四阶幻方的解法
四阶幻方解法
四阶幻方是最简单的双偶幻方,其构成方法就是两句话：
【顺序填数；以中心点对称互换数字】.以1-16构成的四阶幻方为例：
1、先把1放在四阶幻方4个角的任意一个角格,按同一个方向按顺序依次填写其余数.
如图：按行从左向右顺序排数.
2、以中心点对称互换数字.（有两种对称交换的方法）
1）、以中心点对称交换对角线上的数（即1-16、4-13、6-11、7-10互换）,完成幻方,幻和值=34.
2）、以中心点对称交换非对角线上的数（即2-15、3-14、5-12、8-9互换）,完成幻方,幻和值=34.
什么样的16个数能构成四阶幻方呢?【4个数一组的4组数（共16个数）,组与组对称等差,每组数与数对称等差,这样的16个数能构成四阶幻方（其中就包括等差的16个数）.】
如图
上图,每组数与数以2-3-2对称等差,组与组以10-20-10对称等差.
下图,每组数与数以1-2-1对称等差,组与组以10-20-10对称等差. 再如：
上图,每组数与数等差为1,组与组等差为5.
中图,每组数与数等差为1,组与组以5-10-5对称等差.
下图,每组数与数以2-3-2对称等差,组与组以5-10-5对称等差.
【四阶幻方的特点：】
1、互换对称的行（列）,幻方成立.
2、互换一侧的行（或列）,再互换另一侧的行（或列）,幻方亦成立.
3、互换不对称的行（或列）,再互换另外不对称的行（或列）,幻方亦成立.
4、平移互换对角的行或列、平移互换对角,幻方成立.
另,每16个能构成四阶幻方的数,幻方的填法有880种.。
四阶幻方解法
四阶幻方是最简单的双偶幻方,其构成方法就是两句话：
【顺序填数；以中心点对称互换数字】.以1-16构成的四阶幻方为例：
1、先把1放在四阶幻方4个角的任意一个角格,按同一个方向按顺序依次填写其余数.
如图：按行从左向右顺序排数.
2、以中心点对称互换数字.（有两种对称交换的方法）
1）、以中心点对称交换对角线上的数（即1-16、4-13、6-11、7-10互换）,完成幻方,幻和值=34.
2）、以中心点对称交换非对角线上的数（即2-15、3-14、5-12、8-9互换）,完成幻方,幻和值=34.
什么样的16个数能构成四阶幻方呢【4个数一组的4组数（共16个数）,组与组对称等差,每组数与数对称等差,这样的16个数能构成四阶幻方（其中就包括等差的16个数）.】
如图
上图,每组数与数以2-3-2对称等差,组与组以10-20-10对称等差.下图,每组数与数以1-2-1对称等差,组与组以10-20-10对称等差.再如：
上图,每组数与数等差为1,组与组等差为5.
中图,每组数与数等差为1,组与组以5-10-5对称等差.
下图,每组数与数以2-3-2对称等差,组与组以5-10-5对称等差.
【四阶幻方的特点：】
1、互换对称的行（列）,幻方成立.
2、互换一侧的行（或列）,再互换另一侧的行（或列）,幻方亦成立.
3、互换不对称的行（或列）,再互换另外不对称的行（或列）,幻方亦成立.
4、平移互换对角的行或列、平移互换对角,幻方成立.
另,每16个能构成四阶幻方的数,幻方的填法有880种.。
四阶幻方代数推理
四阶幻方代数推理引言幻方是一种众所周知的数学奇观，它是一种排列在正方形格子中的数字集合，使得每一行、每一列和对角线上的数字和都相等。
四阶幻方是其中的一种特殊情况，它是一个4×4的正方形格子，被填满了1到16的数字，使得每一行、每一列和对角线上的数字和都相等。
在本文中，我们将展示如何通过代数推理来构建四阶幻方。
我们将使用数学原理和方法来解释如何填充幻方，使得它满足特定的条件。
我们将展示如何利用代数运算和数学推理来构建四阶幻方，并给出详细的步骤和例子。
通过本文的阐述，读者可以了解代数推理在构建幻方中的重要作用，同时也能够对代数推理有更深入的理解。
第一部分：基本原理为了构建四阶幻方，我们首先需要了解一些基本原理。
幻方的构建是基于一种特殊的数学规律，这个规律被称为幻方的特性。
幻方的特性可以用代数推理来解释和证明，这将为我们的构建过程提供基础和指导。
首先，我们需要了解四阶幻方的特性。
根据幻方的定义，每一行、每一列和对角线上的数字和都相等。
对于四阶幻方来说，这个数字和可以表示为S=4×(4×4+1)/2=34。
这个数字34称为幻方的常数，它是幻方中每一行、每一列和对角线上数字和的总和。
了解了这个特性之后，我们就可以通过代数推理来构建四阶幻方了。
第二部分：代数推理接下来，我们将介绍如何通过代数推理来构建四阶幻方。
我们将按照以下步骤来进行推理和构建：步骤一：确定幻方的常数首先，我们需要确定四阶幻方的常数。
根据前面的讨论，我们知道四阶幻方的常数为34。
这个常数将会成为我们构建幻方的重要依据，我们需要保证每一行、每一列和对角线上的数字和都等于34。
步骤二：填充幻方的中心数字接下来，我们将填充幻方的中心数字。
四阶幻方的中心数字是16，我们可以将它填充在幻方的中心位置。
这样一来，幻方的第一步就完成了。
步骤三：确定幻方的边界数字然后，我们需要确定幻方的四个边界数字。
四阶幻方的数字范围是1到16，我们需要将这些数字填充在幻方的边界位置。
幻方_??????
幻方1.概念简析：幻方：是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的3×3的数阵称作三阶幻方，4×4的数阵称作四阶幻方，5×5的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样.2.构造幻方常用的方法：（1）适用于所有奇数阶幻方的填法—罗伯法．口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样．（2）仅适用于三阶幻方—九宫格口诀.口诀是：九宫者，二四为肩，六八为足，左七右三，戴九履一，五居中央。
（3）适用于所有偶数阶幻方的填法—对称交换的方法1.将数依次填入方格中，对角线满足要求。
2.调整行，对角线数不动，对称行的其它数对调；调整列，对角线数不动，对称列的其它数对调。
3.三阶幻方的性质：1.幻和相等，幻和等于9个数的和除以3.2.中间数必位于幻方中心，中间数等于幻和除以3.3.黄金三角: 黄金三角顶点的数为两腰之和除以2.视频描述把0、2、4、6、8、10、12、14、16这9个数填在下面图中的方格内，使每行、每列和每条对角线上的三个数的和都相等。
1.1.请用11、13、15、17、19、21、23、25、27编制一个三阶幻方。
注：此题答案默认为0，正确答案见解析！2.2.把7—15这九个数构成一个三阶幻方。
注：此题答案默认为0，正确答案见解析！3.3.请用1、4、7、10、13、16、19、22、25编制一个三阶幻方。
注：此题答案默认为0，正确答案见解析！视频描述将下面左边方格中的9个数填入右边方格中，使每一行、每一列、每条对角线中的三个数相加的和都相等。
1.1.将图中的数重新排列，使横行、竖行、对角线上的三个数的和都相等。
注：此题答案默认为0，正确答案见解析！2.2.把３、４、５、８、９、10、13、14、15编成一个三阶幻方，并求出幻和是多少？3.3.将图中的数重新排列，使横行、竖行、对角线上的三个数的和都相等。
巧用一次方程组剖析四阶幻方
巧用一次方程组剖析四阶幻方作者：周士藩来源：《中学数学杂志(初中版)》2013年第02期例1 如图1，由ai，bi，ci，di（i=1，2，3，4）这16个数排成的一个四阶幻方：每行、每列、以及两条对角线上四个数的和都相等，设这个相等的和是S，则a1+a2+a3+a4，b1+b2+b3+b4，c1+c2+c3+c4，d1+d2+d3+d4这四个和数必都等于S.分析与解据题设，将两条对角线上（4×2=）8个数求和，可得等式：（a1+d1+d3+a3）+（a2+d2+d4+a4）=2S，即a1+a2+a3+a4=2S-（d1+d2+d3+d4），（1）再将第二、三两行上（4×2=）8个数求和，得等式：（c1+d1+d2+c2）+（c4+d4+d3+c3）=2S，即c1+c2+c3+c4=2S-（d1+d2+d3+d4），（2）又将第二、三两列上（4×2=）8个数，求和，得等等式：（b1+d1+d4+b4）+（b2+d2+d3+b3）=2S，即b1+b2+b3+b4=2S-（d1+d2+d3+d4）（3）由（1）、（2）、（3）式的右端都相同，可知左端的三个和也都相等，即a1+a2+a3+a4=b1+b2+b3+b4=c1+c2+c3+c4=2S-（d1+d2+d3+d4）.（4）又由（1）+（3）式得（a1+a2+a3+a4）+（b1+b2+b3+b4）=4S-2（d1+d2+d3+d4），注意到等号左端的8个数正是第一、四行的8个数，它们的级也是2S，代入上式得2S=4S-2（d1+d2+d3+d4），故d1+d2+d3+d4=S.（5）再将（5）式代入（4）式右端即得a1+a2+a3+a4=b1+b2+b3+b4=c1+c2+c3+c4=S.（6）由例1立即可得.例2 在图1中这个四阶幻方中，有等式：（1）a1+a2=b3+b4，a3+a4=b1+b2；（2）c1+c2=d3+d4，c3+c4=d1+d2；（3）a1+a3=d2+d4，a2+a4=d1+d3.分析与解（1）因为第一行上四个数的和是S，即（a1+a2）+（b1+b2）=S，由例1的（6）式知，a1+a2=b3+b4，b1+b2=a3+a4；（2）因为第二行及第三行上四个数的和都是S，即（c1+c2）+（d1+d2）=S，及（c3+c4）+（d3+d4）=S.由例1的（5）式知c1+c2=d3+d4，c3+c4=d1+d2.（3）因为两条对角线上四个数的和都是S，即（a1+a3）+（d1+d3）=S及（a2+a4）+（d2+d4）=S，由例1的（5）式知，a1+a3=d2+d4，a2+a4=d1+d3.为了便于运用例1及例2的结果，分别总结如下：结论（1）四阶幻方中，第1、4两行（列）的两端四个数的和及中间四个数的和都等于这个相等的和S；第2、3两行（列）的两端四个数的和及中间四个数的和都等于S；结论（2）四阶幻方中，第1（4）行[列]上两端两数之和等于第4（1）行[列]上中间两数之和；一条对角线上两端两数之和，等于另一条对角线中间两数的和.活用上述结论，易解下列各题：题1 图2是一个四阶幻方，其中已知八个数，试求其它八个未知数.分析与解观察对角线上数学及结论（2）知0+15=a+9，故a=6；再看第1、4列，得3+15=11+6，故b=7；看第2行中，四数之和：8+6+5+11=30，故此四阶幻方的相等的和是30，由此可依次地得知c=4，d=10，e=1，f=12，g=2，h=14.说明上述计算过程只要熟悉了上述两个结论，只须在图2上，用心并直接写出各数，而且上述求解程序也可灵活多样，并不一定按上例程序求解.类似地可解下题：题2 图3是一个四阶幻方，其中a，b，c，d，e，f，g，h都是已知数，试求出八个空格中各数.解活用结论（1）及（2），即得图4.题3 在图5中，已知八个数，那么能否找八个空格中的各数，使该图组成一个四阶幻方？为什么？分析与解不能.理由是：第一行中间两数的和：12+14=26，而第四行两端两数的和：13+16=29，可见26≠29.与结论（2）不符；或第二行两端两数的和：15+9=24，而第三行中间两数的和：17+6=23，可见24≠23，与结论（2）不符.。
幻方常规解法汇总
幻方常规解法汇总按目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，即奇数阶幻方、双偶阶幻方、单偶阶幻方。
下面按这三类幻方，列出最常用解法（考试用，不求强大，只求有效！）。
奇数阶幻方（罗伯法）奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法。
填写的方法是：把1（或最小的数）放在第一行正中；按以下规律排列剩下的(n×n－1)个数：1、每一个数放在前一个数的右上一格；2、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；3、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；4、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；5、如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内。
例，用该填法获得的5阶幻方：双偶数阶幻方（对称交换法）所谓双偶阶幻方就是当n可以被4整除时的偶阶幻方，即4K阶幻方。
在说解法之前我们先说明一个“互补数”定义：就是在 n 阶幻方中，如果两个数的和等于幻方中最大的数与 1 的和（即 n×n＋1），我们称它们为一对互补数。
如在三阶幻方中，每一对和为 10 的数，是一对互补数；在四阶幻方中，每一对和为 17 的数，是一对互补数。
双偶数阶幻方的对称交换解法：先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：内外四个角对角上互补的数相易，（方阵分为两个正方形，外大内小，然后把大正方形的四个对角上的数字对换，小正方形四个对角上的数字对换）即（1，16）（4，13）互换（6，11）（7，10）互换即可。
对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。
写好后，按4×4把它划分成k×k个方阵。
因为n 是4的倍数，一定能用4×4的小方阵分割。
然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。
以8阶幻方为例：(1) 先把数字按顺序填。
幻方常规解法汇总
幻方常规解法汇总按目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，即奇数阶幻方、双偶阶幻方、单偶阶幻方。
下面按这三类幻方，列出最常用解法（考试用，不求强大，只求有效！）。
奇数阶幻方（罗伯法）奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法。
填写的方法是：把1（或最小的数）放在第一行正中；按以下规律排列剩下的(n×n－1)个数：1、每一个数放在前一个数的右上一格；2、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；3、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；4、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；5、如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内。
例，用该填法获得的5阶幻方：双偶数阶幻方（对称交换法）所谓双偶阶幻方就是当n可以被4整除时的偶阶幻方，即4K阶幻方。
在说解法之前我们先说明一个“互补数”定义：就是在n 阶幻方中，如果两个数的和等于幻方中最大的数与1 的和（即n×n＋1），我们称它们为一对互补数。
如在三阶幻方中，每一对和为10 的数，是一对互补数；在四阶幻方中，每一对和为17 的数，是一对互补数。
双偶数阶幻方的对称交换解法：先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：内外四个角对角上互补的数相易，（方阵分为两个正方形，外大内小，然后把大正方形的四个对角上的数字对换，小正方形四个对角上的数字对换）即（1，16）（4，13）互换（6，11）（7，10）互换即可。
对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。
写好后，按4×4把它划分成k×k个方阵。
因为n是4的倍数，一定能用4×4的小方阵分割。
然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。
以8阶幻方为例：(1) 先把数字按顺序填。
幻方常规解法汇总(WORD格式) 看94射雕学九宫格,20分钟1-8阶
幻方常规解法汇总没法，组合数学还考幻方构造。
这东西不看解法真不会写，虽然没见有啥用，但还是记录下，免得日后再找。
按目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，即奇数阶幻方、双偶阶幻方、单偶阶幻方。
下面按这三类幻方，列出最常用解法（考试用，不求强大，只求有效！）。
奇数阶幻方（罗伯法）奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法。
填写的方法是：把1（或最小的数）放在第一行正中；按以下规律排列剩下的(n×n－1)个数：1、每一个数放在前一个数的右上一格；2、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；3、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；4、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；5、如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内。
例，用该填法获得的5阶幻方：双偶数阶幻方（对称交换法）所谓双偶阶幻方就是当n可以被4整除时的偶阶幻方，即4K阶幻方。
在说解法之前我们先说明一个“互补数”定义：就是在n 阶幻方中，如果两个数的和等于幻方中最大的数与1 的和（即n×n＋1），我们称它们为一对互补数。
如在三阶幻方中，每一对和为10 的数，是一对互补数；在四阶幻方中，每一对和为17 的数，是一对互补数。
双偶数阶幻方的对称交换解法：先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：单偶数阶幻方（象限对称交换法）以n=10为例，10＝4×2＋2，这时k=2（1）把方阵分为A，B，C，D四个象限，这样每一个象限肯定是奇数阶。
用罗伯法，依次在A象限，D 象限，B象限，C象限按奇数阶幻方的填法填数。
（2）在A象限的中间行、中间格开始，按自左向右的方向，标出k格。
A象限的其它行则标出最左边的k格。
将这些格，和C象限相对位置上的数，互换位置。
（3）在B象限任一行的中间格，自右向左，标出k-1列。
求四阶的素数幻方
求四阶的素数幻方。
即在一个4X4 的矩阵中，每一个格填入一个数字，使每一行、每一列和两条对角线上的4 个数字所组成的四位数，均为可逆素数。
*问题分析与算法设计有了前面的基础，本题应当说是不困难的。
最简单的算法是：采用穷举法，设定4X4矩阵中每一个元素的值后，判断每一行、每一列和两条对角线上的4个数字组成的四位数是否都是可逆素数，若是则求出了满足题意的一个解。
这种算法在原理是对的，也一定可以求出满足题意的全部解。
但是，按照这一思路编出的程序效率很低，在微机上几个小时也不会运行结束。
这一算法致命的缺陷是：要穷举和判断的情况过多。
充分利用题目中的“每一个四位数都是可逆素数”这一条件，可以放弃对矩阵中每个元素进行的穷举的算法，先求出全部的四位可逆素数(204个)，以矩阵的行为单位，在四位可逆素数的范围内进行穷举，然后将穷举的四位整数分解为数字后，再进行列和对角线方向的条件判断，改进的算法与最初的算法相比，大大地减少了穷举的次数。
考虑矩阵的第一行和最后一行数字，它们分别是列方向四位数的第一个数字和最后一个数字，由于这些四位数也必须是可逆素数，所以矩阵的每一行和最后一行中的各个数字都不能为偶数或5。
这样穷举矩阵的第一行和最后一行时，它们的取值范围是：所有位的数字均不是偶数或5的四位可逆数。
由于符合这一条件的四位可逆素数很少，所以这一范围限制又一次减少了穷举的次数。
对算法的进一步研究会发现：当设定了第一和第二行的值后，就已经可以判断出当前的这种组合是否一定是错误的(尚不能肯定该组合一定是正确的)。
若按列方向上的四个两位数与四位可逆数的前两位矛盾(不是其中的一种组合)，则第一、二行的取值一定是错误的。
同理在设定了前三行数据后，可以立刻判断出当前的这种组合是否一定是错误的，若判断出矛盾情况，则可以立刻设置新的一组数据。
这样就可以避免将四个数据全部设定好以后再进行判断所造成的低效。
根据以上分析，可以用伪语言描述以上改进的算法：开始找出全部四位的可逆素数;确定全部出现在第一和最后一行的四位可逆素数;在指定范围内穷举第一行在指定范围内穷举第二行若第一、第二、三行已出现矛盾，则继续穷举下一个数;在指定范围内穷举第四行判断列和对角方向是否符合题意若符合题意，则输出矩阵;否则继续穷举下一个数;结束在实际编程中，采用了很多程序设计技巧，假如设置若干辅助数组，其目的就是要最大限度的提高程序的执行效率，缩短运行时间。
四阶幻方的解
四阶幻方的解本文根据幻方的定义,建立了一个具有十六个未知数的非齐次线性方程组,求出了它的一般解.结合幻方的特性给出了求解的一般方法.论证了四阶幻方共有384个形式解.进而说明在变换意义下解的唯一性.一 建立方程组并求出一般解定义1:自然数1,2,3,…,16排成四行四列的方阵,如果每行每列及每条对角线(包括折断对角线)上四个数的和皆等于常数,则称这样的方阵为四阶幻方.假设方阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡16151413121110987654321x x x x x x x x x x x x x x x x 为四阶幻方,根据定义得下面的方程组: ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧><=+++><=+++><=+++><=+++><=+++><=+++><=+++><=+++><=+++><=+++><=+++><=+++><=+++><=+++><=+++><=+++16.....................................15......................................14.......................................13.....................................12......................................11........................................10......................................9.......................................8.......................................7...........................................6.............................................5...........................................4........................................3.........................................2.........................................1..........................................13107416963151252141181151054149831312721611611615141312111098765432116128415117314106213951t x x x x t x x x x t x x x x t x x x x t x x x x t x x x x t x x x x t x x x x t x x x x t x x x x t x x x x t x x x x t x x x x t x x x x t x x x x t x x x x 将这个非齐次线性方程组的增广矩阵进行初等变换化为最简形式(具体化简过程从略)→-----⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡t t t t t t t t t t t t t t t t 0001001001001000100000010010010001001000000100100010010010000001010000100001100000100001100001000001100001000010100001000010000111110000000000000000111100000000000000001111000000000000000011111000100010001000010001000100010000100010001000100001000100010001⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------------000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001111000000000000110011000000000001010101000000000001101001000000002001000001000000021110000001000000210000000001000002010000000001000021010100000001000201001000000001002000010000000001021100100000000001t t t tt t t t t t 因为342)161(16.4141161=+==∑=k k t将34=t 代入上述矩阵种得到方程组得一般解:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧><---=><---=><+-=><++-=><-=><+++-=><-=><-=><-+-=><--+=><-=><+++-=28............................3427............................3426..................................25................................24..............................................1723.........................1722..............................................1721..............................................1720.............................1719.............................1718..............................................1717.........................1716151413161512111615121015141291481615147166155161412415141231221615121x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x %%(26)中,x15改为x14￥￥￥二 确定四阶幻方解得一般方法从方程组的一般解可以推出以下八个关系式: 由<17>+<18>,<23>+<24>,<25>+<26>得:16151098721x x x x x x x x +=+=+=+ <29>由<19>+<20>,<21>+<22>,<27>与<28>比较得:141312116543x x x x x x x x +=+=+=+ <30>由<17>+<21>,<19>+<23>及<26>得:161214107351x x x x x x x x +=+=+=+ <31>由<18>+<22>,<20>+<24>,<25>+<28>与<27>得:151********x x x x x x x x +=+=+=+ <32>由<17>+<20>,<22>+<23>及<25>得:151********x x x x x x x x +=+=+=+ <33>由<18>+<19>,<21>+<24>,<26>+<27>与<28>比较得:1641178532x x x x x x x x +=+=+=+ <34>$$x7,x14改为x10,x13$$$由<17>+<28>,<22>+<26>,<19>,<24>两边加上x 12得:128153106131x x x x x x x x +=+=+=+ <35>由<21>+<25>,<18>两边加上x 14,<23>+<27>,<20>得:16411714295x x x x x x x x +=+=+=+ <36>今断言171615≠+x x若171615=+x x ,由<21>式知17155=+x x ,则可推出165x x =矛盾. 同理可以推得,,,,,,,16412816131514151116121211x x x x x x x x x x x x x x +++++++都不等于17.我们考查关系式<29>与<30>,这两个关系式把十六个数分为两类,其中每一类的八个数又可分为四对,且每对数的和皆相等,但是都不等于17.幻方常数34分为两个数的和,这两个数并不相等的分法共有如下十六种.;(33,1),(32,2),(31,3),(30,4),(29,5),(28,6),(27,7),(26,8),(25,9),(24,10),(23,11),(22,12),(21,13),(20,14),(19,15),(18,16).因为1,2都不能分为互不相等的两个数的和,3只能分为(1,2)一类, ,4只能分为(1,3)一类,5只能分为(1,4),(2,3)两类,6只能分为(1,5),(2,4)两类,7只能分为(1,6),(2,5),(3,4)三类, 8只能分为(1,7),(2,6),(3,5)三类,这八类都不能分为互不相等的八类,所以应该排除.24可以分为(16,8),(15,9),(14,10),(13,11), 四对10可以分为(9,1),(8,2),(7,3),(6,4) 四对虽然各自可以分为互不相等的四对,但是十六个数字中漏掉了5和12这两个数字,而8,9这两个数字两类中都有出现了重复,所以这种分法也应该排除.23可以分为(16,7),(15,8),(14,9)(13,10).(12,11) 五对11可以分为(10,1),(9,2),(8,3),(7,4),(6,5) 五对,尽管每个数可以分为互不相等的五对,但是却不能从中选出彼此互不重复的四对, 所以这种分法也应该排除.22可以分为(16,6),(15,7),(14,8),(13,9),(12,10), 五对12可以分为(11,1),(10,2),(9,3),(8,4),(7,5) 五对,尽管每个数可以分为互不相等的五对,但是却不能从中选出彼此互不重复的四对, 所以这种分法也应该排除.20可以分为(16,4),(15,5),(14,6)(13,7).(12,8),(11,9) 六对14可以分为(13,1),(12,2),(11,3),(10,4),(9,5),(8,6) 六对,尽管每个数可以分为互不相等的六对,但是却不能从中选出彼此互不重复的四对, 所以这种分法也应该排除.25可以分为(16,9),(15,10,),(14,11),(13,12) 9可以分为(8,1),(7,2),(6,3),(5,4) 21可以分为(16,5),(15,5),(14,7),(13,8) 13可以分为(12,1),(11,2),(10,3),(9,4) 19可以分为(16,3),(15,4),(12,7),(11,8) 15可以分为(14,1),(13,2),(10,5),(9,6) 18可以分为(16,2),(14,4),(12,6),(10,8) 16可以分为(15,1),(13,3),(11,5),(9,7)(25,9);(21,13);(19,15);(18,16)这四种分法的每个数不仅可以分为互不相等的四对,而且互不重复,又无遗漏,这四种分法正好与前面的八个关系式构成一一对应.利用这一对应关系.便可以给出确定四阶幻方解的一般方法: 下面给出四阶幻方的一个解.不妨取定<29>=9,,<30>=25,<31>=13,<32>=21, <33>=15,<34>=19,<35>=16,<36>=18 令11=x由921=+x x ,得82=x ,(因为<29>=9) 由1351=+x x ,得125=x ,(因为<31>=13) 由1541=+x x ,得144=x ,(因为<33>=15) 由16131=+x x ,得1513=x ,(因为<35>=16) 而由<30>=25即251413=+x x 得1014=x 而由<32>=21即2162=+x x 得136=x 而由<32>=21即21139=+x x 得69=x 而由<32>=21即2184=+x x 得78=x 而由<30>=25即2543=+x x 得113=x 再由<29>=9即987=+x x 得27=x 再由<29>=9即9109=+x x 得310=x 此时还余下4,5,9,16四个数 由<30>=25即251211=+x x 由<32>=21即. 211511=+x x考虑25的分类中还余下(16,9)这一对,21的分类中还余下(16,5)这一对,所以1611=x 从而912=x 515=x 这时断定416=x将确定的解排成方阵:⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡45101591636721312141181 经检验这个矩阵满足四阶幻方的定义. 三确定幻方解的个数从确定幻方解的一般方法,我们进而可以确定幻方解的个数.,,,,131514121x x x x x x x x ++++是从(25,9),(21,13),(19,15),(18,16)中选取的四个数值,共有42种选择.它的选择，具体讲可由1x 的值所确定,例如取11=x .我们考查1所在的数对所属的分类.1在9,13,15,16的分对中.所以,,,,131514121x x x x x x x x ++++取定9,13,15,16.这相当与四个元素的全排列.它们的取法共有!4种.对于每一种排列,按照(二)中的方法便可确定幻方的一个解.(二)中的具体解便是.所以四阶幻方的解共有384!4.24=个解.四 在变换意义下的唯一性对于我们在(二)中得到的那个解. 1,矩阵转置后显然是解.2,.交换第二行和第四行的位置后仍然是解, 交换第一行和第三行的位置后仍然是解, 将矩阵:⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=16151413121110987654321x x x x x x x x x x x x x x x x A 进行分块,记⎥⎦⎤⎢⎣⎡=652111x x x x A ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=874312x x x x A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=141310921x x x x A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1615121122x x x x A ,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=22211211A A A A A 定义2:若⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321b b b b B 称⎥⎦⎤⎢⎣⎡4231b b b b 为B 的正转置记为+T B ,即右上角与左下角交换. 称⎥⎦⎤⎢⎣⎡1324b b b b 为B 的负转置记为-T B ,即右下角与左上角交换.称⎥⎦⎤⎢⎣⎡1234b b b b 为B 的双转置记为TB ,即右上角与左下角,右下角与左上角都交换.3,若⎥⎦⎤⎢⎣⎡=22211211A A A A A 是解,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+--+T T T T A A A A A 22211211*也是解 4,若⎥⎦⎤⎢⎣⎡=22211211A A A A A 是解,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=22122111***A A A A A TT 也是解 ***A 是由⎥⎦⎤⎢⎣⎡=22211211A A A A A 分块后,先将块当作元素进行正转置得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=22122111**A A A A A ,再将块12,21A A 分别双转置而成,形象地说是将A 分块后,将块2112,A A 绕矩阵的中心旋转0180而成.可以将幻方的一个解,利用上述四个变换得到所有的384个解,反过来利用上述四个变换,可以将一个解变成我们所得到的那个解.所以在变换意义下,我们说四阶幻方的解是唯一的.本文得到王石瑚先生的指导,在此表示感谢!本文发表在洛阳师专学报(自然科学版)1989年第2期.。
小学数学解题方法、思路归纳14：小学数学数阵问题
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书”。
而这种“河图”和“洛书”的形象最早是宋人根据郑玄的《乾凿度》中的“载九履一，左三右七，二四为肩，六八为足”造出来的。
如下图所示，我们填写的方阵图正好与这种“河图”、“洛书”的形象完全一致。
“洛书”作为数字方阵，也就是我们所说的三阶幻方。
直到现在，仍然是许多数学家和数学爱好者感兴趣的问题。
其实，在三阶方阵里填写的数不一定是从1开始的自然数，可以从任何一个数开始，这一列数可以是任何一个等差数列。
二、五阶幻方
我们继续用上面的调整法来制作五阶幻方。
将数1到25按自然排列排成一个5阶方阵，如图（6）所示。
按照幻方的要求，五行、五列、两条对角线上的5个数的和应该相等。
我们首先计算这个和应该等于多少。
由于1＋2＋3＋……＋24＋25=65，而65÷5=13，这说明5阶幻方与3阶幻方一样，中心位置的数应该是13。
在图（5）中，两条对角线、第三行、第三列的5个数的和已经都等于65：1＋7＋13＋19＋25=65；5＋9＋13＋17＋21=65
像三阶幻方那样，我们仍然采用下面的“对角线”法则对图（6）的元素作下列调整：（1）将两条对角线上的元素绕中心旋转45度得图（7）或图（8）：
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幻方填写方法
没法，组合数学还考幻方构造。
这东西不看解法真不会写，虽然没见有啥用，但还是记录下，免得日后再找。
按目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，即奇数阶幻方、双偶阶幻方、单偶阶幻方。
下面按这三类幻方，列出最常用解法（考试用，不求强大，只求有效！）。
奇数阶幻方（罗伯法）奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法。
填写的方法是：把1（或最小的数）放在第一行正中；按以下规律排列剩下的(n×n－1)个数：1、每一个数放在前一个数的右上一格；2、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；3、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；4、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；5、如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内。
例，用该填法获得的5阶幻方：17241815235714164613202210121921311182529双偶数阶幻方（对称交换法）所谓双偶阶幻方就是当n可以被4整除时的偶阶幻方，即4K阶幻方。
在说解法之前我们先说明一个“互补数”定义：就是在 n 阶幻方中，如果两个数的和等于幻方中最大的数与 1 的和（即n×n＋1），我们称它们为一对互补数。
如在三阶幻方中，每一对和为 10 的数，是一对互补数；在四阶幻方中，每一对和为 17 的数，是一对互补数。
双偶数阶幻方的对称交换解法：先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：12345678910111213141516内外四个角对角上互补的数相易，（方阵分为两个正方形，外大内小，然后把大正方形的四个对角上的数字对换，小正方形四个对角上的数字对换）即（1，16）（4，13）互换（6，11）（7，10）互换即可。
16231351110897612414151对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。
用代数方法探讨四阶幻方的解
用代数方法探讨四阶幻方的解杨俊平;孟宪涛【摘要】The paper begins to the Yang Hui fourth-order magic square and introduces two methods of constructing magic square of fourth-order, they are the Yang Hui method though exchanging the elements of magic and the constructing matrix with elements .By using the method of linear algebra to explore the solution of fourth-order magic squares and establishing a constraint equations of fourth-order magic square to obtain the equivalent constraints of equations though elementary transformation.The paper obtains the equivalence relation of four order by using these constraints and the properties of magic squares.Though the above equivalence relation,we made the forth-order magic squares to “line transformation”and “row transformation”and cite d the examples to illustrate that how to use the known to get the basic magicsquare.Finally,the paper described the isomorphic concept of magic square and demonstrated the number of basic solution.As to a known magic square,the paper points that there are eight isomorphic magic squares which including the known magic square.%从杨辉四阶幻方入手，介绍了两种四阶幻方的构造方法，分别是通过对幻方进行元素互换的杨辉构造法和用元素构造矩阵的矩阵构造法。
小学三年级奥数_幻方
6
把1，2，3…9这9个数填入3×3的方格里,变成三阶幻方
1 4 7 8 5 6 2 3
9
换位
三阶幻方有技巧, 3 5 7 3数斜着先排好, 上下左右要交换 , 8 6 然后各自归位了! 1 4 2 归位
9
4、如何填幻方（幻方的构成）
定中间数 填四角数 算其余数
1 2 3 4 5 6 7 8 9
那么四阶幻方的幻和也可以用16个数的和除以4161513121110202131018161513121110幻和34少了24第二行和26第三行和42第四行和58少了8多了8多了24对角线和34对角线和342分析列表202131019161513121110根据刚才的情况我们发现对角线上的4个数和就是幻和那么就让它们位置都不变
20 2 8 6 4 15 8 3 4 15
7
3 5
15
15
1
5 9
6
7 2
15
15 15
9
19
1
15
11 15 11 不是
15 15 15
是
每行每列斜着的三个数的和是否都相等，来判断是不是幻方。
2、幻方的分类
• 按照纵横各有数字的个数，可以分为： 三阶幻方、 四阶幻方、 五阶幻方、 六阶幻方… … 按照纵横数字数量奇偶的不同，可以分为： 奇阶幻方 偶阶幻方
8 10 20 30 40 50
8
8
8
(10+20+30+40+50-10)/2=70 20+50=70 30+40=70 (10+20+30+40+50-20)/2=65