拉普拉斯变换 例题解析
拉普拉斯变换
Lt tesd tt1tdest
0
s0
1 te s t 1 e sd tt 1e s t 1
s 0 s0
s2 0 s2
2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换
(4) 指数函数
指数函数表达式：
式中：a是常数。
f (t)eat
其拉普拉斯变换为：
L e a t e ae tsd tt e (s a )td t1
2.2.4 拉普拉斯变换的根本性质
(3) 微分定理
推广到n阶导数的拉普拉斯变换：
L dn dftn (t) snF(s)sn 1f(0)sn2f(0) s(fn2-()0)f(n1-()0)
假如：函数 f(t) 及其各阶导数的初始值均为零，即
f ( 0 ) f ( 0 ) f ( 0 ) f ( n 2 ) ( 0 ) f ( n 1 ) ( 0 ) 0
解：
G(s)＝s2+1＝( +j)2 + 1 ＝ 2 + j(2 ) - 2 + 1
＝( 2 - 2 + 1) + j(2 )
复变函数的实部 u221
复变函数的虚部 v2
拉普拉斯变换
2.2.2 拉普拉斯变换的定义 拉氏变换是控制工程中的一个根本数学方法，其
优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变
0f1(t)f2()df1(t)f2(t)
称为函数 f1(t)与f2(t) 的卷积
拉普拉斯变换
2.2.5 拉普拉斯反变换 (1) 拉普拉斯反变换的定义
将象函数F(s)变换成与之相对应的原函数f(t)的过程，称之 为拉普拉斯反变换。其公式：
f(t) 1 ajF(s)eadt s 2πjaj
第二章_Laplace变换（答案）
积分变换练习题 第二章 Laplace 变换________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______§1 Laplace 变换的概念 §2 Laplace 变换的性质一、选择题1．设()(1)t f t e u t -=-，则[()]f t =L [ ]（A ）(1)1s e s --- （B ）(1)1s e s -++ （C ）1s e s -- （D ）1se s -+11[(1)][()];1[(1)](1)ss t s u t e u t se e u t s e --+⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪+⎝⎭由延迟性质可得，再由位移性质可得，L L L2．设2sinh ()tf t t =，则[()]f t =L [ ] （A ）1ln 1s s -+ （B ）1ln 1s s +- （C ）12ln 1s s -+ （D ）12ln 1s s +-见课本P84二、填空题1．设2()(2)f t t u t =-，则[]()f t =L。
22''222321[(2)][()];1442[(1)]ss s s u t e u t se s s t u t se s e -⎛⎫-== ⎪ ⎪++ ⎪⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由延迟性质可得，再由象函数的微分性质P83(2.7)可得，L L L 2．设2()t f t t e =，则[]()f t =L。
(1)00''231[](Re()1);112[]1(1)t t st s t te e e dt e dt s s t e s s +∞+∞---⎛⎫===> ⎪- ⎪ ⎪⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎰⎰再由象函数的微分性质P83(2.7)可得，L L 三、解答题1．求下列函数的Laplace 变换：（1）302()12404t f t t t ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪≥⎩242242422402[()]()3(1)33334ststst st st s s s s s f t f t e dt e dt e dte e e e e e e s s s s s s s+∞----------==+--+=+=-++-=-⎰⎰⎰L（2）3,2()cos ,2t f t t t ππ⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩20222222()22202222[()]()3cos 3333,cos cos()sin 2133[()].1stst st sst stst s s sts ssf t f t e dt e dt te dtee e dt ss se te dt ed ee d s e ef t s s sπππππππτππττππππττττ+∞+∞--------=+∞+∞+∞-+-----==+==-+-=+=-=-+=--++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，从而L L（3）()sin2tf t = 222002[()]sin 2sin .241t st s t f t e dt e d s ττττ=+∞+∞--===+⎰⎰L（4）()cos ()sin ()f t t t t u t δ=⋅-⋅200[()][cos ()sin ()]cos ()sin ()1cos sin 1.1st stst stst t f t t t t u t e dtt t e dt t u t e dttete dt s δδ-+∞-+∞+∞--+∞--==⋅-⋅=⋅-⋅=-=-+⎰⎰⎰⎰L2．求以2b 为周期的函数1,0()1,2t bf t b t b<≤⎧=⎨-<≤⎩的Laplace 变换。
5.3 拉普拉斯变换的性质及应用
F (s s0 )的ROC : Re[ s s0 ] 1 即 Re[ s] 1 Re[ s0 ]
5.3 拉普拉斯变换的性质及应用
4. 复频移特性 例5.3-3 求 e 解： 因为
- at
sin wt 和 e-at coswt 的拉氏变换。
s 例5.3-2: 已知因果函数f(t)的象函数 F ( s) = 2 ，求f(2t)的象 s +1 函数。
解：
s f (t ) « 2 s +1
Re[ s] > 0
f (at ) 1 s F Re[ s] a 0 a a
由尺度变换性质有：
s 1 s 2 f (2t ) « × = 2 2 2 æsö s +4 ç ÷ +1 è2ø
f (t )
0
s f (t )e st dt
0
sF (s) f (0 )
f
(2)
Re[ s] 0
d (1) (t ) f (t ) dt
LT [ f ( 2) (t )] s[sF (s) f (0 )] f (1) (0 ) s 2 F (s) sf (0 ) f (1) (0 )
Re[ s] 0
LT [ f (3) (t )] s[s 2 F (s) sf (0 ) f (1) (0 )] f ( 2) (0 ) s 3 F (s) s 2 f (0 ) sf (1) (0 ) f ( 2) (0 )
Re[ s] 0
a 0, b 0, 求f1(t)的象函数。
解:
L f t f t u t F s
[理学]第五章2拉普拉斯变换的性质_OK
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0
2
t
解： 令
f t
f
2
t
2
则
f t 2 t 4 t 2 t
2
f
t
2
1
F
s
2
4
e
s 2
2 es
0
2
f ' t
2
2
1
2e
s 2
es
2
2
2 1
e
s 2
2
L
f
t
2
1 s2
Fs
2
1
e
2
s
. s2
2
0 2
f "
t
2
2
2
0
4
t
t
2
2
这是由于位于收敛边界的极点被抵消的缘故。
例5.2-1 求单边正弦函数 sin t t 和单边余 弦函数 cos t t 的象函数。
解：因为 sin t e jt e jt 2j
而es0t t 1
s s0
e jt e jt 2j
t
1 .
1
1.
1
2 j s j 2 j s j
s2 2
sin
t
t
s2
2
Res 0
3
同理因为
cos t e j t e j t
2
e j t e j t 2
t
s
1. 1
2 s j
1. 1
2 s j
s2
2
cos
t
t
s2
2
Res 0
sin t t
s2
2
第十四章拉普拉斯变换
第十四章 拉普拉斯变换典型例题例14-1 求以下函数的象函数。
（1）单位冲激信号()t δ （2）单位阶跃信号()t ε （3）单边指数信号()t e at ε- （4）单边正弦信号()t t εωsin 解（1） 单位冲激信号()t δ的象函数()()[]()10=====--∞⎰-t stst e ds e t t L s F δδ即 ()1↔t δ （14-5） 可以看出，按拉氏变换定义式（14-1）进行计算，能计及t=0时()t f 中所包含冲激函数。
（2） 单位阶跃信号()t ε的象函数()()[]()se s ds e ds e t t L s F st st st 11000=-====∞-∞--∞⎰⎰-εε即 ()st 1↔ε （14-6）由于()t f 的单边拉氏变换其积分区间为[)∞-,0，故对定义在()∞∞-,上的实函数()t f 进行单边拉氏变换时，相当于()()t t f ε的变换。
所以常数1的拉氏变换与()t ε的拉氏变换相同，即有 s 11↔同理，常数A 的拉氏变换为 sAA ↔ （14-7）（3）指数信号()t eatε-的象函数()()[]()as dt e dt e e t e L s F t s a st at at +====⎰⎰∞+-∞-----10ε 即 ()as t e at+↔-1ε （14-8） 同理()as t e at -↔1ε（4） 单边正弦信号()t t εωsin 的象函数 由于 ()t j tj e e jt ωωω--=21sin 故()()[]()()22112121sin ωωωωεεωωω-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==-s j s j s j t e e j L t t L s F t j t j 即 ()22sin ωωεω-↔s t t （14-9）例14-2 求单边余弦信号()t t εωcos 的象函数。
拉普拉斯变换实验报告答案
评分：《信号与系统》实验报告实验题目：拉普拉斯变换实验班级：姓名：学号：指导教师：实验日期：拉普拉斯变换实验一、实验目的：1、了解拉普拉斯变换及其逆变换的符号方法；2、了解由系统函数零、极点分布决定时域特性，并绘制出图形；3、了解由系统函数零、极点分布决定时域特性，并绘制出图形。
二、实验设备：多媒体计算机，matlab软件。
三、实验内容：１．例题4-8 求下示函数的逆变换F（s）=10(s+2)(s+5)/s(s+1)(s+3)该题中，所编程序为：clear all, close all, clc; %清除所有变量并清除屏幕内容syms s; %定义系统sf = ilaplace(10*(s+2)*(s+5)/s/(s+1)/(s+3)) %进行拉式变换实验结果:f =100/3 - (10*exp(-3*t))/3 - 20*exp(-t)2.例题4-9 求下示函数的逆变换F（s）=(s^3+5s^2+9s+7)/(s+1)(s+2)该题中，所编程序为：clear all, close all, clc; %清除所有变量并清除屏幕内容b = [1,5,9,7]; %函数分子的系数a1 = [1,1]; %函数分母第一个因式的系数a2 = [1,2]; %函数分母第二个因式的系数a = conv(a1,a2); %令a的值使a1，a2收敛[r,p,k] = residue(b,a) %是函数部分分式展开运行结果为：r =-12p =-2-1k =1 23.例题4-10 求下示函数的逆变换F（s）=(s^2+3)/(s^2+2s+5)(s+2)该题中，所编程序为：clear all, close all, clc; %清除所有变量并清除屏幕内容b = [1,0,3]; %函数分子的系数a1 = [1,2,5]; %函数分母第一个因式的系数a2 = [1,2]; %函数分母第二个因式的系数a = conv(a1,a2); %令a的值使a1，a2收敛[r,p,k] = residue(b,a) %是函数部分分式展开运行结果为：r =-0.2000 + 0.4000i-0.2000 - 0.4000i1.4000p =-1.0000 + 2.0000i-1.0000 - 2.0000i-2.0000k =[]4.例题4-12 求下示函数的逆变换F(s)=(s-2)/s(s+1) ^3该题中，所编程序为：clear all, close all, clc; %清除所有变量并清除屏幕内容b = [1,-2]; %函数分子的系数a1 = [1,0]; %函数分母第一个因式的系数a2 = [1,1] %函数分母第二个因式的系数a = conv(conv(a1,a2),conv(a2,a2)); %令a的值使a1，a2收敛的收敛[r,p,k] = residue(b,a) %是函数部分分式展开运行结果为：r =2.00002.00003.0000-2.0000p =-1.0000-1.0000-1.0000k =[]５.例题4-17图4-17所示电路在t=0时开关S闭合，接入信号源e(t)=VmSIN(wt),电感起始电流等于零，求电流i(t)。
已知开环传递函数用拉普拉斯变换求阶跃响应例题
已知开环传递函数用拉普拉斯变换求阶跃响应例
题
例题一
题目：已知单位负反馈系统开环传递函数为G（s）
=4/s(s+5)，求单位阶跃响应。
解答：
对于一个负反馈网络，设开环增益为G(s)，负反馈系数为F，则闭环增益:
对于单位负反馈系统F=1，因此闭环增益:
对闭环增益做Laplace逆变换得到冲激响应，观察可知采用部分分式分解法较为简单:
阶跃响应等于冲激响应的积分，因此阶跃响应为:
解析：拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换，又名拉氏转换。
拉氏变换是一个线性变换，可将一个因数为实数t（t≥
0）的函数转换为一个因数为复数s的函数。
有些情形下一个实变量函数在实数域中进行一些运算并不容易，但若将实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往在计算上容易得多。
拉普拉斯变换是一个可将有实数变量t的函数变为变量为复数s的函数的线性变换：
例题二
题目：已知单位反馈系统的开环传递函数为，试求该系统的单位阶跃响应。
解答：。
拉普拉斯变换
求积分余弦函数Ci (t)
cos d的拉氏变换。 t
例3（补充例题）求解初始问题
dy 2 y et dt y t0 0
例4（补充例题）求解初始问题
y'' y t
y
t0
y'
t0
0
例5（补充题，利用原函数积分法求解 积分方程）设C，R，E为正常数，求解 积分方程（该方程来自电路理论）
lim e pt f (i) (t) 0
t
注意： 一、初始条件进入Lapace 变换公式中，这一点在实际
应用中非常重要。 二、原函数对 t 的求导，变成像函数 与p 相乘。
三 原函数积分定理:
ℒ
t
0
(
)d
1 s
ℒ [ (t)]
原函数对 t 的积分变成像函数与 s 相除
四 相似性定理
ℒ
f
(at)
L [ f (t)] test dt 1 t d(est )
0
s0
1 test s
|
0
1 s
e st dt
0
1 s2
e st
0
d( st )
1 s2
est
|
0
1 s2
(Res 0)
例4 f (t) t eat
L[teat ]
t
e(sa)t
dt
1
t d e(sa)t
f (t) Res[F(s)est ]
因在 L 的右边无奇点，所以可以说：pk 是全平面上像 函数的奇点。(如果像是多值函数，问题比较复杂)
Fourier变换与Laplace变换的比较
1 Fourier 变换 与 逆变换比较对称，但 Fourier 变换对函数要求较严；数值计算 比较成熟（FFT）;
第七章拉普拉斯变换
2024/8/1
1[ 2s
1
j
s
1
j
]
s2
s
2
.
11
• 例2．已知F(s) 5s 1 ，求L1[F(s)]. (s 1)(s 2)
解：F (s) 5s 1 2 1 3 1 , L[eat ] 1
(s 1)(s 2) s 1 s 2
sa
L1[F (s)] 2L1[ 1 ] 3L1[ 1 ]
2024/8/1
2
例1．求单位阶跃函数u(t)
0, 1,
f (t) 1的拉氏变换.
1,
t t
0，符号函数 0
sgn
t
0,
1,
t 0 | t | 0， t0
解： (1)L[u(t)]
est dt 1 est
0
s
0
1 s
,
Re(s) 0
即：L[u(t)] 1 , Re(s) 0； s
2024/8/1
3
一般规定：在拉氏变换中f (t)均理解为：f (t) 0，t 0.
即写下f (t) sin t时，理解为f (t) u(t)sin t，象函数F(s) 1，Re(s) 0 s
的象原函数可写为f (t) 1,即：L1[1] 1. s
例2．求指数函数f (t) ekt的拉氏变换（k为实数）.
L[ t f (t)dt] 1 F(s).
0
s
推广： L[
t
dt
t
dt
00
t 0
f
(t)dt]
1 sn
F (s).
２．象函数的积分
设L[ f (t)] F(s)，则 L[ f (t)]
《电路分析》拉普拉斯变换
A (t ) A
A (t ) A / s
P294
A eat A sa
t 1/ s2
sin(t )
s2
2
c os(t )
s2
s
2
四、分部分式法求反拉氏变换
F(s) N(s) D(s)
1、当D(s)=0有n个不同实根p1、p2……时
F(s) N (s) k1 k2 kn
D(s) s p1 s p2
k11
n
ki
D(s) s p1 (s p1 )2
(s p1 ) m i2 s pi
其中：k11
(s
p1 ) m
N(s) D(s)
s p1
k12
d [(s ds
p1 )m
N(s)] D(s)
s p1
k13
1 2
d2 ds2
[(s
p1 )m
N(s)] D(s)
s p1
k1m
1 (m 1)!
d m1 dsm1
s j
N(S) D'(s) s j
| k1
| e j1
k2 [s ( j)] F(s)
s j
N(S) D' (s) s j
| k1 | e j1
K1、K2是一对共轭复数。
例3: 已知
F(s) s2 6s 5 s(s2 4s 5)
求 f (t)
F (s)
s2 6s 5 s(s2 4s 5)
s
iC(t) C
+
-
uC(t)
+ UC(s) -
IC(s)
1/sC
CuC(0-)
3、电感 U L (s) sL I L (s) LiL (0 )
自动控制拉普拉斯变换例题
自动控制拉普拉斯变换例题
拉普拉斯变换是一种把函数从时域转换到频域的变换，大多数时候，拉普拉斯变换用来计算一个系统的频率特性。
它的应用非常广泛，如数字滤波器设计、系统诊断等等。
首先，我们要求出系统的拉普拉斯变换。
对于一个系统，我们需要仔细研究它的输入和输出函数，然后根据它们计算出系统的拉普拉斯变换。
这就要求我们要知道它们的解析形式。
比如，如果系统有一个输入函数
x(t)和一个输出函数y(t)，那么这个系统的拉普拉斯变换Y(s)就可以用下面的公式表示：
Y(s)=L[y(t)]=∫-∞∞y(t)e-st dt。
其次，我们需要做拉普拉斯变换的控制。
由于拉普拉斯变换是一种频率响应，所以我们可以根据它来控制系统的输出频率。
下面给出一个例子来阐述这一点：
假设我们有一个振荡系统，它的输入和输出都是正弦波，当它的输入频率是1Hz时，它的输出的频率是2Hz。
所以我们可以求出它的拉普拉斯变换：
Y(s)=L[y(t)]=∫-∞∞y(t)e-st dt=∫-∞∞sin(2t)e-st
dt=sin(2)/s。
第四章拉普拉斯变换及S域分析
求解s域方程。 ，得到时域解答。
二．微分方程的拉氏变换
我们采用0-系统求解瞬态电路，简便起见，只要知 道起始状态，就可以利用元件值和元件的起始状态， 求出元件的s域模型。
三．利用元件的s域模型分析电路
1.电路元件的s域模型
·电阻元件的s域模型
·电感元件的s域模型
Zl1(s)I1(s) Zll (s)Il (s) Vl (s)
系统函数求响应
则其矩阵形式为V ZI 或 I Z 1V
第k个回路电流
Ik
(s)
jk
Vj (s)
网络函数H (s)
Ykj (s)
Ik (s) Vj (s)
jk
其中为Z 方阵的行列式，称回路分析行列式或特征方程式；
E1 R1
E2 R2
1 s
s
1 1
IL (s)
IL0 (s)
E1 sR1
E2 sR2
E1 R1
E2 R2
1 s1
L1 iL (t)
E2 R2
E1 R1
E2 R2
e
t
u(t)
第六节
系统函数 （网络函数）H(s)
系统函数 1.定义
系统零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比
部分分式展开法
设F1 (s)
A( s ) D(s)
则F (s) F1(s) (s p1)k
分解
(s
K11 p1
)k
(s
K1i p1 )k i1
K1k s p1
部分分式展开法
其中K1i
(i
1 1)!
d i1 dsi1
F1(s) s p1
自动控制原理--拉普拉斯变换的4个例题讲解
2
4 3 12
F(s)
Cm (s-p1 )m
C m- 1 (s-p1 )m-1
C1 s-p1
Cm1 s-pm1
Cn s-pn
(s-p1 )m F(s) Cm Cm-1(s-p1 ) Cm-2(s-p1 )2 C1(s-p1 )m1
Cm1(s-p1 )m Cn(s-p1 )m
s-pm1
C(s)
bm sm ansn
bm1sm1 ... b1s b0 an1sn1 ... a1s a0
R(s)
r(t ) (t )
C(s)
bm sm ansn
bm1sm1 ... b0 an1sn1 ... a0
C1
s 1
C2
s 2
Cn
s n
L1 : c(t ) L1[C(s)] C1e1t C2e2t Cnent
F(s)
Cm (s-p1 )m
C m- 1 (s-p1 )m-1
C1 s-p1
Cm1 s-pm1
Cn s-pn
C
m
lim (s
s p1
p1
)m .F(s)
C m- 1
1 lim
1! s p1
d ds
(s
p1 )m .F(s)
C m-j
1
d( j)
j!
lim
s p1
ds j
(s
p1 )m .F(s)
f(t) 1 et 1 e3t 22
例3
已知 F (s)
s2 5s 5 s2 4s 3
，求
f (t) ?
解.
F(s)
(s2 4s 3) (s 2) s2 4s 3
第十五章 拉普拉斯变换典型习题解答与提示.
第十五章 拉普拉斯变换典型习题解答与提示习 题 15-11．（1）提示：2()f t t =， ￡20[()]()ptpt f t f t edt t e dt +∞+∞--==⎰⎰，求广义积分后可得￡32[()]f t p =，(0)p >； （2）提示：4()tf t e -=，￡40[()]()pt t pt f t f t e dt e e dt +∞+∞---==⎰⎰，￡1[()](4)4f t p p =>-+； （3）因302()12404t f t t t ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪≥⎩，则￡242[()]()3(1)ptptpt f t f t edt edt e dt +∞---==+-⎰⎰⎰24024,(0)31,(0)pt pt p e e p p p --=⎧⎪=⎨-+≠⎪⎩4234,(0)4,(0)p pe e p pp --⎧+-≠⎪=⎨⎪=⎩； （4）因()tf t te -=， 则￡2(1)(1)0001[()]()1ptp tp t f t f t edt tedt td e p +∞+∞--+-+⎛⎫===- ⎪+⎝⎭⎰⎰⎰ (1)(1)0111p t p t te e dt p p +∞+∞-+-+=-+++⎰ (1)21(1)(1)p tep p +∞-+=->-+21(1)(1)p p =>-+。
2．（1）￡231[()](263)(0)f t p p p p=+->； （2）￡2262[()](0)41pf t p p p =->++； （3）因()1tf t te =+，则￡[()]f t =￡(1)+￡()tte1(1)[p=+-￡()]t e ' （微分性） 222111(1)(1)(1)p p p p p p p -+=+=>--； （4）因3()sin 4tf t e t =，又因￡24(sin 4)()16t F p p ==+，则由位移性知￡24[()](3)(3)(3)16f t F p p p =-=>-+； （5）方法一 因22()tf t t e-=，又￡232[]()(0)t F p p p ==>，则由位移性知 ￡32[()](2)(2)(2)f t F p p p =+=>-+； 方法二 因￡21(),(2)2tep p -=>-+，则由微分性知 ￡2312[()](1)(2)2(2)f t p p p ''⎛⎫=-=>- ⎪++⎝⎭； （6）因21()sin (1cos 2)2f t t t ==-，则￡1[()][2f t =￡(1)-￡22112(cos 2)](0)24(4)p t p p p p p ⎛⎫=-=> ⎪++⎝⎭； （7）因1()sin 2cos 2sin 42f t t t t ==， 则￡1[()]2f t =￡22142(sin 4)(0)21616t p p p =⨯=>++；（8）因()sin()sin cos cos sin f t t t t ωϕωϕωϕ=+=+， 则￡[()]cos f t ϕ=￡(sin )sin t ωϕ+￡2222cos sin (cos )p t p p ωϕϕωωω=+++22cos sin (0)p p p ωϕϕω+=>+； （9）因11()(21)222f t t t t μμμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 则由延滞性知￡121[()](0)p f t ep p-=>； （10）因3()sin 2tf t tet -=，又￡22(sin 2)(0)4t p p =>+， 则由位移性知￡322(sin 2)(3)(3)4t e t p p -=>-++，故再由微分性知 ￡22224(3)[()](3)(3)4[(3)4]p f t p p p '⎡⎤+=-=>-⎢⎥++++⎣⎦； （11）因4()cos 24tf t et π-⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又因￡cos 242t π⎡⎤⎛⎫+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦￡222(cos 2sin 2)244p t t p p ⎫-=-⎪++⎝⎭2224p p -=+，则由位移性知￡22[()](4)2(4)4p f t p p +=⨯>-++。
第五章 拉普拉氏变换
第五章 拉普拉氏变换习题参考答案5.1 求下列信号的单边拉普拉斯变换，并注明收敛域。
（1）(1)u t + （2）22(e e )()t t u t -+ （3）(1)()t u t - （4）(1e )()t t u t -+ 解：（1）1(1):Re[]0S u t e ROC S S+↔> （2）2211(e e)():Re[]222ttu t ROC S S S -+↔+>-+（3）()()()()22R 1111 :e[]0St u t tu t u t ROC S S S S↔--=--=> (4)()()()()2111R 1(1) :e[]tt teu t u t te u t S S ROC S --+=+↔+-+>5.2求下列函数的单边拉普拉斯变换。
（1）0sin (1)(1)t U t ω-- （2）212e ett---+（3）2()e t t δ-- （4）3sin 2cos t t + （5）2e tt -（6）e sin(2)t t -解：（1）[]0022sin (1)(1)st U t e S ωωω---↔+ （2）()()()212112e e12t tSS S ---+↔-+++ （3）12()e21tt S δ--↔-+ （4）22232323sin 2cos 111S St t S S S ++↔+=+++ （5）221e(2)tt S -↔+（6）22e sin(2)(2)4tt S -↔++ 5.3 利用常用函数（如(),e (),sin()(),cos()()at u t u t t u t t u t ββ-等）的象函数及拉普拉斯变换的性质，求下列函数的拉普拉斯变换。
（1）[]e ()(2)t u t u t --- （2）[]sin()()sin (1)(1)t u t t u t ππ--- （3）(42)t δ- （4）sin(2)(2)44t u t ππ-- （5）0sin()tx dx π⎰ （6）22sin()()d t u t dtπ （7）22e ()t t u t - （8）e cos()()t t t u t αβ- 解：（1）[]222211e ()(2)(1e )111s ts e u t u t S S S -------↔-=-+++ （2）[]()()2221sin()()sin (1)(1)111SSt u t t u t e e SS ππππππ-----↔-=-+⎛⎫+ ⎪⎝⎭（3）121(42)4S t e δ--↔（4）822sin(2)(2)444S t u t e S πππ---↔+ （5）()2222111sin()tS x dx S S S S ππππππ↔-+=++⎰（6）2223322222222sin()()d t S S u t S dt S S S ππππππππππ--↔-==-+++ （7）2232e ()(2)tt u t S -↔+（8）()()2222222()ecos()()(())tS dS S t t u t dsS αααβαββαβ-++++-↔-=++ 5.4一个冲激响应为()h t 的因果LTI 系统具有下列特性：（1）t -∞<<+∞时，系统的输出为21()()e 6ty t =。
拉普拉斯变换1例题及详解
L[t n ]
n! sn1
当n＝1
L[t]
1 s2
当n＝2
✓5. f (t) sin t
L[sin
t]
s2
2
✓6. f (t) 2021/2/2 cost
L[cos自动控t ]制原理
s
2
s
2
L[e jt ] 1
s j
L[t 2 ]
2 s3
3
附： 常用函数的拉氏变换定义推导 F ( S ) f (t )est dt 0
f (0 ) lim f (t) lim sF (s)
t 0
s
终值定理： f(t)，f (t)的导数可进行拉氏变换 lim f (t)存在时(sF (s)在s右半平面和虚轴上是解析的)
t
lim f (t) lim sF (s)
t
s0
2021/2/2
自动控制原理
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例1
u(t)
t 0
lim s 1
s
s
1
例2
i(t) 5et 2e2t
i(0 ) 3
I(s) 5 2 s1 s2
i(0 ) lim( 5s 2s ) lim( 5 2 ) 3 s s 1 s 2 s 1 1/ s 1 2 / s
2021/2/2
自动控制原理
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６ 拉普拉斯反变换
一. 由象函数求原函数
f(t)=L-1[F(s)]
19
例1
F(s)
s2 s 5 s(s2 3s 2)
s2 s 5
s(s 1)(s 2)
k1 k2 K3 s s1 s2
k1 F(s)s S0 2.5 k2 F(s)(s 1) S1 5
拉普拉斯变换 例题解析
（2）复数模、相角
F(s) = Fx2 + Fy2 ∠F(s) = arctg Fy
Fx
（3）复数的共轭
F(s) = Fx − jFy
（4）解析：若 F(s)在 s 点的各阶导数都存在，称 F(s)在 s 点解析。
2 拉氏变换定义
F(s)
=
L[f
(t
)]
=
∫∞
0
f
(t
)
⋅
e
−st
dt
3 几种常见函数的拉氏变换
( ) L :
s2
+
2s
+
2
L(s)
=
2U a
(s)
=
2 s
L(s)
=
(s s2
2 + 2s
+
2)
L−1 : l(t) = L-1[L(s)]
复习拉普拉斯变换的有关内容
1 复数有关概念
（1）复数、复函数
复数
s = σ + jω
复函数 F(s) = Fx + jFy
例： F(s) = s + 2 = σ + 2 + jω
Tmω& m + ω m = k m u a
⎪⎧Tm ⎨
=
J mR [R ⋅ f m
+ CeCm ]
⎪k ⎩
m
=
Cm
[R
⋅fm
+ CeCm ]
时间函数 传递函数
（4）X-Y 记录仪（不加内电路）
⎧比较点 : Δu = u r - u p ⎪⎪放大器 : u a = k1 ⋅ Δu
⎪⎪电动机 ⎪⎨减速器
laplace变换习题答案
laplace变换习题答案Laplace变换是数学中的一个重要工具，广泛应用于信号与系统、控制理论、电路分析等领域。
通过Laplace变换，我们可以将一些复杂的微分方程转化为简单的代数方程，从而更方便地求解问题。
在学习Laplace变换的过程中，习题是必不可少的一部分，通过解习题可以帮助我们更好地理解和掌握这一知识点。
下面，我将为大家提供一些Laplace变换习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。
1. 问题：求解函数f(t)=2t的Laplace变换。
解答：根据Laplace变换的定义，我们有L{f(t)}=F(s)=∫[0,∞]e^(-st)f(t)dt。
将函数f(t)=2t带入，得到F(s)=∫[0,∞]e^(-st)2tdt。
对该积分进行计算，可以得到F(s)=2/s^2。
2. 问题：求解函数f(t)=sin(2t)的Laplace变换。
解答：同样地，根据Laplace变换的定义，我们有L{f(t)}=F(s)=∫[0,∞]e^(-st)f(t)dt。
将函数f(t)=sin(2t)带入，得到F(s)=∫[0,∞]e^(-st)sin(2t)dt。
对该积分进行计算，可以得到F(s)=2/(s^2+4)。
3. 问题：求解函数f(t)=e^(-2t)的Laplace变换。
解答：将函数f(t)=e^(-2t)带入Laplace变换的定义，得到F(s)=∫[0,∞]e^(-st)e^(-2t)dt。
合并指数项，化简得到F(s)=∫[0,∞]e^(-(s+2)t)dt。
对该积分进行计算，可以得到F(s)=1/(s+2)。
通过以上几个习题的解答，我们可以看到Laplace变换的计算过程其实并不复杂，只需要将函数带入Laplace变换的定义，并进行一些简单的积分运算即可得到结果。
当然，在实际应用中，可能会遇到一些更复杂的函数，需要运用一些特定的Laplace变换性质和技巧来求解。
因此，对于Laplace变换的学习，除了掌握基本的定义和计算方法外，还需要多做习题，熟悉各种情况下的变换规律和性质。
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第二章：控制系统的数学模型§2.1 引言·系统数学模型－描述系统输入、输出及系统内部变量之间关系的数学表达式。
·建模方法⎩⎨⎧实验法（辩识法）机理分析法·本章所讲的模型形式⎩⎨⎧复域：传递函数时域：微分方程§2.2控制系统时域数学模型1、 线性元部件、系统微分方程的建立（1）L-R-C 网络 C r u R i dtdiL u +⋅+⋅=↓ci C u =⋅& c c c u u C R u C L +′⋅⋅+′′⋅⋅= 11c c c R u u u u r LLC LC′′′∴++= ── 2阶线性定常微分方程 （2）弹簧—阻尼器机械位移系统分析A、B 点受力情况02B0A AA i 1x k )x xf()x x (k =−=−∴&& 由 A 1A i 1x k )x x (k =− 解出012i A x k k x x −=代入B 等式：020012i x k )x x k k xf(=−−&&& 02012i x k x k k 1f(xf ++=⋅&& 得：()i 1021021x fk x k k xk k f &&=++ ── 一阶线性定常微分方程（3）电枢控制式直流电动机 电枢回路：b a E i R u +⋅=┈克希霍夫 电枢及电势：m e b C E ω⋅=┈楞次 电磁力矩：┈安培i C M m m ⋅=力矩方程：m m m m m M f J =+⋅ωω& ┈牛顿变量关系：m mb aM E i u ω−−−− 消去中间变量有：a m m m m u k T =+ωω& [][]⎪⎩⎪⎨⎧+⋅=+⋅=传递函数时间函数 C C f R C k C C f R RJ T m e m mm m e m m m（4）X-Y 记录仪（不加内电路）⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⋅=⋅===+Δ⋅==Δll 4p 3m 2am m m m 1a p r k u :k :k :u k T :u k u :u -u u :电桥电路绳轮减速器电动机放大器比较点θθθθθ&&& a m r p u u u u l θθΔ−−−−−−−−−−− 消去中间变量得：a m 321m 4321m u k k k k k k k k k T =++l l l &&&─二阶线性定常微分方程即：a mm 321m m 4321m u T kk k k l T k k k k k l T 1l =++&&&2、 线性系统特性──满足齐次性、可加性 z 线性系统便于分析研究。
z 在实际工程问题中，应尽量将问题化到线性系统范围内研究。
z 非线性元部件微分方程的线性化。
例：某元件输入输出关系如下，导出在工作点0α处的线性化增量方程()ααcos E y 0=解：在0αα=处线性化展开，只取线性项： ()()()()0000sin E y y ααααα−−+= 令 ()()0y -y y αα=Δ 0ααα−=Δ 得 ααΔ⋅−=Δ00sin E y 3、 用拉氏变换解微分方程 （初条件为0） a u l l l 222=++&&& ()()()s2s 2U s L 22s s :L a 2==++()()22s s s 2s L 2++=()()[]s L L t :L -11=−l复习拉普拉斯变换的有关内容1 复数有关概念 （1）复数、复函数 复数 ωσj s += 复函数 ()y x jF F s F += 例：()ωσj 22s s F ++=+=（2）复数模、相角()()xy 2y 2x F F arctgs F F F s F =∠+= （3）复数的共轭 ()y x jF F s F −=（4）解析：若F(s)在s 点的各阶导数都存在，称F(s)在s 点解析。
2 拉氏变换定义()()[]()dt e t f t f L s F st 0−∞⋅==∫⎩⎨⎧：像：像原F(s))t (f 3 几种常见函数的拉氏变换 1. 单位阶跃：()⎩⎨⎧≥<=0t 10 t 0t 1()[]]()s110s 1e s1dt e 1t 1L 0st0st =−−=−=⋅=∞−∞−∫2. 指数函数：⎩⎨⎧≥<=0t e 0t 0)t (fat ()[]as 1)10(a s 1e as 1 dte dt e e )]t (f [L 0t)a s (0t a s stat−=−−−=−−==⋅=∞−−∞−−−∞∫∫3. 正弦函数：⎩⎨⎧≥<=0t t sin 0t 0)t (f ω[][][]22220t )j s (0t )j s (0)t j s ()tj -(s -st 0t j tj 0st s s 2j 2j 1 j s 1j s 12j 1 e j s 1e j s 12j 1 dt e e 2j 1 dt e e e 2j 1 dte t sin )t (f L ωωωωωωωωωωωωωωω+=+⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−−−=−=⋅−=⋅=∞+−∞−−∞+−−∞−∞−∫∫∫4 拉氏变换的几个重要定理（1）线性性质： [])s (bF )s (aF )t (bf )t (af L 2121+=+ （2）微分定理： ()[]()()0f s F s t f L −⋅=′()()()()()()()()stst 0-ststst0f t e dt e df t e f t f t de 0-f 0s f t e dt sF s f 0 ∞∞−−∞∞−∞−′=⋅=⎡⎤=−⎣⎦=+⎡⎤⎣⎦=−=∫∫∫∫证明：左右零初始条件下有：()()()()()()()()()n n n n-1n-2 L f t s F s s f 0s f 0sf 0f 0−⎡⎤′=−−−−−⎣⎦L 进一步：-2n 1()()[]()s F s t f L n n ⋅= z 例1：求()[]t L δ()(t 1t ′=)δQ 解：()[]()[]()1010s1s t 1L t L =−=−⋅=′=∴−δδ z 例2：求[]t cos L ω 解：[]2222s s s s 1t n si L 1t cos ωωωωωωω+=+⋅⋅=′=Q （3）积分定理：()[]()()()0f s1s F s1dt t f L 1-+⋅=∫ （证略）零初始条件下有：()[]()s F s1dt t f L ⋅=∫ 进一步有：{()()()()()()()()0f s 10f s 10f s 1s F s1dt t f L n 21n 1n n nn −−−−++++=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∫∫∫L Lz 例3：求L[t]=? 解：()dt t 1t ∫=Q[]()[]20t s 1t s 1s 1s 1dt t 1L t L =+⋅==∴=∫ z 例4：求⎥⎦⎤⎢⎣⎡2t L 2解：∫=tdt 2t 2Q[]3t 222s 12t s 1s 1s 1tdt L 2t L =⋅+⋅==⎦⎤⎢⎣⎡∴=∫ （4）位移定理实位移定理：()[]()s F e -t f L s ⋅=−ττz 例5：()()s F 0 t 01 t 0 10 t 0t f 求⎪⎩⎪⎨⎧><<<= 解：)1t (1)t (1)t (f −−= ()()s s e 1s1e s1s1s F −−−=⋅−=∴虚位移定理：()[]()a -s F t f e L at =⋅ （证略） z 例6：求[]at e L:解[]()[]as 1e t 1L e L at at −=⋅= z 例7：[]()223s s 223t -53s 3s 5s s cos5t e L +++=+=⋅+→z 例8：⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−)15t (5cos e L )35t (cos e L 2t2t ππ ()()222s 152s s 22s 15-52s 2s e 5s s e +++⋅=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=+−+→ππ （5）终值定理（极限确实存在时）()()()s F s lim f t f lim 0s t ⋅=∞=→∞→证明：由微分定理()()()0f s sF dt e t f st 0−=′−∞∫取极限： ()()()0f s sF lim dt e t f lim0s st0s −=′→−∞→∫()[]()()()()()()0f s sF lim 0f f t f dt 1t f dt lime t f 0s 0s st 0−==−∞==⋅⋅′=′=→∞∞→−∞∫∫右左∴有：证毕()() s sF lim f 0s →=∞z 例9：()()() b s a s s 1s F 求++=()f ∞解： ()()()ab1b s a s s 1slim f 0s =++=∞→z 例10：()0s slim t sin f 220s t =+≠=∞→∞→ωωω拉氏变换附加作业一． 已知f(t),求F(s)=?()1-t T111T1).f(t)1-eF s 11s s s s T T ==−⎛⎞++⎜⎟⎝⎠=()22221s 0.122).f (t)0.03(1cos2t) F(s)0.03s s 2s s 2⎡⎤=−=−=⎢⎥++⎣⎦ s 15222250.866s 2.53).f (t)sin(5t ) F(s)e 3s 5ππ+=+==++s 5()0.4t 222s 0.4s 0.44).f (t)e cos12t F(s)s 0.8s 144.16s 0.412−++===++++ []05).f (t)t 11t t ⎡⎤=⋅−−⎣⎦()()0t s0211t s e F s s −−+=()()()223s 2s 86).F(s) f ? f(0)? f()1, f(0)0s s 2s 2s 4++=∞==∞+++已知求== 二．已知F(s),求f(t)=?()222s 5s 11).F(s) f(t)1cost-5sint s s 1−+==++()4t 24t s2).F(s) f(t)cos(t 14)s 8s 17 e cost 4sint −−==++=−o +t 132113).F(s) f(t)e e s 21s 120s 1008181−−0t19t +==+++− ()2-2t t 23s 2s 84).F(s) f(t)1-2e e s s 2(24)s s −++==++++⋅()()t 32s 221315).F(s) f(t)(t )e e 32412s s 1s 3t −−+==−++++ 5.拉氏反变换 (1) 反变换公式：∫∞+∞−=j j stds e ).s (F j 21)t (f σσπ (2) 查表法——分解部分分式(留数法，待定系数法，试凑法)f(t),)a s (s 1)s (1.F 求例+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−=++=a s 1s 1a 1)a s (s s -a)(s a 1)s (.F 解 []at e 1a1)t (f −−=∴ 微分方程一般形式：r b r b r b r b C C a C a C m 1-m )1-m (1)m (01-n )1-n (1)n (+′+++=+′+++L L)0(:L 设初条件为[][]R(s)b s b s b s b )s (C a s a s a s a sm 1-m 1m 1m 0n 1-n 2-n 21-n 1n++++=+++++−L L)s (A )s (R ).s (B a s a s a s a s )R(s)b s b s b s (b C(s)n1-n 2-n 21-n 1n m 1-m 1m 1m 0=+++++++++=∴−L L )p s ()p s )(p s ()s (R ).s (B n 21−−−=L∑=−=−++−+−+−=n1i ii n n 332211 p s cp s c p s c p s c p s c )s (C L 特征根:p i ∑==++++=∴n1i t p i tp n tp 3tp 2tp 1i n 321e c ec ec ec ec )t (f L模态:e t p i )s (F 的一般表达式为：[]r b r b r b r b C C a C a C m 1-m )1-m (1)m (01-n )1-n (1)n (+′+++=+′+++L L 来自：（I）)m n (a s a s a s a s b s b s b s b )s (A )s (B )s (F n1-n 2-n 21-n 1n m1-m 1m 1m 0>+++++++++==−L L其中分母多项式可以分解因式为：(II))p s ()p s )(p s ()s (A n 21−−−=L的根(特征根)，分两种情形讨论：)s (A p i 为I：无重根时：(依代数定理可以把表示为：) 0)s (A =)s (F∑=−=−++−+−+−=n1i ii n n 332211p s cp s c p s c p s c p s c )s (F L∑==++++=∴n1i t p i tp n tp 3tp 2tp 1i n 321e c ec ec ec ec )t (f L即：若可以定出来，则可得解：而计算公式：i c i c(Ⅲ) )s (F ).p s (lim c i p s i i−=→ ip s 'i )s (A )s (B c ==(Ⅲ′)(说明(Ⅲ)的原理，推导(Ⅲ′) )● 例2：34s s 2s )s (F 2+++= 求?)t (f =解：3s c1s c 3)1)(s (s 2s )s (F 21+++=+++=2131213)1)(s (s 2s )1s (lim c 1s III1=+−+−=++++=−→2113233)1)(s (s 2s )3s (lim c 3s III2=+−+−=++++=−→3s 211s 21)s (F +++=∴ 3t t e 21e 21)t (f −−+=∴● 例3：34s s 55s s )s (F 22++++= ，求?)t (f =解：不是真分式，必须先分解：(可以用长除法)3)1)(s (s 2s 134s s 2s 3)4s (s )s (F 22++++=++++++= 3t t e 21e 21)t ()t (f −−++=∴δ● 例4：j1s c j -1s c j)1j)(s -1(s 3s 22s s 3s )s (F 212++++=++++=+++=解法一：2j j2j)1j)(s -1(s 3s )j -1s (lim c j1s 1+=+++++=+−→2jj-2j)1j)(s -1(s 3s )j 1s (lim c j-1s 2−=++++++=−→j)t1(t )j 1(e 2jj -2e 2j j 2)t (f −−+−−+=∴ []jt-jt t e )j 2(e )j 2(e 2j1−−+=− （t cos j 2e e ,t sin j 2e e jt jt jt jt =+=−−−Q） [])2sint cost (e j 4sint 2cost e 2j1t t+=+=−− 1)1s (21)1s (1s 1)1s (21s 1)1s (3s )s (F 2222++++++=++++=+++=Qt t e .2sint e .cost )t (f −−+=∴虚位移定理解法二：)( sint .2e cost .e )t (f 11)(s 1211)(s 1s 11)(s 21s 11)(s 3s )s (F t t 22222222复位移定理−−+=++++++=++++=+++=II：有重根时： 0)s (A =设为m 阶重根，为单根 .则可表示为：1p n 1m s ,s L +)s (F nn1m 1m 111-m 11-m m 1m p -s c p -s c p -s c )p -(s c )p -(s c )s (F ++++++=++LL其中单根的计算仍由(1)中公式(Ⅲ) (Ⅲ′)来计算.n 1m c ,c L +重根项系数的计算公式：(说明原理)][]]⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧−=−=−=−=→→→→)s (F .)p s (ds d lim 1)!-(m 1c )s (F .)p s (ds d lim j!1c (IV) )s (F .)p s (ds d lim c )s (F .)p s (lim c m 1p s 1-m 1)-(m 1m1p s j(j)j -m m1p s 1-m m 1p s m 1111L L []V)( e c e .c t c t )!2m (c t )!1m (c p -s c p -s c p -s c )p -(s c )p -(s c L )s (F L )t (f t p n 1m i i t p 122m 1-m 1m m n n 1m 1m 111-m 11-m m 1m 11i 1∑+=−−++−−+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++−+−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++==∴L L L●例5 3)(s 1)s(s 2s )s (F 2+++= 求?)t (f =解：3s c s c 1s c 1)(s c )s (F 43122++++++=21)31)(1(213)(s 1)s(s 2s 1)(s lim c 221s IV2−=+−−+−=++++=−→ 43)3(])3)[(2()3(lim 3)(s 1)s(s 2s 1)(s ds d limc 221221s IV1−=++++−+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=−→−→s s s s s s s s 323)(s 1)s(s 2s s.lim c 20s 3=+++=→1213)(s 1)s(s 2s 3).(s lim c 2-3s 4=++++=→ 3s 1.121s 1.321s 1.431)(s 1.21)s (F 2++++−+−=∴3t t t e 12132e 43te 21)t (f −−−++−−=∴3.用拉氏变换方法解微分方程 ● 例 ：u l l r l 222...=++⎪⎩⎪⎨⎧===1(t)(t)u 011r '(0)0）（初始条件：？求=)(1t 解：s2L(s)22s s L 2=++］：［2)2s s(s 2)s(s 22s s 2)2s s(s 2L(S)222+++++=++=－2221)1(11s s 122s 2s s 1++++=+++=s s －－ 22221)1(11)1(1s s 1+++++=s s －－ 1L l(t)1cos t cos t t t e e −−=－：－－1Sin(t 45) 121cos tcos t ttt −=+o je e λ−−±⎧⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎪⎩⎩，特征根：＝－模态 举例说明拉氏变换的用途之一—解线性常微分方程，引出传函概念。