第八章 空间解析几何和向量代数总结

第八章空间解析几何和

向量代数总结

向量的概念

向量的线性运算

空间直角坐标系（右手系）向量的坐标

坐标形式的向量的线性运算（8—1，19）

方向角与方向余弦（8—1，15）

向量的数量积、向量积、混合积

（8—2，1、3、6、10；

总习题八，1（3）、（4））

应用：判断向量正交、

平行（共线）、 计算平行四边形面

积、

一向量在另一向量的投影。 曲面

曲面的概念

(),,0F x y z =，

()(){}

:,,,,0

x y z F x y z ∑=建立曲面方程

（P23，例1、P24，例2，8—3，2、3）

旋转曲面（8—3，7、10） 坐标面上的曲线饶一坐标轴旋转一周的旋转曲面方程

(),00f x y z ⎧=⎨

=⎩绕x 轴旋转一

周得到的旋转曲面

为

(

,0f x =；

(),00f x y z ⎧=⎨

=⎩绕y 轴旋转一

周得到的旋转曲面

为

(

)

f y =；

(),00f y z x ⎧=⎨

=⎩绕y 轴旋转一

周得到的旋转曲面

为

(

,0f y =；

(),00f y z x ⎧=⎨

=⎩绕z 轴旋转一

周得到的旋转曲面

为

(

)

f z =；

(),00f x z y ⎧=⎨

=⎩绕x 轴旋转一

周得到的旋转曲面为

(

,0f x =；

(),00f x z y ⎧=⎨

=⎩绕z 轴旋转一

周得到的旋转曲面

为

(

)

0f z =。

空间曲线及其方程 空间曲线的一般方程

()(),,0,,0F x y z G x y z =⎧⎪⎨=⎪⎩

参数方程（P33，例3）

()()()x t y t z t αβγ=⎧⎪

=⎨⎪=⎩

空间曲线在坐标面的投影（P36，例4、例5、8—4，4）

平面及其方程

建立平面方程：点法式、一般式、截距式、三点式（8—5，1、2、3、6） 平面与平面的夹角（锐角）（8—5，5） 点的平面的距离（8—5，9）

（两个平行平面的距离）直线及其方程

建立直线方程：点向式、一般式、参数式

（8—6，1，3，4，7） 直线与直线的夹角（锐角）（8—6，5）

直线与平面的夹角（锐角）（8—6，9）

8—1，19

解：()3,5,8

m =

，()412,20,32

m =

， ()2,4,7

n =--

，()36,12,28

n =--

，

()5,1,4p =-

，()

5,1,4p -=--

，

()

4313,7,8a m n p

=+-=

()

Pr cos ,13

i

j a a a i x

a x a

==== (

)

()

Pr cos ,7j

j a j a a j j

y a j yj j a ⋅=⋅⎛⎫=⋅== ⎪ ⎪⎝⎭

8—1，15 解：

()121,M M =-

， 122M M = ， 1cos 2

α=-

，cos β=，

1cos 2

γ=

，

23

απ

=，

34

βπ

=，3

π

γ=

。

总习题八 1（3）解：

()2,1,2a =

，

()

42,1,102c b a

λλλλ

=-=---- (

)

()()()242121022790

a c a

b a

λλλλλ⋅=⋅-=-+--+-=-=

3λ=。

1（4）解：由已知条件

a b c ++= ，3,4,5

a b c === ，

知这三个向量构成一直角三角形。

12

a b ⨯=

，a b

⨯ 方向与这三角形所在的平面垂直，右手定则，指向上方；

12c a ⨯=

，c a

⨯ 方向与这三角形所在的平面垂直，右手定则，指向上方；

12

b c ⨯=

，b c

⨯ 方向与这三角形所在的平面垂直，右手定则，指向上方； 所以

a b b c c a

⨯=⨯=⨯ ，

336

a b b c c a a b ⨯+⨯+⨯=⨯=

注：如果已知0

a b c ++= ，a b c

== ，这是一个等边三角形。