【文献综述】极限思想在实际生活中的应用

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极限思想在实际生活中的应用

极限思想的完善与微积分的严格化密切联系. 在很长一段时间里, 许多人尝试解决微积分理论基础的问题, 但都未能如愿. 这是因为数学的研究对象已从常量扩展到变量. 而人们对变量数学特有的规律还不十分清楚. 对变量数学和常量数学的区别和联系还缺乏了解. 对有限和无限的对立统一关系还不明确. 人们使用习惯了的处理常量数学的传统思想方法, 就不能适应变量数学的新需要,

仅用旧的概念说明不了这种“零”与“非零”相互转化的辩证关系.

早在我国春秋战国时期, 中国就有了极限思想的萌芽. 在《庄子·天下篇》中有名家惠施(约公元前370-310年)提出的“至大无外谓之大一, 至小无内谓之小一”以及“一尺之锤, 日取其半, 万世不竭”的无限观. 在《庄子·秋水》中还有“至精无形, 至大不可围”的说法, 与惠施的观点相同. 在墨家的代表作 《墨经》中, 包含有一定的极限思想. 墨子(约公元前478-392年) 认为:“宇, 弥异所也”（《经上》）; 宇, 东、西、家、南、北”(《经说上》); “久, 弥异时也”(《经上》); “久, 古, 今, 旦, 莫”(《经说上》). “弥”有“遍”、“满”的意思, 可用来表示无穷. 墨子认为宇宙无边无际, 时间无始无终, 含有无穷大的观念. 而且, 墨家已用具体、形象的语言给出了“有穷”、“无穷”的定义. “穷, 或有前不容尺”(《经上》) . “穷, 或不容尺, 有穷; 莫不容尺, 无穷”(《经说上》). “或”指“域”, “穷”指一个区域向前量去只剩不到一尺的距离. 一个区域向前量去只剩不到一尺的的距离, 这是有穷; 如果继续量下去, 前面总是长于一尺, 就是无穷. 《墨经》中关于极限思想还有一个精辟的论述:“非半, 勿著斤则不动, 说在端”（《经下》）; “非著斤半, 进前取也, 前则中无为半, 犹端也; 前后取, 则端中也, 著斤必半, 毋与非半, 不可著斤也. ”（《经说下》）; “著斤”有“斫取”、“分割”的意思. 墨家认为把一段木棒不断地斫去一半, 当这种斫半的过程不能再进行下去的时候, “半”就变成了“非半”, 这是因为有“端”（点）存在的缘故. 而且他们还给出了得到“端”的两种方式： 一是“进前取”, 即设木棒长为, 如图1, 去掉的一半, 得, 去掉的一半AB AB AC AC 得, 去掉的一半得, 依此至无穷次, 便得到端点.

1AC 1AC 2AC A

图1

二是“前后取”. 如图2, 不妨先取的中点, 从前面去掉的一半, 从后面AB O AO 1AA 去掉的一半, 剩下, 然后再去掉的一半, 的一半, 得OB 1BB 11A B 1A O 12A A 1OB 12B B 22A B , 无限进行下去, 则得端点（与重合）.

O 'O

图2

公元3世纪, 中国数学家刘徽 (263年左右)成功地把极限思想应用于实践, 其中最典型的方法就是在计算圆的面积时建立的“割圆术”. 由于刘徽所采用的圆的半径为1, 这样圆的面积在数值上即等于圆周率, 所以说刘微成功地创立了科学的求圆周率的方法. 刘徽采用的具体做法是: 在半径为一尺的圆内, 作圆的内接正六边形, 然后逐渐倍增边数, 依次算出内接正6边形、正12边形、…、直至6×192边形的面积. 他利用公式 (为内22

n n r l S n ⋅=⋅n l 接正边形的边长, 为内接边形的面积)来求正多边形的面积. 刘徽认为, 割得越细, n 2n S 2n 圆内接正多边形与圆面积之差越小, 即“割之弥细, 所失弥少. 割之又割, 以至于不可割, 则与圆和体, 而无所失矣”.

而在国外, 到了l8世纪, 罗宾斯、达朗贝尔与罗依里埃等人先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础概念, 并且都对极限作出了各自的定义. 其中达朗贝尔的定义是:“一个量是另一个量的极限, 假如第二个量比任意给定的值更为接近第一个量.”它接近于极限的正确定义. 然而, 这些人的定义都无法摆脱对几何直观的依赖. 事情也只能如此, 因为19世纪以前的算术和几何概念大部分都是建立在几何量的概念上的.

首先用极限概念给出导数正确定义的是捷克数学家波尔查诺, 他把函数的导数定义为差商的极限, ()f x y x ∆∆()f x '并强调指出不是两个零的商. 波尔查诺的思想是有价值的, 但关于极限的本质他仍未()f x '说清楚. 到了19世纪, 法国数学家柯西在前人工作的基础上. 比较完整地阐述了极限概念及其理论. 他在《分析教程》中指出:“当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值. 最终使变量的值和该定值之差要多小就多小, 这个定值就叫做所有其他值的极限值, 特别的, 当一个变量的数值(绝对值) 无限地减小使之收敛到极限0, 就说这个变量成为无穷小. ”柯西把无穷小视为以0为极限的变量. 这就澄清了无穷小“似零非零”的模糊认识. 即在变化过程中. 它的值可以是非零, 但它变化的趋向是“零”, 可以无限地接近于零.

柯西试图消除极限概念中的几何直观, 作出极限的明确定义, 然后去完成牛顿的愿望. 但柯西的叙述中还存在描述性的词语. 如“无限趋近”、“要多小就多小”等, 因此还保留着几何和物理的直观痕迹, 没有达到彻底严密化的程度. 为了排除极限概念中的直观痕迹 , 维尔斯特拉斯提出了极限的静态的定义.

给微积分提供了严格的理论基础. 所谓, 就是指:“如果对任何, 总存在自然数, 使得当时, 不等式

lim ()x f x A →∞=0ε>N n N >恒成立. ”

()f x A ε-<这个定义借助不等式, 通过和之间的关系, 定量地、具体地刻画了两个“无限过εN 程”之间的联系. 因此, 这样的定义是严格的, 可以作为科学论证的基础, 至今仍在数学分析书籍中使用. 在该定义中, 涉及的仅仅是数及其大小关系, 此外只是给定、存在、任取等词语, 已经摆脱了“趋近”一词, 不再求助于运动的直观.