221x ya b-=的一条渐近线方程为12y x=，则该双曲线的离心率为( A)A．25B．3C．5D．28．(2011·东莞期末)（本小题满分14分）已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，两个焦点分别为)0,1(-A 、)0,1(B ，一个顶点为)0,2(H .（1）求椭圆E 的标准方程；（2）对于x 轴上的点)0,(t P ，椭圆E 上存在点M ，使得MH MP ⊥，求t 的取值范围.解：（1）由题意可得，1c =，2a =，∴b =∴所求的椭圆的标准方程为：22143xy+=．（2）设),(00y x M )20±≠x （，则2200143x y +=． ①且),(00y x t MP --=，),2(00y x MH --=，由MH MP ⊥可得0=⋅MH MP ，即∴0)2)((2000=+--y x x t ． ②由①、②消去0y 整理得3241)2(0200-+-=-x x x t ．∵20≠x ， ∴23411)2(4100-=---=x x t ．∵220<<-x ，∴ 12-<<-t ．∴t 的取值范围为)1,2(--. 9. (2011·佛山一检)已知双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>与抛物线28y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若5PF =，则双曲线的离心率为( A )A ．2B ．C 2D10. (2011·佛山一检)若点P 在直线03:1=++y x l上，过点P 的直线2l 与曲线22:(5)16C x y -+=相切于点M ，则PM 的最小值为( D )AB ．2C ．D ．411. (2011·佛山一检)已知直线22x y +=分别与x 轴、y 轴相交于,A B 两点，若动点(,)P a b 在线段A B 上，则a b 的最大值为____12______.12．（2011·广东四校一月联考）过圆224x y +=外一点(4,2)P 作圆的两条切线，切点分别为,A B ，则ABP ∆的外接圆方程是（ D ）A ．22(4)(2)1x y -+-=B ．22(2)4x y +-=C ．22(2)(1)5x y +++=D ．22(2)(1)5x y -+-=13．（2011·广东四校一月联考）设θ是三角形的一个内角，且1sin cos 5θθ+=，则方程22sin cos 1x y θθ-=表示的曲线是( D ) A ．焦点在x 轴上的双曲线 B ．焦点在x 轴上的椭圆C ．焦点在y 轴上的双曲线D ．焦点在y 轴上的椭圆14．（2011·广东四校一月联考）（本小题满分14分）设(1,0)F ，M 点在x 轴的负半轴上，点P 在y 轴上，且,M P PN PM PF=⊥．（1）当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹C 的方程；（2）若(4,0)A ，是否存在垂直x 轴的直线l 被以A N 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解：（1）（解法一）MP PN =，故P 为M N 的中点． -------1分设(,)N x y ，由M 点在x 轴的负半轴上，则(,0),(0,),(0)2yM x P x -> -------2分又(1,0)F ，(,),(1,)22y y PM x PF ∴=--=--------4分又PM PF ⊥ ，204yPM PF x ∴⋅=-+= -------6分所以，点N 的轨迹C 的方程为24(0)y x x => -------7分（解法二）MP PN =，故P为M N 的中点． -------1分设(,)N x y ，由M 点在x 轴的负半轴上，则(,0),(0,),(0)2yM x P x -> -------2分又由,M P PN PM PF =⊥ ，故FN FM = ，可得22FNFM=-------4分由(1,0)F ，则有222(1)(1)x y x -+=--，化简得：24(0)y x x => -------6分所以，点N 的轨迹C 的方程为24(0)y x x => -------7分（2）设A N 的中点为B ，垂直于x 轴的直线方程为x a =，以A N 为直径的圆交l 于,C D 两点，C D 的中点为H ．12CB AN ==412422x B H a x a +=-=-+ -------9分22222211[(4)](24)44CH CB BHx y x a ∴=-=-+--+221[(412)416](3)44a x a a a x a a=--+=--+ -------12分所以，令3a =，则对任意满足条件的x ，都有29123C H=-+=（与x 无关），-------13分即C D = -------14分15．(2011·广州期末)已知直线l 经过坐标原点，且与圆22430x y x +-+=相切，切点在第四象限，则直线l 的方程为( C )A．y = B．y = C．3y x =- D．3y x=16.(2011·广州期末)（本小题满分14分）图4已知椭圆(222:13x yE a a+=>的离心率12e =. 直线x t =（0t >）与曲线E 交于不同的两点,M N ,以线段M N 为直径作圆C ,圆心为C ．（1）求椭圆E 的方程；（2）若圆C 与y轴相交于不同的两点,A B ，求A B C ∆的面积的最大值.(本小题主要考查椭圆、圆、直线与圆的位置关系等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)（1）解：∵椭圆()222:133x yE a a+=>的离心率12e =,x=a∴12a=. …… 2分解得2a =.∴ 椭圆E 的方程为22143xy+=． …… 4分（2）解法1：依题意，圆心为．由22,1,43x t x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得221234t y -=.∴ 圆C的半径为2r =． …… 6分∵ 圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ，且圆心C 到y 轴的距离d t =，∴02t <<，即07t <<．∴弦长||A B ===． ……8分∴A B C ∆的面积12S =⋅ …… 9分)1=)2212712t +-≤7=. …… 12分=7t =时，等号成立.∴ A B C ∆的面积的最大值为7． …… 14分解法2：依题意，圆心为．由22,1,43x t x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得221234t y -=.∴ 圆C的半径为2r =． …… 6分 ∴ 圆C 的方程为222123()4tx t y --+=．∵ 圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ，且圆心C 到y 轴的距离d t =，∴02t <<，即07t <<．在圆C 的方程222123()4tx t y --+=中，令0x =，得2y =±，∴弦长||AB = 8分∴A B C ∆的面积12S =⋅ …… 9分)=)221272t +-≤7=. ……12分=7t =时，等号成立.∴ A B C ∆的面积的最大值为7． …… 14分17．（2011·哈九中高三期末）抛物线24x y =上一点到直线54-=x y 的距离最短，则该点的坐标是（）A ．)2,1(B ．)0,0(C ．)1,21( D ．)4,1(【答案】C【分析】根据题意，直线54-=x y 必然与抛物线24y x =相离，抛物线上的点到直线的最短距离就是与直线54-=x y 平行的抛物线的切线的切点。

2020届高三数学文科一轮复习_第九章解析几何课时作业9-8-1

过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线．
题组一常识题 1．(教材改编) 过原点的直线 l 被抛物线 x2＝4y 截得的线段长为 4 2，则直线 l 的斜率为____________．【解析】设直线 l 的方程为 y＝kx，将其代入抛物线方程，得 x2－4kx＝0，所以被截得的线段两端点的坐标分别为(0，0)， (4k，4k2)，所以（4k）2＋（4k2）2＝4 2，解得 k＝±1.
π
π
所以∠SOT 最大值为 3 .综上所述：∠SOT 的最大值为 3 ，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
取得最大值时直线
l
的斜率为
k1＝±
2 2.
【反思归纳】
跟踪训练 1 已知椭圆 E 的中心在原点，焦点 F1，F2 在 y 轴上，离心率等于23 2，P 是椭圆 E 上的点．以线段 PF1 为直径的圆经过 F2，且 9P→F1·P→F2＝1.
y＝4k21x，
x2＝1＋8k421k12，y2＝1＋14k21，
因此|OC|＝ x2＋y2＝
11＋＋84kk2121.
由题意可知 sin 12∠SOT＝r＋r|OC|＝1＋1|OrC|，
而|OrC|＝2 3 2·
1＋8k21 1＋1＋k214k211＋8k12＝34 2·
2k21＋1
1＋14＋k212k121 ＋k21，
记直线BT的斜率为k1，且k1＞0，k1≠k.
则|BT|＝1＋8|k41|k21 1＋k12，故1＋8|k41|k21 1＋k21＝1＋8|k4|k2 1＋k2，所以 1k＋12＋4kk2141－ 1＋k2＋4kk24＝0. 即(1＋4k2) k21＋k41＝(1＋4k21) k2＋k4，所以(k2－k21)(1＋k2＋k21－8k2k21)＝0.

高考数学分类练习 H单元解析几何(文科)含答案1

数学H 单元解析几何 H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程20．H1、H5、H7、H8 已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为2 6.过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC →与BD →同向．(1)求C 2的方程；(2)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率．20．解：(1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0，1)．因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2－b 2＝1.①C 1与C 2的公共弦的长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为x 2＝4y ，由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为±6，32，所以94a 2＋6b 2＝1.②联立①②得a 2＝9，b 2＝8. 故C 2的方程为y 29＋x 28＝1.(2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．因为AC →与BD →同向，且|AC |＝|BD |，所以AC →＝BD →，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4，于是(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4.③设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y 得x 2－4kx －4＝0，而x 1，x 2是这个方程的两根，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.④由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y 29＝1得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0，而x 3，x 4是这个方程的两根，所以x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k2.⑤将④⑤代入③，得16(k 2＋1)＝162k 2（9＋8k 2）2＋4×649＋8k 2，即16(k 2＋1)＝162×9（k 2＋1）（9＋8k 2）2，所以(9＋8k 2)2＝16×9，解得k ＝±64，即直线l 的斜率为±64. 19．H1、H5、H8 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上顶点为B ，左焦点为F ，离心率为55.(1)求直线BF 的斜率．(2)设直线BF 与椭圆交于点P (P 异于点B )，过点B 且垂直于BP 的直线与椭圆交于点Q (Q 异于点B )，直线PQ 与y 轴交于点M ，|PM |＝λ|MQ |.(i)求λ的值；(ii)若|PM |sin ∠BQP ＝759，求椭圆的方程．19．解：(1)设F (－c ，0)．由已知离心率c a ＝55及a 2＝b 2＋c 2，可得a ＝5c ，b ＝2c . 又因为B (0，b )，F (－c ，0)，所以直线BF 的斜率k ＝b －00－（－c ）＝2cc＝2.(2)设点P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，M (x M ，y M )．(i)由(1)可得椭圆的方程为x 25c 2＋y 24c2＝1，直线BF 的方程为y ＝2x ＋2c .将直线方程与椭圆方程联立，消去y ，整理得3x 2＋5cx ＝0，解得x P ＝－5c 3.因为BQ ⊥BP ，所以直线BQ 的方程为y ＝－12x ＋2c ，与椭圆方程联立，消去y ，整理得21x 2－40cx ＝0，解得x Q ＝40c 21.又因为λ＝|PM ||MQ |，且x M ＝0，可得λ＝|x M －x P ||x Q －x M |＝|x P ||x Q |＝78.(ii)由(i)知|PM ||MQ |＝78，所以|PM ||PM |＋|MQ |＝77＋8＝715，即|PQ |＝157|PM |.又因为|PM |sin ∠BQP ＝759，所以|BP |＝|PQ |sin ∠BQP ＝157|PM |sin ∠BQP ＝553.又因为y P ＝2x P ＋2c ＝－43c ，所以|BP |＝0＋5c 32＋2c ＋4c 32＝553c ，因此553c ＝553，得c ＝1，所以椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.12．H1、H4 若点P (1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________．12．x ＋2y －5＝0 由题意，得k OP ＝2－01－0＝2，则该圆在点P 处的切线的斜率为－12，所以所求切线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.20．H1、H3、H4 已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 20．解：(1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k2<1，解得4－73<k <4＋73，所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0，所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2，OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k2＋8. 由题设可得4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在直线l 上，所以|MN |＝2.H2 两直线的位置关系与点到直线的距离H3 圆的方程20．H3，H4，H9 已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．16．H3、H4 如图13，圆C 与x 轴相切于点T (1，0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B在A 的上方)，且|AB |＝2.图13(1)圆C 的标准方程为________；(2)圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为________． 16．(1)(x －1)2＋(y －2)2＝2 (2)－2－1(1)由题意，设圆心C (1，r )(r 为圆C 的半径)，则r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫||AB 22＋12＝2，解得r ＝2，所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.(2)对于圆C 的方程，令x ＝0，得y ＝2±1，所以点B (0，2＋1)．又点C (1，2)，所以直线BC 的斜率k BC ＝－1，所以过点B 的切线方程为y －(2＋1)＝x －0，即y ＝x ＋(2＋1)．令y ＝0，得切线在x 轴上的截距为－2－1.20．H1、H3、H4 已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 20．解：(1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k2<1，解得4－73<k <4＋73，所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0，所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2，OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k2＋8. 由题设可得4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在直线l 上，所以|MN |＝2.7．H3 已知三点A (1，0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A.53B.213C.253D.437．B 由已知可得|AB |＝|AC |＝|BC |＝2，所以△ABC 是等边三角形，所以其外接圆圆心即三角形的重心，坐标为1＋0＋23，0＋3＋33，即1，233，圆心到原点的距离为12＋2332＝213.2．H3 圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝22．D 根据题意知圆的半径r ＝（1－0）2＋（1－0）2＝2，所以以(1，1)为圆心且过原点的圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，故选D.H4 直线与圆、圆与圆的位置关系8．H4 直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，则b 的值是( ) A ．－2或12 B ．2或－12 C ．－2或－12 D ．2或128．D 圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，依题意得圆心(1，1)到直线3x ＋4y ＝b 的距离d ＝|3＋4－b |32＋42＝1，即|b －7|＝5，解得b ＝12或b ＝2，选D. 20．H3，H4，H9 已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．16．H3、H4 如图13，圆C 与x 轴相切于点T (1，0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2.图13(1)圆C 的标准方程为________；(2)圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为________． 16．(1)(x －1)2＋(y －2)2＝2 (2)－2－1(1)由题意，设圆心C (1，r )(r 为圆C 的半径)，则r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫||AB 22＋12＝2，解得r ＝2，所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.(2)对于圆C 的方程，令x ＝0，得y ＝2±1，所以点B (0，2＋1)．又点C (1，2)，所以直线BC 的斜率k BC ＝－1，所以过点B 的切线方程为y －(2＋1)＝x －0，即y ＝x ＋(2＋1)．令y ＝0，得切线在x 轴上的截距为－2－1.20．H1、H3、H4 已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 20．解：(1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k2<1，解得4－73<k <4＋73，所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0，所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2，OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k2＋8. 由题设可得4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在直线l 上，所以|MN |＝2.13．H4 若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝________．13．2 圆心为原点，原点(0，0)到直线3x －4y ＋5＝0的距离d ＝|0－0＋5|32＋（－4）2＝1，又△OAB 中点O 到AB 边的距离d ＝r sin 30°＝r2＝1，所以r ＝2.13．H4、F3 过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA →·PB →＝________．13.32 如图所示，|PA |＝|PB |＝3，|OP |＝2，|OA |＝1，且PA ⊥OA ，∴∠APO ＝π6，即∠APB ＝π3，∴PA →·PB →＝|PA →||PB →|cos ∠APB ＝3×3×cos π3＝32.10．H4，H8 设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(1，4)C ．(2，3)D ．(2，4)10．D 不妨设直线l ：x ＝ty ＋m ，代入抛物线方程有y 2－4ty －4m ＝0，则Δ＝16t 2＋16m ＞0.又中点M (2t 2＋m ，2t )，圆心C (5，0)，k MC k l ＝－1，所以m ＝3－2t 2，当t ＝0时，对于0<r <5，满足条件的直线有2条，当t ≠0时，代入Δ＝16t 2＋16m ，可得3－t 2＞0，即0＜t 2＜3. 又由圆心到直线的距离等于半径，可得r ＝|5－m |1＋t2＝2＋2t21＋t2＝21＋t 2.由0＜t 2＜3，可得r ∈(2，4)．5．H4、H6 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F (2，0)，且双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为( )A.x 29－y 213＝1B.x 213－y 29＝1C.x 23－y 2＝1 D ．x 2－y 23＝15．D 因为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F (2，0)，所以a 2＋b 2＝4①.其渐近线方程为y ＝±b ax ，且渐近线与圆相切，所以|2b |a 2＋b2＝3②.联立①②，解得b ＝3，a＝1，所以所求双曲线的方程为x 2－y 23＝1.14．H4，E5 已知实数x ，y 满足x 2＋y 2≤1，则|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |的最大值是________．14．15 方法一：当x ，y 满足x 2＋y 2≤1时，2x ＋y －4<0，6－x －3y >0，设z ＝|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |，则z ＝－2x －y ＋4＋6－x －3y ＝－3x －4y ＋10，即3x ＋4y ＋z －10＝0.由题意可知，|z －10|5≤1，即|z －10|≤5，所以5≤z ≤15，故所求最大值为15.方法二：坐标原点到直线2x ＋y －4＝0和6－x －3y ＝0的距离分别是45，610，均大于1，在x ，y 满足x 2＋y 2≤1的条件下，2x ＋y －4≤0，6－x －3y ≥0恒成立．故在x 2＋y 2≤1下，|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |＝－(2x ＋y －4)＋(6－x －3y )＝－3x －4y ＋10，令m ＝－3x －4y ，则y ＝－34x －m 4，m 的几何意义是直线m ＝－3x －4y 在y 轴上的截距的－4倍，若m 最大，则需要直线m ＝－3x －4y 在y 轴上的截距最小．故只有当直线m ＝－3x －4y 与单位圆x 2＋y 2＝1相切于第三象限时，m 取得最大值．此时可求得切点坐标为－35，－45，故m max ＝－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝5，所以|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |＝－3x －4y ＋10的最大值为15.12．H1、H4 若点P (1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________．12．x ＋2y －5＝0 由题意，得k OP ＝2－01－0＝2，则该圆在点P 处的切线的斜率为－12，所以所求切线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.10．H4 在平面直角坐标系xOy 中，以点(1，0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．10．(x －1)2＋y 2＝2 由直线mx －y －2m －1＝0得m (x －2)－(y ＋1)＝0，故直线过点(2，－1)．当切线与过(1，0)，(2，－1)两点的直线垂直时，圆的半径最大，此时有r ＝1＋1＝2，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.H5 椭圆及其几何性质20．H5 设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a ，0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510. (1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB .20．解：(1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，13b ，又k OM ＝510，所以b 2a ＝510. 进而a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.(2)证明：由N 是AC 的中点知，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，－b 2，可得NM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 6，5b 6.又AB →＝(－a ，b )，从而有AB →·NM →＝－16a 2＋56b 2＝16(5b 2－a 2)．由(1)的计算结果可知a 2＝5b 2，所以AB →·NM →＝0，故MN ⊥AB .8．H5 已知椭圆x 225＋y 2m2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4，0)，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．98．B 由题意得，m 2＝25－42＝9，因为m >0，所以m ＝3，故选B.22．H5、H8、H9、H10 一种画椭圆的工具如图15所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且DN ＝ON ＝1，MN ＝3.当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为C .以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图16所示的平面直角坐标系．(1)求椭圆C 的方程．(2)设动直线l 与两定直线l 1：x －2y ＝0和l 2：x ＋2y ＝0分别交于P ，Q 两点．若直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．图15图1622．解：(1)由题知|OM |≤|MN |＋|NO |＝3＋1＝4，当M ，N 在x 轴上时，等号成立；同理|OM |≥|MN |－|NO |＝3－1＝2，当D ，O 重合，即MN ⊥x 轴时，等号成立．所以椭圆C 的中心为原点O ，长半轴长为4，短半轴长为2，其方程为x 216＋y 24＝1.(2)(i)当直线l 的斜率不存在时，直线l 为x ＝4或x ＝－4，都有S △OPQ ＝12×4×4＝8.(ii)当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ≠±12. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝16，消去y ，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0.因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以Δ＝64k 2m 2－4(1＋4k 2)(4m 2－16)＝0，即m 2＝16k 2＋4. ①又由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x －2y ＝0，可得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 1－2k ，m 1－2k ，同理可得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 1＋2k ，m 1＋2k .由原点O 到直线PQ 的距离d ＝|m |1＋k2和|PQ |＝1＋k 2|x P －x Q |，可得S △OPQ ＝12|PQ |·d ＝12|m ||x P －x Q |＝12|m |2m 1－2k ＋2m 1＋2k ＝2m21－4k 2. ②将①代入②得，S △OPQ ＝2m 21－4k 2＝84k 2＋14k 2－1. 当k 2>14时，S △OPQ ＝8·4k 2＋14k 2－1＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋24k 2－1>8；当0≤k 2<14时，S △OPQ ＝8·4k 2＋11－4k 2＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋21－4k 2.因为0≤k 2<14，所以0<1－4k 2≤1，21－4k 2≥2，所以S △OPQ ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋21－4k 2≥8，当且仅当k ＝0时取等号，所以当k ＝0时，S △OPQ 的最小值为8.综合(i)(ii)可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8.5．H5、H7 已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( )A ．3B ．6C ．9D ．125．B 抛物线C ：y 2＝8x 的焦点坐标为(2，0)，准线方程为x ＝－2，即椭圆的半焦距c ＝2.又离心率e ＝c a ＝2a ＝12，所以a ＝4，于是b 2＝12，则椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.A ，B 是C的准线x ＝－2与E 的两个交点，把x ＝－2代入椭圆方程得y ＝±3，所以|AB |＝6.20．H5、H8 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点(2，2)在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不经过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ，证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．20．解：(1)由题意有a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4.所以C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 24＝1得(2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0.故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b ＝b2k 2＋1. 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－12k ，即k OM ·k ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．20．H5，H8 已知椭圆C ：x 2＋3y 2＝3，过点D (1，0)且不过点E (2，1)的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线x ＝3交于点M .(1)求椭圆C 的离心率；(2)若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；(3)试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由．20．解：(1)椭圆C 的标准方程为x 23＋y 2＝1.所以a ＝3，b ＝1，c ＝ 2.所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝63. (2)因为AB 过点D (1，0)且垂直于x 轴，所以可设A (1，y 1)，B (1，－y 1)，直线AE 的方程为y －1＝(1－y 1)(x －2)．令x ＝3，得M (3，2－y 1)．所以直线BM 的斜率k BM ＝2－y 1＋y 13－1＝1.(3)直线BM 与直线DE 平行．证明如下：当直线AB 的斜率不存在时，由(2)可知k BM ＝1. 又因为直线DE 的斜率k DE ＝1－02－1＝1，所以BM ∥DE . 当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －1)(k ≠1)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则直线AE 的方程为y －1＝y 1－1x 1－2(x －2)．令x ＝3，得点M ⎝⎛⎭⎪⎫3，y 1＋x 1－3x 1－2.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝3，y ＝k （x －1），得(1＋3k 2)x 2－6k 2x ＋3k 2－3＝0.所以x 1＋x 2＝6k 21＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－31＋3k 2.直线BM 的斜率k BM ＝y 1＋x 1－3x 1－2－y 23－x 2.因为k BM －1＝k （x 1－1）＋x 1－3－k （x 2－1）（x 1－2）－（3－x 2）（x 1－2）（3－x 2）（x 1－2）＝（k －1）[－x 1x 2＋2（x 1＋x 2）－3]（3－x 2）（x 1－2）＝（k －1）⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 2＋31＋3k 2＋12k 21＋3k 2－3（3－x 2）（x 1－2）＝0，所以k BM ＝1＝k DE .所以BM ∥DE . 综上可知，直线BM 与直线DE 平行．11．H5 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x－4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E的离心率的取值范围是( )A ．0，32 B ．0，34 C.32，1 D.34，1 11．A 因为直线l 过原点，不妨设A 在第一象限，左焦点为F ′，由对称性可知四边形AF ′BF 为平行四边形，所以|AF |＋|BF |＝|AF ′|＋|AF |＝2a ＝4，所以a ＝2，点M (0，b )到直线l 的距离d ＝|0－4b |5≥45且b <a ，所以1≤b <2，所以椭圆的离心率e ＝c a ＝a 2－b2a ＝4－b 22∈0，32. 20．H1、H5、H7、H8 已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为2 6.过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC →与BD →同向．(1)求C 2的方程；(2)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率．20．解：(1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0，1)．因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2－b 2＝1.①C 1与C 2的公共弦的长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为x 2＝4y ，由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为±6，32，所以94a 2＋6b 2＝1.②联立①②得a 2＝9，b 2＝8. 故C 2的方程为y 29＋x 28＝1.(2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．因为AC →与BD →同向，且|AC |＝|BD |，所以AC →＝BD →，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4，于是(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4.③设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y得x 2－4kx －4＝0，而x 1，x 2是这个方程的两根，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.④由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y 29＝1得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0，而x 3，x 4是这个方程的两根，所以x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k2.⑤ 将④⑤代入③，得16(k 2＋1)＝162k 2（9＋8k 2）2＋4×649＋8k 2，即16(k 2＋1)＝162×9（k 2＋1）（9＋8k 2）2，所以(9＋8k 2)2＝16×9，解得k ＝±64，即直线l 的斜率为±64. 21．H5、H8 平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，且点⎝⎛⎭⎪⎫3，12在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程．(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .(i)求|OQ ||OP |的值；(ii)求△ABQ 面积的最大值．21．解：(1)由题意知3a 2＋14b 2＝1，又a 2－b 2a ＝32，解得a 2＝4，b 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)由(1)知，椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1.(i)设P (x 0，y 0)，|OQ ||OP |＝λ，由题意知，Q (－λx 0，－λy 0)．因为x 204＋y 2＝1，且（－λx 0）216＋（－λy 0）24＝1，即λ24⎝ ⎛⎭⎪⎫x 204＋y 20＝1，所以λ＝2，即|OQ ||OP |＝2.(ii)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0，由Δ>0，可得m 2<4＋16k 2，①则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k 2，所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m21＋4k2. 因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )，所以△OAB 的面积S ＝12|m ||x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k 2＝2（16k 2＋4－m 2）m21＋4k 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m 21＋4k 2m 21＋4k 2. 设m 21＋4k2＝t .将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2.②由①②可知，0<t ≤1，因此S ＝2（4－t ）t ＝2－t 2＋4t ，故S ≤23，当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值23，由(i)知，△ABQ 的面积为3S ，所以△ABQ 面积的最大值为6 3.20．H5、H8 如图16，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点A (0，－1)，且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1，1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.图1620．解：(1)由题设知c a ＝22，b ＝1，结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝ 2. 所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0，由已知得Δ>0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0，则x 1＋x 2＝4k （k －1）1＋2k 2，x 1x 2＝2k （k －2）1＋2k 2. 从而直线AP ，AQ 的斜率之和k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－kx 2＝2k ＋(2－k )1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k （k －1）2k （k －2）＝2k －2(k －1)＝2.20．F3，H5，H8 如图13，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是22，点P (0，1)在短轴CD 上，且PC →·PD →＝－1.(1)求椭圆E 的方程．(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点．是否存在常数λ，使得OA →·OB →＋λPA →·PB →为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．图1320．解：(1)由已知，点C ，D 的坐标分别为(0，－b )，(0，b )．又点P 的坐标为(0，1)，且PC →·PD →＝－1，于是⎩⎪⎨⎪⎧1－b 2＝－1，c a ＝22，a 2－b 2＝c 2，解得a ＝2，b ＝2.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0.其判别式Δ＝(4k )2＋8(2k 2＋1)>0，所以x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，x 1x 2＝－22k 2＋1. 从而OA →·OB →＋λPA →·PB →＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ＝(1＋λ)(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝（－2λ－4）k 2＋（－2λ－1）2k 2＋1＝－λ－12k 2＋1－λ－2.所以，当λ＝1时，－λ－12k 2＋1－λ－2＝－3.此时，OA →·OB →＋λPA →·PB →＝－3为定值．当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD .此时，OA →·OB →＋λPA →·PB →＝OC →·OD →＋PC →·PD →＝－2－1＝－3. 故存在常数λ＝1，使得OA →·OB →＋λPA →·PB →为定值－3.19．H1、H5、H8 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上顶点为B ，左焦点为F ，离心率为55.(1)求直线BF 的斜率．(2)设直线BF 与椭圆交于点P (P 异于点B )，过点B 且垂直于BP 的直线与椭圆交于点Q (Q 异于点B )，直线PQ 与y 轴交于点M ，|PM |＝λ|MQ |.(i)求λ的值；(ii)若|PM |sin ∠BQP ＝759，求椭圆的方程．19．解：(1)设F (－c ，0)．由已知离心率c a ＝55及a 2＝b 2＋c 2，可得a ＝5c ，b ＝2c . 又因为B (0，b )，F (－c ，0)，所以直线BF 的斜率k ＝b －00－（－c ）＝2cc＝2.(2)设点P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，M (x M ，y M )．(i)由(1)可得椭圆的方程为x 25c 2＋y 24c2＝1，直线BF 的方程为y ＝2x ＋2c .将直线方程与椭圆方程联立，消去y ，整理得3x 2＋5cx ＝0，解得x P ＝－5c 3.因为BQ ⊥BP ，所以直线BQ 的方程为y ＝－12x ＋2c ，与椭圆方程联立，消去y ，整理得21x 2－40cx ＝0，解得x Q ＝40c 21.又因为λ＝|PM ||MQ |，且x M ＝0，可得λ＝|x M －x P ||x Q －x M |＝|x P ||x Q |＝78.(ii)由(i)知|PM ||MQ |＝78，所以|PM ||PM |＋|MQ |＝77＋8＝715，即|PQ |＝157|PM |.又因为|PM |sin ∠BQP ＝759，所以|BP |＝|PQ |sin ∠BQP ＝157|PM |sin ∠BQP ＝553.又因为y P ＝2x P ＋2c ＝－43c ，所以|BP |＝0＋5c 32＋2c ＋4c 32＝553c ，因此553c ＝553，得c ＝1，所以椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.7．H5 如图13，斜线段AB 与平面α所成的角为60°，B 为斜足，平面α上的动点P 满足∠PAB ＝30°，则点P 的轨迹是( )图13A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线的一支7．C 射线AP 以AB 为旋转轴，∠PAB ＝30°为定值，旋转一周，构成斜放的圆锥，故可知，点P 的轨迹为椭圆．15．H5 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F (c ，0)关于直线y ＝bcx 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________．15.22设FQ 的中点为A ，椭圆的左焦点为F ′，连接QF ′.因为点F 和Q 关于直线y ＝b c x 对称，所以点A 在直线y ＝b cx 上，且OA ⊥QF ，又OA ∥QF ′，所以F ′Q ⊥QF .在直角三角形OAF 中，tan ∠AOF ＝b c ，又a 2＝b 2＋c 2，故sin ∠AOF ＝b a ，cos ∠AOF ＝c a ，则|OA |＝c 2a，|AF |＝cb a ，|QF ′|＝2c 2a ，|QF |＝2cb a ，所以2a ＝|QF ′|＋|QF |＝2c 2a ＋2cb a，即a 2＝c 2＋cb ，又a 2＝c 2＋b 2，所以c ＝b ，故e ＝ca ＝22. 21．H5、H8 如图15，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程；(2)若|PQ |＝λ|PF 1|，且34≤λ<43，试确定椭圆离心率e 的取值范围．图1521．解：(1)由椭圆的定义，得2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2，得2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝（2＋2）2＋（2－2）2＝23，即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)如图所示，连接F 1Q ，由PF 1⊥PQ ，|PQ |＝λ|PF 1|，得|QF 1|＝|PF 1|2＋|PQ |2＝1＋λ2|PF 1|.由椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a ，进而|PF 1|＋|PQ |＋|QF 1|＝4a ，于是(1＋λ＋1＋λ2)|PF 1|＝4a ，解得|PF 1|＝4a 1＋λ＋1＋λ2，故|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a （λ＋1＋λ2－1）1＋λ＋1＋λ2. 由勾股定理得|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4c 2，从而⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 1＋λ＋1＋λ22＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a （λ＋1＋λ2－1）1＋λ＋1＋λ22＝4c 2，两边除以4a 2，得4（1＋λ＋1＋λ2）2＋（λ＋1＋λ2－1）2（1＋λ＋1＋λ2）2＝e 2. 若记t ＝1＋λ＋1＋λ2，则上式变成e 2＝4＋（t －2）2t 2＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －142＋12.由34≤λ<43，得3≤t <4，即14<1t ≤13. 进而12<e 2≤59，即22<e ≤53.18．H5、H10 如图14，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3. (1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC ＝2AB ，求直线AB 的方程．图1418．解：(1)由题意，得c a ＝22，且c ＋a 2c ＝3，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1，所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线AB 的方程代入椭圆方程，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，则x 1，2＝2k 2±2（1＋k 2）1＋2k2，C 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，且AB ＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝（1＋k 2）（x 2－x 1）2＝22（1＋k 2）1＋2k2. 若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意，从而k ≠0，故直线PC 的方程为y ＋k1＋2k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2k 21＋2k 2，则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k （1＋2k 2），从而PC ＝2（3k 2＋1）1＋k 2|k |（1＋2k 2）. 因为PC ＝2AB ，所以2（3k 2＋1）1＋k 2|k |（1＋2k 2）＝42（1＋k 2）1＋2k 2，解得k ＝±1，此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.H6 双曲线及其几何性质6．H6 下列双曲线中，渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1 B.x 24－y 2＝1 C ．x 2－y 22＝1 D.x 22－y 2＝16．A A 中双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ；B 中双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ；C中双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ；D 中双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .故选A. 9．H6 将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( )A ．对任意的a ，b ，e 1>e 2B ．当a >b 时，e 1>e 2；当a <b 时，e 1<e 2C ．对任意的a ，b ，e 1<e 2D ．当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 29．D e 1＝1＋b 2a 2，e 2＝1＋（b ＋m ）2（a ＋m ）2.不妨令e 1<e 2，化简得b a <b ＋ma ＋m (m >0)，得bm <am ，得b <a .所以当b >a 时，有b a >b ＋m a ＋m ，即e 1>e 2；当b <a 时，有b a <b ＋ma ＋m，即e 1<e 2.故选D.16．H6 已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0，66) ，当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________．16．12 6 由已知得a ＝1，c ＝3，则F (3，0)，|AF |＝15.设F 1是双曲线的左焦点，根据双曲线的定义有|PF |－|PF 1|＝2，所以|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PF 1|＋2≥|AF 1|＋2＝17，即点P 是线段AF 1与双曲线的交点时，|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PF 1|＋2最小，即△APF 周长最小，此时，sin ∠OAF ＝15，cos ∠PAF ＝1－2sin 2∠OAF ＝2325，即有sin ∠PAF ＝4625.由余弦定理得|PF |2＝|PA |2＋|AF |2－2|PA ||AF |cos ∠PAF ，即(17－|PA |)2＝|PA |2＋152－2|PA |×15×2325，解得|PA |＝10，于是S △APF ＝12|PA |·|AF |·sin ∠PAF ＝12×10×15×4625＝12 6.15．H6 已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．15.x 24－y 2＝1 根据双曲线的渐近线方程y ＝±12x ，可设双曲线方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，将点(4，3)的坐标代入得λ＝1，所以双曲线方程为x 24－y 2＝1.12．H6 已知(2，0)是双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的一个焦点，则b ＝________．12. 3 因为(2，0)是双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的一个焦点，所以1＋b 2＝22，又因为b >0，所以b ＝ 3.6．H6 若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A.73 B.54 C.43 D.536．D 由已知可得双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，点(3，－4)在渐近线上，故b a ＝43，又a 2＋b 2＝c 2，∴c 2＝a 2＋169a 2＝259a 2，∴e ＝c a ＝53，选D.15．H6 过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P ，若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________．15．2＋ 3 过右焦点且与渐近线平行的一条直线不妨设为y ＝ba(x －c )，∵该直线与双曲线交点的横坐标为2a ，∴有（2a ）2a 2－y2b2＝1，解得y ＝－3b (y ＝3b 舍去)，∴－3b ＝b a(2a －c )，整理得c ＝(2＋3)a ，即双曲线的离心率e ＝2＋ 3.7．H6，H8 过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.4 33B ．2 3C ．6D ．4 3 7．D 由题意得，a ＝1，b ＝3，故c ＝2，渐近线方程为y ＝±3x ，将x ＝2代入渐近线方程，得y ＝2 3或y ＝－2 3，故|AB |＝4 3.5．H4、H6 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F (2，0)，且双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为( )A.x 29－y 213＝1B.x 213－y 29＝1C.x 23－y 2＝1 D ．x 2－y 23＝1 5．D 因为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F (2，0)，所以a 2＋b 2＝4①.其渐近线方程为y ＝±b ax ，且渐近线与圆相切，所以|2b |a 2＋b 2＝3②.联立①②，解得b ＝3，a＝1，所以所求双曲线的方程为x 2－y 23＝1.9．H6 设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点．若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( )A ．±12B ．±22C ．±1D ．± 29．C 由题设，得A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，F (c ，0)．将x ＝c 代入双曲线方程，解得y＝±b 2a .不妨设Bc ，b 2a ，Cc ，－b 2a ，则kA 1B ＝b 2ac ＋a ，kA 2C ＝－b 2a c －a ，根据题意，有b 2a c ＋a ·－b 2a c －a＝－1，整理得b a＝1，所以该双曲线的渐近线的斜率为±1，故选C.12．H6、H10 在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________．12.22不妨设点P (x 0，x 20－1)(x 0≥1)，则点P 到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝||x 0－x 20－1＋12.令u (x )＝x －x 2－1＝1x ＋x 2－1，则u (x )是单调递减函数，且u (x )>0.当x →＋∞时，u (x )→0，所以d >22，故c max ＝22.H7 抛物线及其几何性质5．H5、H7 已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( )A ．3B ．6C ．9D ．125．B 抛物线C ：y 2＝8x 的焦点坐标为(2，0)，准线方程为x ＝－2，即椭圆的半焦距c ＝2.又离心率e ＝c a ＝2a ＝12，所以a ＝4，于是b 2＝12，则椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.A ，B 是C的准线x ＝－2与E 的两个交点，把x ＝－2代入椭圆方程得y ＝±3，所以|AB |＝6.19．H7、H10 已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1，0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．图1419．解：方法一：(1)由抛物线的定义得|AF |＝2＋p2.因为|AF |＝3，所以2＋p2＝3，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)证明：因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±2 2，由抛物线的对称性，不妨设A (2，2 2)．由A (2，2 2)，F (1，0)可得直线AF 的方程为y ＝2 2(x －1)．由⎩⎨⎧y ＝2 2（x －1），y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B 12，－ 2. 又G (－1，0)，所以k GA ＝ 2 2－02－（－1）＝2 23，k GB ＝－2－012－（－1）＝－2 23，所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．方法二：(1)同方法一．(2)证明：设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r . 因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±2 2，由抛物线的对称性，不妨设A (2，2 2)，由A (2，2 2)，F (1，0)可得直线AF 的方程为y ＝2 2(x －1)．由⎩⎨⎧y ＝2 2（x －1），y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B 12，－ 2.又G (－1，0)，故直线GA 的方程为2 2x －3y ＋2 2＝0，从而r ＝|2 2＋2 2|8＋9＝4 217.又直线GB 的方程为2 2x ＋3y ＋2 2＝0，所以点F 到直线GB 的距离d ＝|2 2＋2 2|8＋9＝4 217＝r .这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．20．H1、H5、H7、H8 已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为2 6.过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC →与BD →同向．(1)求C 2的方程；(2)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率．20．解：(1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0，1)．因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2－b 2＝1.①C 1与C 2的公共弦的长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为x 2＝4y ，由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为±6，32，所以94a 2＋6b 2＝1.②联立①②得a 2＝9，b 2＝8. 故C 2的方程为y 29＋x 28＝1.(2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．因为AC →与BD →同向，且|AC |＝|BD |，所以AC →＝BD →，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4，于是(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4.③设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y 得x 2－4kx －4＝0，而x 1，x 2是这个方程的两根，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.④由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y 29＝1得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0，而x 3，x 4是这个方程的两根，所以x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k2.⑤ 将④⑤代入③，得16(k 2＋1)＝162k 2（9＋8k 2）2＋4×649＋8k 2，即16(k 2＋1)＝162×9（k 2＋1）（9＋8k 2）2，所以(9＋8k 2)2＝16×9，解得k ＝±64，即直线l 的斜率为±64. 3．H7 已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过点(－1，1)，则该抛物线焦点坐标为( )A ．(－1，0)B ．(1，0)C ．(0，－1)D ．(0，1)3．B 抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程为x ＝－p 2，由已知得－p 2＝－1，所以p2＝1，故其焦点坐标为(1，0)．19．H7，H10 如图15，已知抛物线C 1：y ＝14x 2，圆C 2：x 2＋(y －1)2＝1，过点P (t ，0)(t >0)作不过原点O 的直线PA ，PB 分别与抛物线C 1和圆C 2相切，A ，B 为切点．(1)求点A ，B 的坐标； (2)求△PAB 的面积．注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．图1519．解：(1)由题意知直线PA 的斜率存在，故可设直线PA 的方程为y ＝k (x －t )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －t ），y ＝14x 2消去y ，整理得x 2－4kx ＋4kt ＝0，由直线PA 与抛物线相切,得k ＝t .因此，点A 的坐标为(2t ，t 2)．设圆C 2的圆心为D (0，1)，点B 的坐标为(x 0，y 0)，由题意知，点B ，O 关于直线PD 对称，故⎩⎪⎨⎪⎧y 02＝－x 02t ＋1，x 0t －y 0＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2t1＋t 2，y 0＝2t 21＋t2，因此，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 2，2t 21＋t 2.(2)由(1)知|AP |＝t ·1＋t 2，和直线PA 的方程tx －y －t 2＝0. 点B 到直线PA 的距离d ＝t 21＋t2.设△PAB 的面积为S (t )，所以S (t )＝12|AP |·d ＝t32.H8 直线与圆锥曲线（AB 课时作业）。

高三数学(文科2021届含答案)主干知识五：解析几何

高三数学（文科）主干知识五：解析几何考试要求（1）直线与方程理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）．能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．（2）圆与方程掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．（３）圆锥曲线与方程掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）．了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质（范围、对称性、顶点、准线、离心率）．理解直线与圆锥曲线的位置关系．复习关注关注解题方向的选择及计算方法的合理性（如“设而不求”、“整体代换”等），同时适当关注与向量、解三角形、函数等知识的交汇，关注对数形结合、函数与方程、化归与转化、特殊与一般的思想，关注对整体处理问题的策略以及待定系数法、换元法等强化训练一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的．1．双曲线221102x y -=的焦距为（） A． B． C． D．2．已知点A （3,2），B （-2,7），若直线y=ax-3与线段AB 的交点P 分有向线段AB 的比为4:1，则a 的值为（）A ．3B ．-3C ．9D ．-93．由直线1y x =+上的点向圆22(3)(2)1x y -++= 引切线，则切线长的最小值为（）AB．．4．双曲线x 2－y 2=4的两条渐近线和直线x =2围成一个三角形区域（含边界），则该区域可表示为（）A ．⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≥+200x y x y xB ．⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-≥+200x y x y xC ．⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-≤+200x y x y x D ．⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤+200x y x y x 5．若直线:10 (0,0)l ax by a b ++=>>始终平分圆M ：228210x y x y ++++=的周长，则14a b+的最小值为（） A ．8B ．12C ．16D ．20 6．直线经过点A （2，1），B （1，m 2）两点（m ∈R ），那么直线l 的倾斜角取值范围是（）A ．),0[πB ．),2(]4,0[πππ⋃C ．]4,0[πD ．),2()2,4[ππππ⋃ 7．已知直线420mx y +-=与250x y n -+=互相垂直，垂足为),1(p P ，则m n p -+的值是（）A ．24B ．20C ．0D ．－48．圆心在抛物线22x y =()0x >上，并且与抛物线的准线及y 轴都相切的圆的方程是( )A ．041222=+--+y x y x B ．01222=+--+y x y x C ．041222=+--+y x y x D ．041222=+--+y x y x9．以椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为圆心的圆经过原点，且被椭圆的右准线分成弧长为2:1的两段弧，那么该椭圆的离心率等于( )A ．23 B C ．49D 10．从一块短轴长为2b 的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[3b 2，4b 2]，则这一椭圆离心率e 的取值范围是（）A ．]23,35[B ．]22,33[C ．]22,35[D ．]23,33[ 11．已知椭圆15922=+y x ，过右焦点F 做不垂直于x 轴的弦交椭圆于A 、B 两点，AB 的垂直平分线交x 轴于N ，则=AB NF ：（）A ．12B ．13C ．23D ．1412．椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程：191622=+y x ，点A 、B 是它的两个焦点，当静止的小球放在点A 处，从点A 沿直线出发，经椭圆壁(非椭圆长轴端点)反弹后，再回到点A 时，小球经过的最短路程是（）A ．20B ．18C ．16D ．以上均有可能二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．直线1-=x y 上的点到圆042422=+-++y x y x 上的点的最近距离是．14．已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，若121212||||PF PF PF PF ⋅=⋅，则△F 1PF 2的面积为． 15．已知抛物线214y x =，过焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线交于A,B 两个点, 则坐标原点O 与A ，B 两点构成的三角形的面积为．。

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高三文科数学解析几何专题

高三文科数学第二轮复习资料——《解析几何》专题1．已知动圆过定点()1,0；且与直线1x =-相切.(1) 求动圆的圆心轨迹C 的方程； (2) 是否存在直线l ；使l 过点（0；1）；并与轨迹C 交于,P Q 两点；且满足0OP OQ ⋅=？若存在；求出直线l 的方程；若不存在；说明理由.2．如图,设1F 、2F 分别为椭圆C ：22221x y a b+= (0a b >>)的左、右焦点. (Ⅰ)设椭圆C 上的点3(1,)2A 到F 1、F 2两点距离之和等于4；写出椭圆C 的方程和离心率；(Ⅱ)设点K 是(Ⅰ)中所得椭圆上的动点；求线段1F K 的中点的轨迹方程．3．已知圆C: x 2+y 2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的直线L,使以L 被圆C 截得弦AB 为直径的圆经过原点?若存在,写出直线的方程;若不存在；说明理由4．已知圆C ：224x y +=.（1）直线l 过点()1,2P ；且与圆C 交于A 、B两点；若||AB =l 的方程;（2）过圆C 上一动点M 作平行于x 轴的直线m ；设m 与y 轴的交点为N ；若向量OQ OM ON =+；求动点Q 的轨迹方程；并说明此轨迹是什么曲线.5．如图；已知圆A 的半径是2；圆外一定点N 与圆A 上的点的最短距离为6；过动点P 作A 的切线PM （M 为切点）；连结PN 使得PM ：；试建立适当的坐标系；求动点P 的轨迹6．已知三点P （5；2）、1F （－6；0）、2F （6；0）．（Ⅰ）求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；（Ⅱ）设点P 、1F 、2F 关于直线y ＝x 的对称点分别为P '、'1F 、'2F ；求以'1F 、'2F 为焦点且过点P '的双曲线的标准方程．7．某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送180吨支援物资的任务；该公司有8辆载重为6吨的A 型卡车与4辆载重为10吨的B 型卡车；有10名驾驶员；每辆卡车每天往返次数为A 型卡车4次；B 型卡车3次；每辆卡车每天往返的成本费用为A 型卡车320元；B 型卡车504元；请你给该公司调配车辆；使公司所花的成本费用最低．8．曲线03622=+-++y x y x 上两点P 、Q 满足：①关于直线04=+-y kx 对称；②OQ OP ⊥.求直线PQ 的方程.9情况下的两类药片怎样搭配价格最低？参考答案1．解：（1）如图；设M 为动圆圆心； F ()1,0；过点M 作直线1x =-的垂线；垂足为N ；由题意知：MF MN =；即动点M 到定点F 与定直线1x =-的距离相等；由抛物线的定义知；点M 的轨迹为抛物线；其中()1,0F 为焦点；1x =-为准线；∴ 动点R 的轨迹方程为x y 42=．（2）由题可设直线l 的方程为(1)(0)x k y k =-≠；由2(1)4x k y y x=-⎧⎨=⎩得2440y ky k -+=△216160k =->；11k k <->或．设),(11y x P ；),(22y x Q ；则124y y k +=；124y y k =．由0OP OQ ⋅=；即 ()11,OP x y =；()22,OQ x y =；于是12120x x y y +=；即()()21212110k y y y y --+=；2221212(1)()0k y y k y y k +-++=；2224(1)40k k k k k +-+=；解得4k =-或0k =（舍去）；又41k =-<-； ∴ 直线l 存在；其方程为440x y +-=2．解：(Ⅰ)24a =；221914a b+=. 24a =；23b =.椭圆的方程为22143x y +=；因为2221c a b =-=. 所以离心率12e =. (Ⅱ)设1KF 的中点为(,)M x y ；则点(21,2)K x y +.又点K 在椭圆上；则1KF 中点的轨迹方程为22(21)(2)143x y ++=.3．解:设直线L 的斜率为１；且L 的方程为y=x+b,则222440y x bx y x y =+⎧⎨+-+-=⎩消元得方程２x 2+（2b+2）x+b 2+4b-4=0；设此方程两根为x 1；x 2；则x 1+x 2＝－（b+1）；y 1+y 2= x 1+x 2+2b=b-1；则ＡＢ中点为11,22b b +-⎛⎫-⎪⎝⎭；又弦长为12x -＝；由题意可列式x =221122b b +-⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝2⎪⎝⎭解得b=1或b=-9；经检验b=-9不合题意．所以所求直线方程为y=x+1．4．解（Ⅰ）①当直线l 垂直于x 轴时；则此时直线方程为1=x ；l 与圆的两个交点坐标为()3,1和()3,1-；其距离为32；满足题意②若直线l 不垂直于x 轴；设其方程为()12-=-x k y ；即02=+--k y kx 设圆心到此直线的距离为d ；则24232d -=；得1=d ∴1|2|12++-=k k ；34k =；故所求直线方程为3450x y -+= 综上所述；所求直线为3450x y -+=或1=x （Ⅱ）设点M 的坐标为()00,y x ；Q 点坐标为()y x ,则N 点坐标是()0,0y ∵OQ OM ON =+；∴()()00,,2x y x y = 即x x =0；20yy =又∵42020=+y x ；∴4422=+y x 由已知；直线m //ox 轴；所以；0y ≠；∴Q 点的轨迹方程是221(0)164y x y +=≠；轨迹是焦点坐标为12(0,F F -；长轴为8的椭圆；并去掉(2,0)±两点．5．解：以AN 所在直线为x 轴；AN 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系如图所示；则A(-4,0),N(4,0),设P （x ；y ）由|PM|：；|PM|2=|PA|2 –|MA|2得：4||||222-=PA PN代入坐标得：22222(4)(4)4x y x y ⎡⎤-+=++-⎣⎦整理得：2224200x y x +-+=即22(12)124x y -+= 所以动点P 的轨迹是以点(12,0)为圆心，以．6．解：（I ）由题意；可设所求椭圆的标准方程为22a x +122=by )0(>>b a ；其半焦距6=c ．||||221PF PF a +=56212112222=+++=； ∴=a 53；93645222=-=-=c a b ；故所求椭圆的标准方程为452x +192=y ；（II ）点P （5；2）、1F （－6；0）、2F （6；0）关于直线y ＝x 的对称点分别为：)5,2(P '、'1F （0；-6）、'2F （0；6）设所求双曲线的标准方程为212a x -1212=b y )0,0(11>>b a ；由题意知半焦距61=c ；|''||''|2211F P F P a -=54212112222=+-+=； ∴=1a 52；162036212121=-=-=a c b ；故所求双曲线的标准方程为202y -1162=x ．点评：本题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算能力7．解：该公司调8辆A 型车；成本最低．8．解：对称，关于直线、圆上两点04=+-y kx Q P，，）（），即有，经过圆心（直线20432132104=∴=+--⋅-=+-∴k k y kx ），，（），，（，方程为设直线221121y x Q y x P t x y PQ +-= 036445036212222=+-+--⎪⎩⎪⎨⎧=+-+++-=t t x t x y y x y x t x y ）（得消，，由. ，）（，）（536454422121+-=-=+∴t t x x t x x0121212211=+-=⋅∴⊥y y x x x y x y OQ OP 即， . ，，t x y t x y +-=+-=22112121 021212121=+-+-+∴））（（t x t x x x，）（）（，）（即054421536445021452222121=+--+-⋅∴=++-t t t t t t x x t x x 化简得45230152282==∴=+-t t t t 或，054203245212321=-+=-++-=+-=∴y x y x x y x y PQ 或即或方程为直线.9．解：设A 类药x 片；B 类药y 片；由题意⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈≥∈≥≥+≥+≥+，且，且N y y N x x y x y x y x 00,286,7075,122 y x 、∴满足的可行域如图两类药片的最小总数y x z +=由图象可知；最小总数应在B 点附近可行域内的整点处取得.)980,914(,980,914,7075,122B y x y x y x ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+ 在B 点附近可行域内的整点有C （1；10）；D （2；9）；E （3；8）；F （4；8）.∴两类药片的最小总数是11片.设在最小总数情况下的两类药片总价格510yx w +=；)3,2,1(11==+x y x 102251110510x x x y x w -=-+=+=∴；元时有最小值当10193=∴x ；即用A 类3片B 类8片可使价格最低.。

【2020最新】人教版最新高考文科数学解析几何练习题及参考答案

教学资料范本【2020最新】人教版最新高考文科数学解析几何练习题及参考答案编辑：__________________时间：__________________(附参考答案)一．考试内容：椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程.双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质.抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质.二．考试要求：掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程.掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质.掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质.了解圆锥曲线的初步应用.【注意】圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学的重点内容，高考中主要出现三种类型的试题：①考查圆锥曲线的概念与性质；②求曲线方程和轨迹；③关于直线与圆锥曲线的位置关系的问题.三．基础知识:椭圆及其标准方程椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点、的距离的和大于||这个条件不可忽视.若这个距离之和小于||，则这样的点不存在；若距离之和等于||，则动点的轨迹是线段.2.椭圆的标准方程：（＞＞0），（＞＞0）.3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果项的分母大于项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上.4.求椭圆的标准方程的方法：⑴正确判断焦点的位置；⑵设出标准方程后，运用待定系数法求解.椭圆的简单几何性质椭圆的几何性质：设椭圆方程为（＞＞0）.⑴范围： -a≤x≤a，-b≤x≤b，所以椭圆位于直线x=和y=所围成的矩形里. ⑵对称性：分别关于x轴、y轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.⑶顶点：有四个（-a，0）、（a，0）（0，-b）、（0，b）.线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.⑷离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e＜1.e越接近于1时，椭圆越扁；反之，e越接近于0时，椭圆就越接近于圆.2.椭圆的第二定义⑴定义：平面内动点M与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数（e＜1＝时，这个动点的轨迹是椭圆.⑵准线：根据椭圆的对称性，（＞＞0）的准线有两条，它们的方程为.对于椭圆（＞＞0）的准线方程，只要把x换成y就可以了，即.3.椭圆的焦半径：由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.设（-c，0），（c，0）分别为椭圆（＞＞0）的左、右两焦点，M（x，y）是椭圆上任一点，则两条焦半径长分别为，.椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便.椭圆的四个主要元素a、b、c、e中有=+、两个关系，因此确定椭圆的标准方程只需两个独立条件.4.椭圆的参数方程椭圆（＞＞0）的参数方程为（θ为参数）.说明⑴这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P的离心角θ与直线OP的倾斜角α不同：；⑵椭圆的参数方程可以由方程与三角恒等式相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换. 92.椭圆的参数方程是.5.椭圆的的内外部（1）点在椭圆的内部.（2）点在椭圆的外部.6. 椭圆的切线方程椭圆上一点处的切线方程是.（2）过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是.（3）椭圆与直线相切的条件是双曲线及其标准方程双曲线的定义：平面内与两个定点、的距离的差的绝对值等于常数2a（小于||）的动点的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a＜||，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=||，则动点的轨迹是两条射线；若2a＞||，则无轨迹.若＜时，动点的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若＞时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.双曲线的标准方程：和（a＞0，b＞0）.这里，其中||=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.3.双曲线的标准方程判别方法是：如果项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴正确判断焦点的位置；⑵设出标准方程后，运用待定系数法求解.双曲线的简单几何性质双曲线的实轴长为2a，虚轴长为2b，离心率＞1，离心率e越大，双曲线的开口越大.双曲线的渐近线方程为或表示为.若已知双曲线的渐近线方程是，即，那么双曲线的方程具有以下形式：，其中k是一个不为零的常数.双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于1的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线，它的焦点坐标是（-c，0）和（c，0），与它们对应的准线方程分别是和.双曲线的焦半径公式，.双曲线的内外部点在双曲线的内部.点在双曲线的外部.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为渐近线方程：.若渐近线方程为双曲线可设为.若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）.双曲线的切线方程双曲线上一点处的切线方程是.（2）过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是.（3）双曲线与直线相切的条件是.抛物线的标准方程和几何性质1．抛物线的定义：平面内到一定点（F）和一条定直线（l）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。

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解析几何单元易错题练习(附参考答案)一．考试内容：椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程. 双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质. 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质. 二．考试要求：掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程. 掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质. 掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质. 了解圆锥曲线的初步应用.【注意】圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学的重点内容，高考中主要出现三种类型的试题：①考查圆锥曲线的概念与性质；②求曲线方程和轨迹；③关于直线与圆锥曲线的位置关系的问题. 三．基础知识: 椭圆及其标准方程椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点1F 、2F 的距离的和大于|1F 2F |这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|1F 2F |，则这样的点不存在；若距离之和等于|1F 2F |，则动点的轨迹是线段1F 2F .2.椭圆的标准方程：12222=+b y a x （a ＞b ＞0），12222=+b x a y （a ＞b ＞0）.3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果2x 项的分母大于2y 项的分母，则椭圆的焦点在x 轴上，反之，焦点在y 轴上.4.求椭圆的标准方程的方法：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解. 椭圆的简单几何性质椭圆的几何性质：设椭圆方程为12222=+b y a x （a ＞b ＞0）.⑴ 范围： -a ≤x ≤a ，-b ≤x ≤b ，所以椭圆位于直线x=a ±和y=b ±所围成的矩形里. ⑵ 对称性：分别关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. ⑶ 顶点：有四个1A （-a ，0）、2A （a ，0）1B （0，-b ）、2B （0，b ）.线段1A 2A 、1B 2B 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.⑷ 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比a ce =叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e ＜1.e 越接近于1时，椭圆越扁；反之，e 越接近于0时，椭圆就越接近于圆. 2.椭圆的第二定义⑴ 定义：平面内动点M 与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数a ce =（e ＜1＝时，这个动点的轨迹是椭圆.⑵ 准线：根据椭圆的对称性，12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的准线有两条，它们的方程为c a x 2±=.对于椭圆12222=+b x a y （a ＞b ＞0）的准线方程，只要把x 换成y 就可以了，即c a y 2±=. 3.椭圆的焦半径：由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.设1F （-c ，0），2F （c ，0）分别为椭圆12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的左、右两焦点，M （x ，y ）是椭圆上任一点，则两条焦半径长分别为exa MF +=1，exa MF -=2.椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便.椭圆的四个主要元素a 、b 、c 、e 中有2a =2b +2c 、a ce =两个关系，因此确定椭圆的标准方程只需两个独立条件.4.椭圆的参数方程椭圆12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）. 说明 ⑴ 这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P 的离心角θ与直线OP 的倾斜角α不同：θαtan tan a b=；⑵ 椭圆的参数方程可以由方程12222=+b y a x 与三角恒等式1sin cos 22=+θθ相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换. 92.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩. 5.椭圆的的内外部（1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ⇔+<. （2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的外部2200221x y a b ⇔+>.6. 椭圆的切线方程椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b +=.（2）过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y y a b +=.（3）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c +=双曲线及其标准方程双曲线的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数2a （小于|1F 2F |）的动点M 的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a ＜|1F 2F |，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=|1F 2F |，则动点的轨迹是两条射线；若2a ＞|1F 2F |，则无轨迹. 若1MF ＜2MF 时，动点M 的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若1MF ＞2MF 时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.双曲线的标准方程：12222=-b y a x 和12222=-b x a y （a ＞0，b ＞0）.这里222a c b -=，其中|1F 2F |=2c.要注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.3.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.双曲线的简单几何性质双曲线12222=-b y a x 的实轴长为2a ，虚轴长为2b ，离心率a c e =＞1，离心率e 越大，双曲线的开口越大. 双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程为x a b y ±=或表示为02222=-b y a x .若已知双曲线的渐近线方程是x n my ±=，即0=±ny mx ，那么双曲线的方程具有以下形式：k y n x m =-2222，其中k 是一个不为零的常数.双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于1的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线12222=-b y a x ，它的焦点坐标是（-c ，0）和（c ，0），与它们对应的准线方程分别是c a x 2-=和c a x 2=.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式 21|()|a PF e x c =+，22|()|a PF e x c =-.双曲线的内外部点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->. 点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ⇔-<.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x a b y ±=. 若渐近线方程为x a by ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x .若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222b y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y轴上）.双曲线的切线方程双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b -=.（2）过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y y a b -=.（3）双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c -=.抛物线的标准方程和几何性质1．抛物线的定义：平面内到一定点（F ）和一条定直线（l ）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。

2024高考数学全国甲卷解析(文科)(1)

2024年普通高等学校招生全国统一考试全国甲卷文科数学使用范围:陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川注意事项:1.答题前,务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时,必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号.3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.5.考试结束后,只将答题卡交回.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.集合{}{}1,2,3,4,5,9,1A B x x A ==+∈∣,则()A B ⋂=A {}1,2,3,4B {}1,2,3,4C {}1,2,3,4D {}1,2,3,4【答案】A【解析】因为{}{}{}1,2,3,4,5,9,10,1,2,3,4,8A B x x A ==+∈=∣,所以A {}1,2,3,4B ⋂=,故选(A ). 【难度】基础题【关联题点】集合运算、交集 2.设z =则()z z ⋅=A .iB .1C .-1D .2【答案】D【解析】因为z =,所以2z z ⋅=,故选D .【难度】基础题【关联题点】复数运算、共轭复数3.若,x y 满足约束条件4330,220,2690,x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩则5z x y =-的最小值为A .12B .0C .52-D .72-【答案】D【解析】将约束条件两两联立可得3个交点:()30,1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭、和13,2⎛⎫ ⎪⎝⎭,经检验都符合约束条件.代入目标函数可得:min 72z =-,故选D . 【难度】基础题【关联题点】线性规划、约束条件4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若()9371,S a a =+=A -2 B73 C 1D29【答案】D【解析】令0d =,则9371291,,99n n S a a a a ===+=,故选D . 【难度】基础题【关联题点】等差数列、通项公式5.甲、乙、丙、丁四人排成一列,丙不在排头,且甲或乙在排尾的概率是() A14B13C12D23【答案】B【解析】甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种可能.丙不在排头,且甲或乙在排尾的共有8种可能,81243P ==,故选B . 【难度】基础题【关联题点】计数原理、特殊位置法6.已知双曲线的两个焦点分别为()()0,4,0,4-,点()6,4-在该双曲线上,则该双曲线的离心率为 A .4 B .3C .2D .2【答案】C 【解析】12212F F c e a PF PF ===-,故选C . 【难度】中档题【关联题点】双曲线、离心率、圆锥曲线定义7.曲线()63f x x x =+在()0,1-处的切线与坐标轴围成的面积为()A16B32C12【答案】A【解析】因为563y x '=+,所以1113,31,1236k y x S ==-=⨯⨯=,故选(A ). 【难度】基础题【关联题点】导数应用、切线8.函数()()2e esin xxf x x x -=-+-的大致图像为()ABCD【答案】B【解析】()()()()22-ee sin()e e sin xx x x f x x x x x f x --=-+--=-+-=，所以()f x 是偶函数，图像关于y 轴对称，又因为2()0()22n n f n Z ππ⎛⎫=-<∈ ⎪⎝⎭，观察图像知选B 【难度】中档题【关联题点】函数的奇偶性、函数图像9.已知cos cos sin ααα=-则()tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭A .1B 1C D 1【答案】B【解析】因为cos cos sin ααα=-所以tan 1tan 1tan 141tan παααα+⎛⎫=+== ⎪-⎝⎭,故选B .【难度】基础题【关联题点】三角恒等变化、两角和与差的正切公式10.找不到题目11.已知已知m n 、是两条不同的直线,αβ、是两个不同的平面:①若,m n αα⊥⊥,则//m n ;②若,//m m n αβ⋂=,则//n β;③若//,//,m n m αα与n 可能异面,也可能相交,也可能平行;④若,m n αβ⋂=与α和β所成的角相等,则m n ⊥,以上命题是真命题的是()(A )①③B 23C ①②③D ①③④ 【答案】A【解析】//m n 一定有//n α或//n β，(1)对αβ⊥时m n ⊥也有可能，n α⊂或n β⊂，(2)错.//n α且//n β一定有//m n ,(3)对n 与,αβ所成角相等，有可能，//m n ，(4)错，选A .【难度】中档题【关联题点】立体几何线面关系、线面关系的判定12.在ABC 中,内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ,若3B π=,294b ac =,则()sin sin A C += A32C2D2【答案】C 【解析】因为29,34B b ac π==,所以241sin sin sin 93A CB ==.由余弦定理可得:222b a c =+94ac ac -=,即:2222131313,sin sin sin sin 4412a c ac A C A C +=+==,所以()222sin sin sin sin A C A C +=+72sin sin ,sin sin 4A C A C +=+=故选C .【难度】中档题【关联题点】余弦定理、解三角形二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.二项式1013x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中系数的最大值是___.【答案】5【解析】1013x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式第1r +项系数1013rr C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，令第1r +项系数最大则11101011101011331133rr r r r r r r C C C C --++⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩,711,244r r ≤≤∴=,系数最大为2210153C ⎛⎫= ⎪⎝⎭.【难度】中档题【关联题点】二项式系数、组合数14.函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是___. 【答案】2【解析】()sin 2sin 23f x x x x π⎛⎫==-≤ ⎪⎝⎭,当且仅当56x π=时取等号. 【难度】中档题【关联题点】三角函数图像与性质、辅助角公式15.已知81151,log log 42a a a >-=-,则a =___. 【答案】64 【解析】因为284211315log log log log 22a a a a -=-=-, 所以()()22log 1log 60a a +-=,而1a >,故2log 6,64a a ==. 【难度】中档题【关联题点】一元二次方程、对数运算16.曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,∞+上有两个不同的交点,则a 的取值范围为___.【答案】()2,1-【解析】令()2331x x x a -=--+,则()2331a x x x =-+-,设()()()2331,x x x x x ϕϕ=--'+()()()351,x x x ϕ=+-在()1,∞+上递增,在()0,1上递减.因为曲线33y x x =-与(y x =-21)a -+在()0,∞+上有两个不同的交点,()()01,12ϕϕ==-,所以a 的取值范围为(2-,1). 【难度】较难题【关联题点】三次函数、导数、函数零点三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考题,每个考题考生必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分.17.(12分)已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1233n n S a +=-. (1)求{}n a 的通项公式; (2)求数列{}n S 的通项公式. 【答案】见解析. 【解析】(1)因为1233n n S a +=-,所以12233n n S a ++=-, 两式相减可得:1223n n a a ++=-13n a +,即:2135n n a a ++=,所以等比数列{}n a 的公比53q =,又因为12123353S a a =-=-,所以1151,3n n a a -⎛⎫== ⎪⎝⎭;(2)因为1233n n S a +=-,所以()133511223nn n S a +⎡⎤⎛⎫=-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.【难度】中档题【关联题点】数列通项公式、前n 项和与通项公式的关系18.(12分)某工厂进行生产线智能化升级改造.升级改造后,从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验,数据如下:(1)填写如下列联表:能否有95%99%的把握认为甲、乙两车间产品的估级品率存在差异?(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p =.设p 为升级改造后抽取的n 件产品的优级品率.如果p p >+,则认为该工厂产品的优级品率提高了.根据抽取的150件产品的数据,能否认为生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提高了?)12.247≈附:()()()()()()2220.0500.0100.010, 3.8416.63510.828P K k n ad bc K a b c d a c b d k ≥-=++++【答案】见解析.【解析】()()22150702426301 6.635965450100χ⨯-⨯=<⨯⨯⨯,没有99%的把握;(2)96160.6415025p === ()11112221.650.5 1.650.5 1.650.56715012.247p p p n ⨯-+=+⋅≈+⨯≈()11.65,p p p p n->+∴可以认为升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.【难度】中档题【关联题点】独立性检验、概率19.(12分)如图,已知//,//,2AB CD CD EF AB DE EF CF ====,4,10,23,CD AD BC AE M ====为CD 的中点.(1)证明://EM 平面BCF ; (2)求点M 到ADE 的距离. 【答案】见解析【解析】(1)由题意://,EF CM EF CM =,而CF 写平面,ADO EM 平面ADO ,所以EM //平面BCF ;(2)取DM 的中点O ,连结,OA OE ,则,,3,3OA DM OE DM OA OE ⊥⊥==,而23AE =,故23,3AOEOA OE S⊥=. 因为2,10DE AD ==,所以,10.AOEAD DE S DM ⊥=设点M 到平面ADE 的距离为h , 所以**1143230,33510M ADE ADEAOEV S h SDM h -====, 故点M 到ADE 的距离为2305. 【难度】中档题【关联题点】立体几何、空间向量、点到面的距离20.(12分)已知函数()()1ln 1f x a x x =--+. (1)求()f x 的单调区间;(2)若2a ≤时,证明:当1x >时,()1e x f x -<恒成立. 【答案】见解析【解析】()()()()111ln 1,,0ax f x a x x f x x x-=--+'=>. 若()()0,0,a f x f x ≤<的减区间为()0,∞+,无增区间; 若0a >时,当10x a<<时,()0f x '<, 当1x a >时,()0f x '>,所以()f x 的减区10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,增区间为1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭; (2)因为2a ≤,所以当1x >时,()()111e e 1ln 1e 2ln 1x x x f x a x x x x ----=--+-≥-++.令()g x 1e2ln 1x x x -=-++,则()11e 2x g x x-=-+'.令()()h x g x =',则()121e x h x x-=-'在()1,∞+上递增,()()10h x h '>=',所以()()h x g x ='在()1,∞+上递增,()()10g x g '>=',故()g x 在()1,∞+上递增,()()10g x g >=,即:当1x >时,()1e x f x -<恒成立.【难度】较难题【关联题点】函数极值、导数、导数解不等式21.(12分)已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为F ,点(1M ,32⎫⎪⎭在椭圆C 上,且MF x ⊥轴.(I )求椭圆C 的方程;(2)()4,0P ,过P 的直线与椭圆C 交于,A B 两点,N 为FP 的中点,直线NB 与MF 交于Q ,证明:AQ y ⊥轴. 【答案】见解析【解析】(1)设椭圆C 的左焦点为1F ,则132,2F F MF ==.因为MF x ⊥轴,所以 1MF 15,242a MF MF ==+=,解得:2224,13a b a ==-=,故椭圆C 的方程为:22143x y +=;(2)解法1:设()()1122,,,,A x y B x y AP PB λ=,则12124101x x y y λλλλ+⎧=⎪+⎪+=⎨⎪+⎪⎩,即212144x x y y λλλ=+-⎧⎨=-⎩.又由()()22112222234123412x y x y λλλ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 可得:1212121234121111x x x x y y y y λλλλλλλλ+-+-⋅⋅+⋅⋅=+-+-,结合上式可得:5λ-2230.x λ+=,则222122335252Q y y y y y x x λλλλ===-=--,故AQ y ⊥轴.解法2:设()()1122,,,A x y B x y ,则12124444x x y y ---=-,即:()1221214x y x y y y -=-,所以(12x y -)()()()222222221221122112212121214444433y y x y x y x y x y x y y y y y y y ⎛⎫⎛⎫+=-=+-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()2112214,y y x y x y =-+即:1221212112,253.x y x y y y x y y y +=+=-, 则2122112335252Q y y y y x y y x ==--1y =,AQ y ⊥轴.【难度】较难题【关联题点】解析几何、圆锥曲线、韦达定理(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,并用2B 铅笔将所选题号涂黑,多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ=cos 1ρθ+.(1)写出C 的直角坐标方程; (2)直线(x tt y t a =⎧⎨=+⎩为参数)与曲线C 交于A B 、两点,若2AB =,求a 的值.【答案】见解析.【解析】(1)因为cos 1ρρθ=+,所以()22cos 1ρρθ=+,故C 的直角坐标方程为:22(x y x +=21)+,即:221y x =+;(2)将x t y t a=⎧⎨=+⎩代入221y x =+可得:()222110,2t a t a AB +-+-====,解得:34a =. 【难度】基础题【关联题点】极坐标、参数方程23.[选修4-5:不等式选讲](10分)实数,a b 满足3a b +≥. (1)证明:2222a b a b +>+; (2)证明:22226a b b a -+-≥. 【答案】见解析.【解析】(1)因为3a b +≥,所以()22222a b a b a b +≥+>+;(2)()222222222222a b b a a b b a a b a b -+-≥-+-=+-+()()()()()2222216a b a b a b a b a b a b =+-+≥+-+=++-≥【难度】较难题【关联题点】基本不等式、绝对值不等式。

2020版高考文科数学第一轮复习练习：第九章解析几何课后跟踪训练59 Word版含解析

课后跟踪训练(五十九)基础巩固练一、选择题1．已知M (－2,0)，N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＋y 2＝2B ．x 2＋y 2＝4C ．x 2＋y 2＝2(x ≠±2)D ．x 2＋y 2＝4(x ≠±2)[解析]　MN 的中点为原点O ，易知|OP |＝|MN |＝2，12∴P 的轨迹是以原点O 为圆心，以r ＝2为半径的圆，除去与x 轴的两个交点．故选D ．[答案]　D2．已知两点M (－2,0)，N (2,0)，点P 为坐标平面内的动点，满足||·||＋·＝0，则动点P (x ，y )的轨迹方程为( )MN → MP → MN → NP →A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x[解析]　设点P 的坐标为(x ，y )，则＝(4,0)，＝(x ＋2，y )，MN → MP →＝(x －2，y )．NP →∴||＝4，||＝，·＝4(x －2)．根据已知条MN → MP → (x ＋2)2＋y 2MN → NP →件得4＝4(2－x )．(x ＋2)2＋y 2整理得y 2＝－8x ，∴点P 的轨迹方程为y 2＝－8x .故选B ．[答案]　B3．(2019·浙江杭州七校质量检测)F 1，F 2是双曲线的两个焦点，Q 是双曲线上任意一点，从焦点F 1引∠F 1QF 2的平分线的垂线，垂足为P ，则点P 的轨迹为( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线[解析]　当点Q 在双曲线右支上时，延长F 1P 交直线QF 2于点S ，∵QP 是∠F 1QF 2的角平分线，且QP ⊥F 1S ，∴P 是F 1S 的中点．∵O 是F 1F 2的中点，PO 是△F 1SF 2的中位线，∴|PO |＝|F 2S |＝(|QS |－1212|QF 2|)＝(|QF 1|－|QF 2|)＝a ，∴点P 的轨迹为圆．同理当点Q 在双曲12线左支时，点P 的轨迹仍是圆．故选B ．[答案]　B4．平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足＝λ1＋λ2(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C OC → OA → OB →的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线[解析]　设C (x ，y )，因为＝λ1＋λ2，所以(x ，y )＝λ1(3,1)＋OC → OA → OB →λ2(－1,3)，即Error!解得Error!又λ1＋λ2＝1，所以＋＝1，即x ＋2y ＝5，y ＋3x 103y －x10所以点C 的轨迹为直线，故选A ．[答案]　A5．已知F 是抛物线y ＝x 2的焦点，P 是该抛物线上的动点，则14线段PF 中点的轨迹方程是( )A ．x 2＝2y －1B ．x 2＝2y －116C ．x 2＝y －D ．x 2＝2y －212[解析]　把抛物线方程y ＝x 2化成标准形式x 2＝4y ，可得焦点14F (0,1)，设P (x 0，y 0)，PF 的中点M (x ，y )．由中点坐标公式得Error!∴Error!又∵P (x 0，y 0)在抛物线y ＝x 2上，14∴2y －1＝(2x )2，即x 2＝2y －1.故选A ．14[答案]　A 二、填空题6．一条线段AB 的长为2，两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，则线段AB 的中点的轨迹是__________．[解析]　解法一：设A (a,0)，B (0，b )，AB 中点为M (x ，y )，则a ＝2x ，b ＝2y ，由|AB |＝2，得＝2，即x 2＋y 2＝1.故AB 中点的轨迹为单位(2x －0)2＋(0－2y )2圆．解法二：当A ，B 分别在x 轴，y 轴上时，由直角三角形AOB 斜边上的中线等于斜边的一半可知，中点到原点的距离为1.当点A 或B 与原点重合时，中点到原点的距离也是1，故中点轨迹为单位圆．[答案]　圆7．在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，A (－2,0)，B (2,0)，点P 为动点，且直线AP 与直线BP 的斜率之积为－，则动点P 的34轨迹C 的方程为__________．[解析]　设P 点的坐标为(x ，y )．∵A (－2,0)，B (2,0)，直线AP 与直线BP 的斜率之积为－，34∴·＝－(x ≠±2)．y x ＋2y x －234化简整理得P 点的轨迹C 的方程为＋＝1(x ≠±2)．x 24y 23[答案]　＋＝1(x ≠±2)x 24y 238．(2019·江西红色七校二模)已知动圆C 过点A (－2,0)，且与圆M ：(x －2)2＋y 2＝64相内切，则动圆C 的圆心的轨迹方程为________．[解析]　圆M ：(x －2)2＋y 2＝64，圆心M 的坐标为(2,0)，半径R ＝8.因为|AM |＝4<R ，所以点A (－2,0)在圆M 内．设动圆C 的半径为r ，依题意得r ＝|CA |，且|CM |＝R －r ，即|CM |＋|CA |＝8>|AM |.所以圆心C 的轨迹是中心在原点，焦点为A ，M ，长轴长为8的椭圆，设其方程为＋＝1(a >b >0)，则a ＝4，c ＝2.所以b 2＝a 2－c 2＝x 2a 2y 2b 212.所以动圆C 的圆心的轨迹方程为＋＝1.x 216y 212[答案]　＋＝1x 216y 212三、解答题9．在直角坐标系xOy 上取两个定点A 1(－2,0)，A 2(2,0)，再取两个动点N 1(0，m )，N 2(0，n )，且mn ＝3，求直线A 1N 1与A 2N 2交点的轨迹M 的方程．[解]　依题意知直线A 1N 1的方程为y ＝(x ＋2)①m2直线A 2N 2的方程为y ＝－(x －2)②n2设Q (x ，y )是直线A 1N 1与A 2N 2交点，①×②得y 2＝－(x 2－4)．mn 4由mn ＝3，整理得＋＝1.x 24y 23∵N 1，N 2不与原点重合，∴点A 1(－2,0)，A 2(2,0)不在轨迹M 上，∴轨迹M 的方程为＋＝1(x ≠±2)．x 24y 2310．如图，从双曲线x 2－y 2＝1上一点Q 引直线x ＋y ＝2的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P的轨迹方程．[解]　设动点P 的坐标为(x ，y )，点Q 的坐标为(x 1，y 1)，则N 点的坐标为(2x －x 1,2y －y 1)．∵N 在直线x ＋y ＝2上，∴2x －x 1＋2y －y 1＝2.①又∵PQ 垂直于直线x ＋y ＝2，∴＝1，即x －y ＋y 1－x 1＝0，②y －y 1x －x 1①、②联立解得Error!③又点Q 在双曲线x 2－y 2＝1上，∴x －y ＝1.④2121③代入④，得动点P 的轨迹方程是2x 2－2y 2－2x ＋2y －1＝0.能力提升练11．在直角坐标平面内，已知两点A (－2,0)，B (2,0)，动点Q 到点A 的距离为6，线段BQ 的垂直平分线交AQ 于点P ，则点P 的轨迹方程是( )A ．＋＝1B ．＋＝1x 25y 29x 29y 25C ．＋＝1D ．＋＝1x 28y 24x 24y 28[解析]　连接PB ，因为线段BQ 的垂直平分线交AQ 于点P ，所以|PB |＝|PQ |，又|AQ |＝6，所以|PA |＋|PB |＝|AQ |＝6，又|PA |＋|PB |>|AB |，从而点P 的轨迹是中心在原点，以A ，B 为焦点的椭圆，其中2a ＝6,2c ＝4，所以b 2＝9－4＝5，所以椭圆方程为＋＝1.故选B ．x 29y25[答案]　B12．(2018·安徽六安一中第四次月考)平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是( )A ．一条直线B ．一个圆C ．一个椭圆D ．双曲线的一支[解析]　过定点A 与AB 垂直的动直线l 组成一个平面，该平面与平面α交于一条直线，故动点C 的轨迹是一条直线．故选A ．[答案]　A13．P 是椭圆＋＝1上的任意一点，F 1，F 2是它的两个焦点，Ox 24y 23为坐标原点，有一动点Q 满足＝＋，则动点Q 的轨迹方程OQ → PF 1→ PF 2→是__________．[解析]　由＝＋，OQ → PF 1→ PF 2→又＋＝＝2＝PF 1→ PF 2→ PM → PO → －2，OP → 设Q (x ，y )，P (x 0，y 0)，由＝－，OP →12OQ → 则(x 0，y 0)＝，∴Error!(－x 2，－y2)又P 在椭圆上，则有＋＝1，(－x 2)24(－y 2)23即＋＝1.x 216y 212[答案]　＋＝1x 216y 21214．如图，P 是圆x 2＋y 2＝4上的动点，P 点在x 轴上的射影是D ，点M 满足＝.DM →12DP →(1)求动点M 的轨迹C 的方程，并说明轨迹是什么图形．(2)过点N (3,0)的直线l 与动点M 的轨迹C 交于不同的两点A ，B ，求以OA ，OB 为邻边的平行四边形OAEB 的顶点E 的轨迹方程．[解]　(1)设M (x ，y )，则D (x,0)，由＝知P (x,2y )，DM →12DP →∵点P 在圆x 2＋y 2＝4上，∴x 2＋4y 2＝4，故动点M 的轨迹C 的方程为＋y 2＝1，且轨迹Cx24为椭圆．(2)设E (x ，y )，由题意知l 的斜率存在，设l ：y ＝k (x －3)，代入＋y2x 24＝1，得(1＋4k 2)x 2－24k 2x ＋36k 2－4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝，24k 21＋4k 2∴y 1＋y 2＝k (x 1－3)＋k (x 2－3)＝k (x 1＋x 2)－6k ＝－6k ＝.24k 31＋4k 2－6k 1＋4k 2∵四边形OAEB 为平行四边形，∴＝＋＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)OE → OA → OB →＝，(24k 21＋4k 2，－6k 1＋4k2)又＝(x ，y )，∴Error!OE →消去k 得，x 2＋4y 2－6x ＝0，由Δ＝(－24k 2)2－4(1＋4k 2)(36k 2－4)>0得，k 2<，∴0<x <.1583∴顶点E 的轨迹方程为x 2＋4y 2－6x ＝0.(0<x <83)拓展延伸练15．已知A ，B 为平面内两定点，过该平面内动点M 作直线AB的垂线，垂足为N .若M 2＝λ·N ，其中λ为常数，则动点M 的N → AN → B →轨迹不可能是( )A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线[解析]　以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立坐标系，设M (x ，y )，A (－a,0)，B (a,0)，则N (x,0)．因为M 2＝λ·N ，N → AN → B →所以y 2＝λ(x ＋a )(a －x )，即λx 2＋y 2＝λa 2，当λ＝1时，轨迹是圆；当λ>0且λ≠1时，轨迹是椭圆；当λ<0时，轨迹是双曲线；当λ＝0时，轨迹是直线．综上，动点M 的轨迹不可能是抛物线．故选C ．[答案]　C16．△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3，上，则顶点C 的轨迹方程为__________．[解析]　如图，|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝8－2＝6<10.根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，轨迹方程为－＝1(x >3)．x 29y 216[答案]　－＝1(x >3)x 29y 216。

2020版高考文科数学第一轮复习练习：第九章解析几何课后跟踪训练54 Word版含解析

课后跟踪训练(五十四)基础巩固练一、选择题1．“－3<m <5”是“方程＋＝1表示椭圆”的( )x 25－m y 2m ＋3A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析]　要使方程＋＝1表示椭圆，只需满足Error!解x 25－m y 2m ＋3得－3<m <5且m ≠1，因此，“－3<m <5”是“方程＋＝1x 25－m y 2m ＋3表示椭圆”的必要不充分条件．故选B.[答案]　B2．设F 1，F 2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P 为椭圆上x 225y 216一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( )A ．4B ．3C ．2D ．5[解析]　连接PF 2，由题意知，a ＝5，在△PF 1F 2中，|OM |＝|PF 2|＝123，∴|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝10－6＝4.故选A.[答案]　A3．已知椭圆＋＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，点P 在该椭圆x 24y 22上，若|PF 1|－|PF 2|＝2，则△PF 1F 2的面积是( )A.B ．2C ．2D.223[解析]　由椭圆的方程可知a ＝2，c ＝，且|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，2又|PF 1|－|PF 2|＝2，所以|PF 1|＝3，|PF 2|＝1.又|F 1F 2|＝2c ＝2，所以2有|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，即△PF 1F 2为直角三角形，所以S △PF 1F 2＝|F 1F 2|·|PF 2|＝×2×1＝.故选A.121222[答案]　A4．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的左、右顶点x 2a 2y 2b 2分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A. B. C. D.63332313[解析]　以线段A 1A 2为直径的圆的圆心为坐标原点(0,0)，半径为r ＝a ，圆的方程为x 2＋y 2＝a 2，直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即：d ＝a ，2ab a 2＋b 2整理可得a 2＝3b 2，即a 2＝3(a 2－c 2)，2a 2＝3c 2，从而e 2＝＝，椭圆的离心率e ＝＝＝，c 2a 223ca2363故选A.[答案]　A5．(2019·上海崇明一模)如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－2，0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |且|PF |＝4，则5椭圆C 的方程为( )A.＋＝1B.＋＝1x 225y 25x 230y 210C.＋＝1 D.＋＝1x 236y 216x 245y 225[解析]　依题意，设椭圆方程为＋＝1(a >b >0)，右焦点为F ′，x 2a 2y 2b 2连接PF ′.由已知，半焦距c ＝2.又由|OP |＝|OF |＝|OF ′|，知∠FPF ′＝590°.在Rt △PFF ′中，|PF ′|＝＝＝8.由|FF ′|2－|PF |2(45)2－42椭圆的定义可知2a ＝|PF |＋|PF ′|＝4＋8＝12，所以a ＝6，于是b 2＝a 2－c 2＝62－(2)2＝16，故所求椭圆方程为＋＝1，故选C.5x 236y216[答案]　C 二、填空题6．(2019·安徽黄山一模)已知圆(x －2)2＋y 2＝1经过椭圆＋＝x 2a 2y 2b 21(a >b >0)的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率e ＝________.[解析]　圆(x －2)2＋y 2＝1经过椭圆＋＝1(a >b >0)的一个顶点x 2a 2y 2b 2和一个焦点，故椭圆的一个焦点为F (1,0)，一个顶点为A (3,0)，所以c ＝1，a ＝3，因此椭圆的离心率为.13[答案]　137．(2018·北京朝阳模拟)已知椭圆＋＝1(a >b >0)的一个焦点是x 2a 2y 2b 2F (1,0)，若椭圆短轴的两个三等分点M ，N 与F 构成正三角形，则此椭圆的方程为__________．[解析]　由△FMN 为正三角形，得c ＝|OF |＝|MN |＝×b ＝3232231.解得b ＝，∴a 2＝b 2＋c 2＝4.故椭圆的方程为＋＝1.3x 24y 23[答案]　＋＝1x 24y 238．从椭圆＋＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左x 2a 2y 2b 2焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是________．[解析]　由已知，点P (－c ，y ) 在椭圆上，代入椭圆方程，得P.∵AB ∥OP ，∴k AB ＝k OP ，即－＝－，则b ＝c ，∴a 2＝b 2＋c 2(－c ，b 2a )b a b 2ac ＝2c 2，则＝，即该椭圆的离心率是.ca 2222[答案]　22三、解答题9．F 1、F 2分别是椭圆＋＝1(a >b >0)的左、右焦点，椭圆上的x 2a 2y 2b 2点到F 2的最近距离为4，最远距离为16.(1)求椭圆方程；(2)P 为该椭圆上一点，且∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．[解]　(1)依题意知Error!，∴a ＝10，c ＝6.∴b ＝8.∴所求椭圆方程为：＋＝1.x 2100y 264(2)∵∠F 1PF 2＝60°，∴|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos60°，即|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|＝144.∴(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1|·|PF 2|＝144.又|PF 1|＋|PF 2|＝20，∴|PF 1|·|PF 2|＝.2563∴S △F 1PF 2＝|PF 1|·|PF 2|·sin60°12＝××＝.12256332643310．(2019·湖南长沙望城一中第三次调研)P 为圆A ：(x ＋1)2＋y 2＝8上的动点，点B (1,0)．线段PB 的垂直平分线与半径PA 相交于点M ，记点M 的轨迹为Γ.(1)求曲线Γ的方程；(2)当点P 在第一象限，且cos ∠BAP ＝时，求点M 的坐标．223[解]　(1)圆A 的圆心为A (－1,0)，半径等于2.2由已知得|MB |＝|MP |，所以|MA |＋|MB |＝|MA |＋|MP |＝2，2故曲线Γ是以A ，B 为焦点，以2为长轴长的椭圆，设Γ的2方程为＋＝1(a >b >0)，a ＝，c ＝1，b ＝1，x 2a 2y 2b 22所以曲线Γ的方程为＋y 2＝1.x 22(2)由点P 在第一象限，cos ∠BAP ＝，|AP |＝2，得P2232.(53，223)于是直线AP 的方程为y ＝(x ＋1)．24代入椭圆方程，消去y ，可得5x 2＋2x －7＝0，即(5x ＋7)(x －1)＝0.所以x 1＝1，x 2＝－.因为点M 在线段AP 上，75所以点M 的坐标为.(1，22)能力提升练11．(2018·辽宁大连二模)焦点在x 轴上的椭圆方程为＋＝x 2a 2y 2b 21(a >b >0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为( )b3A. B. C. D.14131223[解析]　由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，又由三角形面积公式得×2c ·b ＝(2a ＋2c )·，得a ＝2c ，即e ＝＝，1212b 3c a 12故选C.[答案]　C12．(2019·广西桂林期末)若点O 和点F 分别为椭圆＋＝1的x 24y 23中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则·的最大值为( )OP → FP →A ．2B ．3C ．6D ．8[解析]　设点P (x 0，y 0)，则＋＝1，即y ＝3－.又因为点F (－x 204y 203203x 2041,0)，所以·＝x 0(x 0＋1)＋y ＝x ＋x 0＋3＝(x 0＋2)2＋2.又x 0∈OP → FP → 20142014[－2,2]，所以(·)max ＝6.故选C.OP → FP →[答案]　C13．(2019·云南昆明质检)椭圆＋＝1上的一点P 到两焦点的x 29y 225距离的乘积为m ，当m 取最大值时，点P 的坐标是________．[解析]　记椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，有|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.则m ＝|PF 1|·|PF 2|≤2＝25，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝5，即(|PF 1|＋|PF 2|2)点P 位于椭圆的短轴的顶点处时，m 取得最大值25.所以点P 的坐标为(－3,0)或(3,0)．[答案]　(－3,0)或(3,0)14．已知椭圆＋＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，x 2a 2y 2b 2A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率．(2)若＝2，·＝，求椭圆的方程．AF 2→ F 2B → AF 1→ AB → 32[解]　(1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有OA ＝OF 2，即b ＝c .所以a ＝c ，e ＝＝.2c a 22(2)由题知A (0，b )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝，设B (x ，y )．a 2－b 2由＝2，得(c ，－b )＝2(x －c ，y )，AF 2→ F 2B →解得x ＝，y ＝－，即B .3c 2b 2(3c 2，－b2)将B 点坐标代入＋＝1，得＋＝1，即＋＝1，解得a 2＝x 2a 2y 2b 294c 2a 2b 24b 29c 24a 2143c 2①.又由·＝(－c ，－b )·＝，AF 1→ AB →(3c 2，－3b 2)32得b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1②由①②解得c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2.所以椭圆的方程为＋＝1.x 23y 22拓展延伸练15．(2019·广东中山一模)设椭圆：＋＝1(a >b >0)的右顶点为A ，x 2a 2y 2b 2右焦点为F ，B 为椭圆在第二象限内的点，直线BO 交椭圆于点C ，O 为原点，若直线BF 平分线段AC ，则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.12131415[解析]　如图，设点M 为AC 的中点，连接OM ，则OM 为△ABC 的中位线，于是△OFM ∽△AFB ，且＝＝，即＝，解|OF ||FA ||OM ||AB |12c a －c 12得e ＝＝.故选B.c a 13[答案]　B16．(2019·浙江温州模拟)正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆＋x 2a 2＝1(a >b >0)上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的y 2b2取值范围是( )A. B.(5－12，1)(0，5－12)C.D.(3－12，1)(0，3－12)[解析]　设正方形的边长为2m ，∵椭圆的焦点在正方形的内部，∴m >c .又正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆＋＝1(a >b >0)上，∴x 2a 2y 2b 2＋＝1>＋＝e 2＋，整理得e 4－3e 2＋1>0，e 2<＝m 2a 2m 2b 2c 2a 2c 2b 2e 21－e 23－52，(5－1)24∴0<e <.故选B.5－12[答案]　B。

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25 高三数学训练题及解答（解析几何1）一、非解答题1 (10安徽文)过点(1, 0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是( )(A) x-2y-l=0(B)x-2y+l=0(C)2x+y-2=0(D) x+2y-l=0【解析】设直线方程为x —2y + c = 0,又经过（1,0）,故c = —1,所求方程为x-2y-l = 0.【方法技巧】因为所求直线与与直线x-2y-2=0平行，所以设平行直线系方程为x-2y + c = 0 ,代入此直线所过的点的坐标，得参数值，进而得直线方程.也可以用验证法，判断四个选项中方程哪一个过点（1, 0）且与直线x-2y-2=0平行.2. （02全国）椭圆5x 2+ky 2=5的一个焦点是（0, 2）,那么斤等于（）A. — 1B.lC. A /5D. —y/~525解：椭圆方程可化为：#+'=1•.•焦点（0, 2）在y 轴上，.•<2=—，b 2=l,£ kk又 c 2=a 2—Z?2=4, /. k= 1Y 2 y 23、（98全国）椭圆—+ ^-=1的焦点为Fi 和尸2，点P 在椭圆上•如果线段PFi 的中点在y 轴上，那么是卩砂的（） A.7倍B.5倍C.4倍D.3倍解析：不妨设几7。

），兔（3, 0）由条件得P （3, ±亍，即阳盲因此卩刊=7卩砂，故选A.4. （09江西）过椭圆l + £ = l （a 〉b 〉0）的左焦点耳作x 轴的垂线交椭圆于点P ,瑪为右焦点, a" b~则椭圆的离心率为（解：因P （-c,±—）,再由ZF {PF 2=60°有竺= 2a,从而可得e = - = — ,故选Ba aa 32 25、（11辽宁理14文16）设椭圆—+ ^ = 1上一点P 到左准线的距离为10, F 是该椭圆的左焦点,解析：椭圆—+ = 1左准线为% = ,左焦点为（-3, 0）, P （二土型），由已知M为PF25 16 3 3 3中点，M （—彳，土芈），所以\OM\= ^（-|）2+（±^-）2 =26（10上海文）圆C:x2 + y2-2x-4y + 4 = 0的圆心至Q直线3x + 4y + 4 = 0的距离d = ______ 。

高三文科数学(解析几何)练习

高三文科数学（解析几何）练习1.已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的离心率2e =，原点到过点(,0)A a ，(0,)B b -的直线的距离是5. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线1y kx =+(0)k ≠交椭圆C 于不同的两点E ，F ，且E ，F 都在以B 为圆心的圆上,求k 的值.解(Ⅰ)因为2c a =，222a b c -=，所以2a b =. ………………………………………………2分因为原点到直线AB ：1x y a b -=的距离5d ==，解得4a =，2b =. ………………………………………………5分故所求椭圆C 的方程为221164x y +=. ………………………………………………6分 (Ⅱ) 由题意 221,1164y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得 22(14)8120k x kx ++-=. ………………………………………………7分可知0∆>. ………………………………………………8分设11(,)E x y ，22(,)F x y ，EF 的中点是(,)M M M x y ，则1224214M x x k x k +-==+，21114M M y kx k =+=+.……………………………10分所以21M BM M y k x k +==-. ………………………………………………11分所以20M M x ky k ++=. 即224201414k k k k k-++=++. 又因为0k ≠，所以218k =.所以4k =±. ………………………………13分2.已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点恰好是边长为2，一内角为60 的菱形的四个顶点. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）若直线y kx =交椭圆C 于,A B 两点，且在直线:30l x y +-=上存在点P ，使得PAB ∆为等边三角形，求k 的值.解：(I)因为椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60 的菱形的四个顶点,所以1a b ==,椭圆C 的方程为2213x y +=………………4分 (II)设11(,),A x y 则11(,),B x y --当直线AB 的斜率为0时，AB 的垂直平分线就是y 轴，y 轴与直线:30l x y +-=的交点为(0,3)P ,又因为|||3AB PO ==，所以60PAO ∠= ，所以PAB ∆是等边三角形,所以直线AB 的方程为0y =………………6分当直线AB 的斜率存在且不为0时，设AB 的方程为y kx = 所以2213x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，化简得22(31)3k x += 所以1||x =||AO ==8分设AB 的垂直平分线为1y x k=-，它与直线:30l x y +-=的交点记为00(,)P x y 所以31y x y x k =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得003131k x k y k ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩,则||PO =10分因为PAB ∆为等边三角形，所以应有|||PO AO =代入得到0k =（舍），1k =-……………13分综上，0k =或1k =-………………14分3.已知椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>的右焦点F (1,0)，长轴的左、右端点分别为12,A A ,且121FA FA ⋅=- . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过焦点F 斜率为k (0)k ≠的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，弦AB 的垂直平分线与x 轴相交于点D .试问椭圆C 上是否存在点E 使得四边形ADBE 为菱形？若存在，试求点E 到y 轴的距离；若不存在，请说明理由.解：（Ⅰ）依题设1(,0)A a -，2(,0)A a ，则1(1,0)FA a =-- ，2(1,0)FA a =- .由121FA FA ⋅=- ，解得22a =，所以21b =.所以椭圆C 的方程为2212x y +=.…………………………………………4分（Ⅱ）依题直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1),22y k x x y =-⎧⎨+=⎩得()2222214220k x k x k +-+-=. 设11(,)A x y ,22(,)B x y ,弦AB 的中点为00(,)M x y ，则2122421k x x k +=+，21222(1)21k x x k -=+，202221k x k =+，0221k y k -=+，所以2222(,)2121k k M k k -++. 直线MD 的方程为22212()2121kk y x k k k +=--++，令0y =，得2221D k x k =+，则22(,0)21k D k +. 若四边形ADBE 为菱形，则02E D x x x +=，02E D y y y +=. 所以22232(,)2121k k E k k -++. 若点E 在椭圆C 上，则2222232()2()22121k k k k -+=++.整理得42k =，解得2k =所以椭圆C 上存在点E 使得四边形ADBE 为菱形.此时点E 到y 的距离为127-.………………………………………………14分4.已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F ，且点(1,2-在椭圆C 上. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知点5(,0)4Q ，动直线l 过点F ，且直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，证明：QA QB ⋅ 为定值.（Ⅰ）解：由题意知：1c =.根据椭圆的定义得：22a =，即a =……………………………………3分所以2211b =-=. 所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=. ……………………………………4分（Ⅱ）证明：当直线l 的斜率为0时，(A B .则557,0)(,0)4416QA QB ⋅=⋅=- . ……………………………………6分当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为：1x ty =+，()()1122,,,A x y B x y .由221,21x y x ty ìïï+=ïíïï=+ïî可得：22(2)210t y ty ++-=. 显然0∆>.1221222,21.2t y y t y y t ìïï+=-ïï+ïíïï=-ïï+ïî……………………………………9分因为 111x ty =+，221x ty =+，所以 112212125511(,)(,)()()4444x y x y ty ty y y -?=--+ 2121211(1)()416t y y t y y =+-++ 2221121(1)24216t t t t t =-+++++ 22222172(2)1616t t t --+=+=-+. 即716QA QB ⋅=- .……………………………………13分。

高考文科数学解析几何练习题

(word版)2019高考全国各地数学卷文科解答题分类汇编解析几何,文档

2021高考全国各地数学卷文科解答题分类汇编 -解析几何〔天津文〕18、〔本小题总分值13分〕设椭圆x221(a b0)的左、右焦点分别为F1，F2。

点P(a,b)满足a 2b2|PF 2||F 1F 2|.〔Ⅰ〕求椭圆的离心率 e ；〔Ⅱ〕设直线PF2与椭圆相交于 A ，B 两点，假设直线PF2与圆(x1)2 (y 3)216相交于M ，N 两点，且 5 ，求椭圆的方程。

|MN | |AB|8【解析】〔18〕本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等根底知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力，总分值13分。

〔Ⅰ〕解：设F1( c,0),F 2(c,0)(c 0) ，因为|PF 2 ||F 1F 2|，所以 (ac)2 b 22c ，整理得 c 2 c 〔舍〕 c 1 0,得 12 a aa或c11a ,所以e.22〔Ⅱ〕解：由〔Ⅰ〕知a 2c,b3c ，可得椭圆方程为 3x2 4y 2 12c 2 ，直线FF 的方2程为y 3(x c).A ，B 两点的坐标满足方程组3x 24y 2 12c 2 消去y 并整理，得5x 28cx。

解,y3(xc).得x 10,x 28c，得方程组的解x 10,x 2 8c,55y 13c,y 23 3c.5不妨设A 8c,33c ，B(0,3c)，55所以2 33c2 16c.|AB|8c3c555于是|MN|5|AB|2c. 8圆心1,3到直线PF2的距离333c|3|2c||d2.2因为2|MN|22，所以3c)2c216.d4(224整理得7c212c520，得26〔舍〕，或c 2.c7所以椭圆方程为x2y21.2.12〔北京文〕19、〔本小题共14分〕椭圆x2y21(a b 的离心率为6，右焦点为〔22,0〕，斜率为I的直G:220)3a b线l与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P〔-3,2〕.〔I〕求椭圆G的方程；〔II〕求PAB的面积.【解析】〔19〕〔共14分〕解：〔Ⅰ〕由得c6c22,a. 3解得a2 3.又b2a2c2 4.所以椭圆G的方程为x2y2121.4〔Ⅱ〕设直线l的方程为yxm.由y x m得x2y211244x26mx3m2120.设A、B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1x2),AB中点为E(x0,y0)，那么x1x23m, x024y0m x0m4因所以所以AB是等腰△PE⊥AB.PE的斜率kPAB的底，2m4 1.3m34解得m=2。

文科高考数学重难点04 解析几何(原卷版)

重难点04 解析几何【命题趋势】解析几何一直是高考数学中的计算量代名词，在高考中所占的比例一直是2+1+1模式.即两道选择，一道填空，一道解答题.高考中选择部分，一道圆锥曲线相关的简单概念以及简单性质，另外一道是圆锥曲线的性质会与直线、圆等结合考查一道综合题目，一般难度诶中等.填空题目也是综合题目，难度中等.大题部分一般是以椭圆抛物线性质为主，加之直线与圆的相关性子相结合，常见题型为定值、定点、对应变量的取值范围问题、面积问题等.双曲线一般不出现在解答题中，一般出现在小题中.即复习解答题时也应是以椭圆、抛物线为主.本专题主要通过对高考中解析几何的知识点的统计，整理了高考中常见的解析几何的题型进行详细的分析与总结，通过本专题的学习，能够掌握高考中解析几何出题的脉略，从而能够对于高考中这一重难点有一个比较详细的认知，对于解析几何的题目的做法能够有一定的理解与应用.【满分技巧】定值问题：采用逆推方法，先计算出结果.即一般会求直线过定点，或者是其他曲线过定点.对于此类题目一般采用特殊点求出两组直线，或者是曲线然后求出两组直线或者是曲线的交点即是所要求的的定点.算出结果以后，再去写出一般情况下的步骤.定值问题：一般也是采用利用结果写过程的形式.先求结果一般会也是采用满足条件的特殊点进行带入求值（最好是原点或是（1，0）此类的点）.所得答案即是要求的定值.然后再利用答案，写出一般情况下的过程即可.注：过程中比较复杂的解答过程可以不求，因为已经知道答案，直接往答案上凑即可.关于取值范围问题：一般也是采用利用结果写过程的形式.对于答案的求解，一般利用边界点进行求解，答案即是在边界点范围内.知道答案以后再写出一般情况下的步骤比较好写.一般情况下的步骤对于复杂的计算可以不算.方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：a c（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率e的值；a c e（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.【考查题型】选择，填空，解答题【限时检测】（建议用时：45分钟）一、单选题一、单选题1．（2020·贵州贵阳一中高三月考（文））已知圆C ：(x +3)2+(y +4)2=4上一动点B ，则点B 到直线l :3x +4y +5=0的距离的最小值为（）A ．6B ．4C ．2D．2．（2020·河南开封市·高三一模（文））已知双曲线的离心率与椭圆221(0)x y m m -=>的离心率互为倒数，则该双曲线的渐近线方程为（）2213x y m m +=A ．B ．C ．D．y =y x =y x =y =3．（2020·四川成都市·高三一模（文））已知平行于轴的一条直线与双曲线x 相交于，两点，，（为坐标原()222210,0x y a b a b -=>>P Q 4PQ a=π3PQO ∠=O 点），则该双曲线的离心率为（）．A BC D 4．（2020·河南周口市·高三月考（文））已知直线：与圆：l 340x y m -+=C 有公共点，则实数的取值范围为（）226430x y x y +-+-=mA ．B ．C ．D ．()3,37[]37,3-[]3,4[]4,4-5．（2020·全国福建省漳州市教师进修学校高三三模（文））已知直线:210l kx y k --+=与椭圆交于A 、B 两点，与圆交于C 、D22122:1(0)x y C a b a b +=>>222:(2)(1)1C x y -+-=两点.若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（）[2,1]k ∈--AC DB =1C A ．B ．C ．D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭⎛ ⎝⎫⎪⎪⎭6．（2020·全国高三其他模拟（文））已知，为的两个顶点，点()1,0A ()3,0B ABC A C在抛物线上，且到焦点的距离为13，则的面积为（）24x y =ABC A A ．12B ．13C ．14D ．157．（2020·四川成都市·高三一模（文））已知抛物线的焦点为，过的直线24x y =F F l 与抛物线相交于，两点，．若，则（）．A B 70,2P ⎛-⎫ ⎪⎝⎭PB AB ⊥AF =A ．B ．C ．D ．3225238．（2020·四川高三一模（文））已知直线与双曲线：y kx =C ()222210,0x y a b ab -=>>相交于不同的两点，，为双曲线的左焦点，且满足，（A B F C 3AF BF=OA b=为坐标原点），则双曲线的离心率为（）O C AB C ．2D 9．（2020·河南新乡市·高三一模（文））已知双曲线的左、()2222:10,0x y C a ba b -=>>右焦点分别为、，过原点的右支于点，若1F 2F O C A，则双曲线的离心率为（）1223F AF π∠=AB1CD10．（2020·全国高三专题练习（文））已知圆，则在轴和轴上22:(2)2C x y ++=x y 的截距相等且与圆相切的直线有几条（）C A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条二、解答题11．（2020·四川成都市·高三一模（文））已知椭圆的离心率()2222:10x y Ca b a b +=>>，且直线与圆相切．1x ya b +=222x y +=（1）求椭圆的方程；C （2）设直线与椭圆相交于不同的两点﹐，为线段的中点，为坐标原l C A B M AB O 点，射线与椭圆相交于点，且，求的面积．OM C P OP OM=ABO A 12．（2020·云南高三其他模拟（文））已知椭圆的左右焦点分2222:1(0)x y C a b a b +=>>别为，离心率为，椭圆上的点到点的距离之和等于4.12,F F 12C 31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭12,F F （1）求椭圆的标准方程；C（2）是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点，，满足()2,1P l C A B 若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.2PA PB PM ⋅= l 13．（2020·广西北海市·高三一模（文））已知抛物线的准线为2:2(0)C x py p =>，焦点为F .1y =-（1）求抛物线C 的方程；（2）设过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，且抛物线在A ，B 两点处的切线分别交x 轴于P ，Q 两点，求的最小值.||||AP BQ ⋅14．（2020·广东东莞市·高三其他模拟（文））在平面直角坐标系中，已知两定点xOy ，，动点满足.()2,2A -()0,2B P PAPB=（1）求动点的轨迹的方程；P C （2）轨迹上有两点，，它们关于直线：对称，且满足C E F l 40kx y +-=，求的面积.4OE OF ⋅=OEF ∆15．（2020·全国高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知椭圆xOy 的长轴长为6，且经过点，为左顶点，为下顶点，椭22221(0)x y a b a b +=>>3(2Q A B 圆上的点在第一象限，交轴于点，交轴于点.P PA y C PB x D （1）求椭圆的标准方程（2）若，求线段的长20OB OC +=PA （3）试问：四边形的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由ABCD16．（2020·江西南昌市·南昌二中高三其他模拟（文））已知抛物线的()220y px p =->焦点为，轴上方的点在抛物线上，且，直线与抛物线交于，F x ()2,M m -52MF =l A 两点（点，与不重合），设直线，的斜率分别为，.B A B M MA MB 1k 2k （Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）当时，求证：直线恒过定点并求出该定点的坐标.122k k +=-l。

高三文科解析几何基础练习

高三文科解析几何基础练习1.直线3490x y +-=与圆()2211x y -+=的位置关系是A ．相离B ．相切C ．直线与圆相交且过圆心D ．直线与圆相交但不过圆心2.若直线1 ：ax+3y+1=0与2 ：2x+(a+1)y+1=0互相平行，则a 的值是 ( )A. -3B. 2C. -3或2D. 3或-23.若直线()1y k x =+与圆()2211x y ++=相交于A 、B 两点，则AB 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．12D ．与k 有关的数值4.已知点A(1,3),B(-2,-1),若直线l:y=k(x-2)+1与线段AB 相交,则k 的取值范围是A. k ≥B. k ≤-2C. k ≥或k ≤-2D. -2≤k ≤5.已知圆O ：222x y r +=，点()P a b ，（0ab ≠）是圆O 内一点，过点P 的圆O 的最短弦所在的直线为1l ，直线2l 的方程为20ax by r ++=，那么( )A ．12l l ∥，且2l 与圆O 相交B ．12l l ⊥，且2l 与圆O 相切C ．12l l ∥，且2l 与圆O 相离D ．12l l ⊥，且2l 与圆O 相离6.直线(2a －1)x+y-2a+1=0恒过点P ，则点P 的坐标为_____________；7.已知圆心在x 轴上,半径为的圆O 位于y 轴左侧,且与直线x+y=0相切,则圆O 的方程是 .8.若曲线1y =(22)x -≤≤与直线(2)4y k x =-+有两个交点时，则实数k 的取值范围是__ __.1.已知F 1、F 2是椭圆191622=+y x 的两个焦点，过F 1的直线与椭圆交于M 、N 两点，则△MNF 2的周长为( )A ．8 B ．16 C ．25 D ．322.椭圆192522=+y x 上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（） A.5 B.6 C.4 D.103.设21,F F 为定点，|21F F |=6，动点M 满足6||||21=+MF MF ，则动点M 的轨迹是（）A.椭圆B.直线C.圆D.线段4.已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（） A.32 B.33 C.22 D.23 5.已知c 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的半焦距,则a c b +的取值范围是 A (1, +∞) B ),2(∞+ C )2,1( D ]2,1(6.椭圆14y 16x 22=+上的点到直线02y 2x =-+的最大距离是 A ．3B ．11C ．22D ．107.若抛物线2y ax =的焦点与双曲线221124x y -=的右焦点重合，则a 的值为 A ．4B ．8C ．16 D．8.F 1、F 2分别为椭圆22a x +22by =1的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2的值是9.双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m =( ) A ．14-B ．4-C ．4D ．1410.双曲线42x －92y =1的渐近线方程是( ) A . y =±23x B.y =±32x C.y =±49x D.y =±94x11.过点（2，－2）且与双曲线22x －y 2=1有公共渐近线的双曲线方程是( ) A .22y －42x =1 B.42x －22y =1 C.42y －22x =1 D.22x －42y =112.已知双曲线12222=-b y a x (a>0,b<0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是A.( 1,2)B. (1,2) C .[2,+∞) D.(2,+∞)13.已知双曲线141222=-y x 的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是 A.(33-,33) B. (-3,3) C .[ 33-,33] D. [-3,3]14.已知椭圆x 2+2y 2 =8的两焦点分别为F 1、F 2，A 为椭圆上任一点。

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高三文科数学（解析儿何）练习
「已知椭圆C ：存$］心〉0）的离心仆孕原点到过点心。

），B （OT ）的直线的距离是琴.
（I ）求椭圆C 的方程;
（II ）若直线y = b + l 伙工0）交椭圆C 于不同的两点E, F, ME, F 都在以B 为圆心的圆上，求R 的值.
解（I ）因为汁孚—2
2 ,2
故所求椭圆C 的方程为二+上=1 ........................................................................ 6分
16 4 （II ）由题意
y = kx +1,
<兀2 2 消去y ,整理得
—+—= 1
116 4 (1 + 4疋)兀 2+8&_12二0 ......................................................................... 7 分
可知△>(). .................................. 8分
EF 的中点是M (x w , y M ),
所以心 + ky M + 2k = 0.
-AL k
即——+ -------- +220.
1 + 4疋 1 + 4疋
又因为kHO,
1 逅
所•以 k 2=-.^ 以 £=± 8 4
2 2 2.已知椭圆C ：l + £ = l （d>b>0）的四个顶点恰好是边长为2, —内角为60。

的菱形的四个顶点. dT b （T ）求椭圆C 的方程;所以a = 2h. ................................................................ 2分
因为原点到直线AB ab \Ja 2
+Z?2 4A /5
解得a = 4, b = 2. ................................................................ 5分
10分
所以恋迸“ ................................................................ 11分
.......................................... 13分
(II)若直线y = kx 交椭圆C 于人B 两点，且在肓线/：x + y-3 = 0上存在点P,使得\PAB 为等边三角形，求£的值.
•内角为6(y 的菱形的四个顶点,
所以a = ^b = l,椭圆C 的方程为—+/ = 1 ........................ 4分
(I I)设 A (尢 I J),则 3(-兀］，一％ ),
当直线AB 的斜率为0时，AB 的垂直平分线就是V 轴, y 轴与直线/ ：兀+ y - 3 = 0的交点为P(0,3), 又因为\AB\=^,\PO 1=3,所以ZPAO = 6(T,
所以MAB 是等边三角形，所以直线AB 的方程为y = 0 .................... 6分
当直线AB 的斜率存在且不为0时，设AB 的方程为V = kx
y = kx 3宀3
3/ + 1
设AB 的垂直平分线为y = --x f 它与直线l ：x + y-3 = 0的交点记为P(x 0,j 0) k
♦
y = -x + 3
所以 1 ，解得V y =——JC 则心临分因为APAB 为等边三角形，所以应有\PO l=V3IA(9l
代入得釦治"需，解得® (舍)，7 ................................................................... 13分
14分
2 2 _____________________________________________________________________________________________________________ _ ______
3.已知椭圆C:罕+ £ = l@>b>0)的右焦点F (1,0),长轴的左、右端点分别为人显2，且两・亦=—1. cr b° (I )求椭圆C 的方程;
(II )过焦点F 斜率为R 伙H0)的直线Z 交椭圆C 于4, 〃两点，弦AB 的垂总平分线与X 轴相交于点Q.试问椭圆解: ⑴因为椭圆C:
= l(a>b>0)的四个顶点恰好是一边长为2,
所以
=1 化简得(3P + 1)X 2=3 3k = ----- ° k-\ -3 儿=— 则肿=吋爲所以
C 上是否存在点E 使得四边形ADBE 为菱形？若存在，试求点E 到轴的距离；若不存在，请说明理由. 解：(I )依题设£(一。

,0), %@,0),则两= (_a_l,O), 亦= (a —1,0). 由两•亦 =一1,解得a 2 = 2,所以h 2
= \. r 2
所以椭圆C 的方程为一+ )，=1. ........................................................... 4分 2
(II)依题直线/的方程为y = k(x-\).
由得(2 疋 + 1)14*3 + 2/-2 = 0.
设 A(x i ,y i ), 3(兀2，儿)，弦的中点为M(x 0,y 0)，
若四边形 ADBE 为菱形,则 x E + x D = 2x 0, y E + y D = 2y 0.
竟 2 若点E 在椭圆C 上，贝％ —尸+ 2( —)2
=2, 2k~ + l 2ZT + 1
整理得f =2,解得k 2
=y/2.所以椭圆C 上存在点E 使得四边形ADBE 为菱形.
此时点E 到y 的距离为，2~3^ .......... ................................................................ 14分 2 2
4.已知椭圆C :―^ +七^ = 1(。

> /? > 0)的右焦点为F(l,0),且点(―1, )在椭圆C 上
a 2
(I )求椭圆C 的标准方程;
则 Xj + x 2 = 4k 2 2/+1 2伙—I) x.x 9 = ----- ---- 1 2 2疋+1 2k 2 -k "°一2疋 + 1'儿一 2疋 + 1 ' 所以M( 2疋 -R
2疋 + 1'2疋 + 1
). 直线MD 的方程为y + k
2/ + 1
k 2
2疋+1
,0). 所以E(
-2k 2疋 + 1‘2/+1 k 2
(11)己知点2(-,0),动总线/过点F,且直线/与椭圆C 交于A, B 两点，证外 M •创为定值.
4
(I )解：由题意知：c = 1 .
根据椭圆的定义得：= J(- 1- I)2 + (―)2 + —,即61=近・ V 2 2
.................................................. 3分
所以决=2・1= 1.
所以椭圆C 的标准方程为—+ /=1.
(II)证明:当直线Z 的斜率为0时,A(V2,0),B(-V2,0).
贝|」eA 2B = (V2--,0) (-V2--,0) = -—. 4 4 16
................................................. 6分
当直线/的斜率不为0时，设直线/的方程为：%= ty+1, Ad 』)』
/,)" | X 2 ,2 _ 1 由 1T + V
二'可得：(r 2+ 2)/+ 2ty- 1= 0.
|x= ty+ 1 显然△> 0.
| 2f
I : ................................................. 9 分卜厂口
因为 X] = ty { + 1, x 2= ty 2 + \ 9
所以 CV *'])?(兀2 |o ；2)=(如 |)(^2 -占)+ >卩2
7 1 1
=(广 +1))卩 2，丁'()1+)‘2)+77 4 lo
"1 1 2r 1
r 2+ 2 4 r 2+ 2 16
即刃• QB = -~ -2f 2- 2+ t 2 2(r 2 + 2) + j__ 2_ 16~ ' 16 13分。