初一有理数所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)

初一有理数所有知识点总结和常考题

知识点

1、正数和负数

（1）、大于0的数叫做正数。

（2）、在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。

（3）、数0既不是正数，也不是负数，0是正数与负数的分界。

（4）、在同一个问题中，分别用正数与负数表示的量具有相反的意义。

2、有理数

(1)凡能写成分数形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数.

注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，如：-（-2）=4，这个时候的a=-2。π不是有理数；

(2)有理数的分类:①

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎪

⎨

⎧

⎩

⎨

⎧

⎩

⎨

⎧

负分数

负整数

负有理数

零

正分数

正整数

正有理数

有理数②

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎪

⎨

⎧

⎩

⎨

⎧

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

负分数

正分数

分数

负整数

零

正整数

整数

有理数

(3)自然数⇔0和正整数； a＞0 ⇔a是正数；

a＜0 ⇔a是负数；a≥0⇔a是正数或 0⇔是非负数；

a≤0⇔a是负数或0⇔a是非正数.

3、数轴【重点】

（1）、用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。它满足以下要求：

①在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点；

②通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；

③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示 1,2,3…；从原点向左，用类似的方法依次表示-1,-2，-3…

（2）、数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。

（3）、画数轴的步骤：一画（画一条直线并选取原点）；二取（取正反向）；三选（选取单位长度）；四标（标数字）。数轴的规范画法：是条直线，数字在下，字母在上。

注意：所有的有理数都可以用数字上的点表示，但是数轴上的所有点并不都表示有理数。

（4）、一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。

4、相反数

（1）、只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

①注意：a的相反数是-a；a-b的相反数是b-a；a+b的相反数是-(a+b)=-a-b；

②非零数的相反数的商为-1；

③相反数的绝对值相等。

（2）、一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有两个，他们分别在原点的两侧，表示a 和-a，我们说这两点关于原点对称。

（3）、a和-a互为相反数。0的相反数是0，正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。相反数是它本身的数只有0。

（4）、在任意一个数前面添上“-”号，新的数就表示原数的相反数。

（5）、若两个数a、b互为相反数，就可以得到a+b=0；反过来若a+b=0，则a、b互为相反数。

（6）、多重符号的相乘由“-”的个数来定：若“-”的个数为偶数，相乘结果为正数；若“-“的个数为奇数，化简结果为负数。比如：-2×4×（-3）×（-1）×（-5），首先由4个负号，所以最终结果是正数，再算数字相乘得到120

5、绝对值

（1）、绝对值的定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离。数a的绝对值记作|a|。（2）、正数的绝对值等于它本身；0的绝对值是0（或者说0的绝对值是它本身，或者说0的绝对值是它的相反数）；负数的绝对值等于它的相反数；（注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；）。0是绝对值最小的数。

（3）、绝对值可表示为：⎪⎩

⎪

⎨⎧<-=>=)

0()0(0)

0(a a a a a a 或⎩⎨⎧≤-≥=)0()0(a a a a a ；

（4）、

01>⇔=a a

a

；

01<⇔-=a a

a ；

（5）、任何数的绝对值总是非负数（非负数是正数或0），即|a|≥0。

（6）、互为相反数的两个数的绝对值相等。绝对值相等的两个数可能是互为相反数或者相等。 （7）、有理数比大小：

① 正数比0大，0大于负数，正数大于负数； ② 两个负数比较，绝对值大的反而小；

③ 数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大； （8）、比较两个负数的大小的步骤如下：

① 先求出两个数负数的绝对值； ② 比较两个绝对值的大小；

③ 根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断。 1、有理数的加法

（1）、有理数加法法则：

① 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

② 异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； ③ 一个数与0相加，仍得这个数.

（2）、加法计算步骤：先定符号，再算绝对值。 （3）、有理数加法的运算律：

① 加法的交换律：a+b=b+a ；

② 加法的结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）. （4）、为了计算简便 ，往往会采取以下方法：

①互为相反的两个数，可以先相加； ②符号相同的数，可以先相加； ③分母相同的数，可以先相加；

④几个数相加能得到整数，可以先相加。 2、有理数的减法

（1）、有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）.（有理数减法运算时注意两“变”：①减法变加法；②把减数变为它的相反数.） 注：有理数的减法实质就是把减法变加法。 3、有理数的乘法

（1）、有理数乘法法则：

①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； ②任何数同零相乘都得零；

（2）、一个数同1相乘，结果是原数；一个数同-1相乘，结果是原数的相反数。 （3）、乘积为1的两个数互为倒数；

注意：0没有倒数；若ab=1<====>a 、b 互为倒数。

（4）、几个不是偶的数相乘，积的符号由负因式的个数决定。负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数是，积是负数。 （5）、有理数乘法的运算律：

① 乘法的交换律：ab=ba ；

② 乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）； ③ 乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac. 4、有理数的除法

（1）、有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。

（2）、有理数除法符号法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。

（3）、乘除混合运算的步骤：①先把除法转化为乘法；②确定积的符号；③运用乘法运算律和乘法法则进行计算得出结果。