换元法解三角函数题

换元法解三角函数题

有些三角函数题，若根据题设信息特征，恰当选择变量进行代换，可改变原题的结构，转化为对新变量的讨论，从而优化解题途径。

题目:换元法解三角函数题

有些三角函数题，若根据题设信息特征，恰当选择变量进行代换，可改变原题的结构，转化为对新变量的讨论，从而优化解题途径。

一. 整体设元代换

例1. 已知，求证：。

证明：设，则

即

由得

所以

二. 比值设元代换

例2. 已知，求证。

证明：设，则、、

所以

三. 辅助式设元代换

例3. 已知，则________。

解：由知，

设，

又

两式平方，相加，得

，

解得

所以

解得

所以

四. 构造数学模型设元代换

例4. 已知，求的值。

解：根据，构造等差数列。

设，

由知，即。

因为

所以

所以

五. 降次设元代换

例5. 已知，求证：。

证明：设，则

，

所以

化简，得，所以。

所以

所以

六. 利用和、差设置双元代换

例6. 求的最大值。

解：设，则

因为。

所以，即，于是。

因为，所以，即。

因为，

又，

所以当时，

七. 三角函数设元代换

例7. 求函数的值域。

解：由。

设，则

当时，

因为

所以，

所以

当

因为

所以

所以

综上所述，函数的值域为。