第12章章测题(级数)

第 12 章无穷级数练习题一、填空题
∞∞
1. 已知级数∑u 收敛，而级数∑
n
n=1 n=1
∞
u 发散，则称级数∑
u 为收敛。

n n
n=1
∞2. 如果幂级数∑
n=0
a n x 在点
n
1
x =处收敛，那么它在点
2
1
x =−处的收敛性是。

3
x x x
2 3 n
3. 幂级数1+x +++++（−∞<x <+∞) 的和函数是。

2! 3! n!
∞
4. 设常数k > 0,则级数
∑
(−1)
n
n=1 k+
n
2
n
的收敛性为。

∞
1
5. 若级数∑
n n α
+1
=1n
nα+1收敛，则α的取值范围是。

∑∑
∞−
1 ( 1)
∞n
6. =
n=0 n 0 n !
!
n=。

∞
7．已知级数∑
u 的前n 项部分和为
n
n=1
3n
s
n =(n = 1,2,,n) ，则此级数的通项n +1
u =。

n
∞n
2
8．级数∑
=0 n!
n
的收敛和为。

二、判断题
∞1．如果∑
n=1 a 收敛，则部分和
n
S 有界。

（）
n
∞
2．如果lim = 0 a 收敛。

（）
a ，则∑
→n
n
n ∞
n=1
3．设f (x) = 1− cos x ，那么( 1) (1)
∞
−n−1
f 绝对收敛。

（）
∑
n
n=1
∞
a
4．设> 0 a 收敛，那么lim +1 =ρ< 1
a ，如果∑
n。

（）n n
n→∞
a n=1
n
∞∞
5. 如果∑ a 的收敛区间是(−R, R) ，那么∑
n 3n+l
n x a （l 是某自然数）的收敛区间是
n x
n=0 n=0
(−3 R,3 R) 。

（）
∞6．如果∑
n=0
∞
a 的收敛半径是R，则∑
n xa 的收敛半径是R，则
∑
n(n n x 的收敛半径也为 R。

（）
1)a
n −−
n 2
n=2
三、选择题
1．下列级数中，收敛的是。

1 1 1
A．++++
；
1⋅ 3 3⋅ 5 (2n −1)(2n +1)
1 1 1
B．1+++++
1+ 2 1+ 4 1+ 2(n −1)
；
1 1 1 1
C．+++++
2 4 6 2n
；
+
1 1 1 +1
1+
1
D ．++++。

n 3
2 3 2 3 2
2 2 n
2．下列级数中，发散的是。

2 2 2 1 1 1
2 n
A．1+++++；B．1+++++
；
3 3
3
2
3
n
2
n
2
2
2
1 1 1
C ．1+ + ++ + 2! 3! n !
1 1 1 1
；
D ．
+
+
+
+
+。

1001 2001 3001
1000n +1
3．下列级数中，发散的是。

∞
1
A ．
∑
n n
=1
2
∞
∞
∞
1
1
；
B.
∑
n
；
C.
∑
e （ x > 0）
； D.
∑
sin −nx
n n
=1
n =1
n n
=1
3
2。

∞ ∞
n −1
4．若
∑
u 绝对收敛，则级数
∑
(−1)n
u
n
n
n
n =1
n =1。

A ．绝对收敛 ； B. 条件收敛 ； C. 发散 ； D. 可能收敛，或发散。

5．级数 ln x + ln 2 x ++ ln n x +
的收敛域为。

1
A ． x < e ；
B. x > e ；
C. < x < e
e
6．下列级数的收敛的是。

1
；
D.
≤ x ≤
e
e。

∞
sin na A ．
∑
n n
=1 2
；
B.
∞
∑
n =1
( 1) − n 1 2 n
(1
+ 1 2 )
n
n
； ∞
1
C.
∑
n =1
n (n +1)
∞
1
；
D.
∑
sin
n n
=1。

四、判定下列正项级数的收敛性
∞n
3 1．∑
=1 ⋅ 2
n
n
n
∞n
n 2.∑
=1
n!
n
∞3×5 7×× (2n 1
×+)
3．∑
n=1 4× 7×10×× (3n +1)
n=1 4× 7×10××(3n +1)
∞
x
∑
4. n
n a
=1
，其中x 和a 为正的常数
五、计算题
1. 求收敛域或收敛半径：
∞(1)求幂级数∑
n=1 (x −4)
n
n
的收敛域。

∞x −) ( 1
n
(2)求幂级数∑
=1 2 ⋅
n
n
n
的收敛域。

∞(−−1
n
1)
∑
(3)求幂级数(2x − 3)n
2n −1
n=1
的收敛域。

2. 根据简单的幂级数展开式生成一些函数的展开式:
1
∞(1)请根据
∑
=
1−x
n=0 x
n
1
，给出
1+
x
1
和
1+x
2
的泰勒级数表达式，其中x
∈(−1,1) 。

1
∞
(2)请根据∑
，给出ln(1+x) 的泰勒级数表达式，其中x ∈(−1,1) 。

=(−1)n x
n 1+x
n=0
1
∞(3)请根据∑
=(−1)n x
n
1+x
n=0 ，给出arctanx 的泰勒级数表达式，其中x ∈(−1,1) 。

1
∞(4)请根据∑
=(−1)n x
n
1+x
n=0 ，给出
1
(1+x)
2
的泰勒级数表达式，其中x
∈(−1,1) 。

3．将函数展开成幂级数：
(1)将
x
2
f (x) =展成x 的幂级数。

x − 3
(2)将函数f (x) =ln(x +a)展开成x 的幂级数。

1
(3)将函数
f (x) =展开成(x + 4) 的幂级数。

x2 + 3x + 2
1
(4) 将函数
f (x) =展开成(x −3) 的幂级数。

x
4. 判定下列级数是否收敛？如果收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？
∞
1 1
(1) 判定级数∑
−1 n
+
( ) sin
n
n=2
是否收敛？如果收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？
∞(2)判定级数∑
( 1)
−−
n 1
n=1
1
ln(n +1)
是否收敛？如果收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？
∞(3)判定级数∑
n=1
n n
−1
2
(−1)
3
n
是否收敛？如果收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？
∞
1 1 (4)判定级数∑
(−1)
n−
n
n=1 是否收敛？如果收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？
∞
n n
(5)判定级数∑
(−1)
−1
n−1
3
n=1
是否收敛？如果收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？
∞n n π
(6)判定级数∑()
−1 ⋅ tan
n+1
2
n=1
是否收敛？如果收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？。