2第3章保守力的功和势能

引力功 重力功
Mm Mm A (G ) (G ) rB rA
A (mgzB mgzA )
1 2 1 2 弹力功 A ( kx B kx A ) 2 2
非保守力: 力所作的功与路径有关 .（例如摩擦力）
第3章 功和能
3、势能
势能 重力功
与物体间相互作用及相对位置有关的能量 . 重力势能
B A
zA
z
A
zB
mg
B
(mgzB mgz A )
A mgdz 0
x
o
y
第3章 功和能
2） 弹性力作功
F
o
F kxi
xA xB
x
A
xB xA Fdx

xB xA kxdx
1 2 1 2 A ( kx B kx A ) 2 2
弹性力的功只与始、末位置有关，而与质点所经过的路径无
第3章 功和能
③审条件，用定理。
首先判断是否满足机械能守恒定律的条件。如 不满足考虑用功能原理或动能定理。
④明状态，列方程。
涉及势能时，首先确定参考点（势能零 点）。明确系统的始末状态（位置、速度）， 写出相应状态的能量。应用原理列方程。 对于复杂问题，要结合运动学、牛顿定律等 力学知识求解。之后，按常规解题步骤处理。
in A非保 0, E 0 即无外力作用下，其机械能减少；
ex
in A非保 0, E 0 即无外力作用下，其机械能增加。 in ex A 0 ③当 非保 ， A E E0 ΔE
A 0, ΔE 0 即外力作功之和为正，其机械能增加。 ex A 0, ΔE 0 即外力作功之和为负，其机械能减少；
m mg 2 2 A A A AP m2 gdx xgdx (l b ) 2l b l 系统动能：初态(静止)： Ek0 0
ex in l
2
AT AT 0 其中: T1 、T2 为“一对力”作功，有 P1 与位移方向垂直,有 AN AP 0 而 N1、
1 2
A AT AT
in
1
2
1
1
第3章 功和能
1 2 E mv 末态：设绳速率为 v ，动能为： k 2 由动能定理，有：
Aex Ain Ek Ek
mg 2 1 2 即 (l b ) mv 2 0 2l 2 g 2 v (l b2 ) ～与解法一结果完全相同。 l 解三: 用功能原理求解；
m20
b 2
EP 0
b
l 2
l
v0 0
初态
v
m
末态
末态机械能：
1 l 2 E Ek EP mv (mg ) 2 2 2 1 l b 2 mv (mg ) mg 机械能守恒： E E0 2 2 2l
第3章 功和能
g 2 v (l b2 ) ～与前面解法的结果完全相同。 l 比较三种方法： ①牛顿定律方程两端：
第3章 功和能
复 习 dA F dr 元功 B B A F dr F cosθdS A A 直角坐标系 dA F dr Fx dx Fy dy Fz dz
自然坐标系 dA F dr Fτ ds
质点动能定理
A Ek 2 Ek1
第3章 功和能
五、利用功能原理解题步骤 ①选系统，看运动。 依题意，选择合适的系统～关键第一步。 要求能将已知条件和所求量相联系起来。 若涉及势能，所选系统应包括有保守力作 用的物体系。 确定后，应定性分析系统内各物体的运动 状态。 ②查受力，分析功。 分析系统内各物体受力情况：分清内力、 外力；保守力、非保守力。由功的定义，定性 判断各力是否作功及作功的正负等。
系统《整个绳子、地球》外力：N1 ，其作功为零。
0
由绳不可伸长，有： A 非保 0 由功能原理知，系统机械能守恒。
in
第3章 功和能
选取水平桌面处为重力势能零点， EP 0
初态机械能：
E0 Ek0 EP0 b 0 (m20 g ) 2 b b b2 mg mg l 2 2l
机械能守恒 E1 E 2 1 2 1 2 kx1 m1 gx1 kx2 m1 gx2 2 2
E
i 1
n
ki
EPi Eki0 EPi0
i 1
n
当作用于质点系的外力和非保守内力不作功时， 质点系的总机械能是守恒的～机械能守恒定律 或者在只有保守内力做功的情况下，质点系的机 械能保持不变。
第3章 功和能
六、能量守恒定律 law of conservation of energy
～保守力等于势能的负梯度。grad～梯度运算
第3章 功和能
四、功能原理 Work-energy principle
A A Ek Ek 0
ex in
质点系动能定理
in A非保
A
A
ex
in
EP ( Epi Epi 0 )
in A非保
in Ai i
i

i
第3章 功和能
方法一: 用牛顿定律求解； 用隔离法：绳分成两部分， 桌上：AB，下垂：BC, t 时刻：
A
lx m1
B
AB : l x, m1 , a1 BC : x, m2 , a2
m2
C
x
x
牛顿第二定律，列方程： dv1 x : T1 m1a1 m1 ①AB： dt A y : N1 m1 g 0
第3章 功和能
若势能为EP（x,y,z)
E P Fx x
E P Fy y
E P Fz z
EP EP EP F Fx i Fy j Fz k i j k y z x = EP = gradEP =grad i j k x y z
m1
N1
a1
B T1
T2
B
②BC:
m1g
dv2 m2 g T2 m2a2 m2 dt
m2 a 2 C m2 g
第3章 功和能
③绳不可伸长：
dv1 dv2 dv dt dt dt 牛顿第三定律： T1 T2 lx x 绳质量均匀分布： m1 m, m2 m l l x dv x dv gdx dx vdv 联立求解： g l dt l dt v l x 1 2 1 g 2 2 v ( l b ) vdv gdx 0 b l 2 2 l
均为瞬时值，需对方程两端积分；
②动能定理方程两端： 功的一侧为过程量，动能一侧为状态量，仅需 对过程量积分； ③机械能守恒定律两端： 功的一侧由势能改变取代，不需再求积分，所 以，最简单。
第3章 功和能
例2 质量分别为m1和m2的木板用一轻弹簧连接如图所 示，下板放在地面上。用力F向下压m1 处于静止后，突 然撤去F，当m1向上运动时，刚好能把m2拉离地面，求 F多大？
关（与路径无关） 。
第3章 功和能
3) 万有引力的功
F 在位移元 dr 上的元功为
mM F G 2 r dr dr cos( ) dr cos
dA F dr cos
b
r2
M
mM dA G 2 dr r
万有引力F在全部路程中的功为
r2
A (mgzB mgzA )
引力功
Ep mgz
引力势能
弹力功
Mm Mm A (G ) (G ) rB rA
Mm Ep G r
1 2 1 2 A ( kx B kx A ) 2 2
保守力的功
弹性势能
1 2 Ep kx 2
A ( Ep2 Ep1 ) ΔEP
x F O x1 x2
m1 m2
第3章 功和能
解：选系统《弹簧，地球，m1和m2 》 பைடு நூலகம்去F后，只有保守力作功，故机械能守恒 1 2 初态 E1 kx1 m1 gx1 2 E1 E 2 1 2 E2 kx2 m1 gx2 末态 2
x F O x1 x2
m1 m2
第3章 功和能

in A保
in A保
保守力 的功
( Ek Ep ) ( Ek 0 Ep0 )
A
ex in A非保
机械能
E Ek Ep
E E0
质点系的功能原理 质点系机械能的增量等于 外力和非保守内力作功之和 .
第3章 功和能
注意： ① A ～各质点所受外力作功之和，不是合外力 in A 作功；同理， 非保 同上。 in ex ②当 A 0，A非保 E E0 E
实验证明，一个孤立系统，历经任何变化过程， 该系统的所有能量的总和是不变的，能量只能从一 种形式变化为另一种形式，或从一个物体传给另一 个物体。——能量守恒定律。 讨论 1. 能量守恒定律可以适用于任何变化过程 2. 功是能量交换或转换的一种度量 3. 机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在机械 运动范围内的体现
dEP F dl F cos dl Fdl l
dE P Fl dl
保守力在 l 方向投影
势能是保守力对路径的线积分， EP＝ F dl
b a
F
E p 在 l 方向空间变化率
m
a
θ
dl
b
l
Fl
保守力沿某一给定的l方向的分量等于相应的势能函 数沿l方向的空间变化率。
第3章 功和能
三、保守力的功 势能
（conservative force, potential energy ） 1、重力、弹性力、万有引力作功的特点
1） 重力作功
P mgk dr dxi dyj dzk z B A A P dr z mgdz
( x, y , z )
F dr
第3章 功和能
4、势能曲线
Ep mgz
Ep
1 2 Ep kx 2
Mm Ep G r
Ep
O
Ep
x
O
z
O
x
弹性势能曲线 引力势能曲线
重力势能曲线
z 0, Ep 0
x 0, Ep 0
r , Ep 0
第3章 功和能
5.势能和保守力的关系：
第3章 功和能
例1一粗细均匀的柔软绳子，一部分置于光滑水平桌 面上,另一部分自桌边下垂，绳全长为 l 。开始时， 下垂部分长为b，初速为 v0 0 。求整个绳全部离开桌 面时瞬间的速度？(设绳不可伸长）
lx
A
m1
B
m2
C
x
x
本题将分别用牛顿定律、动能定理、功能原理求 解，通过对比了解各个方法的优缺点。
ex
④在解决具体问题时，可以使用动能定理，也可以 使用功能原理。
第3章 功和能
五、机械能守恒定律
功能原理
in Aex A非保 ( Ek Ep ) ( Ek 0 Ep0 )
若外力和非保守性内力都不作功，即
in 条件： Aex A非保 0
时，有 E E0 恒量
n n i 1 i 1
v g 2 (l b2 ) ～绳全部离开桌面的速度大 l 小，其方向向下。
第3章 功和能
方法二: 用动能定理求解；
系统：整个绳子；绳分成 A 两部分，桌上：AB、下垂： BC, 受力如图。 作功：
m1
N1
a1
B T1 T2
B
Aex AN AP AP
1 1
2
m 2 a2 m1 g P1 C m2 g P2
～保守力对物体作的功等于物体势能增量的负值。
第3章 功和能
讨论
势能是状态函数
Ep Ep ( x, y, z )
势能具有相对性，势能大小与势能零点的选取有关 . 势能是属于系统的 . 势能计算 令
A ( Ep Ep0 ) ΔEp
Ep0 0
Ep0 0 Ep ( x, y, z )
F
dr
a
m
dr
r1
1 1 mM A G 2 d r GmM ( ) r1 ( L ) r2 r1 r
万有引力的功，也是只与始、末位置有关，而与 质点所经过的路径无关（与路径无关） 。
第3章 功和能
2、保守力和非保守力
保守力: 力所作的功与路径无关，仅决定于 相互作用质点的始末相对位置 .