电动力学课件

联立（1）、（2）和（3）式得
an dn 0
n 1
2 a1 (1 ), 3 1 2 (1 2 2 ) R0
pf
2 d1 (1 ) 2 (1 2 2 ) 1
pf
由此得到电势分布为
1 3 3 4 R 2 ( 2 ) R 1 1 1 2 0 p f R (1 2 ) p f R 3 p f R 2 4 R 3 2 ( 2 ) R 3 4 ( 2 ) R 3 1 1 1 2 1 2 p f R (1 2 ) p f R R R0 R R0
根据边界条件
dn ① R , 2 ' 0, cn 0, 2 ' n1 Pn (cos ) n R ② R 0, 1 ' 有限, bn 0 1 ' an R n Pn (cos )
n
由边值关系
①
1 ' R R 2 ' R R ,
an R n
n
z
R0
E0
R


bn P cos n 1 n R
考虑到 R , E0 Rcos E0 RP 1 cos ,
可以得到 a1 E0 , an 0 n 1
导体球面上
R R0
0
电荷分布无限，电势参考点一般选在有限区。如
均匀场中，E E0ez , E0 R cos
导体的边界面上
|s 常数
n s Q dS
S
n
（2）边值关系：介质分界面上
1 S 2
S
1 2 1 2 n S n
所以球内的电场为 3 0 2 1 2 ˆ ˆr E2 2 e e E0 R R 2 0
3 0 2 1 2 ˆ ˆr E2 2 e e E0 R R 2 0 3 0 1 ，球内的场比球外场弱，这是由于 由于 2 0 这是由于介质球束缚电荷产生的电场与原电场的方 向相反，使得球内的总场比原来的电场弱。
1
p
R0
2
z
解：讨论区域：球内（I）和球外（II）. 选择球坐标系，原点在球心。考虑电荷分布在有限区 域，选择无穷远处为电势零点。 由于求解空间存在着自由电荷，故不能直接使用拉普 拉斯方程求解。为此把总电势看成自由电偶极子产生 的势和两介质分界面束缚电荷产生电势的和。
自由偶极子在介质中产生的电势 0
P0 1
P1 (cos ) cos
3. 具有球对称性
b ( R) a R
三．解题步骤
1. 确定求解区域、选择坐标系和电势零点
坐标系选择主要根据区域中分界面形状，电
势零点主要根据电荷分布是有限还是无限；
2. 分析对称性、分区写出拉普拉斯方程的通解； 3. 根据边界条件和边值关系确定通解中的常数 （1）边界条件： 电荷分布有限
第二章第三节
分离变量法
Separation of Variables
§2. 3
拉普拉斯方程的解
—— 分离变量法
一、分离变量法的适用条件 二、拉普拉斯方程的解在球标系中的形式 三、解题步骤
四、例题 五、拉普拉斯方程的解在其它标系中的形式
一、分离变量法的适用条件 1、空间 0 ，自由电荷只分布在某些介质（或导
0
3 可以解出： b1 E0 R0 , bn 0 n 1
球外电势为 E0 R cos
3 E0 R0
R

cos
所以导体球上电荷的面密度为
0 R 3 0 E0 cos
R R0
例4：均匀介质球的中心置一点电荷Qf，球的电容率 为 ，球外为真空，试用分离变数法求空间电势，把 结果与使用高斯定理所得结果比较。(p.71 习题3) 解：讨论区域：球外（I）和球内（II）.
根据边界条件和边值关系
b ① R 1 0, a 0, 1 R d ② R R1 , 2 0, c 0 R1
③
（ 1）
（ 2）
（ 3）
1 R R
3
b d 2 R R , c 2 R3 R2
1 2 RR3 0 R dS R2 0 R dS Q
S
一般讨论分 界面无自由 电荷的情况
四、例题
1 ．一个内径和外径分别
为 R2 和 R3 的导体球壳，
带电荷为Q，同心地包围
着一个半径为 R1 的导体 球（R1 < R2），使这个 导体球接地 ，求空间各 点的电势和这个导体球
R1
R3
R2
的感应电荷。
解：讨论区域：球外 （I）和球内（II）.
选择球坐标系，原点 在球心。考虑电荷分 布在有限区域，选择 无穷远为电势零点。 球壳外 2 0 1 球壳内 I II
n
Pnm (cos ) ——缔合勒让德函数（连带勒让德函数）
2. 电势具有轴对称性，通解为
bn ( R, ) (a n R n 1 ) Pn (cos ) R n
n
Pn (cos ) -----勒让德函数
1 P2 (cos ) (3 cos 2 1) 2
根据边界条件
b ① R 1 ' 0, a 0, 1 ' R ② R 0, 2 ' 有限, d 0 2 ' c
由边值关系
b 1 ' R R 2 ' R R , c ① 0 0 R0 Qf Qf 1 2 , b ② 0 R R R0 R R R0 4 0 4
bd Q 4 0
（ 4）
联立（2）、（3）和（4）得
Q Q1 Q1 Q1 b , c , d 4 0 4 0 R1 4 0
1 QR3 其中 Q1 1 1 R2 R11 R3
（ 5）
所以
Q Q1 Q1 1 1 1 , 2 4 0 R 4 0 R R1
自由电荷在真空中 产生的电势
4 0 R
QP
周围极化电荷 产生的电势
介质球表面束缚电荷产生的势 ' 满足拉普拉斯
方程 2 ' 0 束缚电荷在球上均匀分布，场有球对称性，所以
b 1 ' a R ' c d 2 R ( R R0 ) ( R R0 )
p f R 41 R3
分界面上束缚电荷具有轴对称性，选择球坐标系的z 轴沿 p f 的方向，此束缚电荷产生电势的通解为
bn ) Pn (cos ) n 1 R n dn n 2 (cn R n 1 ) Pn (cos ) R n (an R n 1
由此得球外的电势为：

R
Qf E dl 4 0 R
球内的电势为： Qf Qf 1 1 R0 E dl E dl E dl R R R0 4 R 4 R0 0 2. 使用分离变法求解 自由电荷在介质中产生的 由于求解空间存在着自 势为 Qf 0 由电荷，故不能直接使 4 R 用拉普拉斯方程求解。 Qf 为此把自由电荷产生的 势和束缚电荷产生的势 4 0 R 分开。
体）表面上，将这些表面视为区域边界， 可用 拉普拉斯方程。 2、在所求区域的介质中若有自由电荷分布，则要求 自由电荷分布产生的势为已知。 处理方法：区域 V 中电势可表示为两部分的和 ， 即 0 ， 为已知自由电荷产生的电势， 0 2 ， 不满足 0 为束缚电荷产生的电势，满 2 足拉普拉斯方程 0
0 0
n an R0
dn n1 R0
1
1 ② 1 R pf
R R0
2 2 R
,
R R0
2 2 d1 1a1 3 3 3 2 R0 21R0 R0
2 p f
2 3

n 1 1nan R0
n 1 d n 2 n 1 n2 R0
把它带入上式得
c
Qf 4 0 R0

Qf 4 R0
1
与高斯定理 4 0 R 计算结果完 Qf Q f 1 1 全一致！ 2 4 R 4 R0 0
Qf
例 5 ．均匀介质球（介电常数 为 1 ）的中心置一自由电偶 极子 p f ，球外充满另一种介 质（介电常数为 2 ），求空 间各点电势和束缚电荷分布。 (p.71习题4)
选择球坐标系，原点在球心。考虑 电荷分布在有限区域，选择无穷远 处为电势零点。 1. 使用高斯定理 D dS Q f
S

Qf
R0
得球内外的电 场为
Qf R 4 0 R 3 E Qf R 4 R 3
R R0 R R0
由于电势在球外和球内都满足拉普拉斯方程，且电 势具有轴对称性，所以电势的通解为：
bn n 1 an R n 1 Pn cos R n dn n 2 cn R n1 Pn cos R n
考虑到 R , 1 E0 Rcos E0 RP 1 cos ,
所以电势为Βιβλιοθήκη Baidu
3 0 c1 E0 , cn 0 n 1 2 0
0 3 1 1 E0 RP E0 R0 2 P 1 cos 1 cos 2 0 R 3 0 2 E0 RP 1 cos 2 0
导体球上的感应电荷为
2 0 RR1 R dS Q1
例2. 电容率为的介质球置于均匀外电场E0中，求电 势. E0 解：讨论区域：球外 （I）和球内（II）. R0 选择球坐标系，原点 在球心，z轴沿E0方向。 考虑电荷分布在无限 区域，选择坐标原点 为电势零点。
II I
由于
0 P 0 E 3 0 E0 2 0
可见，介质球内的极化为均匀极化。
例题3 半径为R0的导体球置于均匀外电场E0中, 求电势及导体上的电荷面密度。
解：讨论区域：球外.
选择球坐标系，原点在球心，z 轴沿外电场方向。考虑电荷分布 在无限区域，选择坐标原点为电 势零点。 由于电势满足拉普拉斯方程， 所以电势的通解为：
R1
R3
R2
2 0
2
电荷在球上均匀分布，
场有球对称性，所以
b 1 a R c d 2 R
( R R3 ) ( R1 R R2 )
b 1 a R c d 2 R
( R R3 ) ( R1 R R2 )
但注意，边值关系还要用 S 而不能用 S
二、拉普拉斯方程在球坐标系中解的形式
1. 一般情况
bnm ( R, , ) (anm R n 1 ) Pnm (cos ) cos m R nm d nm n (cnm R n 1 ) Pnm (cos ) sin m R nm
R 0, 2 有限，可以得到
a1 E0 , an 0 n 1 , dn 0
由边值关系： 1 R R 2 R R 0 0 介质球面上
1 2 0 R R R0 R
R R0
可以解出： b 0 E R 3 , b 0 n 1 1 0 0 n 2 0