复变函数与积分变换-习题课

ln
2
i 4
2ki
2 4
k
i
1 2
ln
2
e
4
2
k
cos
1 2
ln
2
i
sin
1 2
ln
2
其中k 0,1,2, . 故 (1 i)i 的辐角的主值为 1 ln2.
2
8
例4 设是任意一个不等于1的n次单位根,求 1 2 n1 的值. 解 因为 n 1
所以 1 2 n1 1 n 0. 1
u2 v2
u 2
0
u
1 4
2
v2
1 16
表示
w平面上以
1 4
,0
为圆心，1
4
为半径的圆.
13
10
例6 满足下列条件的点组成何种图形?是不是区 域?若是区域请指出是单连通区域还是多连通区域.
(1) Im(z) = 0;
解 Im(z) 0 是实数轴,不是区域.
(2) p ＃arg z 2p ,且2 < z < 3
3
3
解 不是区域，因为图中
arg z , arg z 2
3
3
在圆环内的点不是内点.
y o 2 3x
11
例7 函数 w 1 z 将 z 平面上的下列曲线变成 w平 面上的什么曲线？
(1) x2 y2 9, (2) x 2. 解 (1) 因为 x2 y2 z 2 9
又
w1 z
1 x iy
x iy x2 y2
1 ( x iy), 9
于是 w u iv 1 x 1 iy u 1 x, v 1 y
即
z1 z2 2 z1 z2 2 .
两边开方,得 z1 z2 z1 z2 .
其几何意义是三角形任意一边的长不小于 其它两边边长之差的绝对值.
6
例3 求 (1 i)i 的辐角的主值.
解
(1 i )i eiLn(1i ) ei[ln 1i iArg (1i )]
e e i
1 2
99
9
9
u2 v2 1 ( x2 y2) 1 表示 w 平面上的圆.
81
9
12
(2) x 2. 解 因为 z x iy 2 iy
所以
w
1 z
1 2 iy
2 iy 4 y2
u iv
2
y
Leabharlann Baidu
u
4
y2 ,
v 4
y2
因为
u2 v2
4 (4
y2 y2 )2
1 4 y2
u, 2
所以
第一章 复数与复变函数
一、重点与难点 二、内容提要 三、典型例题
1
一、重点与难点
重点：1. 复数运算和各种表示法
2. 复变函数以及映射的概念
难点：1. 复数方程表示曲线以及不等式表示区域
2. 映射的概念
2
二、内容提要
复 球 面
扩 充
复 平 面
复数
代 数 运 算
乘 幂 与 方 根
复 数 表 示 法
9
例5 解方程 z2 4iz (4 9i) 0.
解 原方程为 z2 4iz (2i)2 4 (4 9i) 0.
即
(z 2i)2 9i
于是 z 2i 9i
3
cos
π 2
2kπ
π i sin 2
2kπ
,
2
2
k 0,1
故
z1
3
2
2
2
3
2
2
i
,
z2
3 2
2 2 3 2 i. 2
4
2) 由1)知 z1 z2 2 z1 2 z2 2 2 Re(z1z2 ), 又 z1 z2 2 z1 2 z2 2 2 z1 z2
z1 2 z2 2 2 z1 z2 z1 2 z2 2 2 z1z2 , 因为 z1z2 Re( z1z2 ),
5
所以 z1 2 z2 2 2 Re( z1z2 ) z1 2 z2 2 2 z1z2 ,
曲线 与区域
初
复变函数
等 函
几何表示法
数
向量表示法
三角及指数表示法
指数 函数
对数 函数
幂函 数
双曲 函数
三角 函数
3
三、典型例题
例1 设 z1, z2 是两个复数,求证 1) z1 z2 2 z1 2 z2 2 2 Re( z1z2 ); 2) z1 z2 z1 z2 .
证 1) z1 z2 2 (z1 z2 )(z1 z2 ) (z1 z2 )(z1 z2 ) z1z1 z2z2 z2z1 z1z2 z1 2 z2 2 (z1z2 z1z2 ) z1 2 z2 2 2 Re( z1z2 ).