【高中数学】3.1考点2 导数几何意义及应用

第三章导数及其应用

第一节导数的概念及其运算

考点2 导数几何意义及应用

（2018·全国卷Ⅲ（理））曲线y＝（ax＋1）e x在点（0,1）处的切线的斜率为－2，则a＝________.

【解析】∵y′＝（ax＋a＋1）e x，∴当x＝0时，y′＝a＋1，

∴a＋1＝－2，得a＝－3.

【答案】－3

（2018·全国Ⅱ卷（理））曲线y＝2ln（x＋1）在点（0,0）处的切线方程为________．

.令x＝0，得y′＝2，由切线的几何意义得切线斜率为2，又切线过点（0,0），【解析】∵y＝2ln（x＋1），∴y′＝2

x+1

∴切线方程为y＝2x，即2x－y＝0.

【答案】2x－y＝0

（2018·全国Ⅰ卷（理））设函数f（x）＝x3＋（a－1）x2＋ax，若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（0,0）处的切线方程为（）

A．y＝－2x B．y＝－x

C．y＝2x D．y＝x

【解析】方法一∵f（x）＝x3＋（a－1）x2＋ax，

∴f′（x）＝3x2＋2（a－1）x＋A．

又f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f（x）恒成立，

即－x3＋（a－1）x2－ax＝－x3－（a－1）x2－ax恒成立，

∴a＝1，∴f′（x）＝3x2＋1，∴f′（0）＝1，

∴曲线y＝f（x）在点（0,0）处的切线方程为y＝x.

故选D．

方法二∵f（x）＝x3＋（a－1）x2＋ax为奇函数，

∴f′（x）＝3x2＋2（a－1）x＋a为偶函数，

∴a＝1，即f′（x）＝3x2＋1，∴f′（0）＝1，

∴曲线y＝f（x）在点（0,0）处的切线方程为y＝x.

故选D ．

【答案】D

（2018·江苏卷）记f ′（x ），g ′（x ）分别为函数f （x ），g （x ）的导函数．若存在x 0∈R ，满足f （x 0）＝g （x 0）且f ′（x 0）＝g ′（x 0），则称x 0为函数f （x ）与g （x ）的一个“S 点”．

（1）证明：函数f （x ）＝x 与g （x ）＝x 2＋2x －2不存在“S 点”；

（2）若函数f （x ）＝ax 2－1与g （x ）＝ln x 存在“S 点”，求实数a 的值；

（3）已知函数f （x ）＝－x 2＋a ，g （x ）＝be x x .对任意a ＞0，判断是否存在b ＞0，使函数f （x ）与g （x ）在区间（0，＋∞）内存在“S 点”，并说明理由．

【解析】（1）证明 函数f （x ）＝x ，g （x ）＝x 2＋2x －2，

则f ′（x ）＝1，g ′（x ）＝2x ＋2.

由f （x ）＝g （x ）且f ′（x ）＝g ′（x ），

得{x ＝x 2＋2x －2,1＝2x ＋2,

此方程组无解， 因此，f （x ）与g （x ）不存在“S 点”．

（2）函数f （x ）＝ax 2－1，g （x ）＝ln x ，

则f ′（x ）＝2ax ，g ′（x ）＝1x . 设x 0为f （x ）与g （x ）的“S 点”，

由f （x 0）＝g （x 0）且f ′（x 0）＝g ′（x 0），得

{ax 02−1=lnx 0,2ax 0=1x 0

,即{ax 02−1=lnx 0,2ax 02=1,（*） 得ln x 0＝－12，即x 0＝e －12，则a ＝

12(e−12)2＝e 2. 当a ＝e 2时，x 0＝e －12满足方程组（*），

即x 0为f （x ）与g （x ）的“S 点”．

因此，a 的值为e 2. （3）对任意a ＞0，设h （x ）＝x 3－3x 2－ax ＋A ．

因为h （0）＝a ＞0，h （1）＝1－3－a ＋a ＝－2＜0，

且h （x ）的图象是不间断的，

所以存在x 0∈（0,1），使得h （x 0）＝0.

令b ＝2x 0

3ex 0(1−x 0)，则b ＞0.

函数f（x）＝－x2＋a，g（x）＝be x

x

，

则f′（x）＝－2x，g′（x）＝be x(x−1) x

.

由f（x）＝g（x）且f′（x）＝g′（x），

得{−x2+a=be x

x

,

−2x=be x(x−1)

x2

,

即{−x2+a=2x03

ex0(1−x0)

·e x

x

,

−2x=2x03

ex0(1−x0)·e x(x−1)

x2

,

（**）

此时，x0满足方程组（**），即x0是函数f（x）与g（x）在区间（0,1）内的一个“S点”．因此，对任意a＞0，存在b＞0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，＋∞）内存在“S点”．【答案】见解析