中科院高等工程数学-01

例1.1
线性空间
例1.2 例1.3 例1.4
线性空间
定义1.2 线性相关与线性无关
线性空间
性质
一组向量（含有限个向量）线性相关时，则其中至少有一个向量可由组中其它向量线性表示；
反之，如果这组向量具有这一性质，则这组向量必定线性相关； 一组线性无关的向量，则其中任一向量都不可能由组中其它向量线性表示
自然数域
整数域
有理数域 √
实数域 √
复数域
√
注意：所有的数域都包含有理数域，且都包含整数 0 和 1 每个数的否（逆）也在同一数域中
线性空间
定义1.1 线性空间 设V是一个非空集合，P是一个数域。如果满足以下三个条件：
加法运算封闭 加法运算与数域P无关
线性空间
定义1.1 线性空间 设V是一个非空集合，P是一个数域。如果满足以下三个条件：
内积空间
• 向量范数
• 矩阵的相似对角形
• 矩阵的约当标准形
• 欧氏空间
• 最小多项式
• 正交基及子空间的正交 • 多项式矩阵与史密斯标
关系
准形
• 内积空间的同构
• 正交变换
• 复内积空间（酉空间）
• 矩阵范数 • 向量和矩阵的极限 • 矩阵幂级数 • 矩阵函数 • 矩阵的微分与积分 • 常用矩阵函数的性质 • 矩阵函数在微分方程组
R21006Y 40/2
高等工程数学
Advanced Engineering Mathematics
王泳
中国科学院研究生院
2011.02.26
学习目标
1 掌握一定的数学理论基础
2 具有比较宽广的数学知识面
3
为进一步学习和解决工作中遇 到的实际问题打下坚实的基础
主要内容
矩阵理论
线性空间与线性 变换
乘法运算封闭
线性空间
线性空间V中的零向量是唯一的
定义1.1 线性空间
V中每个向量的负向量也是唯一的
设V是一个非空集合，P是一个数域。如果满足以下三个条件：
加法交换律 加法结合律 存在零元、负元和单位元
乘法结合率 乘法分配律
则集合V被称为数域P上的线性空间或向量 空间； V中的元素通常被称为向量； V中的零元素被称为零向量； 当P 是实数域时，V被叫做实线性空间； 当P 是复数域时，V被叫做复线性空间
逆变换 vs. 负变换
例1.15 定理1.9
线性变换的概念
线性变换的矩阵表示
1
线性空间
2
基变换与坐标变换
3
子空间与维数定理
4
线性空间的同构
5
线性变换的概念
6
线性变换的矩阵表示
7
不变子空间（略）
定理1.10 证明：
线性变换的矩阵表示
定理1.10 证明：
线性变换的矩阵表示
命题得证
高等工程数学(第三版)，华中科技大学出版社，2001
http://www.china-pub.com/25667
参考书
像读侦探小说一样学习数学
Advanced Engineering Mathematics, 2nd Edition
Michael D. Greenberg，Addison Wesley/Pearson ，2004
Advanced Engineering Mathematics, 5th Edition
Peter V.O'Neil ，Thomson ，2004
书不过语。语之所贵者意也，意有所随。意之所随者，不可以言传也。
《庄子·天道》
形而上谓之道，形而下谓之器。
《周易·系辞》
时间安排
(
)
囧的事情
共勉
什么是真正的教育？ 德国二百年前的教育宣言曾经如此说道：教育的目的，不是 培养人们适应传统的世界，不是着眼于实用性的知识和技能 ，而要去唤醒学生的力量，培养他们自我学习的主动性，抽 象的归纳力和理解力，以便使他们在目前无法预料的种种未 来局势中，自我做出有意义的选择。教育是以人为最高的目来自百度文库的，接受教育是人的最高价值的体现。
子空间与维数定理
（10分）
线性空间的同构
1
线性空间
2
基变换与坐标变换
3
子空间与维数定理
4
线性空间的同构
5
线性变换的概念
6
线性变换的矩阵表示
7
不变子空间（略）
线性空间的同构
同构是数学上的一个重要概念，它反映了具有相同运算规则的不同对象 通过同构的建立，可以用一些我们熟悉的对象来认识运算性质相同的其 它对象 定义1.6 线性空间的同构与同构映射
线性变换的运算
线性变换的概念
线性变换的运算性质
线性变换的概念
线性变换的运算性质
线性变换的概念
思考题 （10分）
求证：数域P上的线性空间的全体线性变换组成的集合，对于线性变换的 加法及数量乘法，构成数域P上的一个线性空间，并将其记作
定义1.8 线性变换的逆变换 例1.14
线性变换的概念
子空间与维数定理
（10分）
子空间与维数定理
定理1.5 （维数公式）（证明略）
推论 证明：
子空间与维数定理
?
命题得证
定义1.5 子空间的直和 例1.8
子空间与维数定理
定理1.6 证明：
子空间与维数定理
定理1.6 证明：
子空间与维数定理
命题得证
思考题 推论 定理1.7
线性空间
定义1.0 数域
复数 a + bi ; i2 = -1
如果复数的一个非空集合 P 含有非零的数，且其中任意两数的和、差、 积、商（除数不为零）仍属于该集合，则称数集 P 为一个数域 .
自然数集合 N 整数集合 Z 有理数集合 Q 实数集合 R 复数集合 C
集合
是否构成数域？
Logistic回归的基本理论
随机过程的基本概念
几类重要的随机过程
概率论
参考书
高等工程数学，华南理工大学出版社，2007 √
http://www.china-pub.com/435644
高等工程数学，电子科技大学出版社，2008
http://www.china-pub.com/975022
中的应用
• 正规矩阵
• 厄米特二次型
第一章：线性空间与线性变换
1
线性空间
2
基变换与坐标变换
3
子空间与维数定理
4
线性空间的同构
5
线性变换的概念
6
线性变换的矩阵表示
7
不变子空间（略）
1
线性空间
2
基变换与坐标变换
3
子空间与维数定理
4
线性空间的同构
5
线性变换的概念
6
线性变换的矩阵表示
7
不变子空间（略）
线性空间
1
线性空间
2
基变换与坐标变换
3
子空间与维数定理
4
线性空间的同构
5
线性变换的概念
6
线性变换的矩阵表示
7
不变子空间（略）
定义1.4 子空间 定理1.2
子空间与维数定理
例1.6 定理1.3
子空间与维数定理
定理1.4 示例
子空间与维数定理
和集并不是并集
例1.7 例1.6
思考题
思考题 例1.1～1.3中线性空间 、
、
的维数
基变换与坐标变换
1
线性空间
2
基变换与坐标变换
3
子空间与维数定理
4
线性空间的同构
5
线性变换的概念
6
线性变换的矩阵表示
7
不变子空间（略）
问题 已知：
求解：
基变换与坐标变换
x
基变换与坐标变换
解：
思考题 （10分） 基变换矩阵A一定可逆吗？
子空间与维数定理
------《一名大学毕业生的反思 》
矩阵理论
矩阵理论 在自然科学、工程技术、控制理论和社会经济学等
领域的应用日趋深广，应用矩阵的理论和方法来解决工程技术和 社会经济领域中的实际问题也越来越普遍。
矩阵的 标准形
矩阵函数 及其应用
线性空间 与
线性变换
• 线性空间 • 基变换与坐标变换 • 子空间与维数定理 • 线性空间的同构 • 线性变换的概念 • 线性变换的矩阵表示 • 不变子空间
7
不变子空间（略）
定义1.7 线性变换
线性变换的概念
定义1.7.1 线性变换 例1.9
线性变换的概念
例1.10 例1.11
线性变换的概念
例1.12 例1.13
线性变换的概念
线性变换的性质
线性变换的概念
思考一下 线性变换都能把线性无关向量组变为线性无关向量组吗？
推论 1 推论 2
线性变换的矩阵表示
线性变换的矩阵表示
定理1.11
推论 定理1.12
线性变换的矩阵表示
不变子空间（略） 线性变换的矩阵表示
线性空间
总结
基变换与坐标变换
线性空间 与
线性变换
子空间与维数定理
线性变换的概念
线性空间的同构
wangyong@gucas.ac.cn http://ccce.gucas.ac.cn/news.php?id=1091
性质
线性空间的同构
反证法 有限维线性空间的维数就是它的最大线性无关组所含向量的个数
定理1.8 证明：
推论
线性空间的同构
定义同构映射σ： 保持不同线性空 间的基坐标相同
（10分）
线性变换的概念
1
线性空间
2
基变换与坐标变换
3
子空间与维数定理
4
线性空间的同构
5
线性变换的概念
6
线性变换的矩阵表示
内积空间
矩阵的标准形
矩阵函数及其应 用
线性代数
数值分析
数值分析绪论. 线性代数方程组
的解法 插值方法 数值积分和数值
微分公式 方程求根 常微分方程的数
值解法 矩阵特征值和特
征向量计算
高等数学
数理统计与随机过程
数理统计的基本概念与抽样分 布
参数估计与假设检验
定义1.3 线性空间的基
线性空间
若基中向量个数为n，称n为V的维数，记作dimV＝n； 若基中向量个数不是有限数时，称V是无限维向量空间（本课程不详介绍）； 在n维线性空间中，任意的n个线性无关向量都构成它的一组基。
定理1.1
线性空间
性质
取定一组基后，每个向量x在这组基下的坐标是唯一确定的