拉普拉斯变换 例题解析

第二章：控制系统的数学模型

§2.1 引言

·系统数学模型－描述系统输入、输出及系统内部变量之间关系的数学表达式。

·建模方法

⎩

⎨⎧实验法（辩识法）机理分析法

·本章所讲的模型形式

⎩⎨⎧复域：传递函数

时域：微分方程

§2.2控制系统时域数学模型

1、 线性元部件、系统微分方程的建立

（1）L-R-C 网络 C r u R i dt

di

L u +⋅+⋅=

↓

c

i C u =⋅& c c c u u C R u C L +′⋅⋅+′′⋅⋅= 11c c c R u u u u r L

LC LC

′′′∴++

= ── 2阶线性定常微分方程 （2）弹簧—阻尼器机械位移系统

分析A、B 点受力情况

02B

0A A

A i 1x k )x x

f()x x (k =−=−∴&& 由 A 1A i 1x k )x x (k =− 解出01

2

i A x k k x x −

=

代入B 等式：02001

2

i x k )x x k k x

f(=−−&&& 0201

2

i x k x k k 1f(x

f ++=⋅&& 得：()i 1021021x fk x k k x

k k f &&=++ ── 一阶线性定常微分方程

（3）电枢控制式直流电动机 电枢回路：b a E i R u +⋅=┈克希霍夫 电枢及电势：m e b C E ω⋅=┈楞次 电磁力矩：┈安培

i C M m m ⋅=力矩方程：m m m m m M f J =+⋅ωω

& ┈牛顿

变量关系：m m

b a

M E i u ω−

−−− 消去中间变量有：

a m m m m u k T =+ωω& [][]⎪⎩

⎪⎨⎧+⋅=+⋅=传递函数时间函数 C C f R C k C C f R R

J T m e m m

m m e m m m

（4）X-Y 记录仪（不加内电路）

⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧⋅=⋅===+Δ⋅==Δl

l 4p 3

m 2a

m m m m 1a p r k u :k :k :u k T :u k u :u -u u :电桥电路绳轮减速器电动机放大器比较点θ

θθθθ&&& a m r p u u u u l θθΔ−−−−−−−−−−− 消去中间变量得：

a m 321m 4321m u k k k k k k k k k T =++l l l &&&─二阶线性定常微分方程

即：a m

m 321m m 4321m u T k

k k k l T k k k k k l T 1l =++&&&

2、 线性系统特性──满足齐次性、可加性 z 线性系统便于分析研究。

z 在实际工程问题中，应尽量将问题化到线性系统范围内研究。 z 非线性元部件微分方程的线性化。

例：某元件输入输出关系如下，导出在工作点0α处的线性化增量方程

()ααcos E y 0=

解：在0αα=处线性化展开，只取线性项： ()()()()0000sin E y y ααααα−−+= 令 ()()0y -y y αα=Δ 0ααα−=Δ 得 ααΔ⋅−=Δ00sin E y 3、 用拉氏变换解微分方程 （初条件为0） a u l l l 222=++&&& ()()()s

2

s 2U s L 22s s :L a 2==++

()()

2

2s s s 2

s L 2

++=

()()[]s L L t :L -11=−l

复习拉普拉斯变换的有关内容

1 复数有关概念 （1）复数、复函数 复数 ωσj s += 复函数 ()y x jF F s F += 例：()ωσj 22s s F ++=+=

（2）复数模、相角

()()x

y 2

y 2x F F arctg

s F F F s F =∠+= （3）复数的共轭 ()y x jF F s F −=

（4）解析：若F(s)在s 点的各阶导数都存在，称F(s)在s 点解析。 2 拉氏变换定义

()()[]()dt e t f t f L s F st 0−∞

⋅==∫⎩

⎨

⎧：像

：像原

F(s))t (f 3 几种常见函数的拉氏变换 1. 单位阶跃：

()⎩⎨

⎧≥<=0

t 10 t 0t 1()[]]

()s

110s 1

e s

1dt e 1t 1L 0

st

0st =−−=

−=

⋅=∞

−∞

−∫

2. 指数函数：

⎩⎨⎧≥<=0

t e 0

t 0)t (f

at ()[]

a

s 1

)10(a s 1e a

s 1 dt

e dt e e )]t (

f [L 0

t

)a s (0

t a s st

at

−=−−−=

−−=

=⋅=∞−−∞

−−−∞

∫∫

3. 正弦函数：

⎩

⎨⎧≥<=0t t sin 0

t 0)t (f ω

[][]

[]

2

2220t )j s (0t )j s (0

)t j s ()t

j -(s -st 0

t j t

j 0st s s 2j 2j 1 j s 1j s 12j 1 e j s 1e j s 12j 1 dt e e 2j 1 dt e e e 2j 1 dt

e t sin )t (

f L ωω

ωωωωωωωωωωωωω+=

+⋅=

⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+−−

−−=−=⋅−=⋅=∞+−∞−−∞

+−−∞−∞

−∫∫

∫

4 拉氏变换的几个重要定理

（1）线性性质： [])s (bF )s (aF )t (bf )t (af L 2121+=+ （2）微分定理： ()[]()()0f s F s t f L −⋅=′

()()

()()()()()()st

st 0

-st

st

st

0f t e dt e df t e f t f t de 0-f 0s f t e dt sF s f 0 ∞

∞

−−∞

∞

−∞−′=⋅=⎡⎤=−⎣⎦=+⎡⎤⎣⎦=−=∫∫∫

∫证明：左右