数学建模综合评价模型2

2.2 动态加权函数的设定
（1） 分段变幂函数 如果某项评价指标 xi 对于综合评价效果的影响大约是 随着类别 pk (k = 1, 2,
, K ) 的增加而按正幂次增加，同时
在某一类中随着指标值的增加按相应的一个幂函数增加， 则对指标 xi 可以设定分段 幂函数为变权函数。即
( wi ( x) = x , x ∈ [aki ) , bk(i ) ] ， (k = 1, 2, , K ) 其中1 ≤ i ≤ m 。 1 k
外 语 知 识 C2
法 律 知 识 C3
组 织 能 力 C4
公 关 能 力 C5
计 算 机 操 作 C6
气 质
身 高
C7
C8
要求： 1、每队要加上队号； 2、根据结构图建立一个对应聘人员的综合评 价函数。 3、内容包括变量设置、成对比较矩阵，CI、 RI等一致性检验步骤。最后得到的权重向量。 注意组合一致性检验。
二、动态加权综合评价方法
1. 动态加权综合评价问题的提法 根据国标（GB 3838—2002）的规定，关于地表水的水 质可分为Ⅰ类、Ⅱ类、Ⅲ类、Ⅳ类、Ⅴ类、劣Ⅴ类共六个类 别，每一个类别对每一项指标都有相应的标准值（区间）， 只要有一项指标达到高类别的标准就算是高类别的水质，所 以实际中不同类别的水质有很大的差别，而且同一类别的水 在污染物的含量上也有一定的差别。 在对17个城市的水质做综合评价时，要充分考虑这些指 标值不同类别水的“质的差异”和同类别水的“量的差异”,在 此简称为“质差”和“量差”。因此，这是一个较复杂的多因素 多属性的综合评价问题。
三、长江水质的综合评价模型
1. 指标数据的标准化处理
（1）溶解氧（DO）的标准化 注意到溶解氧（DO）为极大型指标，首先将数据指标作极小化处理，
1 ′ 即令倒数变换 x1 = ，相应的分类标准区间变为 x1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (0, ] , ( , ] , ( , ] , ( , ] , ( , ] , ( , ∞) ， 7.5 7.5 6 6 5 5 3 3 2 2 ′ x1 ′ 然后通过极差变换 x1′ = 将其数据标准化，对应的分类区间随之变为 0.5 (0,0.2667] ,(0.2667,0.3333] , (0.3333,0.4] , (0.4,0.6667] , (0.6667,1] , (1, ∞)
当 x ≤ αi时, ⎧0 , ⎪ 2 ⎛ x−αi ⎞ wi ( x) = ⎨ −⎜ ⎟ ⎪1− e ⎝ σi ⎠ , 当 x > αi时, ⎩ (i ) (i ) 其中参数αi 可取[a1 , b1 ) 中的某
定值，在此不妨取αi = (b1 − a1 ) / 2 ，
(i ) (i ) ( σ i 由 wi (aKi ) ) = 0.9(1 ≤ i ≤ m) 确定。
（３）氨氮（NH3-N）的标准化 氨氮也是极小型指标， 对指标数据作极差变换将其数据标准化，
x3 ′ 即令 x3 = ，对应的分类区间随之变为 2 (0,0.075] , (0.075,0.25] , (0.25,0.5] , (0.5,0.75] , (0.75,1] , (1, ∞)
1. 指标数据的标准化处理
2. 动态加权综合评价的一般方法
2.3 综合评价模型的构建
根据标准化后的各评价指标值，不妨仍用 xi 表示，以及相应的动态 权函数wi (x)(i =1,2, , m) ， 建立综合评价模型来对 n 个被评价对象做 出综合评价。在此，取综合评价模型为各评价指标的动态加权和，即
X = ∑wi (xi ) ⋅ xi 。
（４）PH 值的处理 酸碱度（PH 值）的大小反映出水质呈酸碱性的程度， 通常的水生物都适应于中性水质， 即酸碱度的平衡值 （PH 值略大于７）在这里不妨取正常值的中值 7.5。 PH<7.5 ， 当 时水质偏碱性，当 PH>7.5 时偏酸性，而偏离值越大水质 就越坏，PH 值属于中间型指标。为此，对所有的 PH 值指 标数据作均值差处理，即令
二、动态加权综合评价方法
2. 动态加权综合评价的一般方法
2.2 动态加权函数的设定
考虑到评价指标的“质差”与“量差”的关系，在 确定综合评价指标时，既要能体现不同类型指标之 间的差异，也要能体现同类型指标的数量差异。 根据实际问题具体取什么样的动态加权函数， 主要是从实际问题出发分析确定。 对于不同的指标可以取相同的权函数，也可以 取不同的权函数。
Байду номын сангаас
2.2 动态加权函数的设定
（2）偏大型正态分布函数 如果某项指标 xi 对于综合评价效果的影响大约是随着类别
pk (k = 1,2, , K ) 的增加，先是缓慢增加，中间有一个快速增长的过程，
随后平缓增加趋于最大， 相应的图形呈正态分布曲线 （左侧） 形状。 那么， 此时对指标 xi 的变权函数可以设定为偏大型正态分布函数。即
三、长江水质的综合评价模型
针对长江水质的综合评价这一问题，采用动态加权综合评价方 法来解决。假设 17 个城市为被评价对象 S1 , S 2 , , S17 ，共有四项评 价指标（或属性）DO、CODMn、NH3-N 和 PH 值，分别记为 x1 , x2 , x3 和
x4 ，前三项指标都有 6 个等级 p1, p2 , , p6 ，相应的分类区间值如
(i ) (i )
于每一个等级 pk 都包含一个区间范围，记为 [ak , bk ) ，且
( ( aki) < bk(i) (i = 1,2, , m; k = 1,2, , K) ，即当属性 xi ∈[aki) , bk(i) ) 时，则
既有不 属性 xi 属于第k 类 pk (1 ≤ k ≤ K) 。也就是对于每一个属性而言， 同类别的差异，同类别的又有不同量值的差异。对于这种既有“质差” ， 又有 “量差” 的问题， 如果用通常的定常权综合评价法做综合评价显然是 不合理的，然而合理有效的方法是动态加权综合评价方法。
权向量(特征向量)w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T
5 .073 − 5 一致性指标 CI = = 0 .018 5 −1
随机一致性指标 RI=1.12 (查表) 一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1
通过一致 性检验
>> a=[1,1/2,4,3,3;2,1,7,5,5;1/4,1/7,1,1/2,1/3;1/3,1/5,2 ,1,1;1/3,1/5,3,1,1] a = 1.0000 0.5000 4.0000 3.0000 3.0000 2.0000 1.0000 7.0000 5.0000 5.0000 0.2500 0.1429 1.0000 0.5000 0.3333 0.3333 0.2000 2.0000 1.0000 1.0000 0.3333 0.2000 3.0000 1.0000 1.0000
i=1
m
以此作为问题的综合评价指标函数，如果每个被评价对象的 m 个属性 都有 N 组样本观测值{xij }(i = 1,2, , m; j = 1,2, , N ) ，代入上式计算， 则每一个被评价对象都有 N 个综合评价指标值 X k ( j) (k = 1,2, 排序方案。
, n;
j = 1,2, , N ) 。由此按其大小排序，可以给出 n 个被评价对象的 N 个
动态加权综合评价问题的一般提法：
现设有n 个被评价对象 （或系统） 分别记为S1, S2, , Sn (n>1) ， ， 每 个系统都有m 属性（或评价指标） ，分别记为 x1, x2 , 每一个属性 xi 都可以分为K 个等级，记为 p1, p2 ,
, xm (m > 1) ，对于 , pK (K > 1) 。而对
二、动态加权综合评价方法
1. 动态加权综合评价问题的提法
在以上综合加权评价方法中，关于权值 w j ( j = 1, 2,
, m)
都是属于定常权，即权值均为常数。虽然这种方法简单易行， 对某些较简单的实际问题也是可行的，但是主观性强、科学性 差，有些时候不能很好地为决策提供有效的依据。
2005年中国大学生数学建模竞赛的A题：“长江水质的评 价和预测”问题的第一部份给出了17个观测站（城市）的最近 28个月的实际检测指标数据，包括反映水质污染程度的最主 要的四项指标：溶解氧（DO）、高锰酸盐指数（CODMn）、氨 氮(NH3-N) 和PH值，要求综合这四种污染指标的28个月的检 测数据对17个城市的水质情况做出综合评价。
表（1）所示，而 PH 值没有等级之分。
表（1）: 《地表水环境质量标准》 （GB3838—2002）中 4 个主要项目标准限值 指 标 Ⅰ类 Ⅱ类 Ⅲ类 Ⅳ类 [6,7.5) [5,6) [3,5) 溶解氧(DO) [7.5,∞) (0,2] (2,4] (4,6] (6,10] 高锰酸盐指数(CODMn) (0,0.15] (0.15,0.5] (0.5,1] (1,1.5] 氨氮（NH3-N） [6 , 9] PH 值（无量纲） 单位：mg/L Ⅴ类 劣Ⅴ类 [2,3) [0,2] (10,15] (15, ∞) (1.5,2] (2, ∞)
2.2 动态加权函数的设定
（3）S 型分布函数 如果某项指标 xi 对于综合评价效果的影响大约是随着类别
pk (k = 1, 2,
, K ) 的增加而增加的过程，呈一条“S”曲线，那么，
此时对指标 xi 的变权函数可以设定为 S 型分布函数。即
⎧ ⎛ x − a (i ) ⎞2 ⎪ 2 ⎜ ( i ) 1 ( i ) ⎟ , a1( i ) ≤ x ≤ c , ⎪ ⎝ bK − a1 ⎠ wi ( x ) = ⎨ 2 (i ) ⎪1 − 2 ⎛ x − bK ⎞ , c < x ≤ b ( i ) , ⎜ (i ) K (i ) ⎟ ⎪ ⎝ bK − a1 ⎠ ⎩ 1 (i ) (i ) 其中参数 c = 2 (a1 + bK ), 且wi (c) = 0.5 。 (1 ≤ i ≤ m)
1. 指标数据的标准化处理
（２）高锰酸盐指数（CODMn）的标准化 高猛酸盐指数本身就是极小型指标，即由极差变换将其数据标准化，
x2 ′ 即令 x2 = , 对应的分类区间随之变为 15 (0,0.1333],(0.1333,0.2667], (0.2667,0.4], (0.4,0.6667], (0.6667,1], (1, ∞)
二、动态加权综合评价方法
2. 动态加权综合评价的一般方法
根据这个问题的实际背景和综合评价的一般原 则，解决问题的主要过程分三步完成： •将各评价指标作标准化处理； •根据各属性的特性构造动态加权函数； •构建问题的综合评价模型，并做出评价。 实际中问题的评价指标可能有极大型的、极小型 的、中间型，或区间型的四种情况，也有时各有不同 的量纲，这就需要根据不同情况分别作标准化处理， 即对三种不同类型指标变换成统一的、无量纲的标准 化指标。
深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标— 准则或指标—方案或对象），上层受下层影响，而层内 各因素基本上相对独立。
2）构造成对比较阵
用成对比较法和1~9尺度，构造各层对上一层每一因素的 成对比较阵。
3）计算权向量并作一致性检验
对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性 检验，若通过，则特征向量为权向量。
综合评价方法及其应用
“选择旅游地”中 准则层对目标的权 向量及一致性检验 最大特征根λ=5.073
准则层对目标的成对比较阵
⎡ 1 ⎢ 2 ⎢ A = ⎢ 1/ 4 ⎢ ⎢ 1/ 3 ⎢ ⎣ 1/ 3 1/ 2 1 1/ 7 1/ 5 1/ 5 4 7 1 2 3 3 5 1/ 2 1 1 3 ⎤ 5 ⎥ ⎥ 1 / 3⎥ ⎥ 1 ⎥ 1 ⎥ ⎦
例. 选择旅游地
如何在3个目的地中按照景色、 费用、居住条件等因素选择.
O(选择旅游地) w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110) =(
目标层 C1 景色
准则层
C2 费用
C3 居住
C4 饮食
C5 旅途
方案层
P1 桂林
P2 黄山
P3 北戴河
层次分析法的基本步骤
1）建立层次分析结构模型
4）计算组合权向量（作组合一致性检验*）
组合权向量可作为决策的定量依据。
作业4： 招聘工作人员 某单位拟从应试者中挑选外销工作人员若干名，根据工作需 要，单位领导认为招聘来的人员应具备某些必要的素质，由 此建立层次结构如下图所示。
A层 招聘人员综合情况
B层
知识
B1
能力
B2
外表
B3
C层
经 济 知 识 C1