泛函分析ppt课件

泛函分析基础
信息与电气工程学院 邹海林
2014.2
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泛函分析基础
1、什么是泛函分析？
20世纪20年代形成的数学分支，是从变分 问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来 的。它综合运用函数论，几何学，现代数学的 观点来研究无限维向量空间上的算子和极限理 论。
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波兰数学家在泛函分析 和拓扑学等方面取得了重 要成就。其中的领军人物 是巴拿赫(Stefan Banach
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第一章 距离空间
1.2 收敛概念
1.2.1 收敛点列
设R为距离空间，xn (n 1,2, ) 为R中点列，x R 如果当 n 时，数列 (xn , x) 0, 则称点列 xn
按距离 (x, y) 收敛于 x, 记为
lim xn x
n
或
xn x(n )
此时，称 xn 为收敛点列，x 为 xn 的极限。
1932年巴拿赫出版了 《线性算子论》一书，建 立了巴拿赫空间上线性算 子理论，证明了一批后来 成为泛函分析基础的重要 定理，成为泛函分析理论 成熟的标志。
现代泛函分析的奠基人 波兰数学家巴拿赫
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泛函分析的观点和研究手段推动着其他
一些数学分析学科的发展，如在微分方程、 概率论、函数论、计算数学、控制 论、最优化理论等学科中都有重要的运
图像特征提取 图像识别与分 类
图像滤波、复 原、增强、分 割和图像压缩
应用领域
空间探测 地质勘探 遥感遥测 生物医学 工业探伤 安全检测 机器视觉 人工智能 模式识别 文化产业
多媒体
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例4：
信号的稀疏表示理论： 傅里叶级数 小波变换 神经生理学的研究
视觉皮层对图像的编码模式
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例4：
信号的稀疏表示理论：
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第一章 距离空间
1.1 距离定义
设R表示一个非空集合，若其中任意两元素 x, y 都
按一定的规则与一个实数 (x, y) 相对应，且(x, y)
满足以下 三公理（称为距离公理）：
（1）(x, y) 0 （2）(x, y) ( y, x)
（3）对R中任意3元素x, y, z, 有
(x, z) (x, y) ( y, z)
用。
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2、为什么给研究生开设泛函分析 计算机应用技术解决什么？ 遇到的问题越来越复杂 涉及的知识门类多 现代数学的作用越来越突出
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例1：
信号处 理技术
数学
通信技术
计算机技术
网络技术
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例2：
抽象代数 数理逻辑
密码学理论
信息安全
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例3：
高层
图像理解
中层
图像分析
底层
图像处理
图像中对象属 性及相互关系 分析、判别
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第一章 距离空间
例2：设 Rn为n 维实向量全体所构成的空间，在其中
可定义距离如下：
设 x (x1, x2 , , xn ), y ( y1, y2 , , yn ) 为 R n
中任意两元素，则
( x,
y)
n i 1
( xi
yi
)2
1/ 2
即为平面上两点间的通常距离。
在 R n中也可以定义另一种距离：
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第一章 距离空间
1.3 距离空间的完备性
定义1：在距离空间R中，若任一Cauchy列都在R 中有极限，则称距离空间是完备的。
定义2：设R，R1都是距离空间，如果存在一个由
R到R1的映射T，使一切 x, y R 有
1(Tx,Ty) (x, y)
其中 1, 分别为R，R1上的距离，则称
T为R到R1的等距映射，这时，称R与R1 为等距。
b]上所有平方可积函数的全体，
即对任意 x(t) L2[a,b] , 都有
b
2
a x(t) dt
则可在
L2 [a,b]
中定义距离，对于任意
x(t),
y(t
)
L2 [a,b]
,
可定义距离：
(x(t), y(t)) [ b x(t) y(t) 2 dt]1/2 a
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第一章 距离空间
例5：l 2 表示满足 | xi |2 的实数列的全体，则其 i 1 中任意两点 x (x1, x2 , , xn ), y ( y1, y2 , , yn ) 间的距离可定义如下： (x, y) [ | xi yi |2 ]1/ 2 i 1
1 ( x,
y)
max
1 i n
xi
yi
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第一章 距离空间
例3：用 C[a,b] 表示定义在[a, b]上所有连续函数的全
体，对于任意 x(t), y(t) C[a,b] , 可定义距离：
(x, y) max x(t) y(t) atb
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第一章 距离空间
例4：用
L2 [a,b]
表示
[a,
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第一章 距离空间
1.2.2 Cauchy列
设 xn 为距离空间R中的收敛点列，则存 xn ) (xm , x) (xn , x) 所以，当 m, n 时，有
(xm , xn ) 0 （*）
使上式(*)成立的点列称为Cauchy列，或基本列。
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第一章 距离空间
性质：
定理1.1 在距离空间中，收敛点列的极限是惟一的。
定理1.2 在距离空间中，距离 (x.y) 是两个变元x, y的
连续函数。
定理1.3 设 xn 为距离空间R中的收敛点列，则 xn 必
有界。
即存在 x0 R, 有限数 r 0, 使所有 x xn
都有
(x, x0 ) r
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第一章 距离空间
距离空间的完备化定理： 对每个距离空间R，必存在一个完备的距离空
间R0，使得R等距于R0中的一个稠密子空间R1，并 称R0为R的完备化空间，若除去等距不计，则R0是 惟一的。
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第一章 距离空间
1.4 距离空间的稠密性与可分性 稠密性：
X=Dα
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例4：
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3、泛函分析基础的基本内容
（1）距离空间 （2）赋范线性空间 （3）内积空间 （4）线性算子与线性泛函 （5）投影与逼近
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第一章 距离空间
距离的概念是现实物理世界中物体之间距 离关系的本质特征的数学抽象。
直线上两点之间的距离 三维空间中两个向量之间的距离 曲面上两点之间的距离 ……
则称 (x, z)为 x, y 间的距离，称R为距离空间，其
中的元素也称为点。
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第一章 距离空间
例1：设 R1为非空实数集，对其中任意两个实数 x, y
定义距离：
(x, y) | x y |
即为通常意义下的距离，称欧氏距离。
另外，还可以用另一种方式来定义距离：
1
(
x,
y)
| 1
x |
y x
| y