2020高考数学(理)必刷试题(解析版) (108)

2020高考数学模拟试题（理科）一、单选题1．已知集合{}2|1A x N x =∈≤，集合{}|13B x Z x =∈-≤≤，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．[]1,3B ．(]1,3C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,2,3-【答案】C【解析】求出集合的等价条件，结合Venn 图转化为定义的集合关系进行求解即可． 【详解】解：{}{}2|1=01A x N x =∈≤，，{1,0,1,2,3}B =- 阴影部分对应的集合为B C A ， 则{1,2,3}B C A =-， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，利用Venn 图表示集合关系是解决本题的关键． 2．在复平面内，复数1z i =+的共轭复数对应的向量为'OZ u u u u r为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】先求出共轭复数，然后写出其对应的点，从而可得答案． 【详解】解：复数1z i =+的共轭复数为1z i =-， 对应的点为(1,1)-，复数1z i =+的共轭复数对应的向量为'OZ u u u u r为图C ， 故选：C ． 【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属基础题． 3．已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3sin 5α=，则()cos πα-=（ ）A ．45 B ．35C ．45-D ．35-【答案】A【解析】由条件利用同角三角函数的基本关系和诱导公式，求得()cos πα-的值． 【详解】解：因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3sin 5α=，所以234cos 155α⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭， ()4cos cos 5παα∴-=-=， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系及诱导公式，属于基础题．4．根据中国生态环境部公布的2017年、2018年长江流域水质情况监测数据，得到如下饼图：则下列说法错误的是（ ）A ．2018年的水质情况好于2017年的水质情况B ．2018年与2017年相比较，Ⅰ、Ⅱ类水质的占比明显增加C ．2018年与2017年相比较，占比减小幅度最大的是Ⅳ类水质D ．2018年Ⅰ、Ⅱ类水质的占比超过60% 【答案】C【解析】根据饼图逐一判断． 【详解】A ．2018年Ⅰ、Ⅱ类水质的占比明显超过2017年Ⅰ、Ⅱ类水质的占比，故正确；B ．2018年Ⅰ、Ⅱ类水质的占比达到60.4%，而2017年Ⅰ、Ⅱ类水质的占比为46.4%，故正确；C. 2018年与2017年相比较，占比减小幅度最大的是III 类水质，故错误；D. 2018年Ⅰ、Ⅱ类水质的占比达到60.4%，超过60%，故正确. 故选：C ． 【点睛】本题考查饼图的识别及认识，是基础题．5．以双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点F 为圆心，12OF 为半径的圆（O为坐标原点）与C 的渐近线相切，则C 的渐近线方程为（ ）A ．0y ±=B ．0x ±=C ．0y ±=D ．0x ±=【答案】B【解析】写出双曲线的渐近线方程以及圆的圆心坐标和半径，利用直线和圆相切列方程求出ba即可． 【详解】由已知双曲型的渐近线为by x a=±，选取其中一条研究即可，即为0bx ay +=， 另外以双曲线C 的右焦点F 为圆心，12OF 为半径的圆圆心为(,0)c ，半径为12c ，12c =，即2b =b a =，则C 的渐近线方程为y x =，即0x ±=， 故选：B ． 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，以及直线和圆的位置关系，重点在建立,,a b c 的等量关系，是基础题．6．如图所示，九连环是中国的一种古老的智力游戏，它环环相扣，趣味无穷．它主要由九个圆环及框架组成，每个圆环都连有一个直杆，各直杆在后一个圆环内穿过，九个直杆的另一端用平板或者圆环相对固定，圆环在框架上可以解下或者套上．九连环游戏按某种规则将九个环全部从框架上解下或者全部套上．将第n 个圆环解下最少需要移动的次数记为()f n （9n ≤且*n N ∈），已知()11f =，()21f =，且通过该规则可得()()()1221f n f n f n =-+-+，则解下第5个圆环最少需要移动的次数为（ ）A ．7B ．16C ．19D ．21【答案】B【解析】根据递推关系计算即可． 【详解】解：由已知()()()322111214f f f =++=++=，()()()432214217f f f =++=++=， ()()()5423178116f f f =++=++=，故选：B ． 【点睛】本题考查递推关系的应用，是基础题．7．设()'f x 是函数()f x 的导函数，()'y f x =的图象如图所示，则()y f x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据导函数图像得到原函数单调性，再逐一对照选项即可． 【详解】解：根据导函数图像，()y f x =的增区间为(3,1),(0,1)--，减区间为(1,0),(1,3)-， 观察选项可得D 符合， 故选：D ． 【点睛】本题考查原函数和导函数图像之间的关系，注意导函数图像重点关注函数值的正负，原函数图像重点关注函数的单调性，是基础题．8．ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若120B =︒，21sin 7C =，2c =，则ABC ∆的面积等于（ ）A ．3B ．23C 3D 3【答案】A【解析】先通过已知求出sin ,cos ,cos B B C ，进而根据sin sin()A B C =+求出sin A ，再利用正弦定理求出b ，则利用面积公式可求出ABC ∆的面积． 【详解】解：120B =︒Q ，31sin 22B B ∴==-， 又21sin 7C =，C 为锐角， 27cos C ∴=sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C ∴=+=+327121212⎛⎫=+-=⎪⎝⎭， 由正弦定理得sin sin b cB C=，sins in c b B C ∴=⋅==11sin 222ABC S bc A ∴===V 故选：A ． 【点睛】本题考查正弦定理解三角形，以及求三角形的面积，关键是对公式的灵活应用，缺什么，求什么即可，是基础题．9．已知函数()xxf x e e -=+，则（ ）A ．(()f f e f <<B ．()(f e f f<<C ．()(f f e f <<D ．(()f f f e <<【答案】D【解析】先判断函数的奇偶性，再利用复合函数单调性的规律确定原函数的单调性，利用单调性即可比较函数值的大小． 【详解】解：由已知()()xx f x ee f x --=+=，故()f x 为偶函数，另外令x t e =，则()1f x t t=+，x t e =，又1y t t=+，在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，而x t e =在R 上单调递增，且01e =，根据复合函数单调性的判断规则，()x x f x e e -=+在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，因为0e >>>，所以()f f f e <<，即(()f f f e <<， 故选：D ． 【点睛】本题考查复合函数的单调性，根据内层外层函数同增异减可得原函数单调性，本题难点在于外层函数非单调函数，是中档题10．某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为43的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为4π，则该球的半径是（ ）A ．2B ．4C ．26D ．6【答案】B【解析】先求出截面圆的半径，然后根据球的半径，小圆半径，球心距三者之间的关系列方程求解即可． 【详解】解：设截面圆半径为r ，球的半径为R ，则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半即23根据截面圆的周长可得42r ππ=，得2r =， 故由题意知(22223R r =+，即(2222316R =+=，所以4R =，故选：B ． 【点睛】本题考查球被面所截的问题，考查学生计算能力以及空间想象能力，是基础题． 11．已知函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域是2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则ω的取值范围是（ ） A ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．73,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．57,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】先通过x 的范围，求出4x πω-的范围，再利用值域，可得52244πωπππ≤-≤，进而可求ω的取值范围． 【详解】解：因为0>ω，所以当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[,]4424x ππωππω-∈-- 因为函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域是22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以52244πωπππ≤-≤， 解得332ω≤≤，故选：B ． 【点睛】本题考查三角函数的性质，关键是要求出整体24ωππ-的范围，再根据单调性和最值的关系分析，是中档题．12．已知P 是函数()2f x x =图象上的一点，过点P 作圆22430x y y +-+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA PB ⋅u u u r u u u r的最小值为（ ） A ．328-B ．223-C ．0D ．32【答案】A【解析】先利用条件将PA PB ⋅u u u r u u u r 表示为222||3PM PM-+，求出2||PM 的范围，利用函数23y t t=+-的单调性求出最小值． 【详解】 解：如图设点M 为圆22430x y y +-+=的圆心，坐标为(02)，，圆的半径为1， 1sin APM PMAM PM∴∠==， 222cos 12sin 1APB APM PM∴∠=-∠=-，222222(||1)||c 1)(3os APB PM PA PB P PM P A MB P P M∴⋅=⋅⋅-∠=⋅+-=-u u u r u u u r u u u r u u u r，设2||PM t =，则23y PA PB t t=⋅=+-u u u r u u u r ，设2(,)P x x ，则22222242377(2)3|4()244|x x x x x PM =+-=-+=-+≥，故74t ≥， 23y t t =+-在7[,)4+∞上单调递增，min 83734287y -=∴=+-，故选：A ． 【点睛】本题考查圆锥曲线的最值问题，关键是要将目标式用一个变量表示，构造函数求最值，是中档题．二、填空题13．已知点()1,0A ，(B ，则与向量AB u u u r垂直的一个非零向量的坐标是____．（只要填写一个满足条件的向量即可）【答案】)1-.【解析】求出向量AB u u u r，写出一个与其垂直的向量，与其平行即可． 【详解】解：由已知AB =u u u r，则1)-与AB u u u r垂直，只要填写形如)(),0λλ-≠的向量都正确.故答案为：)1-．【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示，是基础题． 14．()()65121x y ++的展开式中42x y 的系数是____.【答案】600.【解析】分别对()61x +和()521y +找到4x 与2y 的系数，相乘即可．【详解】()()65121x y ++的展开式中含42x y 的项为()2443652C x C y ，其系数为432652600C C =，故答案为：600．【点睛】本题考查二项式定理，求指定项的系数，是基础题．15．已知椭圆M ：()222210x y a b a b+=>>的左顶点为A ，O 为坐标原点，B 、C 两点在M 上，若四边形OABC 为平行四边形，且45OAB ∠=︒，则椭圆M 的离心率为____. 【答案】6. 【解析】四边形OABC 为平行四边形，45OAB ∠=︒，直线OC 的方程为：y x =，联立22221y x x y a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：C x ．同理联立22221y x a x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得B x ．根据||||OA CB a ==，即C B x x a -=化简即可得出． 【详解】 解：如图所示，四边形OABC 为平行四边形，45OAB ∠=︒， ∴直线OC 的方程为：y x =，联立22221y xx y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：22C x a b =+． 同理联立22221y x a x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化为：()222342220a b x a x a a b +++-=．解得32322222B a ab a x a a b a b-=-=++． ∵||||OA CB a ==，232222ab a a a b a b--=++． 化为：223b a =．∴椭圆的离心率c e a ====． 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、平行四边形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．16．依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）．2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为： 个税税额＝应纳税所得额×税率－速算扣除数． 应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额＝综合所得收入额－免征额－专项扣除－专项附加扣除－依法确定的其他扣除．其中免征额为每年60000元，税率与速算扣除数见下表：备注：“专项扣除”包括基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金。