巧求函数对称的解析式
例析求函数解析式的方法与技巧
解法探究２０２３年８月上半月㊀㊀㊀例析求函数解析式的方法与技巧◉山东省乐陵第一中学㊀张㊀伟㊀㊀求函数解析式 是«普通高中教科书 数学 必修一»(人教版)的重要内容,是进一步学习 基本初等函数 和 函数的应用 的基础．在高考中,通常不会直接考查函数的解析式,但解析式往往是解函数题的基础,所以学习和掌握求函数解析式的方法与技巧非常重要．在具体解题中,可以尝试运用以下六种方法．１配凑法配凑法是一种结构化的方法,即根据已知函数的类型及解析式的特征,配凑出复合变量的形式,从而求出解析式．具体方法是:由已知条件f [g (x )]＝F (x ),可将F (x )改写成关于g (x )的表达式,然后以x 替代g (x ),即可得到f (x )的表达式．使用配凑法时,要注意定义域的变化．配凑法的关键在于如何 配 和 凑 ,让题目的条件转化为容易求解的形式,方法灵活多样,不同的题目,配凑的方法不同．例１㊀已知f (x ＋１)＝x ２－３x ＋２,求函数f (x )的解析式．解:因为f (x ＋１)＝x ２－３x ＋２＝(x ＋１)２－５(x ＋１)＋６,所以f (x )＝x ２－５x ＋６．方法与技巧:配凑法的技巧大多是配凑公式,例如本题中就是化用了公式(a －b )２＝a ２－２a b ＋b２,只需把原复合函数解析式配凑成关于x ＋１的多项式即可．例２㊀已知f (x ＋１x )＝x ２＋１x２,求f (x )的解析式．解:因为f (x ＋１x )＝x ２＋１x２＝(x ＋１x )２－２(x ʂ０),且x ＋１xȡ２所以f (x )＝x ２－２(x ȡ２,或x ɤ－２)．方法与技巧:本题的方法是把原复合函数解析式的右边配凑成关于x ＋１x的多项式,同时注意函数的定义域．２换元法换元法即变量替换,其实质就是转化．通过转化达到 化繁为简㊁化难为易㊁化陌生为熟悉 的目的．对于形如y ＝f [g (x )]的函数解析式,令t ＝g (x ),从中求出x ＝φ(t ),然后代入表达式求出f (t ),最后将t 换成x ,得到f (x )的解析式．换元时要注意新元的取值范围．例３㊀已知a f (４x －３)＋b f (３－４x )＝２x ,a ２ʂb ２,求函数f (x )的解析式．解:令４x －３＝t ,则２x ＝t ＋３２,所以㊀㊀㊀㊀a f (t )＋b f (－t )＝t ＋３２．①将①中的t 换成－t ,得㊀㊀㊀㊀a f (－t )＋b f (t )＝－t ＋３２．②①ˑa －②ˑb ,得(a ２－b ２)f (t )＝a ＋b ２ t ＋３２(a －b )．由a ２ʂb ２,得a ２－b ２ʂ０．所以f (t )＝１２(a －b )t －３２(a ＋b )．故f (x )＝１２(a －b )x －３２(a ＋b )．方法与技巧:因为本题的左边有多项式４x －３,所以首先将４x －３换为t ,然后再将t 换成－t ,求出f (t )后再将t 换成x ,最后得到f (x )的解析式．例４㊀已知f (x )是对除x ＝０及x ＝１以外的一切实数都有意义的函数,且f (x )＋f (x －１x)＝１＋x ,求函数f (x )的解析式．解:f (x )＋f (x －１x )＝１＋x ．③③式中令x ＝t －１t (t ʂ０,t ʂ１),则x －１x ＝１１－t,所以f(t －１t )＋f (１１－t )＝２t －１t．④８６Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２３年８月上半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀③式中令x ＝１１－t (t ʂ０,t ʂ１),则t ＝x －１x,所以f(１１－t )＋f (t )＝２－t１－t．⑤由③式,可得f (t )＋f (t －１t)＝１＋t ．⑥由④⑤⑥,消去f(t －１t )＋f(１１－t),得f (t )＝１２t ＋１＋２－t １－t －２t －１t éëêêùûúú＝１２t －１t (t －１)éëêêùûúú．所以f (x )＝１２x －１x (x －１)éëêêùûúú．方法与技巧:本题通过对③式的两次换元,巧妙地消去f(t －１t )＋f (１１－t ),求出f (t )后再将t 换回x ,最后得到f (x )的解析式．紧扣表达式的特征设元㊁变形㊁消元是换元法常用的技巧．３待定系数法如果已知所求函数的类型(如一次函数㊁二次函数),可先设出所求函数的解析式,再根据题意列出方程组求出系数．具体方法是:先设出含有待定系数的解析式,再利用恒等式的性质,或将已知条件代入,建立方程(组),通过解方程(组)求出相应的待定系数．例５㊀已知f (x )是二次函数,且f (０)＝０,f (x ＋１)＝f (x )＋x ＋１,求函数f (x )的解析式．解:设f (x )＝a x ２＋b x ＋c (a ʂ０)．由f (０)＝０可知c ＝０,所以f (x )＝a x ２＋b x ．又f (x ＋１)＝f (x )＋x ＋１,所以a (x ＋１)２＋b (x ＋１)＝a x ２＋b x ＋x ＋１．即a x ２＋(２a ＋b )x ＋a ＋b ＝a x ２＋(b ＋１)x ＋１．所以２a ＋b ＝b ＋１,a ＋b ＝１,{解得a ＝b ＝１２．故f (x )＝１２x ２＋１２x ．方法与技巧:由已知条件可知f (x )是二次函数,所以设f (x )＝a x ２＋b x ＋c (a ʂ０)．由于推知c ＝０,于是得出a x ２＋(２a ＋b )x ＋a ＋b ＝a x ２＋(b ＋１)x ＋１,进而根据对应系数相等的关系,求出a ,b 的值即可．例６㊀若二次函数f (x )的顶点坐标为(１,４),其与x 轴的交点为(－１,０),试求函数f (x )的解析式．解法１:设函数f (x )＝a x ２＋b x ＋c (a ʂ０),则有－b ２a ＝１,４a c －b ２４a ＝４,a －b ＋c ＝０,ìîíïïïïïï㊀解得a ＝－１,b ＝２,c ＝３．ìîíïïï所以f (x )＝－x ２＋２x ＋３．解法２:设f (x )＝a (x ＋m )２＋k ,因为当m ＝－１时,k ＝４,所以f (x )＝a (x －１)２＋４．由f (－１)＝０,得a (－１－１)２＋４＝０,则a ＝－１．故f (x )＝－x ２＋２x ＋３．方法与技巧:本题的两种解法都运用了待定系数法．解法１运用二次函数的一般式f (x )＝a x ２＋b x ＋c (a ʂ０),通过解方程组求出a ,b ,c 的值代入获解;解法２运用二次函数的顶点式f (x )＝a (x ＋m )２＋k 来求解．它们有异曲同工之妙．４解方程组法已知关于f (x )与f (１x )或f (x )与f (－x )的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组,求出f (x )．例７㊀已知f (x )满足２f(x －１x )＋f (x ＋１x)＝１＋x (x ʂ０),求f (x )．解:㊀㊀２f(x －１x )＋f (x ＋１x)＝１＋x ．⑦⑦式中用－x 代替x ,得２f(x ＋１x )＋f (x －１x)＝１－x ．⑧联立⑦⑧,解得f (x ＋１x )＝１３－x ．⑨令x ＋１x ＝t ,则x ＝１t －１,将其代入⑨式,得f (t )＝１３－１t －１＝t －４３(t －１)．所以f (x )＝x －４３(x －１)．方法与技巧:本题根据题设条件用－x 代替x ,构造一个对称方程组,通过解方程组即可得到f (x )的解析式．例８㊀已知函数f (x )满足f (－x )＋２f (x )＝２x,求f (x )的解析式．解:将f (－x )＋２f (x )＝２x中的－x 用x 代换,得f (x )＋２f (－x )＝２－x．联立两式,解得３f (x )＝２x ＋１－２－x．９６Copyright ©博看网. All Rights Reserved.解法探究２０２３年８月上半月㊀㊀㊀所以f (x )＝２x ＋１－２－x３．方法与技巧:常以f (x )与f (－x ),f (x )与f(１x ),f (x )与f (x ＋a )等构成方程组,消元的目的是为了解方程组．５赋值法赋值法的解题思路是对变量取适当的特殊值,使问题具体化㊁简单化,进而依据结构特点找出一般规律,求出函数解析式．例９㊀已知f (０)＝１,f (a －b )＝f (a )－b (２a －b ＋１),求函数f (x )的解析式．解:令a ＝０,得f (－b )＝f (０)－b (１－b )＝b ２－b ＋１．令－b ＝x ,得f (x )＝x ２＋x ＋１．方法与技巧:从本题可以看出赋值法的解题规律．①当所给函数方程含有两个变量时,可以考虑对这两个变量交替用特殊值代入,或使这两个变量相等代入,再运用已知条件,即可求出函数解析式;②根据题目的具体特征来确定取什么特殊值;③取特殊值代入的目的,是为了使问题具体化㊁简单化,进而找出规律,求出函数解析式．例１０㊀已知f (x ＋y )＋f (x －y )＝２f (x )c o s y ,且f (０)＝a ,f(π２)＝b ,求函数f (x )的解析式．解:令x ＝０,y ＝t ,得f (t )＋f (－t )＝２a c o s t ．⑩令x ＝π２＋t ,y ＝π２,得f (π＋t )＋f (t )＝０． 令x ＝π２,y ＝π２＋t ,得f (π＋t )＋f (－t )＝－２b s i n t ．⑩＋ － ,得f (t )＝a c o s t ＋b s i n t ．所以f (x )＝a c o s x ＋b s i n x ．方法与技巧:本题所给的条件中出现了f (x ),f (x ＋y ),f (x －y )三种函数表达式,情况比较复杂,又已知f (０),f (π２)及考虑到还有c o s y ,所以在运用赋值法的过程中,充分挖掘和利用了题设中的隐含条件,做到了化隐为显㊁化繁为简．本题在运用赋值法的同时,还用到了构造方程㊁换元㊁配凑等多种手段．６代入法代入法求函数解析式的特点是,知道已知函数图象或者方程曲线的一个点A ,通过题目中的关系,用所求的函数图象或者方程曲线上点B 的坐标表示出点A 的坐标,再将点A 的坐标代入已知的函数或者方程中,即可求出所需的函数解析式或曲线方程．例１１㊀已知定义在实数集R 上的函数y ＝f (x )图象关于直线x ＝２对称,并且在[０,２]上的解析式为y ＝２x －１,求函数f (x )在[２,４]上的解析式．解:设M (x ,y )x ɪ[２,４]在函数f (x )的图象上,点M ᶄ(x ᶄ,yᶄ)与M 关于直线x ＝２对称,则x ᶄ＝４－x ,yᶄ＝y ．{又y ᶄ＝２x ᶄ－１．所以y ＝２(４－x )－１,即y ＝７－２x ．故函数f (x )在[２,４]上的解析式为y ＝７－２x ．方法与技巧:从本题的求解过程可以看出,求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时,采用代入法比较简捷．图１例１２㊀如图１,某地有一座形如抛物线的石拱桥,已知其跨度为３７．４m ,拱高为７．２m ,求此石拱桥所在抛物线的解析式．图２解:如图２,以抛物线的对称轴为y 轴,以宽A B 的中点为原点,建立平面直角坐标系x O y ,令抛物线的解析式为y ＝a x ２＋７．２．将点B (１８．７,０)代入,得０＝(１８．７)２a ＋７．２．解得a ＝－７．２１８．７２＝－７２０３４９６９．所以,此石拱桥所在抛物线的解析式为y ＝－７２０３４９６９x ２＋３６５．方法与技巧:本题属于抛物线的实际应用题,体现了数形结合的思想,解题技巧在于把抛物线放在合适的平面直角坐标系中,设出相应的解析式,这样能够使解题过程变得简洁．通过对上述典例的解析,我们可以看到,娴熟地运用 六法 可以应对绝大多数求函数解析式类的题型, 六法 各自既有其独特性,相互之间又有联系,有时一种题型可以用几种方法来求解,达到一题多解的效果．Z０７Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
巧用抛物线的对称性
“由于引进了直角坐标系,抽象的函数性质变得直观、易于理解;解题时若能灵活运用函数的性质,常能事半功倍.今天,我以抛物线的对称性为例来阐明这一点,希望能给大家一些启迪.”Z 老师点明了讲座的主题.例1(2007年常州市中考试题)二次函数y=ax 2+bx+c 的部分对应值如下表,则二次函数y =ax 2+bx +c 图象的对称轴为x=,x =2对应的函数值y=.x y ……-27-30135……0-8-9-57江苏镇江张希麟(特级教师)■③通过调查,你发现当地的自然景观受到了破坏,请写一条广告语,呼吁人们保护我们生存的环境,珍惜我们拥有的资源。
(不超过20字)答:(2007年四川乐山)解析:题①考查活动主题的设定,要与奥运会相关,如人文景观、自然景观、经济文化、体育设施、全民健身意识等。
题②考查活动过程,由于开展过“社会热点调查”实践活动,所以学生较为熟悉。
示例一:收集、整理当地的人文景观、自然景观的相关资料,并实地观察采访。
示例二:走访有关部门,了解经济文化、体育设施、全民健身意识等的现状。
题③属于语言文字在生活中的实际运用,将“绿色奥运”这一环保主题与公益广告有机结合,让学生尝试用广告的语言(有文采,句式基本工整,有一定号召性)进行创作,通过语言实践,提高语文素养,培养创新能力,达到情感、态度、价值观的整体提升。
示例:“行动起来,保护我们的家园!”“前人种下一棵树,后人得惠一片荫。
”责任编辑/梅香meixian g2@126.co m#######################巧用抛物线的对称性★图1H 同学说:利用抛物线上三个点就能确定它的解析式,本题中给出了六个点,我选三个坐标相对简单的点:(0,-8)、(-2,0)、(1,-9),代入抛物线的解析式y=ax 2+bx+c 中,则c=-8,4a-2b+c=0,a+b+c=-9"$$$#$$$%.解得a=1,b=-2,c=-8.即y =x 2-2x-8=(x-1)2-9,于是对称轴为x =1;当x=2时,y =-8.W 同学说:我想题中给出六个点,难道仅仅是为了造成条件多余的感觉吗?!我发现当x=-3和x =5时,y 都等于7,说明(-3,7)与(5,7)是抛物线上的两个对称点(图1).为此,对称轴是x=5+(-3)2=1.再利用对称性,x=2时y 的值就是x =0时y 的值,即y=-8.Z 老师说:H 同学利用待定系数法求解析式是解决此类问题的一般方法,应该掌握.但解题时注意到题中并未要求函数的解析式,且给出了六个点,是否还有其它解题途径?W 同学正是这样去思考的.由此,我们还可以得到一个结论:抛物线上有两个对称点,它们的横坐标是x 1、x 2,那么抛物线的对称轴为x=x 1+x 22.例2对称轴为直线x=72的抛物线经过点A(6,0)和B(0,4),求抛物线的解析式.L 同学说:抛物线经过点A(6,0),对称轴为x=72,得抛物线与x 轴的另一个交点为(1,0),因此设抛物线的解析式为y =a (x -1)(x -6),抛物线经过点B(0,4),得6a=4,a=23,所以y =23(x-1)(x-6)=23x 2-143x+4.S 同学插话:也可设抛物线为y =a(x -72)2+k,但需求出两个待定系数.Z 老师说:抛物线的解析式常用的有三种形式,L 同学用的是y =a (x-x 1)(x -x 2),试问:如果抛物线上的两个对称点不在x 轴上,设A(x 1,y 0)、B(x 2,y 0),那么过A 、B 两点的抛物线解析式又会是怎样呢?小清说:我想应该是y-y 0=a(x -x 1)(x-x 2).设y =ax 2+bx +c,因为x 1、x 2是一元二次方程ax 2+bx +c-y 0=0的两个根,这就是说ax 2+bx +c-y 0=a (x -x 1)(x -x 2),即y-y 0=a(x -x 1)(x-x 2).1在例1中,由(-3,7)和(5,7),可设抛物线的解析式为y -7=a(x +3)(x -5),抛物线经过点(0,-8),有-8-7=-15a,得a=1,抛物线的解析式为y -7=(x +3)(x-5),即y =x 2-2x-8,和H 同学的结果相同.例3(2007年昆明市中考试题)如图2,在直角坐标系中,点A 的坐标为(-2,0),连接OA,将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°,得到线段OB.(1)求点B 的坐标;(2)求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式;(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使△BOC 的周长最小?若存在,求出点C 的坐标;若不存在,请说明理由.H 同学说:过B 作BD ⊥x 轴于D ,在Rt △BOD 中∠BOD=60°,则∠OBD=30°,所以OD=12OB=1,BD=3%,点B 的坐标为1,3%&’.A(-2,0),O(0,0)是抛物线与x 轴的两个交点,设抛物线为y =a(x -0)(x +2)=ax(x +2),由抛物线过点B 1,3%&(,所以3%=3a,即a=3%3,抛物线的解析式为y=3%3x 2+23%3x.显见,抛物线的对称轴为x =-1,由于OB=2为定值,因此,求△BOC 周长的最小值就转化为在直线x=-1上找一点C ,使CO+CB 的值为最小.这是一个大家熟悉的问题,所求C 点为O 、B 两点中的一点与另一点关于x =-1的对称点的连线与直线x =-1的交点,本题中A 、O 关于对称轴x=-1对称,故连接AB ,与对称轴x=-1的交点就是C.设直线AB 方程为y =kx +b,A(-2,0)、B 1,3%&(在直线上,有-2k+b=0,k+b=3%),解得k =3%3,b =23%3*,,,,,+,,,,,-.所以y =3%3x +23%3.令x =-1,则y =3%3,所以C -1,3%3.(.W 同学说:H 同学分析透彻.我补充一下,C 点的坐标也可这样求,在图2O★Rt △ACE 中,∠CAE=30°,CE AE =tan30°,又AE=1,所以CE=tan30°=3$3,C -1,3$3%&.例4(2007年南通市中考试题)某商场将每台进价为3000元的彩电以3900元的销售价售出,每天可销售出6台.假设这种品牌的彩电每台降价100x (x 为正整数)元,每天可以多销售3x 台.(注:利润=销售价-进价)(1)设商场每天销售这种彩电获得的利润为y 元,试写出y 与x 之间的函数关系式;(2)销售该品牌彩电每天获得的最大利润是多少?此时,每台彩电的销售价是多少时,彩电的销售量和营业额均较高?Z 老师说:这是一道应用题,列式并不难.如果每台降价100x 元,则销售量为3x +6台,有y =(3900-100x )(3x +6)-3000(3x +6)=(3x +6)(900-100x )=-300(x 2-7x -18)=-300x-72%&2-1214’(.当x =72时,函数y 有最大值.但由于x是正整数,x 不能取72,如何解决这个矛盾呢?S 同学说:由于x 只取正整数.因此函数的图象不是整条抛物线,而是抛物线y=-300(x 2-7x -18)上横坐标为正整数的一些点.由于抛物线开口向下,所以愈接近对称轴的点,y 值越大.而x=3与x =4的两个点关于对称轴x =72对称,它们的y值相同.本题所求的最大利润就是当x =3或x =4时,函数y 的值为9000元.比较x=3、x =4时的销售价、销售量、营业额,最终问题就能解决.Z 老师说:利用抛物线的对称性,为解题提供了便捷的途径.也许有的同学会说,这些题我都会解,这样的研究有实际的价值吗?我认为做事首要的是讲求效率,从现实情况看,因为考试时间不够,未能完成答卷,甚至出现自己会做都没有来得及做的现象,难道我们见得还少吗?研究解法,就能赢得时间.而对命题者来讲,这正反映了你对知识掌握的程度,体现你的学习能力,这也正是检测的重要目标之一.责任编辑/沈红艳czsshy@126.co m。
巧用“三招”求函数的解析式
知识导航求函数的解析式是各类试题中的必考内容，也是一类基础题目.笔者总结了求函数解析式的三种常用方法：换元法、方程法、性质法，以帮助同学们提高解答此类问题的效率.一、换元法换元法常用于求复合函数、含有根式的函数的解析式.在解题时，需先引入新的变量t，用其替换函数式中的某一部分，使函数式化简，最后用x替换t，进而求得函数的解析式.在换元的过程中，要注意定义域的等价转换.例1.已知féëùû1-x1+x=1-x21+x2，求f(x)的解析式.分析：该函数式较为复杂，需要运用换元法进行求解.首先令g(x)=1-x1+x=t，变形可得x=1-t1+t，将其代入到f(t)中，然后将t换成x就能得到原函数的解析式.解：令1-x1+x=t(t≠-1)，则x=1-t1+t，∴f(t)=1-éëùû1-t1+t21+éëùû1-t1+t2=2t1+t2，所以f(x)=2x1+x2(x≠-1).二、方程法方程法是指结合题目的条件构造合适的方程或者方程组，通过解方程或者方程组，从而求得函数的解析式的方法.方程法常用于求解已知f(x)、f(1x)、f(-x)的表达式的问题.在解题时需将1x、-x用x替换，构造出方程组，通过化简、消元，便可得到函数的解析式.例2.已知f(x)满足f(x)+2f(1x)=3x,(x≠0)，求f(x)的解析式.分析：题目中含有f(x)和f(1x)，需要用构造方程组的方法来解题.首先将x换成1x得到f(1x)+2f(x)3x，然后将其与原方程联立，将f(1x)消去，就可以得到f(x)的解析式.解：由f(x)+2f(1x)=3x可得f(1x)+2f(x)=3x，将方程组联立可得ìíîïïf(x)+2f(1x)=3x,f(1x)+2f(x)=3x,消去f(1x)可得f(x)=2x-x.三、性质法性质法是指利用函数的性质求得函数解析式的方法.在求函数的解析式时，常需结合题意利用函数的奇偶性、周期性、对称性等求得函数的解析式.该方法较为直接、简单.一般地，只需结合函数的奇偶性、周期性、对称性等，构造出f(-x)或f(x+T),通过化简即可求得函数的解析式.例3.已知y=f(x)为奇函数，且当x<0时，f(x)=xx2+1+1，那么当x>0时，求f(x)的解析式.分析：该函数为奇函数，可以利用性质法来解题.首先根据奇函数的定义将x替换为-x，得到f(-x)，然后利用函数的奇偶性f(-x)=-f(x)，求得f(x)的解析式.解：∵x>0,∴-x<0，∴f(-x)=-x(-x)2+1=-xx2+1+1，又f(x)为奇函数，∴f(-x)=-f(x)，∴f(-x)=-f(x)=-x x2+1+1，∴f(x)=-(-x x2+1+1)=x x2+1-1.总之，换元法、方程法、性质法是求函数解析式的基本方法，也是常用的“三招”.相比较而言，换元法和性质法是同学们应用较为频繁的方法，但方程法却是运算量最少的一种方法.同学们要弄清楚各种方法的特点和适用条件，将其灵活地应用于解题当中.（作者单位：江苏省南通市海门实验学校）39。
二次函数的应用-抛物线的对称性
抛物线对称性的应用一、基础回顾试画出二次函数y=x2−2x−3的图像二、用对称性解决问题题型 1 巧用对称性--求点坐标已知二次函数y=x2−2x+c的图像与x轴的一个交点为（3,0），求该函数图像与x轴的另一个交点坐标变式一:已知抛物线y=ax²+bx+c经过点A（-2，5）、B（4，5）、C（-4，21），求该抛物线上纵坐标为21的另一点的坐标变式二:已知A(x1,2016),B(x2,2016)是二次函数y=x2−2x−3的图象上两点,则当x=x1+x2时,二次函数的值是( )A.−3−b24a B.−3+2b2aC. 2016D.-3题型2善用对称性--求解析式抛物线图像经过（3,0）与（-1,0），最低点纵坐标是-4，求函数解析式变式一:抛物线图像经过（-1,3）（5,3）（2,6），求函数解析式变式二:已知抛物线2142y x bx =-++上有不同的两点E 2(3,1)k k +-+和 F 2(1,1)k k ---+，求抛物线解析式题型3活用对称性--比较大小已知二次函数y =x 2−2x −3,当x 1=−2,x 2=3时，对应的y 1 与y 2的大小关系是（）A ．y 1 <y 2 B. y 1 =y 2 C. y 1 >y 2 D.不确定变式1：已知二次函数 y =−x 2+bx +c ，其对称轴是x=1，当x 1=−2，x 2=3时,试比较y 1和 y 2的大小。
变式2：已知二次函数 y =ax 2+bx +c （a ≠0），其对称轴是x=1，当x 1=−2，x 2=3时,试比较y 1和 y 2的大小。
三、拓展思维1、二次函数y=x2−2x+c（c为常数）的图象如图所示，当x=a时，y＜0；那么当x=a-2时，关于函数值y的结论正确的是（）A.y<0B.0<y<cC.y>cD.y=c2、已知抛物线y=x2−2x+c的顶点A在直线y=−4x上。
求函数解析式的四种常用方法
求函数解析式的四种常用方法函数是数学中的重要概念，它描述了变量之间的关系。
函数解析式是用代数表达式来表示函数的定义域、值域和具体的变化规律。
常用的四种方法来得到函数的解析式是：通过公式、通过图像、通过数据和通过给定条件。
一、通过公式：一些函数的解析式可以通过简单的数学公式来得到。
例如，直线函数y = kx + b、二次函数y = ax^2 + bx + c以及指数函数y = a^x等。
这些函数可以根据已知的系数和常数来确定解析式。
例如，对于直线函数y = 2x + 3，我们可以知道它的斜率是2，截距是3，因此解析式为y = 2x + 3二、通过图像：函数的解析式可以通过观察图像来确定。
例如，可以根据函数的特点，如对称性、切线的斜率等，来确定解析式。
对于一元函数来说，可以通过绘制函数的图像来判断函数的特点，从而得到函数的解析式。
例如，对于一次函数来说，可以通过观察图像的直线特点来确定解析式；对于二次函数来说，可以根据开口方向、抛物线的顶点位置等来确定解析式。
三、通过数据：有时候可以通过给定的数值表格或函数的值来确定函数的解析式。
通过列举一组合适的输入和输出值，然后观察数值的规律，可以找到函数的解析式。
例如，已知函数的自变量为x，函数的值为y，通过给定一些具体的x和对应的y值，可以通过观察它们之间的关系来确定函数的解析式。
四、通过给定条件：在一些具体的问题中，函数的解析式可以通过给定的条件来确定。
例如，在几何问题中，根据给定的几何条件和函数的特性，可以建立函数的解析式。
例如，根据直线过点的条件和斜率的特性，可以确定直线的解析式。
综上所述，函数解析式的四种常用方法是通过公式、通过图像、通过数据和通过给定条件。
通过这些方法，可以确定函数的解析式，进而研究函数的性质和变化规律，以及解决一些实际问题。
点对称求函数解析式
用“点对称”巧求函数解析式
张荣友
利用“点对称”的知识，可巧妙地求某个函数图象关于某点、某直线对称的图象的解析式，这种方法比普通方法求解析式更简捷明快，现举例如下：
例1. 求直线关于y轴对称的直线的解析式。
解：设直线上的任一点，则关于y轴对称点p”的坐标为，则点的横、纵坐标为（x，y）满足：
（1）（2）
由（1）、（2）消去a，得
从而所求直线
比较L
1与L
2
的解析式可发现，它们中的x换成不变。
这正好和“点关于y
轴对称”一样，所以我们可以用“点对称”直接求直线的解析式。
例2. 求抛物线关于坐标原点对称的抛物线。
解：因为点关于原点的对称点为
所以在解析式中，用代换x，代换y
得
即为所求的抛物线。
例3. 求直线关于直线对称的直线的解析式。
解：因为关于直线的对称点
所以在直线中用y代换x，用x代换y
从而得
∴所求直线解析式为。
求函数的解析式的几种常见方法
求函数的解析式的几种常见方法求函数的解析式是函数的常见问题,也是高考的常规题型之一,方法众多, 若在考试的时候方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，起到事半功倍的作用。
下面就对一些常用的方法举例如下.一．换元法：已知f （g(x)）,求f(x)的解析式，一般的可用换元法，具体为：令t=g(x),在求出f(t)可得f （x ）的解析式。
换元后要确定新元t 的取值范围。
例题1．已知f(3x+1)=4x+3, 求f(x)的解析式.令t=3x+1， x=31-t 354)(3314)(-=⇒+-⨯=⇒t t f t t f 354)(-=⇒x x f 二．配凑法：把形如f(g(x))内的g(x)当做整体，在解析式的右端整理成只含有g(x)的形式，再把g(x)用x 代替。
一般的利用完全平方公式例题2．已知221)1(xx x x f +=-, 求)(x f 的解析式. 2)(2)1()1(22+=⇒+-=-⇒x x f xx x x f 三．待定系数法：已知函数模型（如：一次函数，二次函数，指数函数等）求解析式，首先设出函数解析式，根据已知条件代入求系数例题3．设)(x f 是一元二次函数, )(2)(x f x g x ⋅=,且212)()1(x x g x g x ⋅=-++, 求)(x f 与)(x g .解;设c bx ax x f =+=2)(,则g(x)=2x (ax 2+bx+c) 四．构造法:求抽象函数的解析式，往往通过变换变量构造一个方程，组成方程组，利用消元法求f （x ）的解析式例题4．设函数)(x f 是定义(－∞,0)∪(0,+ ∞)在上的函数,且满足关系式x xf x f 4)1(2)(3=+,求)(x f 的解析式. 解;令x x 1=，xx f x f 14)(2)1(3⨯=+ 联立方程，得： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+x x f x f x x f x f 4)(2)1(34)1(2)(3 ， 解得x x x f 58512)(-= 五．利用给定的特性求解析式;一般为已知x>0时， f(x)的解析式，求x<0时，f(x)的解析式。
分式函数对称中心公式
分式函数对称中心公式
如果p(-x)=-p(x)且q(-x)=q(x)，则分式函数f(x)关于y轴对称；
如果p(-x)=p(x)且q(-x)=q(x)，则分式函数f(x)关于原点对称。
这两个公式可以帮助我们确定分式函数的对称中心，从而更好地理解和分析分式函数的性质。
通过对称中心公式，我们可以判断分式函数在平面直角坐标系中的对称性质，帮助我们更好地理解和利用分式函数的性质。
当我们解决关于分式函数的问题时，对称中心公式可以为我们提供重要的线索和信息。
除了上述的数学定义外，我们还可以从图形的角度来理解分式函数的对称中心。
通过绘制分式函数的图像，并观察其关于y轴或原点的对称性，我们可以直观地理解对称中心公式的作用。
这有助于我们更直观地理解分式函数的对称性质，从而更好地应用和理解分式函数的相关概念。
总之，分式函数对称中心公式是分析和理解分式函数性质的重
要工具，它通过数学公式和图形的对称性质，帮助我们更好地理解和应用分式函数的相关概念。
希望这个回答能够满足你的需求。
关于x轴对称的函数
关于x轴对称的函数二次函数y=ax²+bx+c关于x轴对称的解析式为y=-(ax²+bx+c)关于y轴对称的解析式为y=a(-x)²+b(-x)+c=ax²-bx+c扩展资料：二次函数的性质：1.二次函数的图像是抛物线，但抛物线不一定是二次函数。
开口向上或者向下的抛物线才是二次函数。
抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）。
2.抛物线有一个顶点P，坐标为P。
当时，P在y轴上；当时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
|a|越大，则抛物线的开口越小；|a|越小，则抛物线的开口越大。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右侧。
（可巧记为：左同右异）5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0,c）6.抛物线与x轴交点个数：时，抛物线与x轴有2个交点。
时，抛物线与x轴有1个交点。
当时，抛物线与x轴没有交点。
7.当时，函数在处取得最小值；在上是减函数，在上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是。
当时，函数在处取得最大值；在上是增函数，在上是减函数；抛物线的开口向下；函数的值域是。
当时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax²+c(a≠0)。
二次函数关于坐标轴对称图形的解析式
二次函数关于坐标轴对称图形的解析式江苏丁小平学习了平面直角坐标系后，我们经常会解决一些点关于坐标轴的对称点的问题。
学习了二次函数后，我们也可运用类似的方法求抛物线关于坐标轴对称的抛物线的函数解析式。
现举例如下：例1、求抛物线y=2x2-4x-5关于x轴对称的抛物线。
解：方法一、利用顶点式：y=2x2-4x-5=2（x-1）2-7抛物线y=2x2-4x-5的顶点为（1，-7）。
抛物线y=2x2-4x-5关于x轴对称得到的抛物线形状大小与原来的一样，但开口的方向改为向下，顶点关于x轴对称。
所以所求抛物线的二次项系数是-2，顶点为（1，7）。
所以，抛物线y=2x2-4x-5关于x轴对称的抛物线为y=-2(x-1)2+7.方法二、利用点对称：设点P（x，y）在对称后的抛物线上，则P点关于x轴对称的对称点为P′（x，-y）必在抛物线y=2x2-4x-5上。
点P′（x，-y）符合解析式。
所以在y=2x2-4x-5中，用x代换x， y代换y得-y=2x2-4x-5即y=-2x2+4x+5为所求的抛物线。
说明：抛物线关于x轴对称：将解析式中的(x，y)换成它的对称点(x，－y)y＝ax2＋bx＋c变为y＝－ax2－bx－c.例2. 求抛物线y=4x2+8x-4关于y轴对称的抛物线。
解：方法一、利用顶点式：y=4x2+8x-4=4（x+1）2-8抛物线y=4x2+8x-4的顶点为（-1，-8）。
抛物线y=4x2+8x-4关于y轴对称得到的抛物线形状大小与原来的一样，开口的方向保持不变，顶点关于y轴对称。
所以所求抛物线的二次项系数是4，顶点为（1，-8）。
所以，抛物线y=4x2+8x-4关于y轴对称的抛物线为y=4(x-1)2-8.方法二、利用点对称：设点P（x，y）在对称后的抛物线上，则P点关于y轴对称的对称点为P′（-x，y）必在抛物线y=4x2+8x-4上。
点P′（-x，y）符合解析式。
所以在y=4x2+8x-4中，用-x代换x，y代换y得y=4(-x)2+8(-x)-4即y=4x2-8x-4为所求的抛物线。
(文章)利用抛物线的对称轴解题
利用抛物线的对称轴解题抛物线的对称轴是二次函数的一个重要特性，巧用这个对称性，能使求解变得简洁，下面举例说明；1. 用对称比大小例1、已知二次函数234y x x =--，若x x 2132320->->，试比较1y 与2y 的大小；解析：因为抛物线的对称轴为x =32，且3201->x ，x 2320->，所以x 1在对称轴的左侧，x 2在对称轴的右侧，因为x 1到对称轴x =32的距离为||x x 113232-=-，x 2到对称轴x =32的距离为||x x 223232-=-，由题意知：x x 2132320->->，即x 2到对称轴的距离大于x 1到对称轴的距离，所以21y y >2. 用对称求解析式例2. 已知抛物线y ax bx c =++2的顶点坐标为（－1，4），与x 轴两交点间的距离为6，求此抛物线的解析式。
解析：因为顶点坐标为（－1，4），所以对称轴为x =-1，又因为抛物线与x 轴两交点的距离为6，所以两交点的横坐标分别为： x 113=--，x 213=-+， 则两交点的坐标为（-4，0）、（2，0）；求函数的解析式可有两种方法：解法(1)：设抛物线的解析式为顶点式：y a x =++()142，把（2，0）代入得a =-49，所以抛物线的解析式为y x =-++49142()；解法(2)：设抛物线的解析式为两点式：(4)y a x =+（x-2），把（－1，4）代入得a =-49，所以抛物线的解析式为：4(4)9y x =-+（x-2）；3. 用对称性解答方程问题例3. 关于x 的方程x px 210++=（p >0）的两根之差为1，则p 等于（ ） A. 2 B. 4 C.3 D.5解析：设方程x px 210++=的两根为x 1、x 2，则抛物线y x px =++21与x 轴两交点的坐标为（x 1，0），（x 2，0）因为抛物线的对称轴为x p =-2，所以x p 1212=--，x p 2212=-+， 因为x x 121⋅=，所以()()---+=p p 2122121，得：p 25=，因为p >0，所以p =5 故选D。
利用对称求函数的解析式
２ ． 点（ ｚ， Ｙ ） 关 于 轴 的对称 点是 （ 一ｏ Ｚ ． ， Ｙ ） 。
３ ． 点（ ｚ， ） 关 于 直线 —ａ 的对 称 点是 （ ２ ａ～ｚ，
Ｙ） 。
侧
１
已知函数 － 厂 （ ） 的图像与函数 ｇ （ ） 一
ｚ＋ ＋２ 的 图像 关 于 点 （ ０ ， １ ） 对称 ， 求 函数 ，（ ｚ ） 的
由函数 ｆ（ ｘ） 的 图像过 点 （ Ｏ ， １ ） ， 得 ｆ（ Ｏ ） 一１ ， 即
２ ｌ ｏ ｇ ２ （ ０ ＋ａ ） ＋１ —１ ， 解得 ａ 一１ 。
由 于 对 船 上 储 存 淡水 、 船的稳定性 、 抗 沉 性 等 问题 都 作 了合 理 解 决 ， 所 以郑 和 的船 队 能 够在 “ 洪涛 接 天 ， 巨浪 如 山” 的
故当 ｚ ＞ ０时 ， ｆ（ ｘ） 一ｚ（ １ ＋ｚ） 。
解析 ： 设（ ， Ｙ ） 是 ｆ（ ｘ） 的图像 上任 意一 点 。
由函数 （ ｓ ｃ ） 的 图像 与 函数 ｇ（ ｚ） 一２ 言 ＿ 。 一ａ一 １的 图像 关于 直线 —ｚ一１成轴 对称 ， 得点（ ， ） 关 于 直线 Ｙ— 一１的对 称点 在 函数 ｇ（ ） 一２ ～ 一ａ
１ １
侧 ， 设 函数 ，（ ｚ） 的图像关于直线 ｚ一１ 对
称， 若 当 ｚ≤ １时 ， ｆ（ ３ ２ ） 一 。 ＋１ ， 则 当 ＞ １时 ，
厂（ ） 一—— 。
则 ２ 一 一一ｚ一二 ＋２ ， ห้องสมุดไป่ตู้ —ｚ＋ 。
１
解析 ： 设（ ｚ， ） （ ｚ＞ １ ） 是 ｌ ｚ ＞ １时 厂（ ） 的 图像 上任 意一 点 ， 则点 （ ｚ， Ｙ ） 关 于直 线 ｚ一１的对 称 点 在
(求函数解析式)：10.利用奇偶性求函数解析式
当一个函数是奇函数或偶函数，那么它就具有一些对称性，如果给出了一个区间上的函数解析式，我们就可以通过对称性求另一个区间上的解析式。
今天我们通过几个例子，看看这种题目如何进行求解。
同学们要善于利用对称性求解问题。
先看例题：例：设偶函数f (x )满足4(0)(2)xf x x =≥－，求f (x )在R 上的解析式解：因为求的是x <0上的解析式，所以可以直接设出x 的范围即0,0x x <>设则－,因为函数是偶函数，所以有： ()()24x f x f x --＝＝－，为x <0部分的解析式所以函数在R 上的解析式为：()24,024,0x x x f x x -⎧≥⎨<⎩－＝－ 整理：利用奇偶性求函数解析式，此类问题的一般做法是：①“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x 就设在哪个区间内．②利用f (x )的奇偶性f (x ) =－f (－ x )或f (x ) =f (－x ) ．③要利用已知区间的解析式进行代入，从而解出f (x ) ．练：设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，()223x f x x -+＝.求f (x )在R 上的解析式解：已知x >0的解析式，则根据基本步骤可以0,0x x <>设则－,根据奇函数的性质：2()()[()2()3]f x f x x x ----+＝-＝-整理得：223x x ---＝注意：还要讨论0x =的情况： ()(),(0)f x f x f -＝-＝0因此函数在R 上的解析式为：()2223,00,023,0x x x f x x x x x ⎧-+>⎪=⎨⎪---<⎩＝总结：1.利用奇偶性求函数解析式，实际上是利用对称性，求得函数的解析式。
2.从已知区间解析式入手，进行代入，求得未知区间的解析式。
3.所求函数的定义域要完整，不重不漏。
练习：设偶函数f (x )满足f (x )=2x－4(x ≥0),则{x |f (x －2)> 0}=( )A.{x <－2或x >4}B.{x |x <0或x >4}C.{x |x <0或x >6}D.{x |x <－2或x >2}2.设)(x f 是偶函数,当x ≥0时, x e x e x f +⋅=2)(,求当x ＜0时，)(x f 的表达式. 答案：。
2020届高中数学：函数的奇偶性与周期性、对称性解题方法总结
(2)图象法：函数的图象能够直观地反映函数的奇偶性，
f(x)为奇函数的充要条件是函数
f(x)的图象关于原点对称； f(x)为偶函数的充要条件是函数 f( x)的图象关于 y 轴对称．
(3)运用奇、偶函数的运算结论．要注意定义域应为两个函数定义域的交集．
4． 判断周期函数的一般方法 (1) 定义法：应用定义法判断或证明函数是否具有周期性的关键是从函数周期的定义出 发，充分挖掘隐含条件， 合理赋值， 巧妙转化．运用“考点梳理”栏目中有关周期的结论可
x＞ 0，则－ x＜ 0；若 1＜ x＜ 2，则 3
＜x＋ 2＜ 4 等．如果要研究其值域、 最值、单调性等问题， 通常先在原点一侧的区间 (对奇 (偶 )
函数而言 )或某一周期内 ( 对周期函数而言 )考虑，然后推广到整个定义域上．
6． 解题中要注意以下性质的灵活运用
(1)f(x)为偶函数 ? f (x)＝ f(|x|)；
2． 奇、偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据
，为了方便判断函数的奇偶性，有
时需要将函数进行化简， 或应用 定义的等价形式 ：f(－x)＝±f(x)? f(－ x)?f(x)＝ 0? f （－ x） ＝ f（x）
±1(f(x)≠ 0)进行判断．
3． 判断函数奇偶性的方法通常有
(1)定义法：根据定义判断．
2020 届高中数学： 函数的奇偶性与周期性、 对称性解题方法
总结
1．判断函数的奇偶性 时，首先要确定函数的定义域 (函数的定义域关于原点对称是函数
具有奇偶性的必要条件 ，如果函数定义域不关于原点对称，那么它不具有奇偶性
)，若定义
Байду номын сангаас
域关于原点对称，再判断 f(－ x)与 f (x)的关系，从而确定函数的奇偶性．
求函数解析式的6种方法
求函数解析式的6种方法函数解析式是描述函数行为的一种数学表示方法，可以通过不同的方法得到。
以下是六种常见的方法：1.点斜式：如果已知函数通过一点（x1,y1）且斜率为m，则可以使用点斜式来表示函数解析式。
点斜式的一般形式为y-y1=m(x-x1)。
例如，如果已知函数通过点(2,3)且斜率为4，则函数解析式可以表示为y-3=4(x-2)。
2.两点式：如果已知函数通过两个点（x1,y1）和（x2,y2），则可以使用两点式来表示函数解析式。
两点式的一般形式为(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)。
例如，如果已知函数通过点(1,2)和(3,4)，则函数解析式可以表示为(y-2)/(4-2)=(x-1)/(3-1)。
3. 斜截式：如果已知函数通过y轴截距b且斜率为m，则可以使用斜截式来表示函数解析式。
斜截式的一般形式为y = mx + b。
例如，如果已知函数通过y轴截距为2且斜率为3，则函数解析式可以表示为y =3x + 24.一般式：一般式是一种通用的函数解析式表示方法，用Ax+By+C=0的形式表示。
其中A、B、C为常数。
一般式的选择通常取决于特定问题或需要。
例如，已知函数为3x+2y-6=0，则可以将其表示为一般式。
5.法线式：如果已知函数通过一点（x1,y1），则可以使用法线式来表示函数解析式。
法线式与点斜式类似，但斜率的倒数与点斜式斜率相反。
法线式的一般形式为y-y1=(-1/m)(x-x1)，其中m为函数的斜率。
例如，如果已知函数通过点(2,3)且斜率为4，则函数解析式可以表示为y-3=(-1/4)(x-2)。
6.函数图形：通过观察函数的图形，可以得到函数的一些特征和规律，从而推断出函数解析式。
例如，通过观察函数图形的对称性、零点、极值点等，可以得到函数解析式的一些重要信息。
这种方法通常适用于简单的函数图形，对于复杂的函数图形可能需要借助计算机软件进行分析。
这些方法不是互斥的，可以根据具体问题和已知条件选择合适的方法来得到函数解析式。
高三C专题(轨迹方程：线对称问题3星)
专题：轨迹方程：线对称问题（★★★） 教学目标 1.掌握关于已知直线的对称题型的解题方法；2.掌握直线对称题型的应用，会把相关问题转化成直线对称题型知识梳理 5 min.1.点关于线对称（1）(,)P x y 关于x a =的对称点为(2,)a x y -（2）(,)P x y 关于y b =的对称点为(,2)x b y -（3）(,)P x y 关于y x b =+的对称点为(,)y b x b -+（巧记：代入x 求y ，代入y 求x ）（4）(,)P x y 关于y x b =-的对称点为(,)y b x b +-（巧记：代入x 求y ，代入y 求x ）（5）求解(,)P x y 关于:0l Ax By C ++=的对称点一般步骤：①设对称点(,)P a b '②列方程0()22()()0()a xb yA B C PP l B a x A b y PP l ++⎧'⋅+⋅+=⎪⎨⎪'---=⎩中点在上与垂直③求解,a b2.其他的（线、圆、二次曲线、一般曲线）关于线对称（1）转化成点关于线对称（2）其他好方法（具体题目具体分析）典例精讲例1.（★★）求函数lg y x =关于4y =对称的函数解析式【答案】：设所求函数上任一点(,)x y ，则(,)x y 关于4y =的对称点(,8)x y -应在lg y x =上∴8lg y x -=，即8lg y x =-【批注】：一般的(,)0f x y =关于y b =的对称曲线可用此方法求，求得：(,2)0f x b y -= 例2.（★★★）求圆22(1)(2)1x y -+-=关于直线:10l x y --=对称的圆的方程。
【答案】：解法一：对称后的圆心为(,)a b ，它与原来的圆心(1,2)关于直线l 对称 所以121022(1)(2)0a b a b ++⎧--=⎪⎨⎪-+-=⎩ 解得30a b =⎧⎨=⎩所以对称后圆心(3,0)，半径不变，仍为1所以方程为：22(3)1x y -+=解法二：原来的圆心(1,2)关于l 对称后的圆心为(21,11)+-也就是(3,0)半径不变，方程为22(3)1x y -+=例3.（★★★）求直线120l x y --=：关于直线330l x y -+=：的对称直线2l 的方程。
函数解析式的8种求法
函 数 解 析 式 的 八 种 求 法一．待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）若已知)(x f 的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得)(x f 的表达式。
【例1】已知函数f(x)是一次函数，且满足关系式3f(x+1)-2f(x -1)=2x +17，求f(x )的解析式。
分析：所求的函数类型已定，是一次函数。
设f(x)=ax+b(a≠0)则f(x+1)=?，f(x-1)=?解：设f(x)=ax+b(a≠0)，由条件得：3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=ax+5a+b=2x+17，∴f(x)=2x+7 【例2】求一个一次函数f(x)，使得f{f[f(x)]}=8x+7分析：所求的函数类型已定，是一次函数。
设f(x)=ax+b(a≠0)则f{f[f(x)]}=f{f[ax+b]}=f[a(ax+b)+b]=? 解：设f(x)=ax+b （a≠0)，依题意有a[a(ax+b)+b]+b=8x+7 ∴x a 3+b(2a +a+1)=8x+7，∴f(x)=2x+1例 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 解：设bax x f +=)( )0(≠a ，则bab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([∴⎩⎨⎧=+=342b ab a ∴⎩⎨⎧⎩⎨⎧=-===3212b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 例、已知二次函数)(x f y =满足),2()2(--=-x f x f 且图象在y 轴上的截距为1，被x 轴截得的线段长为22，求函数)(x f y =的解析式。
分析：二次函数的解析式有三种形式： ① 一般式：)0()(2≠++=a c bx ax x f② 顶点式：()为函数的顶点点其中k h a kh x a x f ,,0)()(2≠++=③ 双根式：的两根是方程与其中0)(,0))(()(2121=≠--=x f x x a x x x x a x f解法1：设)0()(2≠++=a cbx ax x f ，则由y 轴上的截距为1知：1)0(=f ，即c=1 ① ∴ 1)(2++=bx ax x f由)2()2(--=-x f x f 知：1)2()2(1)2()2(22+--+--=+-+-x b x a x b x a 整理得：0)4(=-x b a , 即： 04=-b a ②由被x 轴截得的线段长为22知，22||21=-x x ， 即84)()(21221221=-+=-x x x x x x . 得:814)(2=--aab .整理得： 2284a a b =- ③ 由②③得： 2,21==b a , ∴ 1221)(2++=x x x f .解法2：由)2()2(--=-x f x f 知：二次函数对称轴为2-=x ，所以设)0()2()(2≠++=a kx a x f ；以下从略。
求函数解析式的常用方法 难题 提高 ( 含练习,含有答案)
求函数解析式的六种常用方法一、换元法已知复合函数f [g （x ）]的解析式，求原函数f （x ）的解析式.令g （x ）= t ，求f （t ）的解析式，再把t 换为x 即可.例1 已知f （xx 1+）= x x x 1122++，求f （x ）的解析式. 解： 设x x 1+= t ，则 x= 11-t （t ≠1）， ∴f （t ）= 111)11(1)11(22-+-+-t t t = 1+2)1(-t +（t －1）= t 2－t+1 故 f （x ）=x 2－x+1 （x ≠1）.评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函数的定义域.二、配凑法例2 已知f （x +1）= x+2x ，求f （x ）的解析式.解： f （x +1）= 2)(x +2x +1－1=2)1(+x －1，∴ f （x +1）= 2)1(+x －1 （x +1≥1），将x +1视为自变量x ，则有f （x ）= x 2－1 （x ≥1）.评注: 使用配凑法时，一定要注意函数的定义域的变化，否则容易出错.练习：1）已知f （x+x 1）=3x +31x，求f(x)。
2）已知f （x+x 1）=28x +28x+1，求f(x)。
3) 已知2211(),f x x x x -=+求()f x . 4) f （sinx ）=-x 2sin 2cos(2x)，求f(x ）函数解析式。
三、待定系数法例3 已知二次函数f （x ）满足f （0）=0，f （x+1）= f （x ）+2x+8，求f （x ）的解析式.解：设二次函数f （x ）= ax 2+bx+c ，则 f （0）= c= 0 ①f （x+1）= a 2)1(+x +b （x+1）= ax 2+（2a+b ）x+a+b ② 由f （x+1）= f （x ）+2x+8 与①、② 得⎩⎨⎧=++=+822b a b b a 解得 ⎩⎨⎧==.7,1b a 故f （x ）= x 2+7x. 评注: 已知函数类型，常用待定系数法求函数解析式.练习：1）已知，f(x)是一次函数，且满足3f （x+1）-2f （x-1）=2x+17，求f(x)的表达式2）已知，f(x)是二次函数，且满足f （x+1）+f （x-1）=2x 2 -4x+4，求f(x)的表达式3）f (x)是x 的二次函数，g(x) = 2x ·f (x)，且g(x + 1)－g(x) = 21+x ·x 2，求函数f (x)和g(x)的解析式．解：设f (x) = ax 2+ bx + c (a ≠0)，则g(x) = 2x ·(ax 2+ bx + c)．由g(x + 1)－g(x) = 21+x ·x 2得：21+x ·[a (x + 1)2+ b(x + 1) + c]－2x ·(ax 2+ bx + c) = 21+x ·x 2，即ax 2+ (4a + b)x + (2a + 2b + c) = 2x 2．这是关于x 的恒等式，比较系数，得⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=.022,04,2c b a b a a ⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-==.21,8,2c b a ∴f (x) = 2x 2－8x + 12 ，g(x) = 21+x ·(x 2－4x + 6)．4) 已知()f x 是二次函数，若(0)0,f =且(1)()1f x f x x +=++试求()f x 的表达式。
二次函数关于顶点对称的解析式
二次函数关于顶点对称的解析式二次函数是数学中比较重要的概念，有着广泛的应用。
其特征之一就是关于顶点对称，若一个二次函数满足对称性，它就是关于顶点对称的。
今天我们就来讨论一下二次函数关于顶点对称的解析式。
首先，我们来看一下什么是顶点对称。
若一个函数是关于顶点对称的，它的图像会满足下面的规律：顶点是函数图像中心，指数函数的曲线和以顶点为中心的对称线对称。
一般情况下，对称的函数为y=ax^2+bx+c，其中a≠0，满足|a|=1。
其次，我们来看一下二次函数关于顶点对称的解析式。
首先，通过求解二次函数f(x)=ax^2+bx+c的顶点，可以得出解析式：x=-b/2a， y=f(-b/2a)。
这样，f(x)的顶点就可以求出来了。
接下来，再通过解析的方法，可以求出f(x)关于顶点对称的解析式。
具体而言，由于f(x)经过顶点(x0,y0)，则关于顶点对称的函数的表达式为：y=2y0-f(2x0-x)，其中y0为顶点的函数值，x0为顶点的横坐标。
最后，我们再来看一下，根据上面的解析式，如何绘制一个关于顶点对称的二次函数，使得函数经过指定的顶点（x0,y0）。
首先，我们可以使用一元二次方程来求函数f(x)。
使用求解二次函数顶点的公式带入即可求出ax^2+bx+c=0的解，其中a, b, c 皆为已知量。
接下来，解出的ax^2+bx+c=0即可作为求函数f(x)的一元二次方程，求出解析式。
最后，将f(x)的解析式带入关于顶点对称的解析式：y=2y0-f(2x0-x)，即可得出关于顶点对称的f(x)的解析式。
综上所述，二次函数关于顶点对称的解析式为y=2y0-f(2x0-x)，其具有重要的应用价值，可以为研究二次函数关于顶点对称的性质提供方便。
巧用轴对称求函数解析式
龙源期刊网
巧用轴对称求函数解析式
作者：康莉萍
来源：《读写算·教研版》2014年第08期
摘要：轴对称是初中八年级数学第十二章的内容，它是初中一个很重要的部分，如学生
会利用轴对称求一次函数、二次函数的解析式，能收到事半功倍的效果.现举例说明，希望同
学们能从中得到启发。
关键词：轴对称；直线；直角坐标系
中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）08-187-01
对称轴是新人教版八年级数学第十二章内容，它是初中一个很重要的部分，利用轴对称
求函数的解析式，在中考题目时常可见，学生普遍感到易错难学。
在教学中，要善于引导学生观察比较，然后概括归纳，找出其规律，掌握其对称技巧。
下面就是我教学中的点滴体会与大家共同探讨.。
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巧求函数对称的解析式
在平面直角坐标系中，求函数图象关于直线对称的图象函数解析式，用常规方法求解非常繁杂，本文笔者利用“逆向思维”巧求函数关于直线对称的函数解析式，这种方法比用常规方法求解更简捷明快。
在平面直角坐标系中，求函数图象关于直线对称的图象函数解析式，用常规方法求解非常繁杂，本文笔者利用“逆向思维”巧求函数关于直线对称的函数解析式，这种方法比用常规方法求解更简捷明快。
【定理】函数F（x , y ）=0关于直线y=mx+n（m≠0）对称的函数解析式为
F((1-m2)x+2my-2mnm2+1,2mx+(m2-1)y+2nm2+1)=0。
证明设点P(x,y)为所求函数解析式上的任意一点，且点P(x,y)关于直线y=mx+n(m≠0)的对称点为Q(a,b)。
因为直线y=mx+n（m≠0）的斜率为m，直线PQ的斜率为y-bx-a
所以y-bx-a·m=-1 ……①
因为线段PQ的中点坐标为(x+a2,y+b2)，点(x+a2,y+b2)在直线y=mx+n （m≠0）上
所以y+b2=m·x+a2+n ……②
把①和②联立成方程组并解得
a=(1-m2)x+2my-2mnm2+1
b=2mx+(m2-1)y+2nm2+1
因为点Q(a,b)在函数F（x, y）=0的图象上
所以F（a , b ）=0
即F((1-m2)x+2my-2mnm2+1,2mx+(m2-1)y+2nm2+1)=0
故所求的函数解析式为F((1-m2)x+2my-2mnm2+1,2mx+(m2-1)y+2nm2+1)=0。
【推论1】函数F（x,y）=0关于直线y=0(或x=0)对称的函数解析式为F（x,-y）
=0（或F（-x,y）=0）。
【推论2】函数F（x,y）=0关于直线y=x(或y=-x)对称的函数解析式为F （y,x）=0（或F（-y,-x）=0）。
【推论3】函数F（x,y）=0关于直线y=n(或x=m)对称的函数解析式为F （x,2n-y）=0（或F（2m-x,y）=0）。
【例题讲解】在平面直角坐标系中，求抛物线y=2x2-3x-5关于以下直线对称所得抛物线的解析式：
（1）关于直线x=0对称；
（2）关于直线y=0对称；
（3）关于直线y=x对称；
（4）关于直线y=-x对称；
（5）关于直线x=3对称；
（6）关于直线y=-2对称；
（7）关于直线y=2x-3对称。
解（1）因为关于直线x=0对称的两点的横坐标x变为相反数-x，而纵坐标y不变，所以所求函数解析式为y=2(-x）2-3（-x）-5，整理得y=2x2+3x-5；
（2）因为关于直线y=0对称的两点的横坐标x不变，而纵坐标y变相反数-y，所以所求函数解析式为-y=2x2-3x-5，整理得y=-2x2+3x+5；
（3）因为关于直线y=x对称的两点的横坐标x变为y，而纵坐标y变为x，所以所求函数解析式为x=2y2-3y-5；
（4）因为关于直线y=-x对称的两点的横坐标x变为-y，而纵坐标y变为-x，所以所求函数解析式为-x=2(-y)2-3(-y)-5，整理得x=-2y2-3y+5；
（5）因为关于直线x=3对称的两点的横坐标x变为2×3-x，而纵坐标y不变，所以所求函数解析式为y=2(6-x)2-3(6-x)-5，整理得y=2x2-21x+49；
（6）因为关于直线y=-2对称的两点的横坐标x不变，而纵坐标y变为2×(-2)-y，所以所求函数解析式为-4-y=2x2-3x-5，整理得y=-2x2+3x+1；
（7）因为关于直线y=2x-3对称的两点的横坐标x变为y+32，而纵坐标y
变为2x-3，所以所求函数解析式为2x-3=2(y+32)2-3(y+32)-5，整理得x=14y2+34y-1。
【跟踪练习】
1.求直线y=4x-5关于直线y=x-1对称的直线的解析式；
2.求抛物线y=x2+4x-3关于直线y=x-1对称的直线的解析式。