复数的几何意义及应用

复数的几何意义

问题1：复数z 的几何意义设复平面内点Z 表示复数z= a+bi （a ，b ∈R ），连结OZ ，则点Z ，OZ ，复数z= a+bi （a ，b ∈R ）之间具有一一对应关系。

直角坐标系中的点Z(a,b)

一一对应 一一对应 复数z=a+bi 问题2：∣z ∣的几何意义若复数z= a+bi （a ，b ∈R ）对应的向量是OZ ，则向量是的模叫做复数z= a+bi （a ，b ∈R ）的模，=| a+bi |=22b a +（a ，b ∈R ）。 问题3：∣z 1-z 2∣的几何意义两个复数的差z z z =-21所对应的向量就是连结21Z Z 并且方向指向（被减数向量）的向量,

22122121)()(y y x x z z d -+-==-=

(二)探索研究

根据复数的几何意义及向量表示，求复平面内下列曲线的方程：

1．圆的定义:平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)

设),(y x Z 以),(000y x Z 为圆心， )0(>r r 为半径的圆上任意一点,

则r ZZ =0 )0(>r

（1）该圆向量形式的方程是什么 )0(>=r r

（2）该圆复数形式的方程是什么 r z z =-0 )0(>r

（3）该圆代数形式的方程是什么 )0()()(22020>=-+-r r y y x x

2．椭圆的定义:平面内与两定点Z 1，Z 2的距离的和等于常数(大于21Z Z )的点的集合(轨迹)

一一对应 向量 O Z

设),(y x Z 是以),(211y x Z ),(222y x Z 为焦点，2a 为长轴长的椭圆的上任意一点, 则a ZZ ZZ 221=+ )2(21Z Z a >

（1）该椭圆向量形式的方程是什么 a 2=+ )2(21Z Z a >

（2）该椭圆复数形式的方程是什么 a z z z z 221=-+- )2(21Z Z a > 变式:以),(211y x Z ),(222y x Z 为端点的线段

（1）向量形式的方程是什么 a 2= )2(21Z Z a =

（2）复数形式的方程是什么 a z z z z 221=-+- )2(21Z Z a =

（三）应用举例

例1．复数 z 满足条件∣z+2∣-∣z-2∣=4，

则复数z 所对应的点 Z 的轨迹是（ ）

（A ） 双曲线 （B ）双曲线的右支

（C ）线段 （D ）射线

答案：（D ）一条射线

例2．若复数z 满足条件1=z ，

求i z 2-的最值。 （数形结合法）由1=z 可知，z 对应于单位圆上的点Z ； i z 2-表示单位圆上的点Z 到点P （0，2）的距离。 由图可知，当点Z 运动到A （0，1）点时，12min =-i z ,此时z=i ； 当点Z 运动到B （0，-1）点时，32max =-i z , 此时z=-i 。 例3．已知z 1、z 2∈C ，且11=z ，

若i z z 221=+，则21z z -的最大值是（ ）

（A ）６ （B ）５ （C ）４ （D ）３

解法1：i z z i z z z -=--=-111212)2( Θ2max 1=-i z ∴21z z -的最大值是4 解法2：Θi z z 221=+, ∴212z i z -= Θ11=z ∴122=-z i ,即122=-i z Θ11=z 表示以原点为圆心，以1为半径的圆； 122=-i z 表示以（0，2）为圆心，以1为半径的圆。 ∴21z z -的最大值为两圆上距离最大的两点间的距离为4。