函数项级数的收敛域与和函数
高等数学 3幂级数收敛域和函数
第九章 无穷级数
第三节 幂 级 数
第三节 幂级数
一. 函数项级数 函数项级数
n 1
1.定义 u1 ( x) u2 ( x) un ( x) un ( x)
{un ( x)} 是定义在区间 I 上的函数列
2.收敛域 在 I 中任取一点 x0 ,就得到一个数项级数
所以收敛半径为3, 收敛区间为(3,3)
3n 1 1 1 当 x 3 时，因为 n ，且 发散， n 3 (2) n 2n n 1 n
所以原级数在点x 3处发散.
(3) n 1 1 2n 1 当 x 3 时，由于 n (1) n n , 3 (2) n n n 3 (2) n n
2.收敛半径的求法 定理2
an R lim n a n 1
(证明略)
例 求收敛半径和收敛域
(1). (1) n1
n 1
1 an R lim lim n 1 n a n 1 n 1 n 1 n 1 1 x =1 时 (1) n 收敛； x =－1时 n 1
S ( x) un ( x)
n 1
4.余项:
rn ( x) S ( x) Sn ( x)
前n项的部分和
在收敛域内才有意义,且 lim rn ( x ) 0 n
二. 幂级数及其收敛性
幂级数
一般形式:
各项都是幂函数的函数项级数
a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 )2 an ( x x0 )n (1)
( x 2) n (4). (1) n1 n n 1
考研数学基础班讲义-微积分第18讲_函数项级数(优选.)
∞
∞
∑ ∑ an 相应于 an (x − 1)n 在 x = 2 处的数项级数，
n=1
n=1
而 x = 2 ∈ (−1, 3) ，所以绝对收敛。
例 18.3 求幂级数 n∑∞=191n x 2n−1 的收敛域。
【解】此时不能套用收敛半径的计算公式，而应直接用比率法求其收敛半径。
lim
k →∞
1 9k +1
的全体。 (2)一般来说，收敛域可能是较为复杂的集合。
18．2 幂级数的概念 幂级数是一类简单的函数项级数。只有真正理解幂级数收敛半径的概念，掌握幂级数
在其收敛区间内的性质，才能掌握好收敛半径的求法，并能处理将函数展开为指定点的幂级
数和求简单级数的和的问题。 18．2．1 幂级数的定义与收敛域
∞
∑ 定义 18.4 设 {an }(n = 0,1,2,3,L) 是一实数列，则称形如 an (x − x0 )n 的函数项级数为 n=0
x 2k +1
1 9k
x 2k −1
= lim x2 k→∞ 9
=
x2 9
,
所以
当 x2 9
< 1,
即 | x |< 3 时，级数 n∑∞=191n
x 2n−1 绝对收敛；
∑ 当 x 2 > 1, 即 | x |> 3 时， lim 1 x 2n−1 = +∞ ，所以级数 ∞ 1 x 2n−1 发散。
n=0
的收敛半径为 R
，并不能保证
lim an+1 a n→∞
n
=1 R
或
lim n
n→∞
an
= 1 成立。 R
∑∞
（2）对于级数 an x n
函数项级数收敛域求法
函数项级数收敛域求法一、函数项级数的定义在数学中，一个函数项级数是指形如∑an(x)的无穷级数，其中an(x)是一个函数序列。
当x取不同的值时，这个级数可能会收敛或发散。
二、函数项级数的收敛域函数项级数的收敛域是指使得该级数收敛的所有x值所组成的集合。
在实际应用中，求出一个函数项级数的收敛域非常重要。
因为只有在收敛域内才能保证该级数具有良好的性质。
三、判断函数项级数收敛性的方法1.比较判别法：将给定函数与已知收敛或发散的基准函数进行比较，从而判断其收敛性。
2.比值判别法：对于给定函数项序列{an(x)}，计算其相邻两项之比lim|an+1(x)/an(x)|，若此极限存在且小于1，则该序列绝对收敛；若此极限大于1，则该序列绝对发散；若此极限等于1，则无法确定其收敛性。
3.根值判别法：对于给定函数项序列{an(x)}，计算其绝对值lim|an(x)|^(1/n)，若此极限存在且小于1，则该序列绝对收敛；若此极限大于1，则该序列绝对发散；若此极限等于1，则无法确定其收敛性。
4.积分判别法：将给定函数项序列{an(x)}中的每一项都积分，然后比较所得的积分级数与已知收敛或发散的基准级数，从而判断其收敛性。
四、函数项级数收敛域求法1.利用比较判别法当给定函数项级数∑an(x)与一个已知收敛的基准函数∑bn(x)相比较时，可以得到以下结论：(1)若|an(x)|≤bn(x)，且∑bn(x)收敛，则∑an(x)也必然收敛。
(2)若|an(x)|≥bn(x)，且∑bn(x)发散，则∑an(x)也必然发散。
因此，可以通过找到一个已知的基准函数来确定函数项级数的收敛域。
具体步骤如下：(1)找到一个已知的基准函数∑bn(x)，使得其在某个区间上绝对收敛。
(2)将待求级数中每一项用该基准函数中相同次幂的项来代替，并取绝对值。
即将原来的级数改写为：∑|an(x)/bn(x)|*bn(x)。
(3)求出新级数的收敛域。
(4)根据比较判别法的结论，原级数在新级数的收敛域内绝对收敛。
函数项级数的一致收敛
∑x
n =0
n
在区间 ( −1 , 1 ) 内闭一致收敛 .
Ex
[1]P44—45
1 ⑹⑺， 4，6.
四. 函数项级数一致收敛判别法:
1.
M Th 4
判别法: ( Weierstrass 判别法 ) 设级数
∑u
n
( x)
定义在区间 D 上,
∑M
n
是收敛
的正项级数.若当 n 充分大时, 对 ∀x ∈ D 有|
f ( x) =
lim
n→∞
⎛ 1 ⎞ max | f n ( x) − f ( x) |= f n ⎜ ⎟ = n → / 0 f n ( x) = 0 . 但 由 于 x∈[ 0,1] ⎝ 2n ⎠ ,
(n→∞),
因此 , 该函数列在 [ 0 , 1 ] 上不一致收敛.
例8
f n ( x) =
⑴
∑u
n
( x)
, 前 n 项部分和函数列
{S n ( x)} ，收敛
例 9 定义在 ( − ∞ , + ∞ ) 内的函数项级数( 称为几何级数 )
∑x
n=0
∞
n
= 1+ x + x2 + L + xn +L
1− xn S n ( x) = ( x ≠ 1) 1− x 的部分和函数列为 , 收敛域为 ( − 1 , 1 ) .
lim
n→∞
f n ( x) = f ( x ) , … … , 有
| f m ( x) − f n ( x) | <
ε
2.
| f n ( x) − f ( x) | ≤
ε
2
令m → ∞, ⇒
函数项级数收敛性
函数项级数收敛性函数项级数是指由函数项按照一定规则排列组成的级数。
在研究级数的收敛性时，我们通常关注的是序列的部分和序列，即部分和序列的极限是否存在。
在本文中，我们将介绍函数项级数的收敛性及其相关概念。
1. 函数项级数的定义考虑一个函数项级数$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty } a_{n} ( x)$，其中$\displaystyle a_{n} ( x)$为关于变量$\displaystyle x$的函数。
对于任意固定的$\displaystyle x$，元素$\displaystyle a_{n} ( x)$称为级数的通项。
部分和序列$\displaystyle S_{n} ( x)$定义为$\displaystyle S_{n} ( x) =\sum _{k=1}^{n} a_{k} ( x)$。
2. 函数项级数的收敛性函数项级数的收敛性与序列的收敛性密切相关。
函数项级数$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty } a_{n} ( x)$在某一点$\displaystylex$收敛，即当$\displaystyle n$趋于无穷时，部分和序列$\displaystyleS_{n} ( x)$的极限存在，记为$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty } a_{n} ( x) =S( x)$。
如果对于所有$\displaystyle x$都有$\displaystyle S( x) \neq\infty ,S( x) \neq -\infty$，则称级数在$\displaystyle x$上绝对收敛。
3. 收敛性判定准则对于函数项级数的收敛性判定，有以下几个准则:3.1 Cauchy准则函数项级数$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty } a_{n} ( x)$在某一点$\displaystyle x$处收敛的充分必要条件是，对于任意正数$\displaystyle \varepsilon$，存在一个正整数$\displaystyle N$，使得当$\displaystyle m,n>N$时，$\displaystyle \left| \sum _{k=n}^{n+m} a_{k} ( x)\right|<\varepsilon$。
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11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
级数(函数项级数、幂级数)复习总结
函数项级数、幂级数一、 函数项级数概念121()()()(),n n n u x u x u x u x ∞==++++∑0I x ∈定义区间前n 项部分和函数1()()n n k k S x u x ==∑和函数1()()n n S x u x ∞==∑，x ∈收敛域二、 幂级数及其收敛域0n nn a x ∞=∑收敛域/发散域图：注：条件收敛的点只可能出现在分界点上！概念：R ：幂级数收敛半径收敛区间：),(R R -收敛域：⋃-),(R R 收敛端点如何求收敛半径？定理(Cauchy-Hadamard)若0n nn a x ∞=∑所有系数满足),1,0(,0 =≠n a n，1lim +∞→=n n n a a R ∑∞=0n n nx a 的收敛半径为R ，则∑∞=-00)(n n n x x a 的收敛域为⋃<-R x x ||0收敛端点。
1. 求n n x n n 202)!(!)2(∑∞=收敛半径。
2. 求∑∞=-+112)]13[ln(n n n x 的收敛域。
三、 和函数性质定理幂级数n n nx a ∑∞=0的和函数)(x S 在收敛域上连续；在收敛区间内可“逐项求导”和“逐项积分”，运算前后收敛半径相同，但收敛域可能改变。
逐项求导——1100)()()(-∞=∞=∞=∑∑∑='='='n n n n n n nn n x a n x a x a x S ，),(R R x -∈ 逐项积分——10000001d d d )(+∞=∞=∞=∑∑⎰⎰∑⎰+===n n n n x n n x n n n x x n a x x a x x a x x S ，),(R R x -∈● 注意点：n n n x a ∑∞=0，11-∞=∑n n n x a n 和101+∞=∑+n n n x n a 收敛半径相同，但端点处的敛散性可能改变。
逐项求导是特别注意0次项的求导！● 利用几何级数结论做题——xx n n -=∑∞=110，)1,1(-∈x 步骤：先求收敛半径，收敛域；在收敛区间内，利用和函数性质：逐项求导/逐项积分等求和函数。
10.1 函数项级数
(2)有限个可导函数的和仍是可导函数，
且和函数的导数等于导函数的和; (3)有限个可积函数的和仍是可积函数， 且和函数的积分等于积分函数的和;
问题
无限个函数的和（函数项级数）是否具有这些性 质呢？
再考察例1：
研究级数 u n ( x ) x ( x 2 x ) ( x 3 x 2 ) ( x n x n 1 )
x a
S ( t )dt
x a
x un t dt un ( t )dt a n 1 n 1
定理5(和函数的可导性)
设un C 1 ( I )( n N ), 若级数 un 在I上处处
n 1
收敛于函数S : I R , u 在I上一致收敛于 n
当 z 1 时, 加绝对值后的级数收敛 原级数收敛 当 z 1 时, 加绝对值后的级数发散
用的比值法
原级数发散
1 当 z 1 时, 取 模 后 的 级 数 2 收 敛 原 级 数 收 敛 n n 1
收敛域为z 1
1 ( 2) (cos x ) n n 1 3 4 n
函数项级数
一、函数项级数基本概念
定义1 设un ( z )是定义在区域 上的复变函数列, D
称表达式 : u1 u2 un 或
u
n 1
n
为区域D上的复函数项级数 简称 , 函数项级数，un ( z )称为它的通项. 前 n 项之和S n ( z ) uk ( z )
设un C ( I )( n N ), 若函数项级数 un 在
n 1
I上一致收敛于 : I R , 则和函数S C ( I ). S
函数项级数的收敛域
二、函数项级数的收敛域
定义1
设 { u n ( x )} 是 定 义 在 数 集 A 上 的 一 个 函 数 列 , 则
u1 ( x ) u 2 ( x ) u n ( x ) , x A
(1 )
称为定义在A上的函数项级数,
函 数 项 级 数 ( 1 ) 的 前 n项 和
函数项级数的收敛域
余和
§9.2 函数项级数
例 1、 讨 论 函 数 项 级 数 x 的 收 敛 域 .
n n0
解 ： 当 | x | 1时 ， x 发 散 ；
n n0
当 | x | 1时 ， x 收 敛 .
n n0
所以函数项级数
n 1
x 的 收 敛 域 为 ( 1, 1 ).
(2)
收 敛 ， 即 部 分 和 数 列 { S n ( )}收 敛 ，则 称 函 数 项 级 数 (1)
在收敛，为函数项级数的收敛点；
若 数 项 级 数 u n ( )发 散 ，则 为 函 数 项 级 数 的 发 散 点 ；
n 1
定义3
使 函 数 项 级 数 u n ( x )收 敛 的 全 体 收 敛 点 的 集 合 ，
n0
sin x n
2
的 收 敛 域 为 R.
函数项级数的收敛域
§9.2 函数项级数
例 3、 讨 论 函 数 项 级 数
n0
co s n x n
的收敛域.
解 ： 当 x 2 k 时 （ k Z ） ,
n1
cos n x n
收敛；
当 x = 2 k 时 （ k Z ） ,
函数列
(1)
(2)
设x0 E,以x0代入函数列(1)可得数列(2)
若数列(2)收敛, 则称函数列(1) 在点x0收敛 x0称为函数列(1)的 收敛点 若数列(2)发散, 则称函数列(1) 在点x0发散
若函数列(1)在数集I E上每一点都收敛, 则称函数列(1)在
0, N N , n N ,
x I
s.t.
f n ( x) f ( x) .
则称函数列 { f n ( x)}在区间I
或
一致收敛 一致收敛于极限函数f ( x).
记作
f n ( x)
f ( x)
(n ), x I
点态收敛 与 一致收敛 的 区别
注 : 一般 N值的确定与和x有关, 所以也用 N( , x)表示他们之间的依赖关系.
收敛点与收敛域
f1 ( x) , f 2 ( x) ,, f n ( x) , (1) 设x0 E,以x0代入函数列(1)可得数列(2)
f1 ( x0 ) , f 2 ( x0 ) ,, f n ( x0 ) , (2)
f n ( x) f m ( x) .
或 0, N N , n N , p N , x I , s.t.
f n p ( x) f n ( x) .
I
I
I
I I
I
定理5、函数列一致收敛的充要条件
函数列 { f n ( x)}在区间I一致收敛
(i ) 对固定的 x I ,
0, N N , n N , s.t.
f n ( x) f ( x) பைடு நூலகம் .
高等数学 第八章 数列与无穷级数 8-4幂级数
n 0
an 1 x n 1 an 1 lim x 1)若0 ρ , lim n n an x n an
当ρ x 1, 即 x 当ρ x 1, 即 x
1 ρ 1 ρ
时, 原级数收敛; 故收敛半径 1 R . 时, 原级数发散. ρ
n
2 6
, n 为奇数 , n 为偶数
不能
lim
n
un ( x ) lim
n
n
2 ( 1)
x 2
备用题
x2 x3 xn 例2-1 x ( 1) n1 2 3 n 求收敛半径及收敛域.
解
1 an n lim R lim 1 n n a n 1 n1
( 该幂级数的收敛域： 1, 1).
设S ( x )
n 1
( 1)n1 n( n 1) x n ( 1)n1 nx n1
0
x
S ( x )dx
n 1
x 2 ( 1)n1 nx n1 令F ( x )
n 1
n 1
( 1)n1 nx n1
余项：
例1 (1) 和函数
1 ( x 1) 2
发散域： ( , 0 ]
等比级数 1 公比: x
2
收敛域：
(2)
级数发散 ;
故级数的收敛域: 收敛域一般不一定为区间
二、幂级数及其收敛性
1. 定义
1 ( x 1), 例如, 等比级数 为幂级数 x 1 x n 0
n
问题
一般幂级数的收敛域是否为区间？
n0
其和函数.具体步骤如下：
函数项数
满足不等式 x x 0 的点 x ，该级数都发散.
证明
(1) an x0 收敛, lim an x0 0,
n
n
n 0
n
高等数学（下）
M , 使得 an x0 M
n n n
n
( n 0,1,2,)
n
x x x n a n x a n x0 n a n x0 M x0 x0 x0
2 n 1
收敛 .
x ＝－ 2 时 ,
an x
2 n 1
收敛 .
高等数学（下）
三、幂级数的运算
1.代数运算性质:
设 an x 和 bn x 的收敛半径各为 R1和R2 ,
n n
R minR1 , R2
(1) 加减法
n 0
n 0
an x bn x n 0 n 0
x x 当 1时, 等比级数 M 收敛, x0 x0 n 0
n
n
a n x 收敛,即级数 an x 收敛;
n
n
n 0
n 0
高等数学（下）
(2) 假设当x x0时发散,
反设有一点x1 满足 x1 x0 使级数收敛,
由(1)结论， 则级数当 x x 0 时应收敛,
n
n
收敛区间( , ) .
收敛域也是 (,) .
高等数学（下）
1 n (4) ( 1) (x ) . n 2 n1 a n 1 2 n lim lim n a n n 1 n
n
2
n
1 1 1 1 ( , ) 0,1 收敛区间是 2 2 2 2 .
《数学分析(3)》知识点整理
《数学分析（3）》复习资料第十三章 函数列与函数项级数（5%）1．（1）函数列收敛域为(),1,2,nn f x x n == (1,1]-，极限函数为0,1,()1, 1.x f x x ⎧<⎪=⎨=⎪⎩．（2）函数列sin (),1,2,n nxf x n n == 收敛域为(,)-∞+∞，极限函数为()0f x =． 2．（1）函数列在(02(),1,2,nx n f x nxe n -== ,)+∞上不．一致收敛． （2）函数列()1,2,n f x n == 在(1,1)-上一致收敛． （3）函数列22(),1,2,1n xf x n n x ==+ 在(,上一致收敛．)-∞+∞（4）函数列(),1,2,n xf x n n== 在[0上不．一致收敛． ,)+∞（5）函数列()sin,1,2,n xf x n n== 在上不．一致收敛． (,-∞+∞)3．（1）函数项级数nn x∞=∑在(1上不．一致收敛． ,1)-（2）函数项级数2sin nx n ∑，2cos nxn ∑在上一致收敛．(,-∞+∞)（3）函数项级数(1)!nx n -∑在上一致收敛． [,]r r -（4）函数项级数122(1)(1)n nx x --+∑在(,上一致收敛． )-∞+∞（5）函数项级数n n x ∑在11r x r r ∙>⎧⎪>⎨=⎪⎩上一致收敛上不一致收敛．（6）函数项级数2nx n ∑在上一致收敛．[0,1]（7）函数项级数12(1)n x n --+∑在上一致收敛．(,-∞+∞)（8）函数项级数221(1)n x x -+∑在(,上不．一致收敛． )-∞+∞第十四章 幂级数（10%）1．对于幂级数，若0n n n a x ∞=∑lim n ρ=（1limn n na a ρ+→∞=） 则（i ）当0ρ=时，收敛半径R =+∞，收敛域为(,)-∞+∞；（ii ）当ρ=+∞时，收敛半径，仅在0R =0x =处收敛； （iii ）当0ρ<=+∞时，收敛半径1R ρ=，收敛域为(,)R R -，还要进一步讨论区间端点x R =±处的敛散性．2．幂级数展开式： （1）()2(0)(0)(0)()(0)1!2!!n nf f f f x f x x x n '''=+++++（2）011nn x x ∞==-∑，01(1)1n n n x x ∞==-+∑ (1x )<． （3）2(1)(1)(1))12!!m n m m m m m n x mx x x n ---++=+++++ (11)x -<<111]，．1110101m m m ≤--⎧⎪-<<-⎨⎪>-⎩时，收敛域为（，）时，收敛域为（，]时，收敛域为[，(1（4）1110(1)(1)ln(1)(11)1n n n n n n x x x x n n -∞∞+==--+==-<≤+∑∑，1ln(1)nn x x n∞=--=∑ (11)x -≤<． （5）210(1)sin (21)!n n n x x n ∞+=-=+∑，20(1)cos (sin )(2)!n nn x x n ∞=-'==∑ ()x -∞<<+∞．（6）10(1)arctan (11)21n n n x x n ∞+=-=-≤+∑≤（7）0)!nxn x n ∞==-∞<<+∞∑e x3．幂级数的和函数（1）1)(0,1,2,k 1knn kx x x x ∞==<-)∑ = ． （2）()(1)1)1knnn kx x x x ∞=--=<+)∑ ． (0,1,2,k = （3）1ln(1)nn x x n∞==--∑ ．(11)x -≤<（4）121111()1(1)n nn n n n x nxx x x x ∞∞∞-===''⎛⎫⎛⎫'==== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑∑∑ (1x )<． （5）223)21111(1)()1(1)(1n n n n n n x n n x x x x x x ∞∞∞-==='''''⎛⎫⎛⎫⎛⎫''-===== ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑ (1x <)． 第十五章 傅里叶级数（10%）()f x 是以2π为周期且在[,]ππ-上可积的函数： 1．01()(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞==++∑，01()a f x πππ-=⎰dx ，1()cos n a f x nx πππ-=⎰dx ，1()sin nbf x nx πππ-=⎰dx 1,2,n ，= ．2．01()cos sin 2n n n a n x n x f x a b l l ππ∞=⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∑，01()ll a f x l -=⎰dx ， 1()cos l n l n x a f x dx πl l -=⎰，1()sin l n l n xb f x dx πl l-=⎰，1,2,n = ．3．（1）偶函数的傅里叶级数：01()cos2n n a n x f x a l π∞==+∑，012()cos ()cos l l n l n x n xa f x dx f x dx πl l l l π-==⎰⎰，． 1,2,n = 01()cos 2n n a f x a nx ∞==+∑，012()cos ()cos n a f x nxdx f x nxd πππππ-==⎰⎰x ，1,2,n = ．（2）奇函数的傅里叶级数：1()sinn n n x f x b lπ∞==∑，012()sin ()sin l l n l n x n xf x dx f x dx l l l l πb π-==⎰⎰1,2,，n = ．1()sin n n f x b ∞==∑nx ，012()sin ()sin n b ，f x nxdx f x nxdx πππππ-==⎰⎰1,2,n = ．第十六章 多元函数的极限与连续（5%）1．若累次极限00lim lim (,)x x y y f x y →→，00lim lim (,)y y x x f x y →→和重极限00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →都存在，则三者相等．2．若累次极限00lim lim (,)x x y y f x y →→与00lim lim (,)y y x x f x y →→存在但不相等，则重极限00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →必不存在．3．2222(,)(0,0)lim 0x y x y x y →=+，2222(,)(0,0)1lim x y x y x y →++=+∞+，22(,)lim 2x y →=，22(,)(0,0)1lim ()sin 0x y x y x y →+=+，2222(,)(0,0)sin()lim 1x y x y x y →+=+． 第十七章 多元函数微分学（20%）1．全微分：z zdz dx dy x y ∂∂=+∂∂． 2．zzz x y x yx x y yt t∂∂s t s sts∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂z z x z y s y t∂∂∂∂∂=+s x s y z z x z t x t y ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂． 3．若函数f 在点可微，则0P f 在点沿任一方向的方向导数都存在，且0P 000(,,)l x y z 0000()()cos ()cos ()cos l x y z f P f P f P f P αβγ=++，其中cos α，cos β，cos γ为方向l x 的方向余弦，000(,,)y z即cos α=cos β=，cos γ=4．若(,,)f x y z 在点存在对所有自变量的偏导数，则称向量0000(,,)P x y z 000((),(),())x y z f P f P f P 为函数f 在点的梯度，记作0P 000(),()ad )z ((),x y gr f P f =P f P f ．向量grad f 的长度（或模）为gra d f =．5．设，(,z f x y xy =+)f 有二阶连续偏导数，则有1211z 212()z f yf z x x y y y ∂⎛⎫∂ ⎪''∂+∂∂⎝⎭==∂∂∂∂2f f y f yf x∂'''=⋅+⋅=+∂'，11122212221112221(1)()f f x f y f f x f f x y f xyf ''''''''''''''''=⋅+⋅++⋅+⋅=++++．6．设，令00()()0x y f P f P ==0()xx f P A =，0()xy f P B =，0()yy f P C =，则（i ）当，时，20AC B ->0A >f 在点取得极小值； 0P （ii ）当，20AC B ->0A <时，f 在点取得极大值； 0P （iii ）当时，20AC B -<f 在点不能取得极值； 0P （iv ）当时，不能肯定20AC B -=f 在点是否取得极值．0P 第十八章 隐函数定理及其应用（10%）1．隐函数，则有(,)0F x y =x yF dydx F =-． 2．隐函数，则有(,,)0F x y z =x z F zx F ∂=-∂，y zF z y F ∂=-∂(,,,)0(,,,)0F x y u v G x y u v ． =⎧⎨3．隐函数方程组：=⎩，有x yu v xyuv F F F F F F F F x y u v G G G G GG G G x yuv ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭， 则uv uv uv F F J G G =，xv xv xv F F J G G =，uxux u x F F J G G =，y v yv y v F F J G G =，uyuy uyF F JG G =， xv uv J u x J ∂=-∂ ，ux uv J vx J ∂=-∂，yv uv J u y J ∂=-∂，uy uvJ v y J ∂=-∂． 4．平面曲线在点的切线．．方程为(,)0F x y =000(,)P x y 000000(,)()(,)()0x y F x y x x F x y y y -+-=， 法线．．方程为000000(,)()(,)()0y x F x y x x F x y y y -+-=． 5．空间曲线：在点处的L (,,)0(,,)0F x y z G x y z =⎧⎨=⎩0000(,,)P x y z切线．．方程为00z x yz x y z x y z x y 0x x y y z z F F F F F F G G G G G G ---==⎛⎫⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎫⎪⎭00000()()()0x y z F x x F y y F z z ， 法线．．方程为． 00()()()yz xy zx yz xy zx F F F F F F x x y y z z G G G G G G ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6．曲面在点处的切平面．．．方程为(,,)0F x y z =0000(,,)P x y z -+-+-=， 法线．．方程为00x y 0zx x y y z z F F F ---==． 7．条件极值例题：求函数在约束条件22u x y z =++222z x y =+与4x y z ++=下的最大值和最小值．解：令，22222(,,,,)()(4)L x y z x y z z x y x y z λμλμ=+++--+++-则由，得稳定点22220222040x yz L x x L y y L z L z x y L x y z λμλμλμλμ=-+=⎧⎪=-+=⎪⎪=++=⎨⎪=--=⎪=++-=⎪⎩00112x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩及228x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故当1x y ==，时函数在约束条件下取得最小值， 2z =22u x y z =++28z =26当，时函数在约束条件下取得最大值．2x y ==-22u x y z =++72第十九章 含参量积分（5%）1．，；10()s xs x e +∞--Γ=⎰dx 0s >(1)(s s )s Γ+=Γ；1(2Γ=；1()2n Γ+=，1()2n Γ-=． 2．1110(,)(1)p q p q x x ---⎰)dx (0,0p q >>B =；(,)(,)p q q p B =B ；1(,)(,1)1q p q p q p q -B =B -+- ；(0,1p q >>)1(,)(1,)1p p q p q -p q B =B -+-) ；(1,0p q >>(1)(1)(,)(1,1)(1)(2)p q p q p q p q p q --B =B --+-+- ．(1,1p q >>)3．()()(,)()p q p q p q ΓΓB =Γ+ ．(0,0p q >>)第二十章 曲线积分（5%）1．设有光滑曲线：L (),(),x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩t [,]αβ∈，函数(,)f x y 为定义在L 上的连续函数，则(,)((),(Lf x y ds f t t βαϕψ=⎰⎰；当曲线由方程L ()y x ψ=，[,]x a b ∈表示时，(,)(,(bLaf x y ds f x x ψ=⎰⎰．2．设平面曲线：L (),(),x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩t [,]αβ∈，其中()t ϕ，在[,]αβ上具有一阶连续导函数，且((),())A ϕαψα，((),())B ϕβψβ． 又设与为上的连续函数，则沿L 从A 到(,)P x y (,)Q x y L B 的第二型曲线积分(,)(,)[((),())()((),())()]LP x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt βαϕψϕϕψψ''+=+⎰⎰．第二十一章 重积分（20%）1．若(,)f x y 在平面点集}{12(,)()(),D x y y x y y x a x b =≤≤≤≤（x 型区域）上连续，其中1()y x ，2()y x 在[,上连续，则]a b 21()()(,)(,)b y x ay x Df x y d dx f x y dy σ=⎰⎰⎰⎰，即二重积分可化为先对y ，后对x 的累次积分．若}{12(,)()(),D x y x y x x y c y d =≤≤≤≤，其中1()x y ，2()x y 在]上连续，则二重积分可化为先对[,c d x ，后对y 的累次积分21()()(,)(,dx y cx y D)f x y d dy f x y σ=⎰⎰⎰⎰dx ．在二重积分中，每次积分的上、下限一定要遵循“上限大，下限小”的原则，且一般来说，第一次（先）积分的上、下限一般为第二次（后）积分的积分变量的函数或常数，而第二次（后）积分的上、下限均为常数． 2．格林公式：若函数，在闭区域上连续，且有一阶偏导数，则有(,)P x y (,)Q x y D ()L DQ Pd Pdx Qdy x yσ∂∂-=+∂∂⎰⎰⎰ （或L Dx y d Pdx Q +dy P Qσ∂∂∂∂=⎰⎰⎰ D ），这里为区域的边界曲线，并取正方向． L 3．设是单连通闭区域．若函数，在内连续，且具有一阶连续偏导数，则以下四个条件等价：D (,)P x y (,)Q x y D （i ）沿内任一按段光滑封闭曲线，有D L 0LPdx Qdy +=⎰；（ii ）对中任一按段光滑曲线，曲线积分与路线无关，只与的起点及终点有关；D L LPdx Qdy +⎰L （iii ）是内某一函数的全微分，即在内有Pdx Qdy +D (,)u x y D du Pdx Qdy =+；（iv ）在内处处成立D P Qy x∂∂=∂∂． (,)4．设f x y 在极坐标变换cos ,:sin ,x r T y r θθ=⎧⎨=⎩0r ≤<+∞，02θπ≤≤下，xy 平面上有界闭区域与D r θ平面上区域∆对应，则成立(,D)(cos ,sin )f x y dxdy f r r rdrd θθθ∆=⎰⎰⎰⎰．通常积分区域为圆形、扇形、环形或为其一部分，或积分区域的边界线用极坐标方程表示较简单，且被积函数为22()f x y +，(y f x ，(xf y，()f x y +等形式时常选用在极坐标系下计算二重积分．5（1）柱面坐标变换cos ,0,:sin ,02,.x r r T y rz z z θ,θθπ=≤⎧⎪=≤⎨⎪=-∞<<⎩<+∞≤+∞(,,)V 三重积分的柱面坐标换元公式为f x y z dxdydz ⎰⎰⎰(cos ,sin ,)V f r r z rdrd dz θθθ'=⎰⎰⎰，这里V '为V 在柱面坐标变换下的原象．（2）球坐标变换T y sin cos ,0,:sin sin ,0,cos ,02.x r r r z r ϕθϕθϕπϕθπ=≤<+∞⎧⎪=≤≤⎨⎪=≤≤⎩三重积分的球坐标换元公式(,,)Vf x y z dxdydz ⎰⎰⎰2(sin cos ,sin sin ,cos )sin V f r r r r drd d ϕθϕθϕϕϕ'=⎰⎰⎰θ，这里V '为V 在球坐标变换下的原象．DS ∆=．6．曲面面积计算公式：第二十二章 曲面积分（10%）1．设有光滑曲面)，(,:(,S z z x y =)x y D ∈，(,,)f x y z 为上的连续函数，则S (,,)(,,(,SDf x y z dS f x y z x y =⎰⎰⎰⎰． 2．设R 是定义在光滑曲面:(,S z z x y )=，(,)xy x y D ∈上的连续函数，以的上侧为正侧（这时的法线方向与轴正向成锐角），则有S S z (,,),))(,,(xySD R x y z dxdy x y dxdy =⎰⎰R x y z ⎰⎰．3．高斯公式：设空间区域V 由分片光滑的双侧封闭曲面围成．若函数，，S P Q R 在V 上连续，且有一阶连续偏导数，则(VSP Q Rdxdydz Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z ∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ ，其中取外侧． S 4．斯托克斯公式：设光滑曲面的边界是按段光滑的连续曲线．若函数，Q ，S L P R 在（连同）上连续，且有一阶连续偏导数，则S L ()(()L P =⎰ S P R Q P dydz dzdx dxdy d Q z x x y ∂∂∂∂-+-∂∂∂∂⎰⎰R Q y z ∂∂∂∂x dy +Rd +z （或-+Sdz dzdx dxdydy x y z P Q R∂∂∂∂∂∂⎰⎰ LPdx Qdy Rdz =++⎰ ），其中的侧与的方向按右手法则确定． S L。
和函数和收敛域的关系
和函数和收敛域的关系
和函数是数学中常见的一类函数，它的定义是将一组数加起来得到的结果。
而收敛域则是对于一组数列，在某种条件下求得的极限值所在的范围。
那么和函数和收敛域之间有什么关系呢？
首先，我们考虑一个简单的和函数：级数。
级数是一种无限求和的形式，比如说：$sum_{n=1}^infty frac{1}{n^2}$。
我们知道，这个级数的和是无限接近于 $frac{pi^2}{6}$ 的。
而这个和的收敛域
就是 $n>1$，也就是说，当 $n$ 从 $1$ 开始取值时，这个级数会收敛到一个极限值，而这个极限值所在的范围就是收敛域。
对于一般的和函数而言，其收敛域也是与其收敛性质紧密相关的。
例如，在一些情况下，如果一个和函数的收敛域是无穷大，那么这个和函数就是发散的。
而如果一个和函数的收敛域是有限的，则其一定是收敛的。
总之，和函数和收敛域之间是有着非常紧密的联系的。
我们可以通过研究一个和函数的收敛域来了解其收敛性质，从而进行更深入的研究和应用。
- 1 -。
函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质
y S(x)
y Sn (x)
I
x
定理(柯西收敛原理)
un ( x)在I上一致收敛于S( x) 0, N ( ) N ,
n1
当n N ( )时, x I ,p N , un1( x) un p( x) .
推论 若 un ( x)在I上一致收敛，则 {un( x)}在I上一致 n1
即 0, N ( x0 , ) 0,当n N ( x0 , )时, | fn ( x0 ) f ( x0 ) |
定义 设 fn(x)在点集I上逐点收敛于f (x)，且对
任意 0, 存在与x无关N ( ), 使得当n N时, 对一
切x I , 都有 fn(x) f (x) , 则称 fn(x)在I上一
>
N
时有
rn (x) (0 x )
这说明级数在 [0, +∞) 上一致收敛于 S(x) 1 . x 1
余项 rn (x) 一致收敛于 0
几何解释 : (如图)
0, N N , 当n > N 时, S(x) Sn (x) 表示 曲线 y Sn (x) 总位于曲线 y S(x) 与y S(x)
之间.
y S(x)
y S(x)
例.
求证fn ( x)
1
x n2
x2
在(, )上一致收敛.
证明： x (, ),
lim
n
fn ( x)
x
lim
n
1
n2
x
2
0, 逐点收敛于f ( x)
函数项级数的一般概念
函数项级数的一般概念一、函数项级数的一般概念1.定义：.1 20 +++=∑∞=x x x n n 例如级数 ∑∞=++++=121)()()()(n nn x u x u x u x u {}上的函数列，称是定义在区间设 )( I x u n 上的为定义在区间 I 函数项(无穷)级数。
2.收敛点与收敛域：如果I x ∈0,数项级数∑∞=10)(n n x u 收敛,则称0x 为级数)(1x u n n ∑∞=的收敛点,否则称为发散点.函数项级数)(1x u n n ∑∞=的所有收敛点的全体称为收敛域,. )(:1⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=∑∞=收敛n n x u R x K3.和函数:{}为函数项级数的称记 )( , )()( 1x s x u x s n nk k n ∑==部分和数列。
).( , )(lim , 000x s x s K x n n 记为存在则设∞→∈函数项级数的和函数：., )()(1K x x u x s n n ∈=∑∞=解：由达朗贝尔判别法，)()(1x u x u n n +x n n +⋅+=111)(11∞→+→n x,111)1(<+x 当, 2 0时或即-<>x x 原级数绝对收敛.,11>+⇒x 例1. )11()1( 1的收敛域求函数项级数n n nx n+-∑∞=二、典型例题板书,111)2(>+x当,11<+⇒x , 02时即<<-x 原级数发散., 0时当=x ; )1(1收敛级数∑∞=-n nn , 2时当-=x .11发散级数∑∞=n n ).,0[)2,(+∞--∞ 故级数的收敛域为,1|1|)3(=+x 当,2 0-==⇒x x 或板书三、小结1. 函数项级数、收敛域与和函数的概念。
2. 由数项级数的收敛判别法来确定函数项级数的收敛域。
数学分析 第十一章 函数项级数
例 8. 证明: x n 在(0,1)不一致收敛于 f ( x ) 0 .
例 9. 设 f n ( x ) x n (1 x )n . 证明: f n ( x ) 在 (0,1) 一 致收敛于0 .
例 10.设 f n ( x ) x ,[a , b] ( 1,1) . 证明: f n ( x ) 在 [a , b]一致收敛于0 .
f n p ( x ) f n ( x ) .
定义. 设 f n ( x ), f ( x ) 是定义在 X 上函数, 令
f n f sup f n ( x ) f ( x ) : x X
定理 1.6. { f n ( x )}在 X 一致收敛于 f ( x ) 的充要条 件是: lim f n f 0 .
的一致收敛性.
若 0, N , 使得当 n N 时, x X , 都有 fn ( x ) f ( x )
则当 n 时,{ f n ( x )} X 上一致收敛于 f ( x ) . 在
{ f n ( x )}在 X 上不一致收敛于 f ( x )
0 0 , N , nN N , xnN X ，使得
2.函数序列的一致收敛性
定义. 给定{ f n ( x )} . n , f n ( x ) 是定义在 X 上的
函数, 又设 f ( x )也是 X 上函数. 若 0, N ,
使得当n N 时, x X , 都有
fn ( x ) f ( x )
则称当 n 时, f n ( x ) 在 X 上一致收敛于
Sn p ( x ) Sn ( x ) uk ( x ) .
k n1
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(3) 定义3 若{ f n ( x )}在D上收敛,则可确定一个新的 函数f ( x ),x D. 则称f ( x )为函数列{ f n ( x )}的极限函数. 记为: lim f n ( x ) f ( x ), x D或x D, f n ( x ) f ( x ), n n
0,| x | 1 从而 f n ( x ) f ( x) , x (1,1] 1, x 1 fn ( x) f ( x ),(n ), x D 0 0,N N, n0 N , x0 D,有 fn0 ( x0 ) f ( x0 ) 0
1. 函数列的定义: (1) 定义1 设函数f1 ( x ), f 2 ( x ),, f n ( x ),是定义在同 一个数集E上,则称其为E上的函数列. 记为: { f n ( x )}或f n ( x ), n 1,2, 特别地取定x x0 ,则函数列{ f n ( x )}为一个数列 { f n ( x0 )}.
k 1 k 1 1 n n 1
1 un ( x )dx 0[lim u ( x ) ] dx 0 n s k 0[lim n ( x )]dx n k 1 1 n
1
1
n
uk ( x )dx lim [0 uk ( x )dx] [0 un ( x )dx] lim 0 n n n1
记为: f n ( x ) f ( x ),(n ), x D
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(1) 若f n ( x ) f ( x ),(n ), x D 命题： 则 f n ( x ) f ( x ),(n ), x D
由定义显然可得. (2) 反之不真. 即 若f n ( x ) f ( x ),(n ), x D f n ( x ) 在D上不一定一致收敛于 f ( x ),(n ).
1 k 1
0 s( x )dx 0,
1 1 n n
1
lim s n ( x )dx lim (1 e 0 n n
1
k 1 2 n n
) 1
un ( x )dx [0 un ( x )dx] 0 n 1
n1
1
1
为此引进一致收敛的概念
n1
级数 un ( x )收敛点的全体集合 , 称为 un ( x )的收敛域.
n1 n1
{ sn ( x )}的收敛域. un ( x )的收敛域本质上是
可通过部分和函数列讨论级数的收敛域与和函数.
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例2 试求下列级数的收敛域与和函数
(1) x n , x (,) n1 n n x ( 1 x ) k x (,) 解 sn ( x ) x 1 x k 1 x n , x 1 x ( 1 x ) 1 x lim sn ( x ) lim n n 1 x 发散, x 1 x n 在( 1,1)内 x 收敛于 1 x n 1 (2) un ( x ) x ( x 2 x ) ( x n x n1 ) , x (,)
当 un ( x0 )发散,则称x0为 un ( x )发散点.
n1 n1
即 lim sn ( x0 ) lim ui ( x0 )存在. n n
i 1
n1
n
n1
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(3) 定义7 若级数 un ( x )在D上收敛,则可确定一个新的
函数s( x ),x D. 则称s( x )为函数列 un ( x )的和函数. n1 记为: un ( x ) s( x ), x D
0,| x | 1 如： lim x f ( x) f ( x )在x 1处不连续. n 1, x 1 因此，保持连续性只有收敛的条件是不够的。
n
问题：(1) 函数列{ f n ( x )}收敛域的判别 ; (2) 极限函数f ( x )的分析性质(连续、可积、可导 ). 是不是所有的连续函数列的极限函数 在其收敛域上也连续。 即x lim f ( x) ？ f ( x0 ) lim f n ( x0 ) 结论是：不一定 x n
即 lim sn ( x ) s( x ) " N"定义 n x D, 0, N ( , x) N,当n N有 sn ( x ) s( x)
n1 n1
若 un ( x )收敛与s( x ), x D
n1
余项 Rn ( x ) s( x ) sn ( x ) un i ( x ) i 1 (4) 定义8
n1
解 sn ( x ) x n
x (,) n 0,| x | 1 lim s ( x ) lim x n n n 1, x 1 0,| x | 1 和函数 f ( x) 1, x 1
收敛域 (1,1]
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问题：(1) 函数项级数的收敛域与和函数； (2) 和函数的分析性质。 对有限个连续、可积、可导函数的和仍相应是 连续、可积、可导,有很好的运算法则.
f n ( x ) 在D上不一致收敛于f ( x ),(n ). fn ( x) f ( x ),(n ), x D 0 0,N N, n0 N , x0 D,有 fn0 ( x0 ) f ( x0 ) 0
例3 判断下列函数列在给定的区间上的一致收敛性 sin nx (1) f n ( x ) , n 1,2, x (,) 0, 1 n 取N [ ]即可. f n ( x ) f ( x ) 0, x ( ,) 解 lim n sin nx 0, x R sin nx 1 fn ( x) f ( x) ,n N, n n n 上页 下页 返回
结论：即使和函数可积，求和函数的积分时也不能先 对每个函数积分后，再和. 上页 下页 返回
二、函数列的一致收敛
回顾： 函数f ( x )在数集E上连续 x E , f ( x )在x处连续 x E , 0, ( x, ) 0,当x U ( x, )有 | f ( x) f ( x ) | 函数f ( x )在数集E上一致连续 0, ( ) 0, x, x E ,当 | x x | 时, 有 | f ( x) f ( x) | lim fn ( x) f ( x) n x D, 0, N( , x) N,当n N有 f n ( x ) f ( x ) 1 定义9 设D上函数列{ f n ( x )}, f ( x ),满足 0, N( ) N,当n N , x D, 有 f n ( x ) f ( x ) 则称函数列 { f n ( x )}在D上一致收敛于f ( x )
例1 试求下列函数列的收敛域与极限函数 (1) f n ( x ) x n , n 1,2, x (,) n n x 0 解 显然 x 1时, lim { x }收敛域为 (1,1] n n lim x x 1时, n 不存在, 极限函数 0,| x | 1 n x 1 x 1时, lim f ( x) n 1, x 1 n x 不存在 , x 1时, lim n 上页 下页 返回
第十三章 函数列与函数项级数
一、点态收敛的概念 二、一致收敛性及其判别法 三、一致收敛的函数列 与函数项级数的性质
§1 一致收敛性
一、函数列与函数项级数 二、函数列一致收敛性 三、函数项级数一致收敛性
一、函数列与函数项级数的的概念
收敛数列(数项级数)可表示、定义一个数； 试用函数列、函数项级数来表示、定义一个函数。
进一步讨论和函数的性质只在收敛条件下进行不够。
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又如：若 un ( x )的部分和{ sn ( x ) 2n xe
2 n1
n2 x 2
}, x (0,1]
s( x) 0, x (0,1] 连续, 可积,
由于 0 uk ( x )dx [0 uk ( x )dx]
0
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2. 函数项级数的概念 (1) 定义5 设E上的函数列 {un ( x )}, 对其各项依次用“+”连接起来的表达式 记为 un ( x ) u1 ( x ) u2 ( x ) u3 ( x ) un ( x )
n1
称为E上的函数项无穷级数或简称为级数。 同时称 n sn ( x ) u1 ( x ) u2 ( x ) un ( x ) ui ( x ) 部分和. i 1 部分和实际是一个函数列. 特别地, x0 E ,函数项级数 un ( x0 )实际为一个数项级数 . n1 (2) 定义6 当x0 E ,级数 un ( x0 )收敛,则称x0为 un ( x )收敛点.
sin nx , n 1,2, x (,) n sin nx 1 解 显然 f n ( x ) , n n sin nx sin nx lim 0 { }收敛域为(,) n n n 极限函数 f ( x) 0, x (,) (2) f n ( x )
对无限个连续、可积、可导函数的和仍相应是 连续、可积、可导？