RSA公钥密码算法

2. RSA公钥密码系统加密/解密过程
例3.2.7 用RSA公钥密码系统对“math”加密、解密。 加密过程：
以两字母为一组对“math”编码： “ma”＝12∙26＋0＝312 ，“th”＝19 ∙ 26＋7＝501。
用公钥Ke＝(n, e) ＝ (667, 13) 加密“ma”＝312 和 “th”＝501，计算： c1＝(“ma”) e (mod n)＝31213(mod 667); c2＝(“th”) e (mod n)＝50113(mod 667);
c2＝(“th”) e (mod n)＝50113(mod 667);
等价于求解同余式组
即
x ≡ 50113 ≡b1 (mod 23) x ≡ 50113 ≡b2 (mod 29)
x ≡ 1813 ≡b1 (mod 23) x ≡ 813 ≡b2 (mod 29)
2. RSA公钥密码系统加密/解密过程
只保留n，e， d。 (n, e) 公开， (n, e) 为公钥； (n, d)为私钥。 5. 加密变换：对明文a, 1<a<n, 加密后的密文为
c ≡ ae(mod n)。 6. 解密变换：对密文c, 1<c<n, 解密后的明文为
a ≡ cd(mod n)。
2. RSA公钥密码系统加密/解密过程
密码系统使用字符集 。 明文信息空间 ：所有明文信息的集合，由k字符组 组成的集合 ＝ k。 密文信息空间 ：全体密文信息的集合，由l字符组 组成的集合 ＝ l。 密钥空间 ：全体密钥的集合。 加密算法C＝E(n, Ke , M)，解密算法M＝D(n, Kd , C) 。
C＝ E(n, Ke , M)
＝ 2＝{aa, ab, ac, ... , xz, yz, zz}。 明文信息: public,以两字母为一组对“public”编码： “pu”＝15∙26＋20＝410 ， “bl”＝1∙26＋11＝37 ， “ic”＝8∙26＋2＝210 ，
2. RSA公钥密码系统加密/解密过程
选取明文和密文空间，对明文字符编码：假设 RSA公钥密码系统使用N＝26字符集 ，对应0，1， 2，... ，25：
2. RSA公钥密码系统加密/解密过程
例3.2.7 用RSA公钥密码系统对“math”加密、解密。 c2＝(“th”) e (mod n)＝50113(mod 667);
设 m＝667, b＝501, 令a＝1, 将13写成二进制表示： 13＝1＋22＋23
运用模重复平方法，依次计算如下: (1) n0＝1,计算 a0＝ a×b≡501 , b1≡b2≡209 (mod 667) (2) n1＝0 , 计算 a1 ≡ a0 ≡ 501 , b2≡b12≡110 (mod 667) (3) n2＝1,计算 a2＝ a1×b2≡678 , b3≡b22≡223 (mod 667)
2. RSA公钥密码系统加密/解密过程
例1 用RSA公钥密码系统对“math”加密、解密。 (“sa”) d (mod n) ＝c1 d＝468237(mod 667);
设 m＝667, b＝468, 令a＝1, 将237写成二进制表示： 237＝1＋22＋23 ＋25＋26 ＋27
2. RSA公钥密码系统加密/解密过程
由 667 ＝23×29
c1＝(“ma”) e (mod n)＝31213(mod 667);
等价于求解同余式组
即
x ≡ 31213 ≡b1 (mod 23)
x ≡ 1313 ≡b1 (mod 23)
x ≡ 31213 ≡b2 (mod 29)
x ≡ 2213 ≡b2 (mod 29)
例3.2.7 用RSA公钥密码系统对“math”加密、解密。 解密过程：
以两字母为一组对“sagh”编码： “sa”＝18 ∙ 26＋0＝468 ，“gh”＝6∙26＋7＝163。
用私钥Kd＝(n, d) ＝ (667, 237)解密“sa”＝468 和 “gh”＝163，计算： (“sa”) d (mod n) ＝c1 d＝468237(mod 667); (“gh”) d (mod n) ＝c2 d＝163237(mod 667);
2. RSA公钥密码系统加密/解密过程
例3.2.7 用RSA公钥密码系统对“math”加密、解密。 (“sa”) d (mod n) ＝c1 d＝468237(mod 667);
设 m＝667, b＝468, 令a＝1, 将237写成二进制表示： 237＝1＋22＋23 ＋25＋26 ＋27
运用模重复平方法，依次计算如下: (1) n0＝1,计算 a0 ≡ a×b≡468 , b1≡b2≡248 (mod 667) (2) n1＝0 , 计算 a1 ≡ a0 ≡ 468 , b2≡b12≡140 (mod 667) (3) n2＝1,计算 a2 ≡ a1×b2≡154 , b3≡b22≡257 (mod 667) (4) n3＝1,计算 a3≡ a2×b3≡225 , b4≡b32≡16 (mod 667)
＝{a, b, c, d, e, f, ..., x, y, z} ＝ {0, 1, 2, 3, ..., 24, 25}。 若明文信息空间由3字符组组成的集合
＝ 3＝{aaa, aab, aac, ... , zzx, zzy, zzz}。 明文信息: public,以3字母为一组对“public”编码： “pub”＝15∙262＋ 20∙26＋1＝10661 ， “lic”＝ 11∙262＋ 8∙26＋2＝7646 ，
取 p＝23, q＝29,
1) 计算n＝pq＝667， (n)＝(p － 1)(q － 1)＝616 。 2) 取e ＝ 13 (1<e< (n) , 且 (e, (n) )＝1)。 3) 用广义欧几里德除法计算d, 满足de≡1 (mod (n) )。
d＝237。 4) 公钥Ke＝(n, e) ＝ (667, 13)，
2. RSA公钥密码系统加密/解密过程
例3.2.7 用RSA公钥密码系统对“math”加密、解密。 c1＝(“ma”) e (mod n)＝31213(mod 667);
设 m＝667, b＝312, 令a＝1, 将13写成二进制表示： 13＝1＋22＋23
运用模重复平方法，依次计算如下: (1) n0＝1,计算 a0 ≡ a×b≡312 , b1≡b2≡629 (mod 667) (2) n1＝0 , 计算 a1 ≡ a0 ≡ 312 , b2≡b12≡326 (mod 667) (3) n2＝1,计算 a2 ≡ a1×b2≡303 , b3≡b22≡94 (mod 667)
私钥Kd＝(n, d) ＝ (667, 237) 。
2. RSA公钥密码系统加密/解密过程
例3.2.7 用RSA公钥密码系统对“math”加密、解密。 加密过程：
以两字母为一组对“math”编码： “ma”＝12∙26＋0＝312 ，“th”＝19 ∙ 26＋7＝501。
用公钥Ke＝(n, e) ＝ (667, 13) 加密“ma”＝312 和 “th”＝501，计算： c1＝(“ma”) e (mod n)＝31213(mod 667); c2＝(“th”) e (mod n)＝50113(mod 667);
2. RSA公钥密码系统加密/解密过程
例3.2.7 用RSA公钥密码系统对“math”加密、解密。 c2＝(“th”) e (mod n)＝50113(mod 667); 设 m＝667, b＝312, 令a＝1, 将13写成二进制表示：
13＝1＋22＋23 运用模重复平方法，依次计算如下: (4) n3＝1 , 计算 a3 ＝ a2×b3≡163 (mod 667) 即 c2＝(“th”) e (mod n)＝50113(mod 667)＝163; 解码：将数字信息转化为字符163＝6 ∙ 26＋7＝“gh”, 所以 “th”的密文为 “gh” 。
＝{a, b, c, d, e, f, ..., x, y, z}。 明文和密文信息空间由2字符组组成的集合
＝ ＝ 2＝{aa, ab, ac, ... , xz, yz, zz}。
2. RSA公钥密码系统加Baidu Nhomakorabea/解密过程
例3.2.7 用RSA公钥密码系统对“math”加密、解密。 选取明文和密文空间，对明文字符编码： 设RSA公钥密码系统使用N＝26字符集 ：
2. RSA公钥密码系统加密/解密过程
例3.2.7 用RSA公钥密码系统对“math”加密、解密。 c1＝(“ma”) e (mod n)＝31213(mod 667); 设 m＝667, b＝312, 令a＝1, 将13写成二进制表示：
13＝1＋22＋23 运用模重复平方法，依次计算如下: (4) n3＝1 , 计算 a3 ＝ a2×b3≡468 (mod 667) 即 c1＝(“ma”) e (mod n)＝31213(mod 667)＝468; 解码：将数字信息转化为字符468＝18 ∙ 26＋0＝“sa”, 所以 “ma”的密文为 “sa” 。
2) 若 ae≡c (mod n) , 1≤c< n, 则 c d≡a (mod n)。
2) 若 ae (mod n) , 1≤c< n, 则 c d (mod n)。
RSA公钥密码系统的执行步骤如下： 1. 选取两个不同的大素数p, q。
2. 计算n ＝ p·q, (n) ＝(p － 1)·(q － 1)。 3. 随机选取正整数e, 1<e< (n) , 满足 (e, (n) )＝1。 4. 计算d,满足de≡1(mod (n) )。 p, q , (n) , d是保密的。丢弃p, q, (n) ;
＝{a, b, c, d, e, f, ..., x, y, z}。 以两字母为一组对“math”编码：
“ma”＝12∙26＋0＝312 ，“th”＝19 ∙ 26＋7＝501。
2. RSA公钥密码系统加密/解密过程
例3.2.7 用RSA公钥密码系统对“math”加密、解密。 构造RSA公钥密码系统
＝ 3＝{aaa, aab, aac, ... , zzx, zzy, zzz}。 解码：数字信息 16346, 以3字母为一组对应的字符： 16346＝24∙262＋ 4∙26＋18＝“yes” 。
2. RSA公钥密码系统加密/解密过程
例3.2.7 用RSA公钥密码系统对“math”加密、解密。 选取明文和密文空间，对明文字符编码： 设RSA公钥密码系统使用N＝26字符集 ：
2. RSA公钥密码系统加密/解密过程
选取明文和密文空间，对明文字符编码： 设RSA公钥密码系统使用N＝26字符集 ，对应0，1， 2，... ，25：
＝{a, b, c, d, e, f, ..., x, y, z} ＝ {0, 1, 2, 3, ..., 24, 25}。 若明文信息空间由3字符组组成的集合
2. RSA公钥密码系统加密/解密过程
例3.2.7 用RSA公钥密码系统对“math”加密、解密。
经公钥密码系统 ：p＝23, q＝29, n＝pq＝667 ， 公钥Ke＝(n, e) ＝ (667, 13)， 私钥Kd＝(n, d) ＝ (667, 237) ， 加密后“math”的密文为“sagh”。
RSA公钥密码系统 加密/解密过程
定理2.4.3 (RSA公钥密码算法) 设 p , q 是两个不同的 奇素数，n＝pq， a 是满足1≤a < n的整数。
整数 e 满足 1 < e < (n) , 且 (e, (n)) ＝1 。 那么：1) 存在整数 d , 1≤d< (n) , 使得
ed≡1(mod (n))
M＝ D(n, Kd , C)
2. RSA公钥密码系统加密/解密过程
选取明文和密文空间，对明文字符编码：假设 RSA公钥密码系统使用N＝26字符集 ，对应0，1， 2，... ，25：
＝{a, b, c, d, e, f, ..., x, y, z} ＝ {0, 1, 2, 3, ..., 24, 25}。 若明文信息空间由2字符组组成的集合