高中数学《几类不同增长的函数模型》导学案

3．2.1几类不同增长的函数模型

函数模型

(1)在区间(0，＋∞)上，函数y＝a x(a>1)，y＝log a x(a>1)和y＝xα(α>0)都是□1增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上．

(2)在区间(0，＋∞)上随着x的增大，y＝a x(a>1)的□2增长速度越来越快，会超过□3并远远大于y＝xα(α>0)的增长速度，而y＝log a x(a>1)的□4增长速度则会越来越慢．

(3)对于函数y＝a x(a>1)，y＝log a x(a>1)，y＝xα(α>0)，存在一个x0，使得当x>x0时，有□5a x>xα>log a x.

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数y＝x3比y＝2x增长的速度更快些．()

(2)当x>100时，函数y＝10x－1比y＝lg x增长的速度快．()

(3)能用指数型函数f(x)＝ab x＋c(a，b，c为常数，a>0，b>1)表达的函数模型，称为指数型函数模型，也常称为“爆炸型”函数．()答案(1)×(2)√(3)√

2．做一做

(1)已知变量x，y满足y＝1－3x，当x增加1个单位时，y的变化情况是________．

(2)(教材改编P98T1)当x>4时，a＝4x，b＝log4x，c＝x4的大小关

系为________．

(3)(教材改编P95例1)某商店每月利润的平均增长率为2%，若12月份的利润是当年1月份利润的k倍，则k＝________.

(4)如图所示的曲线反映的是________函数模型的增长趋势．

答案(1)减少3个单位(2)b

『释疑解难』

(1)一次函数模型

一次函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．

(2)指数函数模型

指数函数模型y＝a x(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．

(3)对数函数模型

对数函数模型y＝log a x(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．

(4)幂函数模型

幂函数y＝x n(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．

探究1建立函数模型解决实际问题

例1某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米

污水排出，为了净化环境，工厂设计了两套方案对污水进行处理，并准备实施．

方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30000元；

方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费，问：

(1)工厂每月生产3000件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明；

(2)若工厂每月生产6000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？

解设工厂每月生产x件产品时，选择方案一的利润为y1，选择方案二的利润为y2，由题意知

y1＝(50－25)x－2×0.5x－30000＝24x－30000.

y2＝(50－25)x－14×0.5x＝18x.

(1)当x＝3000时，y1＝42000，y2＝54000，

∵y1

(2)当x＝6000时，y1＝114000，y2＝108000，

∵y1>y2，∴应选择方案一处理污水．

拓展提升

建立函数模型是为了预测和决策，预测准不准主要靠建立的函数模型与实际的拟合程度．而要获得好的拟合度，就需要丰富、详实的数据．

【跟踪训练1】某公司预投资100万元，有两种投资可供选择：甲方案年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；

乙方案年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．

哪种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少

元？(结果精确到0.01万元)

解 按甲方案，每年利息100×10%＝10,5年后本息合计150万元；

按乙方案，第一年本息合计100×1.09，第二年本息合计100×1.092，…，5年后本息合计100×1.095≈153.86万元．

故按乙方案投资5年可多得利息3.86万元，更有利．

探究2 需选择函数模型的实际问题

例2 上世纪九十年代，政府气候变化专业委员会(IPCC)提供的一项报告指出：使全球气候逐年变暖的一个重要因素是人类在能源利用与森林砍伐中使CO 2浓度增加．据测，1990年、1991年、1992年大气中的CO 2浓度分别比1989年增加了1个可比单位、3个可比单位、6个可比单位．若用一个函数模拟上世纪九十年代每年CO 2浓度增加的可比单位数y 与年份增加数x 的关系，模拟函数可选用二次函数f (x )＝px 2＋qx ＋r 或指数型函数g (x )＝a ·b x ＋c (a ≠0，b >0，且b ≠1)，且又知1994年大气中的CO 2浓度比1989年增加了16个可比单位，请问用以上哪个函数作模拟函数较好？

解 ①若以二次函数f (x )＝px 2＋qx ＋r 作模拟函数，则

⎩⎪⎨⎪⎧ p ＋q ＋r ＝1，4p ＋2q ＋r ＝3，

9p ＋3q ＋r ＝6，

解得⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝12，q ＝12，r ＝0.

∴f (x )＝12x 2＋12x .

②若以指数型函数g (x )＝a ·b x ＋c 作模拟函数，则

⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＋c ＝1，ab 2＋c ＝3，

ab 3＋c ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝83，b ＝32，c ＝－3，

∴g (x )＝83·⎝ ⎛⎭

⎪⎫32x －3. 利用f (x )，g (x )对1994年CO 2浓度作估算，则其数值分别为：f (5)＝15个可比单位，g (5)＝17.25个可比单位．

∵|f (5)－16|<|g (5)－16|，

∴f (x )＝12x 2＋12x 作为模拟函数与1994年的实际数据较为接近．故

用函数f (x )＝12x 2＋12x 模拟较好．

拓展提升

用函数模型解应用题的四个步骤

【跟踪训练2】 一家庭(父亲、母亲和孩子们)去某地旅游，甲旅行社说：“如果父亲买全票一张，其余人可享受半票优惠．”乙旅

行社说：“家庭旅行为集体票，按原价23

优惠．”这两家旅行社的原