2020年高考数学复习题：几何概型

几何概型
[基础训练]
1．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )
A.710
B.58
C.38
D.310
答案：B 解析：行人在红灯亮起的25秒内到达该路口，即满足至少需要等待15秒才出现绿灯，根据几何概型的概率公式知，所求事件的概率P ＝2540＝5
8，故选B.
2．[2019吉林调研]如图，长方形的面积为1，将100个豆子随机地撒在长方形内，其中恰好有20个豆子落在阴影部分，则用随机模拟的方法估计图中阴影部分的面积为( )
A.15
B.45
C.120
D.1
100
答案：A 解析：设阴影部分的面积为S ，依题意，得 S 1＝20100，
所以S ＝1
5，故选A.
3．已知一只蚂蚁在边长分别为5,12,13的三角形的边上随机爬行，则其恰在到三个顶点的距离都大于1的地方的概率为( )
A.45
B.35
C.π60
D.π3
答案：A 解析：由题意可知，三角形的三条边长的和为5＋12＋13＝30，
而蚂蚁要在离三个顶点的距离都大于1的地方爬行， 则它爬行的区域长度为3＋10＋11＝24，
根据几何概型的概率计算公式可得所求概率为2430＝4
5.
4．已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为12，则AD
AB ＝( )
A.12
B.14
C.32
D.74
答案：D 解析：由已知，点P 的分界点恰好是边CD 的四等分点，
由勾股定理，可得AB 2＝⎝
⎛⎭
⎪⎫
34AB 2＋AD 2，
解得⎝ ⎛⎭
⎪⎫AD AB 2＝716，即AD AB ＝7
4，故选D.
5．已知单位圆的圆心为O ，A 是圆上的一个定点，点B 在圆上，则使∠AOB <π
3的概率为( )
A.16
B.14
C.13
D.12
答案：C 解析：如图，问题转化为劣弧BB
′的长与圆的周长的比，
所以P ＝2
3π2π＝1
3.
6．[2019石家庄模拟]如图，M 是半径为R 的圆周上一个定点，在圆周上等可能地任取一点N ，连接MN ，则弦MN 的长度超过2R 的概率是( )
A.15
B.14
C.13
D.12 答案：D 解析：由题意知， 当MN ＝2R 时，∠MON ＝π
2， 所以所求概率为1－2×π2
2π＝1
2.
7．[2019广州模拟]在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－π6，π2上随机取一个数x ，则sin x ＋
cos x ∈[1，2]的概率是( )
A.12
B.34
C.38
D.5
8
答案：B 解析：因为x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－π6，π2，
所以x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
π12，3π4.
由sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫x ＋π4∈[1，2]，得 2
2≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1， 所以x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， 故要求的概率为π2－0
π2－⎝
⎛⎭
⎪⎫－π6
＝3
4
.
8．[2019河南新乡一模]若x 是从区间[0,3]内任意选取的一个实数，
y 也是从区间[0,3]内任意选取的一个实数，则x 2＋y 2<1的概率为________．
答案：π
36 解析：如图，不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧
0≤x ≤3，0≤y ≤3表示的平面区域
是正方形区域，面积为3×3＝9，
其中满足x 2
＋y 2
<1的平面区域为阴影区域，其面积为14π·12＝π
4，
故所求的概率P ＝π49＝π
36.
9．[2019福建三明段考]在区间[1,5]和[2,4]上分别取一个数，记为a ，b ，则方程x 2a 2－y 2
b 2＝1表示离心率小于5的双曲线的概率为________．
答案：7
8 解析：∵双曲线的离心率小于5， ∴1<e <5，∴1<c
a <5， ∴1<1＋
b 2
a 2<5，
∴0<b 2
a 2<4，解得
b <2a (1≤a ≤5,2≤b ≤4)．① ①式对应的平面区域如图中阴影部分所示，
根据几何概型概率公式，得所求概率为 P ＝1
2×(3＋4)×24×2
＝78.
10．[2019福建漳州调研]在半径为2的圆C 内任取一点P ，则以点P 为中点的弦的弦长小于23的概率为________．
答案：34 解析：由题意可知，当且仅当弦心距d >22
－⎝
⎛⎭
⎪⎫2322
＝1，即|CP |>1时，以点P 为中点的弦的弦长小于23，
由几何概型的概率公式可得， 所求概率为π×22－π×12π×22
＝34.
11．[2019河南开封调研]在平面区域Ω＝
(x ，
y )⎪⎪⎪⎭⎬⎫
－π2≤x ≤π2，0≤y ≤1内任取一点P ，则点P 落在曲线y ＝cos x 下方的概率是________．
答案：2
π 解析：由题意知，所求概率 P ＝∫π2－π
2cos x d x π
＝eq \f(sin x
\f(π,2)－\f(π,2),π)＝\f(1－(－
1),π)＝\f(2,π)．,[强化训练],1.[2019河南濮阳一模]如图所示的长方形的长为2、宽为1，在长方形内撒一把豆子(豆子大小忽略不计)，然后统计知豆子的总数为m 粒，其中落在飞鸟图案中的豆子有n 粒，据此请你估计图中飞鸟图案的面积约为( )
A.n m
B.2n m
C.m n
D.m 2n
答案：B 解析：长方形的面积为2，题图中飞鸟图案的面积与长方形的面积之比约为n m ，,故图中飞鸟图案的面积约为2n
m .故选B.
2. [2019西藏拉萨一模]中华人民共和国国旗是五星红旗，旗面左上方缀着的五颗黄色五角星，四颗小五角星环拱于大星之后，象征中国共产党领导下的革命人民大团结和人民对党的衷心拥护，五角星可通过正五边形连接对角线得到，且它具有一些优美的特征，如A 2E 2
B 1A 2＝
B 1A 2A 1B 1＝A 1B 1
B 1E 1＝5－12，现在正五边形A 1B 1
C 1
D 1
E 1内随机取一点，则此点取自正五边形A 2B 2C 2D 2E 2内部的概率为( )
A.5－12
B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫5－122
C.⎝
⎛⎭
⎪⎫5－123
D.⎝
⎛⎭
⎪⎫5－124
答案：D 解析：由A 2E 2B 1A 2＝B 1A 2A 1B 1＝A 1B 1
B 1E 1
＝5－12，
可得A 2E 2＝5－1
2B 1A 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5－122A 1B 1， 显然两个正五边形相似，相似比为⎝ ⎛⎭
⎪⎫5－122
，
故面积比为⎝ ⎛⎭
⎪⎫5－124
， 则所求概率为⎝ ⎛⎭
⎪⎫5－124
，故选D. 3.[2019湖北武钢三中期末]将一枚骰子投掷两次，第一次、第二次出现的点数分别记为a ，b ，设直线l 1：ax ＋by ＝2与l 2：x ＋2y ＝2平行的概率为P 1，相交的概率为P 2，则圆C ：(x －1)2＋(y －6)2＝122上到直线3P 1x ＋2P 2y ＝1的距离为122
2的点有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
答案：C 解析：由直线l 1：ax ＋by ＝2与l 2：x ＋2y ＝2平行，得
a ∶1＝
b ∶2≠2∶2，
∴b ＝2a ，a ≠1，b ≠2.
由直线l 1：ax ＋by ＝2与l 2：x ＋2y ＝2相交，得 a ∶1≠b ∶2， ∴b ≠2a ，
∴P 1＝26×6＝118，P 2＝1－36×6＝11
12，
因此圆心C (1,6)到直线3P 1x ＋2P 2y ＝1，
即x ＋11y －6＝0的距离为|1＋66－6|1＋112＝61122＝1222<122， 则圆C ：(x －1)2＋(y －6)2＝122上到直线3P 1x ＋2P 2y ＝1的距离为122
2的点有三个，故选C.
4．[2019山东烟台期末]在区间[0，π]上随机取一个数x ，则事件“sin x ＋cos x ≥2
2”发生的概率为( )
A.12
B.13
C.712
D.23
答案：C 解析：由题意，可得
⎩⎨
⎧
sin x ＋cos x ≥22，
0≤x ≤π，
即⎩⎨⎧
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≥12，
0≤x ≤π，
解得0≤x ≤7π
12，故所求的概率为7π12π＝712.
5．[2019河北衡水联考]2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币，如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22 mm ，面额100元．为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是
( )
A.363π
10 mm 2 B.363π
5 mm 2 C.726π
5 mm 2
D.363π
20 mm 2
答案：A 解析：向硬币内投掷100次，恰有30次落在军旗内，所以可估计军旗的面积大约是S ＝30100×π×112＝363π
10(mm 2)．
6．[2019江西赣州十四县联考]已知定义在区间[－3,3]上的单调函数f (x )满足：对任意的x ∈[－3,3]，都有f (f (x )－2x )＝6，则在[－3,3]上随机取一个实数x ，使得f (x )的值不小于4的概率为( )
A.16
B.56
C.13
D.12
答案：C 解析：由题意，设对任意的x ∈[－3,3]， 都有f (x )－2x ＝a ，
其中a 为常数，且a ∈[－3,3]， 则f (a )＝6，f (a )－2a ＝a ， ∴6－2a ＝a ，得a ＝2.
故f (x )＝2x ＋2， 由f (x )≥4，得x ≥1， 因此所求概率为3－13＋3＝1
3
.
7．在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≥1
2”的概率，p 2为事件“|x －y |≤12”的概率，p 3为事件“xy ≤1
2”的概率，则( )
A ．p 1<p 2<p 3
B ．p 2<p 3<p 1
C ．p 3<p 1<p 2
D ．p 3<p 2<p 1
答案：B 解析：依题意知，点(x ，y )形成的区域是边长 为1的正方形及其内部，其面积为S ＝1. 而满足x ＋y ≥1
2的区域如图1中的阴影部分， 其面积为S 1＝1－12×12×12＝7
8， ∴p 1＝S 1S ＝78.
满足|x －y |≤1
2的区域，如图2中的阴影部分， 其面积为S 2＝1－12×12×12－12×12×12＝3
4， ∴p 2＝S 2S ＝34.
图1
图2
图3
满足xy ≤1
2的区域如图3中的阴影部分，
8.[2019海南东方期末]已知在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，P A ＝AB ＝2，现在该四棱锥内部或表面任取一点O ，则四棱锥O －ABCD 的体积不小于2
3的概率为_____．
答案：2764
解析：当四棱锥O －ABCD 的体积为23时，,设O 到平面ABCD 的
距离为h ，则有13×22×h ＝23，解得h ＝12
.
如图所示，在四棱锥P －ABCD 内作平面EFGH 平行于底面
ABCD ，且平面EFGH 与底面ABCD 的距离为12.
因为P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝2，
所以PH P A ＝34，
所以四棱锥O －ABCD 的体积不小于23的概率为
P ＝V 四棱锥P －EFGH V 四棱锥P －ABCD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫PH P A 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝2764
. 9．[2019大连模拟]在[－1,1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交”发生的概率为________．
答案：34 解析：若直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交，
则有圆心到直线的距离d ＝|5k |k 2＋1
<3， 即－34<k <34，
所以所求概率P ＝34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－(－1)＝34
.
10．一只小蜜蜂在一个棱长为4的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为________．
答案：18 解析：根据几何概型知识，概率为体积之比，
即P ＝(4－2)343＝18.
11．[2019河北唐山五校联考]向圆(x －2)2＋(y －3)2＝4内随机投掷一点，该点落在x 轴下方的概率为________．
答案：16－34π 解析：
如图，连接CA ，CB ，依题意，圆心C 到x 轴的距离为3，
所以弦AB 的长为2.
又圆的半径为2， 所以弓形ADB 的面积为12×23π×2－12×2×3＝23π－3，
所以向圆(x －2)2＋(y －3)2＝4内随机投掷一点，
该点落在x 轴下方的概率P ＝2
3π－34π＝16－34π.
12．已知关于x 的二次函数f (x )＝b 2x 2－(a ＋1)x ＋1.
(1)若a ，b 分别表示将一质地均匀的正方体骰子(六个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次向上一面出现的点数，求y ＝f (x )恰有一个零点的概率；
(2)若a ，b ∈[1,6]，求满足y ＝f (x )有零点的概率．
解：(1)设(a ，b )表示一个基本事件，
则抛掷两次骰子的所有基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,5)，(6,6)，共36个．
用A 表示事件“y ＝f (x )恰有一个零点”，
令Δ＝[－(a ＋1)]2－4b 2＝0，则a ＋1＝2b ，
则A 包含的基本事件有(1,1)，(3,2)，(5,3)，共3个，
所以P (A )＝336＝112.
所以事件“y ＝f (x )恰有一个零点”发生的概率为112.
(2)用B 表示事件“y ＝f (x )有零点”，则B 即为“a ＋1≥2b ”． 试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|1≤a ≤6,1≤b ≤6}，
构成事件B 的区域为{(a ，b )|1≤a ≤6,1≤b ≤6，a －2b ＋1≥0}， 如图：
所以所求的概率为P (B )＝12×5×525×5
＝14. 所以事件“y ＝f (x )有零点”发生的概率为14.。