高考数学专题复习 数列教案 文

福建省漳浦县道周中学2014年高考数学专题复习 数列教案 文

一、高考地位与考查要求

一般考察两种常见题型：1、等差等比数列求项求和等问题，主要涉及基本量思想；2、数列的探索性问题，如周期数列、分形等.如果数列出现在解答题的前几题中，往往考察等差等比数列的求项求和，运用累加、累乘法的简单递推数列的求项求和问题，主要考察学生的运算能力.如果数列问题出现在最后一两题，则是综合性很强的问题，大多以数列为考查平台，综合运用函数、方程、不等式、简单数论等知识，通过运用递推、函数与方程、归纳与猜想、等价转化、分类整合等各种数学思想方法，考查学生灵活运用数学知识分析问题、解决问题的能力和数学探索创新的能力.

二、基本题型与基本策略

基本题型一：运用基本量思想解决等差、等比数列的求项求和问题

例1.（1）在等差数列{ a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝120，则a 5＋a 6＝ . 说明：这是一道典型的运用基本量思想求数列和的问题，根据a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝120，可以列出关于1a d 和的方程两个二元一次方程方程，通过加减消元或带入消元接出1a d 和的值；同时注意到个方程数列项下标特征，根据等差数列的性质1532642,2a a a a a a +=+=，得到a 5＋a 6＝34122()()a a a a +-+=210.

变式：（2010全国卷Ⅰ理科数学4）已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，123a a a =5，789a a a =10，则456________.a a a =

说明：表面看这是一道可以用基本量思想解决的问题，但在实际操作过程中发现，使用基本量列出方程组计算量较大，要得到结果还需借助指数幂的运算性质，易出错.

如果仔细观察已知条件与所求结论的关系，不难发现2417a a a =，2528a a a =，

2639a a a =，运用等比数列的性质可以很快得到456a a a =选择恰当的方法有时

可以大大简化我们的计算，为考试赢得宝贵的时间，而恰当方法的选择，借助于我们认真审题和知识的融会贯通.

（2）等差数列{}n a 中，410a =且3610a a a ，，成等比数列，求数列{}n a 前20项的和20S ．

说明：这也是一道典型的运用基本量思想求数列和的问题，同时也是一道简单地将等差数列和等比数列组合在一起的问题，通过410a =和3610a a a ，，成等比数列可以直

接列出两个关于基本量1a d 和的方程组：12111310(5)(2)(9)

a d a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩，此方程组是由一个二元一次与一个二元二次方程组合而成，宜采先化简再带入消元法的方法

求解，第二个方程可化简为217a d d =，学生特别容易将d 直接消去，导致漏解的错

误.最终结果20S =200或330.此种题型方法常规，思路明确，计算量适中，常常出现在填空题的前六题或解答题的前两题，属容易题.

例2. 已知数列{a n }的通项公式a n =9-2n ，则| a 1|+| a 2|+…+| a 20|= ． 说明：这是一道利用等差数列基本量求分段数列和的问题.关键是引导学生正确写出分段数列的通项公式*92(4)()29(5)

n n n a n N n n -≤⎧=∈⎨-≥⎩，分段的依据是|9-2n|=0，利用

分段通项公式分段求和得|a 1|+|a 2|+…+|a 20|=2*28(4)()832(5)

n n n n N n n n ⎧-+≤⎪∈⎨-+≥⎪⎩.此题不仅考察学生的基本运算能力，也考察了学生分段函数、含绝对值表达式的处理方法. 例3.（2010浙江理科数学卷15）设1,a d 为实数，首项为1a ，公差为d 的等差数列{n a }的前n 项和为n S ，满足56S S ⋅+15=0，则d 的取值范围是__________. 说明：直接运用基本量列出关于1a d 和方程11(10)(615)150a d a d +++=，在列式

时注意等差数列求和公式的选择，由于此题中涉及的两个基本量是1a d 和，所以可以

选择用1a d 和表示的求和公式，从而化简得2211291010a da d +++=，结合二次函

数方程有解判别式大于等于零的性质，得280,d d d ∆=-≥≥≤-即这

是一道将数列基本量思想与二次方程知识有机结合的问题，不仅考查学生的计算能力，同时还考查了知识的迁移与转化能力.

基本策略：等差、等比数列是两类最基本的数列，它们的通项公式、前n 项和的公式中均含有两个基本量，因此数通过基本量思想求解等差等比的通项和前n 项和是高考考查的重点也是热点.在运用基本量思想解决问题时，要注意以下两个方面：1、基本两思想在解决问题时比较程序化，认真审题选择恰当的方法是关键，有两个性质有时可以简化我们的计算（在等差数列中，若*(,,,),m n p q m n p q N +=+∈则m n p q a a a a +=+在等比数列中若*(,,,),m n p q m n p q N +=+∈则m n p q a a a a ⋅=⋅）；2、在计算过程中注意观察表达式的特征，灵活地运用计算方法．在等差数列求和的问题中，首先是确定通项，选择恰当的求和公式，在等比数列求和中要注意q =1的情况单独讨论.

基本题型二：递推数列的求项求和问题

例4. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a n =5S n －3 (n ∈N)，求a 1+a 3+…+a 2 n －1的值．

说明：在表达式中同时出现a n 和S n 时，我们通常采用的方法是运用公式

11(1)(2)

n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，将表达式转化为都关于a n 或S n 的式子，然后再进行求解.因此，此题表达式可变形为115()n n n n a a S S ---=-，即15n n n a a a --=，所以{}n a 为等比数列，求和问题迎刃而解.

例5.（2010新课标全国理科卷17）设数列{}n a 满足12a =，1132n n n a a -+-=⨯.