高中数学《几类不同增长的函数模型》导学案
几类不同增长的函数模型(导)学案 (3)
3．2 函数模型及其应用3．2.1 几类不同增长的函数模型【课标要求】1．掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会其增长快慢；理解直线上升，对数增长，指数爆炸的含义．2．会分析具体的实际问题，建模解决实际问题．【核心扫描】1．利用函数模型解决实际问题．(重点)2．三种函数模型性质的比较．3．在实际应用中选择哪种函数模型．(难点、易混点)新知导学1．函数性质y＝a x(a＞1) y＝log a x(a＞1) y＝x n(n＞0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增图象的变化随x增大逐渐变陡随x增大逐渐变缓随n值而不同2.三种函数的增长速度比较(1)在区间(0，＋∞)上，函数y＝a x(a＞1)，y＝log a x(a＞1)和y＝x n(n＞0)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上．(2)在区间(0，＋∞)上随着x的增大，y＝a x(a＞1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n＞0)的增长速度，而y＝log a x(a＞1)的增长速度则会越来越慢．(3)存在一个x0，使得当x＞x0时，有log a x＜x n＜a x.温馨提示：能用指数型函数f(x)＝ab x＋c(a，b，c为常数，a＞0，b＞1)表达的函数模型，其增长特点是随着自变量x的增大，函数值增大的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”．互动探究探究点1 函数y＝x2与y＝2x在(4，＋∞)上哪一个增长得更快些？提示y＝2x的增长速度远远快于y＝x2的增长速度．探究点2 在区间(0，＋∞)上，当a＞1，n＞0时，是否总有log a x＜x n＜a x成立？提示不是，但总存在x0，使得当a＞1，n＞0，x＞x0时，log a x＜x n＜a x成立．探究点3 当实际问题提供的两个变量的数量关系有怎样的增长规律时，我们选择一次函数模型，对数函数模型，指数函数模型？提示均匀增长，增量恒定时，一般选择一次函数模型，缓慢增长，增量逐渐变小时，一般选择对数函数模型；急剧增长，增量快速增大时，选择指数函数模型.类型一直线型与指数型函数的应用【例1】甲、乙两城市现有人口总数为100万人，甲城市人口的年自然增长率为1.2%，乙城市每年增长人口1.3万．试解答下面的问题：(1)写出两城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；(2)计算10年、20年、30年后两城市的人口总数(精确到0.1万人)；(3)对两城市人口增长情况作出分析．参考数据：(1＋1.2%)10≈1.127，(1＋1.2%)20≈1.269，(1＋1.2%)30≈1.430.[思路探索]分别根据增长率和增长量，建立函数模型，进行数据运算，作出分析判断．解(1)1年后甲城市人口总数为：y甲＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)；2年后甲城市人口总数为：y甲＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2；3年后甲城市人口总数为：y甲＝100×(1＋1.2%)3；……x年后甲城市人口总数y甲＝100×(1＋1.2%)x，乙城市人口总数y乙＝100＋1.3x.(2)10年、20年、10年后20年后30年后甲112.7 126.9 143.0乙113 126 139(3)甲、乙两城市人口都是逐年增长，而甲城市人口增长的速度快些．从中可以体会到，不同的函数增长模型，增长变化存在很大差异．[规律方法] 1.本题涉及到平均增长率的问题，求解可用指数型函数模型表示，通常可以表示为y＝N·(1＋p)x(其中N为原来的基础数，p为增长率，x为时间)的形式．2．在实际中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题，都常用到指数型函数模型．【活学活用1】某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f(t)；(2)进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时，药物对治疗疾病有效．求服药一次治疗疾病的有效时间．解 (1)当t ∈[0,1]时，函数的解析式为y ＝kt. 将M(1,4)代入得k ＝4，∴y ＝4t.当t ∈(1，＋∞)时，函数的解析式为y ＝⎝⎛⎭⎫12t －a. 将(3,1)代入得a ＝3，∴y ＝⎝⎛⎭⎫12t －3. 综上有y ＝f(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧4t ，0≤t ≤1，⎝⎛⎭⎫12t －3，t ＞1.(2)由f(t)≥0.25， 解得116≤t ≤5.所以服药一次治疗疾病的有效时间为5－116＝41516(小时)．类型二 对数型的函数增长模型【例2】 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬．研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以用函数v ＝5log 2Q10表示，其中单位是m/s ，Q 表示燕子的耗氧量．(1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？[思路探索] 由题意可知飞行速度是耗氧量的函数，由函数表达式分别给变量赋值，求出另外的量即可．解 (1)当燕子静止时，它的速度v ＝0，代入题给公式可得0＝5log 2Q10，解得Q ＝10，即燕子静止时的耗氧量是10个单位． (2)将耗氧量Q ＝80代入题给公式得 v ＝5log 28010＝5log 28＝15(m/s)，即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s.[规律方法] 解决此类问题首先要明确各个量所代表的实际意义，然后利用对数运算性质或换底公式求解．【活学活用2】 溶液酸碱度是通过pH 刻画的．pH 的计算公式为pH ＝－lg[H ＋]，其中[H ＋]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．(1)根据对数函数性质及上述pH 的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；(2)已知纯净水中氢离子的浓度为[H ＋]＝10－7摩尔/升，计算纯净水的pH. 解 (1)根据对数的运算性质，有pH ＝－lg[H ＋]＝lg[H ＋]－1.在(0，＋∞)上，随着[H ＋]的增大，[H ＋]－1减小，从而lg [H ＋]－1减小，即pH 减小．所以，随着[H ＋]的增大，pH 减小．(2)当[H ＋]＝10－7时，pH ＝－lg [H ＋]＝－lg10－7＝7，所以纯净水的pH 是7，酸碱度为中性． 类型三 几种函数模型的比较【例3】 某汽车制造商在2013年初公告：随着金融危机的解除，公司计划2013年生产目标定为43万辆．已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：如果我们分别将2010,2011,2012,2013定义为第一、二、三、四年．现在你有两个函数模型：二次函数模型f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，指数函数模型g(x)＝a·b x ＋c(a ≠0，b ＞0，b ≠1)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y 与年份x 的关系？[思路探索] 把点(1,8)，(2,18)，(3,30)代入两个模型求相应曲线→验证x ＝4时，y 值与43的误差→得出结论．解 建立年销量y 与年份x 的函数，可知函数必过点(1,8)，(2,18)，(3,30)． (1)构造二次函数模型f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)， 将点坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝8，4a ＋2b ＋c ＝18，9a ＋3b ＋c ＝30，解得a ＝1，b ＝7，c ＝0，则f(x)＝x 2＋7x ，故f(4)＝44，与计划误差为1. (2)构造指数函数模型g(x)＝a·b x ＋c(a ≠0，b ＞0，b ≠1)， 将点坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝8，ab 2＋c ＝18，ab 3＋c ＝30，解得a ＝1253，b ＝65，c ＝－42.则g(x)＝1253·⎝⎛⎭⎫65x－42，故g(4)＝1253·⎝⎛⎭⎫654－42＝44.4，与计划误差为1.4.由(1)(2)可得，f(x)＝x 2＋7x 模型能更好地反映该公司年销量y 与年份x 的关系． [规律方法] (1)此类问题求解的关键是首先利用待定系数法求出相关函数模型，也就是借助数据信息，得到相关方程，进而求出待定参数．(2)理解“模型能更好反映该公司年销量y与年份x的关系”的含义，在此基础上利用既定值来检验模型的优劣．【活学活用3】函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图．(1)指出C1，C2分别对应图中哪一个函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．解(1)由函数图象特征及变化趋势，知曲线C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，曲线C2对应的函数为f(x)＝lg x.(2)当x∈(0，x1)时，g(x)＞f(x)；当x∈(x1，x2)时，g(x)＜f(x)；当x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞f(x)．函数g(x)＝0.3x－1呈直线增长，函数f(x)随着x的逐渐增大，其函数值变化的越来越慢，为“蜗牛式”增长．方法技巧运用图象特征确定增长型函数模型几种常见的增长型函数增长变化趋势不同，呈直线上升，指数爆炸，“蜗牛式”增长，反映在图象上，通常是观察图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数．【示例】函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；(2)结合函数图象，判断f(8)，g(8)，f(2 012)，g(2 012)的大小．[思路分析](1)随着自变量x的增大，图象位于上方的函数是指数函数y＝2x，另一个函数就是幂函数y＝x3.(2)利用零点存在性定理找出交点所在的区间，然后结合图象比较大小．解(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，曲线C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)∵g(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，f(9)＝512，g(9)＝729，f(10)＝1 024，g(10)＝1 000.∴f(1)＞g(1)，f(2)＜g(2)，f(9)＜g(9)，f(10)＞g(10)．因此1＜x1＜2,9＜x2＜10，从而x1＜8＜x2＜2 012.由图象知，当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x)，则f(8)＜g(8)，当x＞x2时，f(x)＞g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上是增函数，故f(2 012)＞g(2 012)＞g(8)＞f(8)．[题后反思] 1.(1)要熟记基本函数图象的特点，并把握好指数函数、对数函数、幂函数图象的增长特点．(2)结合图象分析图中曲线的特点与区别，联想对应的函数解析式．2．解答题目要步骤完整，需要下总结性结论的，最后一定要点明，以规范步骤.课堂达标1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是()．A．y＝2x B．y＝log2xC．y＝x2D．y＝2x解析指数函数y＝a x，在a＞1时呈爆炸式增长，增长速度最快．答案 D2．(2013·济南高一检测)某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是()．解析设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，∴y＝f(x)的图象大致为D中图象．答案 Dx 0 5 10 15 20 25 30y1 5 130 505 1 130 2 005 3 130 4 505y2 5 94.478 1 785.2 33 733 6.73×105 1.2×107 2.28×108y3 5 30 55 80 105 130 155y4 5 2.310 7 1.429 5 1.140 7 1.046 1 1.015 1 1.005关于x 呈指数型函数变化的变量是________．解析 指数型函数的增长呈“爆炸式”增长，由表中数据，呈指数型变化的变量为y 2. 答案 y 24．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v m/s 和燃料质量M kg 、火箭(除燃料外)质量m kg 的关系是v ＝2 000ln ⎝⎛⎭⎫1＋Mm ，则当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12 km/s.解析 由题意2 000ln ⎝⎛⎭⎫1＋Mm ＝12 000. ∴ln ⎝⎛⎭⎫1＋M m ＝6，从而Mm＝e 6－1. 答案 e 6－15．有一种树木栽植五年后可成材．在栽植后五年内，年增加20%，如果不砍伐，从第六年到第十年，年增长10%，现有两种砍伐方案：甲方案：栽植五年后不砍伐，等到十年后砍伐．乙方案：栽植五年后砍伐重栽，再过五年再砍伐一次． 请计算后回答：十年内哪一个方案可以得到较多的木材？ 解 设树林最初栽植量为a ，甲方案在10年后树木产量为 y 1＝a(1＋20%)5(1＋10%)5＝a(1.2×1.1)5≈4a. 乙方案在10年后树木产量为 y 2＝2a(1＋20%)5＝2a·1.25≈4.98a. y 1－y 2＝4a －4.98a ＜0，因此，乙方案能获得更多的木材(不考虑最初的树苗成本，只按成材的树木计算)．课堂小结三种函数模型的选取(1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型． (2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型． (3)幂函数模型y ＝x n (n ＞0)，则可以描述增长幅度不同的变化：n 值较小(n ≤1)时，增长 较慢；n 值较大(n ＞1)时，增长较快.。
高中数学 3.2.1 几类不同增长的函数模型导学案 新人教A版必修1
(3)一般情况下，y＝ax(a＞1)增长速度越来越快，一般称为爆炸式增长，y＝logax(a＞1)增长会越来越慢，y＝xn(n＞0)介于它们两个之间.
2．(1)①随着x值的增大y值的变化越来越大，所以常选用指数型函数来模拟；②随着x值的增大y值的变化越来越近似为零，所以常用对数型函数模拟；③图形中的点先升后降，所以常选用二次函数模拟；④数据点大致都落在一条直线附近，所以常选用一次函数模拟.
3.2.1几类不同增长的函数模型
班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________
课前预习·预习案
【温馨寄语】
生活的海洋已铺开金色的路，浪花正分列两旁摇动着欢迎的花束。勇敢地去吧，朋友!前进，已吹响出征的海螺；彩霞，正在将鲜花的大旗飞舞……
【学习目标】
【当堂检测】
1．三人赛跑，假设其路过的路程和时间的函数关系分别是 ， ， ，他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是
A.
B.
C.
D.一样快
2．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售800台，则下列函数模型中能准确地反映销售量 与投放市场的月数 之间关系的是
2．集合的表示方法，即运用集合的列举法与描述法，正确表示一些简单的集合
【学习难点】
1．怎样选择数学模型分析解决实际问题
2．难点是集合特征性质的概念，以及运用特征性质描述法表示集合
【自主学习】
1．三类增长型函数图象性质的变化特征
2．三类增长型函数之间增长速度的比较
(1)指数函数 和幂函数 在区间(0，+∞)上，由于 的增长速度 的增长速度，因而总存在一个实数 ，当 时，就会有_____________( ， ).
高一数学人教版必修1导学案设计 ：3.2.1---几类不同增长的函数模型(无答案)
第三章 函数的应用 3.2 函数模型及其应用 §3.2.1 几类不同增长的函数模型【学习目标】1.认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长。
2.应用函数模型解决简单问题。
【预习提纲】1.请你在同一直角坐标系中做出三个函数xy 2=，2x y =，x y 2log =的图象。
观察：在图中分别标出使不等式222log x x x<<，xx x 2log 22<<成立的自变量x 的取值范围。
我们知道，对数函数)1(log >=a x y a ，指数函数 与幂函数 在区间),0(+∞上都是增函数，这三类函数的增长有差异吗？结合上面的图像进行探究。
2.三个变量321,,y y y 随着变量x 的变化情况如下表：则与x 呈对数型函数、呈指数型函数、呈幂函数型函数变化的变量依次是（ ）A. 321,,y y yB. 312,,y y yC. 123,,y y yD. 213,,y y y3.某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个），经3小时后，这种细菌可由1个分裂 成 。
yOx4.假设银行1年定期的年利率为%2。
某人为观看2008年的奥运会，从2001年元旦开始在银行存款1万元，存期1年，第二年元旦再把1万元和前一年的存款本利和一起作为本金再存1年定期存款，以后每年元旦都这样存款，则到2007年年底，这个人的银行存款共有（精确到0.01万元） 。
【例题精讲】例1. 按复利计算利率的一种储蓄，本金为a 元，每期利率为r ，设本利和为y ，存期为x ，写出本利和y 随x 的变化的函数式。
如果存入本金1000元，每期利率%25.2，试计算5期后的本利和是多少？例2.某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售利润x （单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的%25.现有三个奖励模型：xy x y x y 002.1,1log ,25.07=+==，其中哪个模型能符合公司的要求？【归纳点拨】 1.复利及应用复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算做本金，再计算下一期的利息。
《3.2.1几类不同增长的函数模型》导学案1
《3.2.1几类不同增长的函数模型》导学案1学习目标1．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性．2．能够借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差异性；收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)，了解函数模型的广泛应用．学习过程1．三种函数模型的性质2.a(1)对于指数函数y ＝a x 和幂函数y ＝x n(n >0)在区间(0，＋∞)上，无论n 比a 大多少，尽管在x 的一定范围内，a x 会小于x n，但由于____________的增长快于____________的增长，因此总存在一个x 0，当x >x 0时，就会有____________．(2)对于对数函数y ＝log a x (a >1)和幂函数y ＝x n(n >0)，在区间(0，＋∞)上，尽管在x 的一定范围内，log a x 可能会大于x n，但由于____________的增长慢于________的增长，因此总存在一个x 0，当x >x 0时，就会有____________．对点讲练一次函数模型【例1】为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x (分)与通话费y (元)的关系如图所示．(1)分别求出通话费y1，y2与通话时间x之间的函数关系式；(2)请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜．变式迁移1商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个定价5元，该店推出两种优惠办法：(1)买一个茶壶赠送一个茶杯；(2)按总价的92%付款．顾客只能任选其一．某顾客需购茶壶4个，茶杯若干个(不少于4个)，若购买茶杯数为x个，付款数为y(元)，试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数关系式，并讨论两种办法哪一种更省钱．指数函数模型【例2】某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)变式迁移22004年全国人口普查时，我国人口数为13亿，如果从2004年开始按1%的人口年增长率来控制人口增长，那么，大约经过多少年我国人口数达到18亿？对数函数模型的应用【例3】 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝5log 2Q10，单位是m /s ，其中Q 表示燕子的耗氧量．(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？变式迁移3 在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v (m /s )和燃料的质量M (kg )、火箭(除燃料外)的质量m (kg )的关系v ＝2 000ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋M m .当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度可达12 km /s ？课堂小结1．根据实际问题提供的两个变量的数量关系可构建和选择正确的函数模型．同时，要注意利用函数图象的直观性，来确定适合题意的函数模型．2．常见的函数模型及增长特点(1)直线y ＝kx ＋b (k >0)模型，其增长特点是直线上升； (2)对数y ＝log a x (a >1)模型，其增长缓慢； (3)指数y ＝a x(a >1)模型，其增长迅速． 课时作业一、选择题1．在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上年增长10.4%，专家预测经过x 年可能增长到原来的y 倍，则函数y ＝f (x )的图象大致为( )2．能使不等式log2x<x2<2x成立的x的取值范围是( ) A．(0，＋∞) B．(2，＋∞) C．(－∞，2) D．(0，2)∪(4，＋∞) 3．下列函数中随x的增大而增长速度最快的是( )A．y＝1100e x B．y＝100ln xC．y＝x100D．y＝100·2x4．已知镭每经过100年衰变后剩留质量是原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留质量为y，则x与y之间的关系为( )A．y＝0.9576x B．y＝0.9576x100C．y＝1－0.0424x100D．y＝⎝⎛⎭⎪⎫0.957 6100x5．某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个)，这种细菌由1个繁殖成4096个需经过( )A．12小时B．4小时C．3小时D．2小时二、填空题6. 某种产品市场销量情况如图所示，其中：l1表示产品各年产量的变化规律；l2表示产品各年的销售情况，下列叙述：①产品产量、销量均以直线上升，仍可按原生产计划进行；②产品已经出现了供大于求的情况，价格将下跌；③产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销量；④产品的产量、销量均以一定的年增长率增加．你认为较合理的是________．(填序号)7．三个变量y1、y2、y3随变量x的变化情况如下表：其中x ，呈幂函数型变化的变量是______．8. 如图所示，由桶1向桶2输水，开始时，桶1中有a L 水，桶2中无水，t 分钟后，桶1中剩余水y 1 L 满足函数关系式y ＝ae －nt，那么桶2中的水y 2 L 满足函数关系式y ＝a －ae －nt，假设经过5分钟，桶1和桶2中的水一样多，则再过________分钟，桶1中的水只有a8 L .三、解答题9．某公司预投资100万元，有两种投资可供选择：一种是年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元)10．某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？。
高中数学必修一《几类不同增长的函数模型》教案设计
3.2.1 几类不同增长的函数模型[学习目标] 1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会其增长快慢；理解直线上升，对数增长，指数爆炸的含义.2.会分析具体的实际问题，建模解决实际问题.知识点一 三种函数模型的性质知识点二 三种函数的增长速度比较(1)在区间(0，＋∞)上，函数y ＝a x (a ＞1)，y ＝log a x (a ＞1)和y ＝x n (n ＞0)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上.(2)在区间(0，＋∞)上随着x 的增大，y ＝a x (a ＞1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y ＝x n (n ＞0)的增长速度，而y ＝log a x (a ＞1)的增长速度则会越来越慢. (3)存在一个x 0，使得当x ＞x 0时，有log a x ＜x n ＜a x .题型一 函数模型的增长差异例1 (1)当x 越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( ) A.y ＝10 000x B.y ＝log 2x C.y ＝x 1 000D.y ＝⎝⎛⎭⎫e 2x(2)四个变量y 1，y 2，y 3，y 4随变量x 变化的数据如下表：答案 (1)D (2)y 2解析 (1)由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x 越来越大时，函数y ＝⎝⎛⎭⎫e 2x增长速度最快.(2)以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的.从表格中可以看出，四个变量y 1，y 2，y 3，y 4均是从2开始变化，变量y 1，y 2，y 3，y 4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y 2的增长速度最快，可知变量y 2关于x 呈指数函数变化.反思与感悟 在区间(0，＋∞)上，尽管函数y ＝a x (a ＞1)，y ＝log a x (a ＞1)和y ＝x n (n ＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x 的增大，y ＝a x (a ＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y ＝x n (n ＞0)的增长速度，而y ＝log a x (a ＞1)的增长速度则会越来越慢，因此总会存在一个x 0，当x ＞x 0时，就有log a x ＜x n ＜a x . 跟踪训练1 下列函数中，随x 增大而增大速度最快的是( ) A.2 014ln x B.y ＝x 2 014 C.y ＝x2 014D.y ＝2 014·2x答案 D解析 由于指数函数的增长是爆炸式增长，则当x 越来越大时，函数y ＝2 014·2x 的增长速度最快.故选D.题型二 几种函数模型的比较例2 某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本y (单位：元/102kg)与上市时间x (单位：天)的数据如下表：(1)y 与上市时间x 的变化关系：y ＝ax ＋b ，y ＝ax 2＋bx ＋c ， y ＝a ·b x ，y ＝a log a x .(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低的上市天数及最低种植成本. 解 (1)由表格中数据可知，种植成本不是常函数，∴a ≠0，而此时y ＝ax ＋b ，y ＝a ·b x ，y ＝a log a x 均为单调函数， 与表中数据不符，因此y ＝ax 2＋bx ＋c ， 将三组数据代入得⎩⎪⎨⎪⎧2 500a ＋50b ＋c ＝150，12 100a ＋110b ＋c ＝108，62 500a ＋250b ＋c ＝150，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1200，b ＝－32，c ＝4252.∴描述西红柿种植成本y 与上市时间x 的关系为 y ＝1200x 2－32x ＋4252. (2)当x ＝150时，y min ＝100(元/102kg).反思与感悟 1.此类问题求解的关键是首先利用待定系数法求出相关函数模型，也就是借助数据信息，得到相关方程，进而求出待定参数.2.函数模型的选择与数据的拟合是数学建模中最核心的内容，解题的关键在于通过对已知数据的分析，得出重要信息，根据解题积累的经验，从已有的各类型函数中选择模拟，进行数据的拟合.跟踪训练2 某汽车制造商在2013年初公告：随着金融危机的解除，公司计划2013年生产目标定为43万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，指数函数模型g (x )＝a ·b x ＋c (a ≠0，b ＞0，b ≠1)，哪个模型能更好地反映该公司年产量y 与年份x 的关系？解 建立年产量y 与年份x 的函数，可知函数必过点(1,8)，(2,18)，(3,30). (1)构造二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 将点坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝8，4a ＋2b ＋c ＝18，9a ＋3b ＋c ＝30，解得a ＝1，b ＝7，c ＝0，则f (x )＝x 2＋7x ， 故f (4)＝44，与计划误差为1.(2)构造指数函数模型g (x )＝a ·b x ＋c (a ≠0，b ＞0，b ≠1)，将点坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝8，ab 2＋c ＝18，ab 3＋c ＝30，解得a ＝1253，b ＝65，c ＝－42.则g (x )＝1253·⎝⎛⎭⎫65x－42，故g (4)＝1253·⎝⎛⎭⎫654－42＝44.4，与计划误差为1.4.由(1)(2)可得，f (x )＝x 2＋7x 模型能更好地反映该公司年产量y 与年份x 的关系.对几种函数的增长趋势把握不准致误例3 甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，其路程f i (x )(i ＝1,2,3,4)关于时间x (x ≥0)的函数关系式分别为f 1(x )＝2x －1，f 2(x )＝x 2，f 3(x )＝x ，f 4(x )＝log 2(x ＋1).有以下结论：①当x >1时，甲走在最前面； ②当x >1时，乙走在最前面；③当0<x <1时，丁走在最前面，当x >1时，丁走在最后面； ④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面； ⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲. 其中，正确结论的序号为________.解析 四个函数的图象如图所示，根据图象易知，③④⑤正确.答案 ③④⑤纠错心得 解决这类问题可以作出图象，根据图象特征使问题得解.跟踪训练3 下面对函数f (x )＝log 21x ，g (x )＝(12)x与h (x )＝x 21-在区间(0，＋∞)上的衰减情况的说法正确的是( )A.f (x )衰减速度越来越慢，g (x )衰减速度越来越快，h (x )衰减速度越来越慢B.f (x )衰减速度越来越快，g (x )衰减速度越来越慢，h (x )衰减速度越来越快C.f (x )衰减速度越来越慢，g (x )衰减速度越来越慢，h (x )衰减速度越来越慢D.f (x )衰减速度越来越快，g (x )衰减速度越来越快，h (x )衰减速度越来越快 答案 C解析 函数f (x )＝log 21x ，g (x )＝(12)x与h (x )＝x 21-在区间(0，＋∞)上的大致图象如图所示.观察图象，可知函数f (x )的图象在区间(0,1)上衰减较快，但衰减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，衰减较慢，且衰减速度越来越慢.同样，函数g (x )的图象在区间(0，＋∞)上，衰减较慢，且衰减速度越来越慢.函数h (x )的图象在区间(0,1)上衰减较快，但衰减速度越来越慢；在区间(1，＋∞)上，衰减较慢，且衰减速度越来越慢，故选C.1.当x 越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应是( ) A.y ＝3x B.y ＝log 3x C.y ＝x 3 D.y ＝3x 答案 D解析 几种函数模型中，指数函数增长最快，故选D. 2.当a >1时，有下列结论：①指数函数y ＝a x ，当a 越大时，其函数值的增长越快； ②指数函数y ＝a x ，当a 越小时，其函数值的增长越快； ③对数函数y ＝log a x ，当a 越大时，其函数值的增长越快； ④对数函数y ＝log a x ，当a 越小时，其函数值的增长越快. 其中正确的结论是( )A.①③B.①④C.②③D.②④ 答案 B3.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x 倍，需经过y 年，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )答案 D解析 设该林区的森林原有蓄积量为a ， 由题意，ax ＝a (1＋0.104)y ，故y ＝log 1.104x (x ≥1)， ∴y ＝f (x )的图象大致为D 中图象.4.当2＜x ＜4时，2x ，x 2，log 2x 的大小关系是( ) A.2x ＞x 2＞log 2x B.x 2＞2x ＞log 2x C.2x ＞log 2x ＞x 2 D.x 2＞log 2x ＞2x答案 B解析 方法一 在同一平面直角坐标系中分别画出函数y ＝log 2x ，y ＝x 2，y ＝2x 在区间(2,4)上从上往下依次是y ＝x 2，y ＝2x ，y ＝log 2x 的图象，所以x 2＞2x ＞log 2x .方法二 比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法.可取x ＝3，经检验易知选B.5.某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为___________________. 答案 y ＝－14x ＋50(0＜x ＜200)解析 设解析式为y ＝kx ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧30＝k ×80＋b ，20＝k ×120＋b ，解得k ＝－14，b ＝50，∴y ＝－14x ＋50(0＜x ＜200).三种函数模型的选取(1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型.(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型. (3)幂函数模型y ＝x n (n ＞0)，则可以描述增长幅度不同的变化：n 值较小(n ≤1)时，增长较慢；n 值较大(n ＞1)时，增长较快.一、选择题1.下列函数中，增长速度最慢的是( ) A.y ＝6x B.y ＝log 6x C.y ＝x 6 D.y ＝6x 答案 B解析 对数函数增长的速度越来越慢，故选B.2.今年小王用7 200元买了一台笔记本电脑，由于电子技术的飞速发展，计算机成本不断降低，每隔一年这种笔记本电脑的价格降低13，则三年后这种笔记本的价格是( )A.7 200×(13)3B.7 200×(23)3C.7 200×(13)2D.7 200×(23)2答案 B解析 由于小王用7 200元买了一台笔记本电脑，每隔一年这种笔记本电脑的价格降低13，故一年后，这种笔记本电脑的价格为7 200－7 200×13＝7 200×23，两年后，价格为7 200×23×(1－13)＝7 200×(23)2，三年后这种笔记本电脑的价格为7 200×(23)3.3.如图给出了红豆生长时间t (月)与枝数y (枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是( )A.指数函数：y ＝2tB.对数函数：y ＝log 2tC.幂函数：y ＝t 3D.二次函数：y ＝2t 2答案 A解析 由题中图象可知，该函数模型为指数函数.4.某种动物繁殖数量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 2(x ＋1)，设这种动物第一年有100只，则到第7年它们发展到( ) A.300只 B.400只 C.500只 D.600只答案 A解析 由已知第一年有100只，得a ＝100.将a ＝100，x ＝7代入y ＝a log 2(x ＋1)， 得y ＝300.5.向高为H 的水瓶内注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是( )答案 B解析 取OH 的中点(如图)E 作h 轴的垂线，由图知当水深h 达到容量一半时，体积V 大于一半.易知B 符合题意.6.若x ∈(1,2)，则下列结论正确的是( ) A.2x ＞x 21＞lg x B.2x ＞lg x ＞x 21 C.x 21＞2x ＞lg x D.x 21＞lg x ＞2x答案 A解析 ∵x ∈(1,2)，∴2x ＞2.∴x 21∈(1，2)，lg x ∈(0,1).∴2x ＞x 21＞lg x . 二、填空题7.三个变量y 1、y 2、y 3随变量x 的变化情况如表：x 1.00 3.00 5.00 7.00 9.00 11.00 y 1 5 135 625 1 715 3 645 6 655 y 2 5 29 245 2 189 19 685 177 149 y 35.006.106.616.957.207.40其中x 呈对数函数型变化的变量是________，呈指数函数型变化的变量是________，呈幂函数型变化的变量是________. 答案 y 3 y 2 y 1解析 根据三种模型的变化特点，观察表中数据可知，y 2随着x 的增大而迅速增加，呈指数函数型变化，y 3随着x 的增大而增大，但变化缓慢，呈对数函数型变化，y 1相对于y 2的变化要慢一些，呈幂函数型变化.8.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v m/s 和燃料质量M kg 、火箭(除燃料外)质量m kg 的关系是v ＝2 000ln ⎝⎛⎭⎫1＋Mm ，则当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12 km/s. 答案 e 6－1解析 由题意得2 000ln ⎝⎛⎭⎫1＋Mm ＝12 000. ∴ln ⎝⎛⎭⎫1＋M m ＝6，从而Mm＝e 6－1. 9.若a >1，n >0，那么当x 足够大时，a x ，x n ，log a x 中最大的是________. 答案 a x解析 由指数函数、幂函数和对数函数增长快慢的差别易知a x >x n >log a x . 10.如图所示的是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的残留量y 与净化时间t (月)的近似函数关系：y ＝a t (t ≥0，a >0且a ≠1)的图象.有以下叙述：①第4个月时，残留量就会低于15；②每月减少的有害物质量都相等；③若残留量为12，14，18时，所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3，则t 1＋t 2＝t 3.其中所有正确叙述的序号是________. 答案 ①③解析 根据题意，函数的图象经过点(2，49)，故函数为y ＝(23)t .易知①③正确.三、解答题11.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.记鲑鱼的游速为v (m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q ，研究中发现v 与log 3Q100成正比，且当Q ＝900时，v ＝1.(1)求出v 关于Q 的函数解析式；(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s 时耗氧量的单位数. 解 (1)设v ＝k ·log 3Q100，∵当Q ＝900时，v ＝1，∴1＝k ·log 3900100，∴k ＝12，∴v 关于Q 的函数解析式为v ＝12log 3Q100.(2)令v ＝1.5，则1.5＝12log 3Q100，∴Q ＝2 700，∴一条鲑鱼的游速是1.5 m/s 时耗氧量为2 700个单位.12.现有某种细胞100个，每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，且每次只有占总数12的细胞分裂，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？(参考数据：lg 3＝0.477，lg 2＝0.301)解 现有细胞100个，先考虑经过1,2,3,4个小时后的细胞总数： 1小时后，细胞总数为12×100＋12×100×2＝32×100(个)；2小时后，细胞总数为12×32×100＋12×32×100×2＝94×100(个)；3小时后，细胞总数为12×94×100＋12×94×100×2＝278×100(个)；4小时后，细胞总数为12×278×100＋12×278×100×2＝8116×100(个).可归纳出，细胞总数y (个)与时间x (小时)之间的函数关系为y ＝100×(32)x ，x ∈N *.由100×(32)x >1010，得(32)x >108，两边同时取以10为底的对数，得x lg 32>8，∴x >8lg 3－lg 2.∵8lg 3－lg 2＝80.477－0.301≈45.45，∴x >45.45.故经过46小时，细胞总数超过1010个.13.我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系.声音的强度用瓦/米2(W/m 2)表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L 1表示，它们满足以下公式：L 1＝10lg II 0(单位为分贝，L 1≥0，其中I 0＝1×10－12，是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端).回答下列问题：(1)树叶沙沙声的强度是1×10－12 W /m 2，耳语的强度是1×10－10W/m 2，恬静的无线电广播的强度是1×10－8 W/m 2，试分别求出它们的强度水平；(2)某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，试求声音强度I 的范围为多少？解 (1)由题意知：树叶沙沙声的强度水平为L 2＝10lg I 2I 0＝10lg 1＝0(分贝)； 耳语的强度水平为L 3＝10lg I 3I 0＝10lg 102＝20(分贝)； 恬静的无线电广播的强度水平为L 4＝10lg I 4I 0＝10lg 104＝40(分贝). (2)由题意知0≤L 1＜50，即0≤10lg I I 0＜50， 所以1≤I I 0＜105， 即1×10－12≤I ＜1×10－7.所以新建的安静小区的声音强度I 的范围为[1×10－12，1×10－7).。
人教版高一数学上册《几类不同增长的函数模型》导学案
几类不同增长的函数模型学案学习过程一、复习提问写出指数函数、对数函数、幂函数的一般形式，你知道它们的变化规律吗？二、新课例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的 回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4请问，你会选择哪种投资方案？ 解：设第x 天所得回报是y 元，则各方案的函数模型为： 方案一：y ＝40（x ∈N ＋）方案二：y ＝10x （x ∈N ＋）方案三：y ＝0.4×12 x （x ∈N ＋）方案一是常数函数，方案二是增函数，呈直线型增长，方案三也是增函数，呈指数型增长，增长速度比其它2个方案快得多，称为“指数爆炸”。
投资5天以下选方案一，投资5――8天选方案二，投资8天以上选方案三。
再看累计回报数表P114。
投资8天以下（不含8天），应选择第一种投资方案， 投资8－－10天，应选择第二种投资方案；投资11天（含11天）以上，则应选择第 三种方案。
例2、某公司为了实现1000万元利润目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方 案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销 售利润x （单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过 利润的25%。
现有三个奖励模型：y ＝0.25x ，y ＝x2log ＋1，y ＝1.002x 。
其中哪个模型 能符合公司的要求？分析：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数 不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公司总的利润目标为1000万元，所以部门销售利润一般不会超过公司总的利润，于是，只需在区间［10,1000］上，检验三个模型是否符合公司要求即可。
不妨先作函数图象，通过观察函数的图象，得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果。
探究函数y ＝x 2，y ＝2x ，y ＝x的增长速度。
2016年秋季学期新人教A版高中必修一3.2.1 几类不同增长的函数模型导学案
3.2.1 几类不同增长的函数模型[学习目标] 1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会其增长快慢；理解直线上升，对数增长，指数爆炸的含义.2.会分析具体的实际问题，建模解决实际问题.知识点一 三种函数模型的性质知识点二 三种函数的增长速度比较(1)在区间(0，＋∞)上，函数y ＝a x (a ＞1)，y ＝log a x (a ＞1)和y ＝x n (n ＞0)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上.(2)在区间(0，＋∞)上随着x 的增大，y ＝a x (a ＞1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y ＝x n (n ＞0)的增长速度，而y ＝log a x (a ＞1)的增长速度则会越来越慢. (3)存在一个x 0，使得当x ＞x 0时，有log a x ＜x n ＜a x .题型一 函数模型的增长差异例1 (1)当x 越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( ) A.y ＝10 000x B.y ＝log 2x C.y ＝x 1 000D.y ＝⎝⎛⎭⎫e 2x(2)四个变量y 1，y 2，y 3，y 4随变量x 变化的数据如下表：答案 (1)D (2)y 2解析 (1)由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x 越来越大时，函数y ＝⎝⎛⎭⎫e 2x增长速度最快.(2)以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的.从表格中可以看出，四个变量y 1，y 2，y 3，y 4均是从2开始变化，变量y 1，y 2，y 3，y 4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y 2的增长速度最快，可知变量y 2关于x 呈指数函数变化.反思与感悟 在区间(0，＋∞)上，尽管函数y ＝a x (a ＞1)，y ＝log a x (a ＞1)和y ＝x n (n ＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x 的增大，y ＝a x (a ＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y ＝x n (n ＞0)的增长速度，而y ＝log a x (a ＞1)的增长速度则会越来越慢，因此总会存在一个x 0，当x ＞x 0时，就有log a x ＜x n ＜a x . 跟踪训练1 下列函数中，随x 增大而增大速度最快的是( ) A.2 014ln x B.y ＝x 2 014 C.y ＝x2 014D.y ＝2 014·2x答案 D解析 由于指数函数的增长是爆炸式增长，则当x 越来越大时，函数y ＝2 014·2x 的增长速度最快.故选D.题型二 几种函数模型的比较例2 某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本y (单位：元/102kg)与上市时间x (单位：天)的数据如下表：(1)y 与上市时间x 的变化关系：y ＝ax ＋b ，y ＝ax 2＋bx ＋c ， y ＝a ·b x ，y ＝a log a x .(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低的上市天数及最低种植成本. 解 (1)由表格中数据可知，种植成本不是常函数，∴a ≠0，而此时y ＝ax ＋b ，y ＝a ·b x ，y ＝a log a x 均为单调函数， 与表中数据不符，因此y ＝ax 2＋bx ＋c ， 将三组数据代入得⎩⎪⎨⎪⎧2 500a ＋50b ＋c ＝150，12 100a ＋110b ＋c ＝108，62 500a ＋250b ＋c ＝150，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1200，b ＝－32，c ＝4252.∴描述西红柿种植成本y 与上市时间x 的关系为 y ＝1200x 2－32x ＋4252. (2)当x ＝150时，y min ＝100(元/102kg).反思与感悟 1.此类问题求解的关键是首先利用待定系数法求出相关函数模型，也就是借助数据信息，得到相关方程，进而求出待定参数.2.函数模型的选择与数据的拟合是数学建模中最核心的内容，解题的关键在于通过对已知数据的分析，得出重要信息，根据解题积累的经验，从已有的各类型函数中选择模拟，进行数据的拟合.跟踪训练2 某汽车制造商在2013年初公告：随着金融危机的解除，公司计划2013年生产目标定为43万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，指数函数模型g (x )＝a ·b x ＋c (a ≠0，b ＞0，b ≠1)，哪个模型能更好地反映该公司年产量y 与年份x 的关系？解 建立年产量y 与年份x 的函数，可知函数必过点(1,8)，(2,18)，(3,30). (1)构造二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 将点坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝8，4a ＋2b ＋c ＝18，9a ＋3b ＋c ＝30，解得a ＝1，b ＝7，c ＝0，则f (x )＝x 2＋7x ， 故f (4)＝44，与计划误差为1.(2)构造指数函数模型g (x )＝a ·b x ＋c (a ≠0，b ＞0，b ≠1)，将点坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝8，ab 2＋c ＝18，ab 3＋c ＝30，解得a ＝1253，b ＝65，c ＝－42.则g (x )＝1253·⎝⎛⎭⎫65x－42，故g (4)＝1253·⎝⎛⎭⎫654－42＝44.4，与计划误差为1.4.由(1)(2)可得，f (x )＝x 2＋7x 模型能更好地反映该公司年产量y 与年份x 的关系.对几种函数的增长趋势把握不准致误例3 甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，其路程f i (x )(i ＝1,2,3,4)关于时间x (x ≥0)的函数关系式分别为f 1(x )＝2x －1，f 2(x )＝x 2，f 3(x )＝x ，f 4(x )＝log 2(x ＋1).有以下结论：①当x >1时，甲走在最前面； ②当x >1时，乙走在最前面；③当0<x <1时，丁走在最前面，当x >1时，丁走在最后面； ④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面； ⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲. 其中，正确结论的序号为________.解析 四个函数的图象如图所示，根据图象易知，③④⑤正确.答案 ③④⑤纠错心得 解决这类问题可以作出图象，根据图象特征使问题得解.跟踪训练3 下面对函数f (x )＝log 21x ，g (x )＝(12)x 与h (x )＝x 21-在区间(0，＋∞)上的衰减情况的说法正确的是( )A.f (x )衰减速度越来越慢，g (x )衰减速度越来越快，h (x )衰减速度越来越慢B.f (x )衰减速度越来越快，g (x )衰减速度越来越慢，h (x )衰减速度越来越快C.f (x )衰减速度越来越慢，g (x )衰减速度越来越慢，h (x )衰减速度越来越慢D.f (x )衰减速度越来越快，g (x )衰减速度越来越快，h (x )衰减速度越来越快 答案 C解析 函数f (x )＝log 21x ，g (x )＝(12)x与h (x )＝x 21-在区间(0，＋∞)上的大致图象如图所示.观察图象，可知函数f (x )的图象在区间(0,1)上衰减较快，但衰减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，衰减较慢，且衰减速度越来越慢.同样，函数g (x )的图象在区间(0，＋∞)上，衰减较慢，且衰减速度越来越慢.函数h (x )的图象在区间(0,1)上衰减较快，但衰减速度越来越慢；在区间(1，＋∞)上，衰减较慢，且衰减速度越来越慢，故选C.1.当x 越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应是( ) A.y ＝3x B.y ＝log 3x C.y ＝x 3 D.y ＝3x 答案 D解析 几种函数模型中，指数函数增长最快，故选D. 2.当a >1时，有下列结论：①指数函数y ＝a x ，当a 越大时，其函数值的增长越快； ②指数函数y ＝a x ，当a 越小时，其函数值的增长越快； ③对数函数y ＝log a x ，当a 越大时，其函数值的增长越快； ④对数函数y ＝log a x ，当a 越小时，其函数值的增长越快. 其中正确的结论是( )A.①③B.①④C.②③D.②④ 答案 B3.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x 倍，需经过y 年，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )答案 D解析 设该林区的森林原有蓄积量为a ， 由题意，ax ＝a (1＋0.104)y ，故y ＝log 1.104x (x ≥1)， ∴y ＝f (x )的图象大致为D 中图象.4.当2＜x ＜4时，2x ，x 2，log 2x 的大小关系是( ) A.2x ＞x 2＞log 2x B.x 2＞2x ＞log 2x C.2x ＞log 2x ＞x 2 D.x 2＞log 2x ＞2x答案 B解析 方法一 在同一平面直角坐标系中分别画出函数y ＝log 2x ，y ＝x 2，y ＝2x 在区间(2,4)上从上往下依次是y ＝x 2，y ＝2x ，y ＝log 2x 的图象，所以x 2＞2x ＞log 2x .方法二 比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法.可取x ＝3，经检验易知选B.5.某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为___________________. 答案 y ＝－14x ＋50(0＜x ＜200)解析 设解析式为y ＝kx ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧30＝k ×80＋b ，20＝k ×120＋b ，解得k ＝－14，b ＝50，∴y ＝－14x ＋50(0＜x ＜200).三种函数模型的选取(1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型.(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型. (3)幂函数模型y ＝x n (n ＞0)，则可以描述增长幅度不同的变化：n 值较小(n ≤1)时，增长较慢；n 值较大(n ＞1)时，增长较快.一、选择题1.下列函数中，增长速度最慢的是( ) A.y ＝6x B.y ＝log 6x C.y ＝x 6 D.y ＝6x 答案 B解析 对数函数增长的速度越来越慢，故选B.2.今年小王用7 200元买了一台笔记本电脑，由于电子技术的飞速发展，计算机成本不断降低，每隔一年这种笔记本电脑的价格降低13，则三年后这种笔记本的价格是( )A.7 200×(13)3B.7 200×(23)3C.7 200×(13)2D.7 200×(23)2答案 B解析 由于小王用7 200元买了一台笔记本电脑，每隔一年这种笔记本电脑的价格降低13，故一年后，这种笔记本电脑的价格为7 200－7 200×13＝7 200×23，两年后，价格为7 200×23×(1－13)＝7 200×(23)2，三年后这种笔记本电脑的价格为7 200×(23)3.3.如图给出了红豆生长时间t (月)与枝数y (枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是( )A.指数函数：y ＝2tB.对数函数：y ＝log 2tC.幂函数：y ＝t 3D.二次函数：y ＝2t 2答案 A解析 由题中图象可知，该函数模型为指数函数.4.某种动物繁殖数量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 2(x ＋1)，设这种动物第一年有100只，则到第7年它们发展到( ) A.300只 B.400只 C.500只 D.600只答案 A解析 由已知第一年有100只，得a ＝100.将a ＝100，x ＝7代入y ＝a log 2(x ＋1)， 得y ＝300.5.向高为H 的水瓶内注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是( )答案 B解析 取OH 的中点(如图)E 作h 轴的垂线，由图知当水深h 达到容量一半时，体积V 大于一半.易知B 符合题意.6.若x ∈(1,2)，则下列结论正确的是( ) A.2x ＞x 21＞lg x B.2x ＞lg x ＞x 21 C.x 21＞2x＞lg x D.x 21＞lg x ＞2x答案 A解析 ∵x ∈(1,2)，∴2x ＞2.∴x 21∈(1，2)，lg x ∈(0,1).∴2x ＞x 21＞lg x . 二、填空题7.三个变量y 1、y 2、y 3随变量x 的变化情况如表：其中x 呈对数函数型变化的变量是________，呈指数函数型变化的变量是________，呈幂函数型变化的变量是________. 答案 y 3 y 2 y 1解析 根据三种模型的变化特点，观察表中数据可知，y 2随着x 的增大而迅速增加，呈指数函数型变化，y 3随着x 的增大而增大，但变化缓慢，呈对数函数型变化，y 1相对于y 2的变化要慢一些，呈幂函数型变化.8.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v m/s 和燃料质量M kg 、火箭(除燃料外)质量m kg 的关系是v ＝2 000ln ⎝⎛⎭⎫1＋Mm ，则当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12 km/s. 答案 e 6－1解析 由题意得2 000ln ⎝⎛⎭⎫1＋Mm ＝12 000. ∴ln ⎝⎛⎭⎫1＋M m ＝6，从而Mm＝e 6－1. 9.若a >1，n >0，那么当x 足够大时，a x ，x n ，log a x 中最大的是________. 答案 a x解析 由指数函数、幂函数和对数函数增长快慢的差别易知a x >x n >log a x . 10.如图所示的是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的残留量y 与净化时间t (月)的近似函数关系：y ＝a t (t ≥0，a >0且a ≠1)的图象.有以下叙述：①第4个月时，残留量就会低于15；②每月减少的有害物质量都相等；③若残留量为12，14，18时，所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3，则t 1＋t 2＝t 3.其中所有正确叙述的序号是________. 答案 ①③解析 根据题意，函数的图象经过点(2，49)，故函数为y ＝(23)t .易知①③正确.三、解答题11.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.记鲑鱼的游速为v (m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q ，研究中发现v 与log 3Q100成正比，且当Q ＝900时，v ＝1.(1)求出v 关于Q 的函数解析式；(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s 时耗氧量的单位数. 解 (1)设v ＝k ·log 3Q100，∵当Q ＝900时，v ＝1，∴1＝k ·log 3900100，∴k ＝12，∴v 关于Q 的函数解析式为v ＝12log 3Q100.(2)令v ＝1.5，则1.5＝12log 3Q100，∴Q ＝2 700，∴一条鲑鱼的游速是1.5 m/s 时耗氧量为2 700个单位.12.现有某种细胞100个，每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，且每次只有占总数12的细胞分裂，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？(参考数据：lg 3＝0.477，lg 2＝0.301)解 现有细胞100个，先考虑经过1,2,3,4个小时后的细胞总数： 1小时后，细胞总数为12×100＋12×100×2＝32×100(个)；2小时后，细胞总数为12×32×100＋12×32×100×2＝94×100(个)；3小时后，细胞总数为12×94×100＋12×94×100×2＝278×100(个)；4小时后，细胞总数为12×278×100＋12×278×100×2＝8116×100(个).可归纳出，细胞总数y (个)与时间x (小时)之间的函数关系为y ＝100×(32)x ，x ∈N *.由100×(32)x >1010，得(32)x >108，两边同时取以10为底的对数，得x lg 32>8，∴x >8lg 3－lg 2.∵8lg 3－lg 2＝80.477－0.301≈45.45，∴x >45.45.故经过46小时，细胞总数超过1010个.13.我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系.声音的强度用瓦/米2(W/m 2)表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L 1表示，它们满足以下公式：L 1＝10lg II 0(单位为分贝，L 1≥0，其中I 0＝1×10－12，是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端).回答下列问题：(1)树叶沙沙声的强度是1×10－12 W /m 2，耳语的强度是1×10－10W/m 2，恬静的无线电广播的强度是1×10－8 W/m 2，试分别求出它们的强度水平；(2)某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，《创新设计》图书试求声音强度I 的范围为多少？解 (1)由题意知：树叶沙沙声的强度水平为L 2＝10lg I 2I 0＝10lg 1＝0(分贝)； 耳语的强度水平为L 3＝10lg I 3I 0＝10lg 102＝20(分贝)； 恬静的无线电广播的强度水平为L 4＝10lg I 4I 0＝10lg 104＝40(分贝). (2)由题意知0≤L 1＜50，即0≤10lg I I 0＜50， 所以1≤I I 0＜105， 即1×10－12≤I ＜1×10－7. 所以新建的安静小区的声音强度I 的范围为[1×10－12，1×10－7).。
人教A版高中数学必修一学新导学案几类不同增长的函数模型,
§3.2.1几类不同增长的函数模型(2)1. 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异；2. 借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异；3. 恰当运用函数的三种表示法（解析式、图象、列表）并借助信息技术解决一些实际问题.98101复习1：用石板围一个面积为200平方米的矩形场地，一边利用旧墙，则靠旧墙的一边长为___________米时，才能使所有石料的最省.复习2：三个变量,,y y y 随自变量x 的变化情况如下表：，呈指数型函数变化的变量是________，呈幂函数型变化的变量是________.二、新课导学 ※ 学习探究探究任务：幂、指、对函数的增长差异问题：幂函数(0)n y x n =>、指数函数(1)x y a a =>、对数函数log (1)a y x a =>在区间(0,)+∞上的单调性如何？增长有差异吗？实验：函数2x y =，2y x =，log y x =，试计算：思考：22log ,2,x x x 大小关系是如何的？增长差异？尽管(1)x y a a =>，log (1)a y x a =>和结论：在区间(0,)+∞上，(0)n y x n =>都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个(1)x y a a =>的增长速度越来越快，会超“档次”上，随着x 的增大，过并远远大于(0)n y x n =>的增长速度．而log (1)a y x a =>的增长速度则越来越慢．因此，总会存在一个0x ，当0x x >时，就有log n x a x x a <<．※ 典型例题例1某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据用一个函数模拟该产品的月产量t 与月份的x 关系，模拟函数可以选用二次函数或函数(,,)x y ab c a b c =+其中为常数. 已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由.小结：待定系数法求解函数模型；优选模型. ※ 动手试试练1. 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒. 已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）与t 的函数关系式为1()16t ay -=（a 为常数），成正比；药物释放完毕后，y 如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式为 .（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室.练2. 某商场购进一批单价为6元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多利润，商场决定提高销售价格. 经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y （件）是价格x （元/件）的一次函数. （1）试求y 与x 之间的关系式；（2）在商品不积压，且不考虑其它因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能时每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？三、总结提升 ※ 学习小结直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型的增长的含义.※ 知识拓展在科学试验、工程设计、生产工艺和各类规划、决策与管理等许多工作中，常常要制订最优化方案，优选学是研究如何迅速地、合理地寻求这些方案的科学理论、模型与方法. 它被广泛应用于管理、生产、科技和经济领域中，几乎可以用于凡是有数值加工的每个领域. 中国.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 某工厂签订了供货合同后组织工人生产某货物，生产了一段时间后，由于订货商想再多订一些，但供货时间不变，该工厂便组织工人加班生产，能反映该工厂生产的货物数量y 与时间x 的函数图象大致是（ ）.2. 下列函数中随x 增大而增大速度最快的是（ ）. A ．2007ln y x = B ．2007y x =C ．2007xe y = D ．20072x y =⋅3. 根据三个函数2()2,()2,()log x f x x g x h x x ===给出以下命题： （1）(),(),()f x g x h x 在其定义域上都是增函数； （2）()f x 的增长速度始终不变；（3）()f x 的增长速度越来越快； （4）()g x 的增长速度越来越快；（5）()h x 的增长速度越来越慢。
高中数学《几类不同增长的函数模型》导学案
第三章 函数的应用§3.2.1几类不同增长的函数模型一、【学习目标】1. 能够借助计算器或计算机制作数据表格和函数图象，并据此对几种常见的函数类型的增长情况进行比较；2. 通过对投资方案的选择，学会利用数据表格和函数图象分析问题和解决问题。
【重点、难点】将实际问题转化为数学问题，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义；如何选择和利用不同函数模型增长差异性分析解决实际问题二、学习过程【情景创设】1.收集一些实际生活中普遍使用的函数模型，了解函数模型的广泛应用；2.通过对几种函数模型的增长情况的分析，初步体会它们的差异性。
【导入新课】1. 几类增长的函数模型（1）一般地，对于指数函数)1(>=a a y x 和幂函数)0(>=n x y n ，在区间),0(+∞上，无论n 比a 大多少，尽管在x 的一定变化范围内，x a 会小于n x ，但由于 的增长快于 的增长，因此总存在一个0x ，当0x x >时，就会有 .（2）对于对数函数)1(log >=a x y a 和幂函数)0(>=n x y n ，在区间),0(+∞上，随着x 的增大，x a log 增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与 轴平行一样.尽管在x 的一定变化范围内，x a log 可能会大于n x ，但由于 的增长慢于 的增长，因此总存在一个 ，当 时，就会有 .（3）在区间),0(+∞上，尽管函数)1(>=a a y x ，)1(log >=a x y a 和)0(>=n x y n 都是增函数，但它们的不同，而且不在同一个“档次”上.随着x 的增大， 的增长速度越来越快，会超过并远远大于)0(>=n x y n 的增长速度，而)1(log >=a x y a 的增长速度则会越来越慢.因此，总会存在一个0x ，当0x x >时，就会有 .三、典例分析例1某市的一家报刊摊点，从报社买进《晚报》的价格是每份0.20元，卖出价是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社.在一个月(以30天计)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？例2某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y 与时间t 之间近似满足如图所示的曲线.(1)写出服药后y 与t 之间的函数关系式；(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于4微克时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药时间为上午7:00，问一天中怎样安排服药的时间(共4次)效果最佳？【变式拓展】通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲座开始时，学生兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明，用f(x)表示学生接受概念的能力〔f(x)的值愈大，表示接受的能力愈强〕，x 表示提出和讲授概念的时间(单位：分)，可有以下的公式：f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤<≤<++-.3016.1073,1610.59,100.436.21.02x x x x x x(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？(2)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？四、总结反思1.通过实例和计算机作图体会、认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型的增长的含义；2.认识数学与现实生活、与其他学科的密切联系，从而体会数学的实用价值，享受数学的应用美。
几种不同增长的函数模型 教案
几种不同增长的函数模型教案一、教学目标1、知识与技能目标学生能够理解一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等常见函数的增长特征。
能够根据实际问题，建立相应的函数模型，并比较不同函数模型的增长差异。
2、过程与方法目标通过实例分析和数据对比，培养学生观察、分析和归纳的能力。
引导学生运用数学知识解决实际问题，提高学生的数学应用意识和创新思维能力。
3、情感态度与价值观目标让学生感受数学与实际生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣和积极性。
培养学生严谨的科学态度和勇于探索的精神。
二、教学重难点1、教学重点一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的增长特征。
不同函数模型在实际问题中的应用及比较。
2、教学难点如何根据实际问题选择合适的函数模型。
理解指数函数爆炸式增长的特点。
三、教学方法讲授法、讨论法、练习法、案例分析法四、教学过程1、导入新课展示一些生活中常见的增长现象，如人口增长、经济增长、细菌繁殖等。
提问学生这些增长现象可以用哪些数学函数来描述，引出本节课的主题——几种不同增长的函数模型。
2、知识讲解一次函数模型：形如 y ＝ kx ＋ b（k、b 为常数，k ≠ 0）的函数，其增长特点是直线式增长，增长速度保持不变。
举例：某工厂生产某种产品，每月的产量与生产时间之间的关系可以用一次函数表示。
二次函数模型：形如 y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a、b、c 为常数，a ≠ 0）的函数，其增长特点是先增后减或先减后增，存在对称轴。
举例：某商场销售某种商品，销售额与销售价格之间的关系可以用二次函数表示。
指数函数模型：形如 y ＝ a^x（a ＞ 0 且a ≠ 1）的函数，其增长特点是爆炸式增长，增长速度越来越快。
举例：某城市的人口增长情况可以用指数函数表示。
对数函数模型：形如 y ＝logₐx（a ＞ 0 且a ≠ 1）的函数，其增长特点是增长速度逐渐变慢。
举例：某种药物在人体内的浓度变化可以用对数函数表示。
广东惠州市惠阳一中实验学校数学导学案必修一新课标人教B版几类不同增长的函数模型
必修一导学案 学科：数学 编号：16 编写人：朱亮 审核人： 使用时间： 班级 姓名： 小组序号： 组长评价： 教师评价课题：几类不同增长的函数模型（第1课时）【学习目标】1、能记住直线上升、指数爆炸、对数增长不同增长的函数模型意义，能说出它们的增长差异。
2、会运用信息技术，利用函数图象及数据表格，会解决指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异。
3、体验借助信息技术解决一些实际问题。
【学习重点与难点】1、教学重点：了解对统计数据表的分析与处理。
2、教学难点：加深对这些函数的理解与应用。
【使用说明与学法指导】1、带着预习案中问题导学中的问题自主设计预习提纲，通读教材95-101页内容，阅读108-109资料，作好必要的标注和笔记。
2、认真完成基础知识梳理，在“我的疑惑”处填上自己不懂的知识点，在“我的收获”处填写自己对本课自主学习的知识及方法收获。
3、熟记基础知识梳理中的重点知识。
预习案一、问题导学1、如何用函数描述这些数量关系2、找出实际问题中涉及的函数变量→根据变量间的关系建立函数模型→利用模型解决实际问题→小结：二次函数模型。
3、根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程：收集数据→画散点图→选择函数模型→求函数模型→检验→符合实际，用函数模型解释实际问题；不符合实际，则重新选择函数模型，直到符合实际为止.二、知识梳理解决应用题的一般程序：① 审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；② 建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；③ 解模：求解数学模型，得出数学结论；④ 还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．三、预习自测1. 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……，现有2个这样的细胞，分裂x 次后得到的细胞个数y 为（ ）.A ．12x y += B. y =21x - C. y =2x D. y =2x2. 某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y 与时间x 的关系，可选用（ ）.A. 一次函数B. 二次函数C. 指数型函数D. 对数型函数3. 一等腰三角形的周长是20，底边长y 是关于腰长x 的函数，它的解析式为（ ）.A. y =20-2x （x ≤10）B. y =20-2x （x <10）C. y =20-2x （5≤x ≤10）D. y =20-2x （5<x <10）4. 某新品电视投放市场后第1个月销售100台，第2个月销售200台，第3个月销售400台，第4个月销售790台，则销量y 与投放市场的月数x 之间的关系可写成 .5. 某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么每轮病毒发作时，这台计算机都可能感染没被感染的20台计算机. 现在10台计算机在第1轮病毒发作 时被感染，问在第5轮病毒发作时可能有 台计算机被感染. （用式子表示）探究案一、合作探究探究1、例1假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0 .4元，以后每天的回报比前一天翻一番．0.25y x =；7log 1y x =+； 1.002x y =.问：其中哪个模型能符合公司的要求？思路小结： 探究3、如图，是某受污染的湖泊在自然净化过程中，某种有害物质的剩留量y 与净化时间t（月）的近似函数关系：t y a =(t ≥0，a >0且a ≠1)．有以下叙述1)第4个月时，剩留量就会低于15； 2)每月减少的有害物质量都相等； 3)若剩留量为111,,248所经过的时间分别是123,,t t t ，则123t t t +=. 其中所有正确的叙述是思路小结：二、总结整理1、核心知识：2、典型方法：3、重点问题解决：训练案一、课中检测与训练（能在5分钟之内完成）1. 向高为H 的圆锥形漏斗内注入化学溶液（漏斗下口暂且关闭），注入溶液量V 与溶液深度ht (月)的大概图象是（ ）.2. 某种生物增长的数量t A ．21y x =- B ．21x y =- C ．21y x =- D ．21.5 2.52y x x =-+ 3. 某企业近几年的年产值如下图：则年增长率（增长率=增长值/原产值）最高的是（ ）.A. 97年B. 98年C. 99年D. 00年4. 某杂志能以每本1.20的价格发行12万本，设定价每提高0.1 元，发行量就减少4万本. 则杂志的总销售收入y 万元与其定价x 的函数关系是 .5. 某新型电子产品2002年投产，计划2004年使其成本降低36℅. 则平均每年应降低成本 %.二、课后巩固促提升1、反思提升：熟记重点知识，反思学习思路和方法，整理典型题本2、完成作业：课本P107：3题、4题；《课时作业》Px-x 页：x 题、x 题3、温故知新：阅读课本Px-x 页，并完成新发的预习案；探讨《随堂优化训练》Px-x 页）0099989796(年）2004006008001000（万元）。
高中数学 3.2.1 几类不同增长的函数模型导学案 新人教A版必修1
3.2.1几类不同增长的函数模型课前预习· 预习案【自主学习】1．三类增长型函数图象性质的变化特征2．三类增长型函数之间增长速度的比较(1)指数函数和幂函数在区间(0，+∞)上，由于的增长速度的增长速度，因而总存在一个实数，当时，就会有_____________(，).(2)对数函数和幂函数，的增长的增长，因而在区间(0，+∞)上，总存在一个实数，使时有_____________(，).结论：三类增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个“档次”上，在(0，+∞)上，总会存在一个，当时有 .【预习评价】1．下表显示了函数值随自变量变化的一组数据，由此可判断它最可能符合的函数模型为A.一次函数模型B.二次函数模型C.指数函数模型D.对数函数模型2．某种植物生长发育的数量与时间的关系如下表：下面的函数关系式中，能表达这种关系的是A. B.C. D.3．某工厂12月份的产量是1月份产量的7倍，那么该工厂这一年中的月平均增长率是 .4．某种商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价 .知识拓展· 探究案【合作探究】1．几类函数模型的特征及其增长差异的比较观察函数，，在区间(0，+∞)上的图象，思考以下几个问题：(1)三个函数在区间(0，+∞)上的图象有什么特点？(2)当趋于无穷大时，三个函数中哪个函数的增长速度最快？哪个最慢？(3)一般情况下，函数，和在区间(0，+∞)上增长速度怎样？2．几类函数模型的应用当题目条件中的信息以表格等形式给出时，常常先根据相关数据中的信息进行描点，结合描点后的图象，选择合适的函数模型来解决有关问题，观察下列图象探究有关问题：(1)根据图象的特点，①②③④应分别选用哪种函数模型较好？(2)已知函数模型，求函数的解析式一般常用的方法是什么？【教师点拨】1．四类不同增长的函数模型(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型.(2)增长速度最快即呈现爆炸式增长的函数模型是指数函数模型.(3)增长速度较慢的函数模型是对数函数模型.(4)增长速度平稳的函数模型是幂函数模型.2．几类函数模型的选择(1)一次函数模型：当增加一个单位时，增加或减少的量为定值，则是的一次函数，一次函数的图象为直线.(2)二次函数模型：二次函数是常用的重要模型，是或其他量的二次函数，常用来求最大值或最小值问题，但要注意定义域.(3)指数函数模型、对数函数模型：当问题中每期(或每年、每段等)的增长率相同，则为指数函数模型或对数函数模型，一般与增长率、衰减率、利息等现实问题联系紧密.【交流展示】1．当自变量足够大时，下列函数中增长速度最快的是A. B. C. D.2．若，试分析三个函数模型，，的增长差异，用“＞”把它们的取值大小关系连接起来为 .3．下表显示出函数值随自变量变化的一组数据，由此判断符合这组数据的最恰当的函数模型是4．2005年1月6日是“中国十三亿人口日”，如果要使我国总人口在2015年以前控制在十四亿之内，那么从2005年1月6日开始的随后10年由我国的年平均人口自然增长率应控制在多少以内.【学习小结】1．建立函数模型要遵偱的原则(1)简化原则建立模型，要对原型进行一定的简化，抓主要因素、主变量，尽量建立较低阶、较简便的模型.(2)可推演原则建立的模型一定要有意义，既能对其进行理论分析，又能计算和推理，且能推演出正确结果.(3)反映性原则建立的模型必须真实地反映原型的特征和关系，即应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明现实问题的功能，能回到具体研究对象中去解决问题.2．三种函数模型的表达式及其增长特点的总结(1)指数函数模型：表达式为(，，为常数，)，当时，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”；当时，函数值由快到慢地减少.(2)对数函数模型：表达式为，，为常数，)，当时，增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”；当时，相应函数值逐渐减少，变化得越来越慢. (3)幂函数模型：表达式为((，，为常数，，，为常数，，)，其增长情况由和的取值确定，常见的有二次函数模型.【当堂检测】1．三人赛跑，假设其路过的路程和时间的函数关系分别是，，，他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是A. B. C. D.一样快2．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售800台，则下列函数模型中能准确地反映销售量与投放市场的月数之间关系的是A. B.C. D.答案课前预习· 预习案【自主学习】1．增函数增函数增函数y轴x轴2．(1)快于a x＞x n(2)慢于x n＞log a x a x＞x n＞log a x(a＞1，n＞0)【预习评价】1．C2．D3．4．11.11％知识拓展· 探究案【合作探究】1．(1)三个函数在区间(0，＋∞)上的图象都是上升的，即单调递增.(2)三个函数的增长速度差异很大，其中y＝2x增长速度最快，y＝log2x增长速度最慢.(3)一般情况下，y＝a x(a＞1)增长速度越来越快，一般称为爆炸式增长，y＝log a x(a＞1)增长会越来越慢，y＝x n(n＞0)介于它们两个之间.2．(1)①随着x值的增大y值的变化越来越大，所以常选用指数型函数来模拟；②随着x值的增大y值的变化越来越近似为零，所以常用对数型函数模拟；③图形中的点先升后降，所以常选用二次函数模拟；④数据点大致都落在一条直线附近，所以常选用一次函数模拟.(2)已知函数类型求函数的解析式一般常用的方法是待定系数法，根据函数的类型，可设出其函数解析式，用待定系数法求解.【交流展示】1．A2．3．A4．74％【当堂检测】1．A2．C。
【新导学案】高中数学人教版必修一：321《几类不同增长的函数模型》(2).doc
3.2.1《几类不同增长的函数模型》(2)导学案【学习目标】1. 结合实硕■祐会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差 异；2. 借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幕函数的增长差异；3. 恰当运用函数的三种表示法(解析式、图象、表格)并借助信息技术解决一些实际问题. ［重点难点］重点：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差 异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义. 难点：选择合适的数学模型分析解决实际问题.【知识链接】(预习教材P98~P®,找出疑惑之处)复习1：用石板围一个面积为200平方米的矩形场地，一边利用I 口墙，则旅旧墙的一边长为 米时，才能使所有石料的最省.复习2：三个变量)\,儿,儿随自变量兀的变化情况如下表:X1 3 5 7 9115 135 625 1715 3645 6633 )‘2 5 292452189 19685 177149 )‘356・1 6・616・957・207・40其中兀呈对数型函数变化的变量是 ________ ,呈指数型函数变化的变量是 ________ ，呈幕函数型变 化的变量是 ________ •【学习过程】探学习探究探究任务：爭、指、对函数的增长差异问题：幕函数y =兀"(〃>0)、指数函数y = /(d>l)、对数函数y = log <z x(a > 1)在区间(0,+8)上的 单调性如何？增长冇差异吗？实验：函数必=2"，y 2 = x 2, y = log 2 x ,试计算: 由表中的数据，你能得到什么结论？ _思考：log?"，?，,/大小关系是如何的？增长差异？结论：在区间(0,+8)上，尽管 y = a x(a>l), y = log fl x(a > 1)和y = x"(n>0)都是增函数，一但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档 次”上，随着x 的增•大，y = a x(a>i)的增长速度越来越快，会超过并远远 大于y =X12345678>?i>'20 11. 5822・322・58 2・8130（QO）的增长速度.而y = \og（l x（a>｝）的增长速度则越来越慢.因此，总会存在一个x0,当x>x Q时，就有log a x<x n <a x ,探典型例题例1、某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别为1万件，1. 2万件，1. 3万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据用一个函数模拟该产品的月产量r与月份的兀关系，模拟函数可以选用二次函数或函数）=ab x + c（其中a,b,c为常数）.已知4月份该产品的产量为1. 37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由.小结：待定系数法求解函数模型；优选模型.探动手试试练1.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.己知药物释放过程屮，室内每立方米空气中的含药量y （亳克）与时间f （小时）成正比；药物释放完毕后，y与r的函数关系式为y = （-L）i （。
《几类不同增长的函数模型导学案》
《§3.2.1几类不同增长的函数模型(1) 》导学案【学习目标】1. 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异；2. 借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异；3. 恰当运用函数的三种表示法（解析式、图象、列表）并借助信息技术解决一些实际问题.【学习重、难点】学习重点:：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.学习难点：选择合适的数学模型分析解决实际问题.【学法指导及要求】:1、认真研读教材P 89---P 91页，认真思考、独立规范作答，认真完成每一个问题，每一道习题，不会的先绕过，做好记号；2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理到解错题本上，多复习记忆。
3、学生通过阅读教材，动手画图，自主学习、思考，并相互讨论，进行探索【知识链接】1．直线y kx b =+（0k >）模型，其特点是随着自变量的增大，函数值的增大速度，称为直线上升。
2．指数xy a =（1a >）模型，其特点是随着自变量的增大，函数值的增大速度， 常形象称为指数爆炸。
3．对数log a y x =（1a >）模型，其特点是随着自变量的增大，函数值的增大速度。
【学习过程】例1（1）某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图，则该营销人员的个人月收入y （元）与其每月的销售量x （万件）之间的函数关系式为。
（2）细胞分裂时由1个分裂成2个，2个分裂成4个，┅┅，现有两个这样的细胞，经过x 次分裂后，得到的细胞个数y 与x的关系式为。
（3）某种动物的数量y 与时间x 的关系为2log (1)y a x =+，设这种动物第一年只有100只，到第7年它们发展到只。
2020年高中数学 3.3.2几类不同增长的函数模型(1)导学案 新人教A版必修.doc
2020年高中数学 3.3.2几类不同增长的函数模型(1)导学案 新人教A 版必修一、教学目标：1. 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异；2. 借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异；3. 能够通过题意，自建模型，解决实际的问题．二、教学重难点：1.教学重点：运用函数模型解决一些实际问题.2.教学难点：将实际问题转变为数学模型.三、课时学法指导 学生自学和教师引导相结合，通过实际问题的解决，培养学生科学的提出问题、分析问题的能力.四、预习案: 完成任务情况自评： 学科组长评价： .1.任务布置：1：研读教材P 98 ——P 106；2：思考解决应用题的一般程序？2.存在问题:五、探究案探究一：幂、指、对函数的增长差异问题：幂函数(0)n y x n =>、指数函数(1)x y a a =>、对数函数log (1)a y x a =>在区间(0,)+∞ 上的单调性如何？增长有差异吗？实验：函数2x y =，2y x =，x y log =，试计算：观察：在图像上分别标出使不等式2222log 2,log 2x x x x x x <<<<成立的自变量大x 的取值范围？说明增长差异？思考：由以上问题你能得出怎样的结论？探究二：函数的模型及应用1、建立数学模型的方法一般地，设自变量为 ，函数为 ，必要时引入其他相关辅助变量，并且 x,y 和辅助变量表示各相关量，然后根据问题的已知条件，运用掌握的数学知识，物理知识以及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个 ，实现问题的数学化，即所谓的建立数学模型．2、解决应用问题的基本步骤．第一步：阅读理解，审清题意．第二步：引进数学符号，建立．第三步：利用数学的方法将得到的常规（即数学模型）予以解答，求得结果．第四步：将所得结果再转译成答案．例1一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示．（1）求下图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义．（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图象．例2 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元．销售单价与请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？六、训练案1. ★P107习题3.2；2. ★★《聚焦课堂》3.3七、反思与小结：。
人教必修一数学 精品导学案：3.2.1几类不同增长的函数模型
§3.2.1几类不同增长的函数模型1. 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异；2. 借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异； .95101 二、新课导学 ※ 典型例题例1假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0 .4元，以后每天的回报比前一天翻一番． 请问，你会选择哪种投资方案？反思：① 在本例中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？② 根据此例的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？借助计算器或计算机作出函数图象，并通过图象描述一下三种方案的特点.例2某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售利润x （单位：万元）的增加而增加但奖金不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型： 0.25y x =；7log 1y x =+； 1.002x y =.问：其中哪个模型能符合公司的要求？反思：① 此例涉及了哪几类函数模型？本例实质如何？② 根据问题中的数据，如何判定所给的奖励模型是否符合公司要求？ ※ 动手试试练1. 如图，是某受污染的湖泊在自然净化过程中，某种有害物质的剩留量y 与净化时间t （月）的近似函数关系：t y a =(t ≥0，a >0且a ≠1)．有以下叙述① 第4个月时，剩留量就会低于15；② 每月减少的有害物质量都相等；③ 若剩留量为111,,248所经过的时间分别是123,,t t t ，则123t t t +=.其中所有正确的叙述是 .练2. 经市场调查分析知，某地明年从年初开始的前n 个月，对()f n (万件)近似地满足关系 某种商品需求总量()()()()113521,2,3,,12150f n n n n n =+-=．4(2,)9y1 t (月)写出明年第n 个月这种商品需求量()g n (万件)与月份n 的函数关系式.※ 学习探究探究任务：幂、指、对函数的增长差异问题：幂函数(0)n y x n =>、指数函数(1)x y a a =>、对数函数log (1)a y x a =>在区间(0,)+∞上的单调性如何？增长有差异吗？实验：函数2x y =，2y x =，log y x =，试计算： x 1 2 3 4 5 6 7 8y 1 y 2 y 311.5822.322.582.813思考：22log ,2,x x x 大小关系是如何的？增长差异？ (1)x y a a =>，log (1)a y x a =>和结论：在区间(0,)+∞上，尽管(0)n y x n =>都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档(1)x y a a =>的增长速度越来越快，会超过次”上，随着x 的增大，并远远大于(0)n y x n =>的增长速度．而log (1)a y x a =>的增长速度则越0x ，当0x x >时，就有log n x a x x a <<． 来越慢．因此，总会存在一个三、总结提升 ※ 学习小结1. 两类实际问题：投资回报、设计奖励方案；2. 几种函数模型：一次函数、对数函数、指数函数；3. 应用建模（函数模型）； ※ 知识拓展解决应用题的一般程序：① 审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；② 建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； ③ 解模：求解数学模型，得出数学结论；学习评价※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 当2224log ,2,x x x x <<时，的大小关系是 . 2. 根据三个函数2()2,()2,()log x f x x g x h x x ===给出以下命题：（1）(),(),()f x g x h x 在其定义域上都是增函数； （2）()f x 的增长速度始终不变；（3）()f x 的增长速度越来越快；（4）()g x 的增长速度越来越快；（5）()h x 的增长速度越来越慢。
几类不同增长的函数模型学案【人教版】高中数学必修
§3.2.1 几类不同增长的函数模型一、学习目标:1.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义, 理解它们的增长差异性.2.能够借助信息技术, 利用函数图象及数据表格, 对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较, 初步体会它们的增长差异性。
二、学习重点、难点：1.重点将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.2．难点选择合适的数学模型分析解决实际问题.三、教学设想：（一）引入实例，创设情景.例1 假设你有一笔资金用于投资，现在有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一、每天回报40元；方案二、第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三、第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。
请问，你会选择哪种投资方案？（二）互动交流，探求新知.1、依据什么标准来选取投资方案？日回报效益，还是累计回报效益？2、如何建立日回报效益与天数的函数模型？解：设第x天所得回报是y元方案一可以用函数进行描述；方案二可以用函数进行描述；方案三可以用函数进行描述3、三个函数模型的增减性如何？4、要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析，如何分析？5、观察数据，体会模型.6、作出图象，描述特点.借助计算器作出三个方案的函数图象，分析三种方案的不同变化趋势，并进行描述，为方P图3.2-1）案选择提供依据.（96p）下面再看累积的回报数。
（97进而确定选择哪种投资方案（三）实例运用，巩固提高.例 2 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y (单位：万元)随销售利润（单位：万元）的增加而增加，但资金总数不超过5万元，同时奖金总数不超过利润的25%,现有三个奖励模型：y=0.25x,y=1log 7 x ,y=x 002.1 ,其中哪个模型能符合公司的要求？探索过程：（1）在同一坐标系作出三个函数图像（2）通过观察函数图像，讨论，找出符合要求的图像（3）通过计算，进一步验证所选函数是否符合要求课堂练习教材P 98练习1、2。
人教版高中数学全套教案导学案§3.2.1 几类不同增长的函数模型
§3.2.1 几类不同增长的函数模型一、教学目标:1. 知识与技能 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义, 理解它们的增长差异性.2. 过程与方法 能够借助信息技术, 利用函数图象及数据表格, 对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较, 初步体会它们的增长差异性; 收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等), 了解函数模型的广泛应用.3. 情感、态度、价值观 体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用.二、 教学重点、难点：1. 教学重点 将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.2．教学难点 选择合适的数学模型分析解决实际问题.三、 学法与教学用具：1. 学法：学生通过阅读教材，动手画图，自主学习、思考，并相互讨论，进行探索.2．教学用具：多媒体.四、教学设想：（一）引入实例，创设情景.教师引导学生阅读例1，分析其中的数量关系，思考应当选择怎样的函数模型来描述；由学生自己根据数量关系，归纳概括出相应的函数模型，写出每个方案的函数解析式，教师在数量关系的分析、函数模型的选择上作指导.（二）互动交流，探求新知.1. 观察数据，体会模型.教师引导学生观察例1表格中三种方案的数量变化情况，体会三种函数的增长差异，说出自己的发现，并进行交流.2. 作出图象，描述特点.教师引导学生借助计算器作出三个方案的函数图象，分析三种方案的不同变化趋势，并进行描述，为方案选择提供依据.（三）实例运用，巩固提高.1. 教师引导学生分析影响方案选择的因素，使学生认识到要做出正确选择除了考虑每天的收益，还要考虑一段时间内的总收益. 学生通过自主活动，分析整理数据，并根据其中的信息做出推理判断，获得累计收益并给出本例的完整解答，然后全班进行交流.2. 教师引导学生分析例2中三种函数的不同增长情况对于奖励模型的影响，使学生明确问题的实质就是比较三个函数的增长情况，进一步体会三种基本函数模型在实际中广泛应用，体会它们的增长差异.3．教师引导学生分析得出：要对每一个奖励模型的奖金总额是否超出5万元，以及奖励比例是否超过25%进行分析，才能做出正确选择，学会对数据的特点与作用进行分析、判断。
3.2.1 几类不同增长的函数模型
编制：郑桥保 审核：黄焕毅【学习目标】1、 了解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义，理解指数函数、对数函数、幂函数的增长差异。
2、 会分析具体实际问题，能够初步建立数学模型解决实际问题。
【预习导引】 ：1、 线性函数模型：y=kx+b(k>0),直线上升，增长速度不变。
2、 指数函数模型：y ＝a x (a >1)，增长速度急剧，称为“指数爆炸”。
3、 对数函数模型：y ＝log a x (a ＞1)，增长速度越来越慢。
4、 幂函数模型：y ＝x α(α>0)，增长速度介于指数增长与对数增长之间。
注：(1)在区间(0，＋∞)上，函数y ＝a x (a >1)，y ＝log a x (a ＞1)和y ＝x α(α>0)都是 ，但增长速度 ，且不在同一个“档次”上。
(2)在区间(0，＋∞)上随着x 的增大，y ＝a x (a ＞1)增长速度 ，会超过并远远大于y ＝x α(α＞0)的增长速度，而y ＝log a x (a ＞1)的增长速度则会 。
(3)存在一个x 0，使得当x ＞x 0时，有log a x ＜x α＜a x 。
【预习自测】1．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则可以用来描述该厂前t 年这种产品的总产量c 与时间t 的函数关系的是( )2．我国工农业总产值计划从2000年到2020年翻两番，设平均每年增长率为x ，则( )A ．(1＋x)19＝4B ．(1＋x)20＝3C ．(1＋x)20＝2D ．(1＋x)20＝43．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了( )A ．10天B ．15天C ．19天D ．2天4．下列函数中，随着x 的增大，增长速度最快的是( )A ．y ＝50B ．y ＝1 000xC ．y ＝0.4×2x －1D ．y ＝11 000ex 5．y 1＝2x ，y 2＝x 2，y 3＝log 2x ，当2<x <4时，有( )A ．y1>y2>y3B ．y2>y1>y3C ．y1>y3>y2D ．y2>y3>y1编制：郑桥保 审核：黄焕毅【课堂检测】1 将进货单价为8元的商品按10元一个销售时，一天可卖出100个．若这种商品的销售单价每涨1元，日销售量应减少10个，为了获得最大利润，此商品的销售单价应定为多少元？【当堂训练】2 某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知lg2＝【课后拓展】例5我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2O10，单位是m/s，其中O表示燕子的耗氧量．(1)计算，当燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？。
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3．2.1几类不同增长的函数模型函数模型(1)在区间(0，＋∞)上，函数y＝a x(a>1)，y＝log a x(a>1)和y＝xα(α>0)都是□1增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上．(2)在区间(0，＋∞)上随着x的增大，y＝a x(a>1)的□2增长速度越来越快，会超过□3并远远大于y＝xα(α>0)的增长速度，而y＝log a x(a>1)的□4增长速度则会越来越慢．(3)对于函数y＝a x(a>1)，y＝log a x(a>1)，y＝xα(α>0)，存在一个x0，使得当x>x0时，有□5a x>xα>log a x.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x3比y＝2x增长的速度更快些．()(2)当x>100时，函数y＝10x－1比y＝lg x增长的速度快．()(3)能用指数型函数f(x)＝ab x＋c(a，b，c为常数，a>0，b>1)表达的函数模型，称为指数型函数模型，也常称为“爆炸型”函数．()答案(1)×(2)√(3)√2．做一做(1)已知变量x，y满足y＝1－3x，当x增加1个单位时，y的变化情况是________．(2)(教材改编P98T1)当x>4时，a＝4x，b＝log4x，c＝x4的大小关系为________．(3)(教材改编P95例1)某商店每月利润的平均增长率为2%，若12月份的利润是当年1月份利润的k倍，则k＝________.(4)如图所示的曲线反映的是________函数模型的增长趋势．答案(1)减少3个单位(2)b<c<a(3)1.0211(4)对数『释疑解难』(1)一次函数模型一次函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．(2)指数函数模型指数函数模型y＝a x(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．(3)对数函数模型对数函数模型y＝log a x(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．(4)幂函数模型幂函数y＝x n(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．探究1建立函数模型解决实际问题例1某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计了两套方案对污水进行处理，并准备实施．方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30000元；方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费，问：(1)工厂每月生产3000件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明；(2)若工厂每月生产6000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？解设工厂每月生产x件产品时，选择方案一的利润为y1，选择方案二的利润为y2，由题意知y1＝(50－25)x－2×0.5x－30000＝24x－30000.y2＝(50－25)x－14×0.5x＝18x.(1)当x＝3000时，y1＝42000，y2＝54000，∵y1<y2，∴应选择方案二处理污水．(2)当x＝6000时，y1＝114000，y2＝108000，∵y1>y2，∴应选择方案一处理污水．拓展提升建立函数模型是为了预测和决策，预测准不准主要靠建立的函数模型与实际的拟合程度．而要获得好的拟合度，就需要丰富、详实的数据．【跟踪训练1】某公司预投资100万元，有两种投资可供选择：甲方案年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；乙方案年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．哪种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元)解 按甲方案，每年利息100×10%＝10,5年后本息合计150万元；按乙方案，第一年本息合计100×1.09，第二年本息合计100×1.092，…，5年后本息合计100×1.095≈153.86万元．故按乙方案投资5年可多得利息3.86万元，更有利．探究2 需选择函数模型的实际问题例2 上世纪九十年代，政府气候变化专业委员会(IPCC)提供的一项报告指出：使全球气候逐年变暖的一个重要因素是人类在能源利用与森林砍伐中使CO 2浓度增加．据测，1990年、1991年、1992年大气中的CO 2浓度分别比1989年增加了1个可比单位、3个可比单位、6个可比单位．若用一个函数模拟上世纪九十年代每年CO 2浓度增加的可比单位数y 与年份增加数x 的关系，模拟函数可选用二次函数f (x )＝px 2＋qx ＋r 或指数型函数g (x )＝a ·b x ＋c (a ≠0，b >0，且b ≠1)，且又知1994年大气中的CO 2浓度比1989年增加了16个可比单位，请问用以上哪个函数作模拟函数较好？解 ①若以二次函数f (x )＝px 2＋qx ＋r 作模拟函数，则⎩⎪⎨⎪⎧ p ＋q ＋r ＝1，4p ＋2q ＋r ＝3，9p ＋3q ＋r ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝12，q ＝12，r ＝0.∴f (x )＝12x 2＋12x .②若以指数型函数g (x )＝a ·b x ＋c 作模拟函数，则⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＋c ＝1，ab 2＋c ＝3，ab 3＋c ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝83，b ＝32，c ＝－3，∴g (x )＝83·⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －3. 利用f (x )，g (x )对1994年CO 2浓度作估算，则其数值分别为：f (5)＝15个可比单位，g (5)＝17.25个可比单位．∵|f (5)－16|<|g (5)－16|，∴f (x )＝12x 2＋12x 作为模拟函数与1994年的实际数据较为接近．故用函数f (x )＝12x 2＋12x 模拟较好．拓展提升用函数模型解应用题的四个步骤【跟踪训练2】 一家庭(父亲、母亲和孩子们)去某地旅游，甲旅行社说：“如果父亲买全票一张，其余人可享受半票优惠．”乙旅行社说：“家庭旅行为集体票，按原价23优惠．”这两家旅行社的原价是一样的．试就家庭里不同的孩子数，分别建立表达式，计算两家旅行社的收费，并讨论哪家旅行社更优惠．解 设家庭中孩子数为x (x ≥1，x ∈N *)，旅游收费为y ，旅游原价为a .甲旅行社收费：y ＝a ＋a 2(x ＋1)＝a 2(x ＋3)；乙旅行社收费：y ＝2a 3(x ＋2)．∵2a 3(x ＋2)－a 2(x ＋3)＝a 6(x －1)，∴当x ＝1时，两家旅行社收费相等．当x >1时，甲旅行社更优惠．探究3 幂函数、指数函数、对数函数增长的差异例3 观察下面表中的数据，你对函数y ＝2x ，y ＝x 2，y ＝log 2x 的增长差异有什么认识？解 尽管在x 的某一范围内，有2x <x 2的情况，但y ＝2x 比y ＝x 2增长的快，当x >4时，2x >x 2>log 2x .拓展提升判断函数的增长速度，一是可以直接感受函数值的增长快慢．二是可以设Δx ＝x n ＋1－x n ，通过观察函数值的差Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )来量化．三还可以借助图象，增长速度匀速的，图象是直线；增长速度越来越快的图象表现为下凹，反之则为上凸．【跟踪训练3】 函数f (x )＝2x 和g (x )＝x 3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1<x 2.(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2018)，g(2018)的大小．解(1)当x充分大时，图象位于上方的函数是指数函数y＝2x，另一个函数就是幂函数y＝x3.∴C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)∵f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，∴1<x1<2,9<x2<10.∴x1<6<x2,2018>x2.从图象上可以看出，当x1<x<x2时，f(x)<g(x)，∴f(6)<g(6)．当x>x2时，f(x)>g(x)，∴f(2018)>g(2018)．又g(2018)>g(6)，∴f(2018)>g(2018)>g(6)>f(6)．1.函数应用题的类型函数应用题主要有：(1)函数类型已知的问题；(2)函数类型未知的问题；(3)利用函数拟合法得到函数模型的问题.2.解决实际问题的流程1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是() A．y＝100x B．y＝log100xC．y＝x100D．y＝100x答案D解析几种函数模型中，指数函数增长速度最快，故选D.2．四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程f i(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x>1)的函数关系是f1(x)＝x2，f2(x)＝2x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x.如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是()A．f1(x)＝x2B．f2(x)＝2xC．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x答案D解析由增长速度可知，当自变量充分大时，指数函数的值最大，故选D.3．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝a log2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到() A．300只B．400只C．500只D．600只答案A解析由已知第一年有100只，得a＝100.将a＝100，x＝7代入y＝a log2(x＋1)，得y＝300.4．某种病菌经30分钟繁殖为原来的2倍，且知这种病菌的繁殖规律为y＝e kt(k为常数，t为时间，单位：小时)，y表示病菌个数，则k＝________；经过5小时，1个病菌能繁殖为________个．答案2ln 21024解析设病菌原来有1个，则半小时后为2个，得2＝e k2，解得k＝2ln 2，y(5)＝e(2ln 2)·5＝e10ln 2＝210＝1024(个)．5．下面是f(x)随x的增大而得到的函数值表：试问：(1)随着x的增大，各函数的函数值有什么共同的变化趋势？(2)各函数增长速度的快慢有什么不同？解(1)随着x的增大，各函数的函数值都在增大．(2)由题表可以看出：各函数增长速度的快慢不同，其中f(x)＝2x 的增长速度最快，而且越来越快；其次为f(x)＝x2，增长速度也在变大；而f(x)＝2x＋7的增长速度不变；增长速度最慢的是f(x)＝log2x，其增长速度越来越小．A级：基础巩固练一、选择题1．当2<x<4时，2x，x2，log2x的大小关系是()A．2x>x2>log2x B．x2>2x>log2xC．2x>log2x>x2D．x2>log2x>2x答案B解析解法一：在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x的图象，在区间(2,4)上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y ＝log2x的图象，所以x2>2x>log2x.解法二：比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法．可取x＝3，经检验易知选B.2．有一组实验数据如下表所示：A．y＝log a x(a>1) B．y＝ax＋b(a>1)C．y＝ax2＋b(a>0) D．y＝log a x＋b(a>1)答案C解析通过所给数据可知y随x的增大而增大，其增长速度越来越快，而A，D中的函数增长速度越来越慢，B中的函数增长速度保持不变，故选C.3．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用()A．一次函数B．二次函数C．指数型函数D．对数型函数答案D解析一次函数保持均匀的增长，不能体现题意；二次函数在对称轴的两侧有增也有降；而指数函数是爆炸式增长，不符合“增长越来越慢”的要求；因此，只有对数函数最符合题意，先快速增长，后来越来越慢．4．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是()A．y＝0.2x B．y＝110(x2＋2x)C．y＝2x10D．y＝0.2＋log16x 答案C解析将x＝1,2,3，y＝0.2,0.4,0.76分别代入验算即可．5．某地为加强环境保护，决定使每年的绿地面积比上一年增长10%，那么从今年起，x年后绿地面积是今年的y倍，则函数y＝f(x)的大致图象是()答案D解析设今年绿地面积为m，则有my＝(1＋10%)x m，∴y＝1.1x，故选D.二、填空题6．若已知16<x<20，利用图象可判断出x 12和log2x的大小关系为________．答案x 12>log2x解析作出f(x)＝x 12和g(x)＝log2x的图象，如图所示：由图象可知，在(0,4)内，x 12>log2x；x＝4或x＝16时，x 12＝log2x；在(4,16)内x 12<log2x；在(16,20)内x12>log2x.7.某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示．以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．其中说法正确的序号是________．答案 ②③解析 由t ∈[0,3]的图象联想到幂函数y ＝x α(0<α<1)．反映了C 随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t ∈[3,8]的图象可知，总产量C 没有变化，即第三年后停产，所以②③正确．8．有一个附有进、出水管的容器，每单位时间进、出的水量都是一定的，设从某时刻开始5 min 内只进水不出水，在随后的15 min 内既进水又出水，得到水量y (L)与时间x (min)之间的关系如图所示．若20 min 后只放水不进水，直到放完为止，则这时y 与x 之间的函数关系式是________．答案 y ＝95－3x ⎝⎛⎭⎪⎫20≤x ≤953 解析 先由图求出每分钟的进水量与出水量．由图可知每分钟的进水量为205＝4(L)．设每分钟的出水量为u (L)，则35－2020－5＝4－u ，∴u ＝3.因此，20 min 后，水量y ＝35－3(x －20)，即y ＝95－3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫20≤x ≤953. 三、解答题9．为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x (分)与通话费用y (元)的关系如图所示．(1)分别求出通话费用y 1，y 2与通话时间x 之间的函数解析式；(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜．解 (1)由图象可设y 1＝k 1x ＋29，y 2＝k 2x ，把点B (30,35)，C (30,15)分别代入y 1，y 2的解析式，得k 1＝15，k 2＝12.∴y 1＝15x ＋29(x ≥0)，y 2＝12x (x ≥0)．(2)令y 1＝y 2，即15x ＋29＝12x ，则x ＝9623.当x ＝9623时，y 1＝y 2，两种卡收费一致；当x <9623时，y 1>y 2，使用便民卡便宜；当x >9623时，y 1<y 2，使用如意卡便宜．B 级：能力提升练10．森林具有净化空气的功能，经研究发现，森林净化空气量Q与森林面积S 的关系是Q ＝50log 2S 10.(1)若要保证森林具有净化效果(Q ≥0)，则森林面积至少为多少个单位？(2)当某森林面积为80个单位时，它能净化的空气量为多少个单位？解 (1)由题，知当Q ＝0时，代入关系式可得0＝50log2S10，解得S＝10.因为Q随S的增大而增大，所以当Q≥0时，S≥10，即森林面积至少为10个单位．(2)将S＝80代入关系式，得Q＝50log28010＝50log28＝150.即森林面积为80个单位时，它能净化的空气量为150个单位．。