“大梦杯”初中数学竞赛试题含参考答案

20XX 年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案 考试时间 20XX 年3月13日 9∶00－11∶00 满分150分

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）

1．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(02)B ，，点A 在x 轴正半轴上且30BAO ∠=︒。将

OAB △沿直线AB 折叠得CAB △，则点C 的坐标为（ ）

A ．(13)，

B ．(33)，

C ．(33)，

D ．(31)， 【答案】 B

【解答】如图，设CD x ⊥轴于点D 。

依题意，23CA OA ==，260CAO BAO ∠=∠=︒。 所以，3CD =，3AD =，3OD =。

因此，点C 的坐标为(33)，

。 2．若实数a ，b 满足232a a +=，232b b +=，且a b ≠，则22(1)(1)a b ++=（ ） A ．18 B ．12 C ．9 D ．6 【答案】 A

【解答】依题意，a ，b 为方程2320x x +-=的两个不同实根。 因此，由韦达定理得，3a b +=-，2ab =-。

[]22(1)(1)(123)(123)9(1)(1)91()9(132)18a b a b a b a b ab ++=+-+-=--=-++=+-=。 或解：222222222(1)(1)11()2194418a b a b a b a b ab a b ++=+++=++-+=+++=。 3．若关于x 的方程22240224

x x x a

x x x +-+++=-+-只有一个实数根，则符合条件的所有实数a 的值的总和为（ ）

A ．6-

B ．30-

C ．32-

D ．38- 【答案】 D 【解答】方程

22240224

x x x a

x x x +-+++=-+-化为22480x x a +++= ……………… ① 若方程①有两个相等实根，则168(8)0a =-+=△，6a =-。

6a =-时，方程①的根121x x ==-，符合要求。

若2x =是方程①的根，则8880a +++=，24a =-，此时，方程①的另一个根为4x =-，符合要求。

若2x =-是方程①的根，则8880a -++=，8a =-，此时，方程①的另一个根为0x =，符合要求。

所以，符合条件的a 有6-，24-，8-，其总和为38-。

4．如图，在ABC △中，6AB =，3BC =，7CA =，I 为ABC △的内心，连接CI 并延长交AB 于点D 。记CAI △的面积为m ， DAI △的面积为n ，则

m

n

=（ ） A ．32 B ．43 C ．53 D ．74

【答案】 C 【解答】依题意，

m IC

n ID

=

。 由I 为ABC △的内心知，IC AC BC

ID AD BD

==

。 所以，由等比定理知，

73563

m IC AC BC AC BC n ID AD BD AD DB ++======+。 5．已知x ，y 为实数，且满足2244x xy y -+=，记224u x xy y =++的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=（ ）

A ．

403 B ．6415 C ．13615 D ．31

5

【答案】 C

【解答】由2244x xy y -+=，得2244x y xy +=+，22424u x xy y xy =++=+。 ∵ 22254(44)(2)44xy xy x y x y =++-=+-≥-，当且仅当2x y =-

，即x =

，y =

x =

，y =时等号成立。 ∴ xy 的最小值为45-，22424u x xy y xy =++=+的最小值为125，即12

5

m =。

∵ 22234(44)4(2)4xy xy x y x y =-+-=--≤，当且仅当2x y =，

即x =

y =

x =

y =时等号成立。 ∴ xy 的最大值为43，22424u x xy y xy =++=+的最大值为203，即20

3

M =。 ∴ 20121363515

M m +=

+=。 或解：由2244x xy y -+=，得2244x y xy +=+，22424u x xy y xy =++=+。

（第4题）

A

B

C D

I

设xy t =，若0x =，则4μ=；0x ≠时，y x t =

，将t

y x

=代入2244x xy y -+=， 得2

2

244t x t x

-+=，即422(4)40x t x t -++=， ……………… ①

由22(4)160t t =+-≥△，解得44

53

t -≤≤。

将43t =

代入方程①，解得283x =

，3x =±；45t =-代入方程①，

解得285

x =

，5x =±。 ∴ xy 的最大值为

43，最小值为4

5

-。 因此，820433M =+=，812455m =-+=，2012136

3515

M m +=+=

。 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）

6．在平面直角坐标系内有两点(11)A ，，(23)B ，，若一次函数2y kx =+的图像与线段AB 有公共点，则k 的取值范围为 。

【答案】 1

12

k -≤≤

【解答】易得直线AB 对应的一次函数的解析式为21y x =-。

由212y x y kx =-⎧⎨=+⎩，得(2)3k x -=- ……………… ①

依题意，方程①有12x ≤≤的解。 ∴ 20k -<，且3122k -≤≤-，解得112k -≤≤。故k 的取值范围为1

12

k -≤≤。 或通过作图求解。

7．如图，在ABC △中，D 为BC 边上一点，E 为线段AD 上一点，延长BE 交AC 于点F 。若

25BD BC =，12AE AD =，则AF AC = 。 【答案】 27

【解答】如图，过点C 作CG BF ∥交AD 的延长线于点G ，则

AF AE

AC AG

=。 又由CG BE ∥，知DGC DEB △∽△。

F B

C

A

D E

（第7题）