2020年高考分类汇编-线性规划问题与答案
(完整版)线性规划高考题及答案
一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题例1、设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为 。
二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题例2、已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则22x y +的最小值是 .三、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。
例3、在约束条件024x y y x s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩下，当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是（）A.[6,15]B. [7,15]C. [6,8]D. [7,8]四、已知平面区域，逆向考查约束条件。
例4、已知双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（）(A)0003x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩ (B)0003x y x y x -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩ (C)003x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩ (D) 0003x y x y x -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩五、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。
例5已知变量x ，y 满足约束条件1422x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩。
若目标函数z ax y =+（其中0a >）仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为 。
六、设计线性规划，探求平面区域的面积问题例６在平面直角坐标系中，不等式组20200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域的面积是（）(A)(B)4 (C) (D)2七、研究线性规划中的整点最优解问题例7、某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x 则1010z x y =+的最大值是(A)80(B) 85 (C) 90 (D)95• • • • • •C• 八、设不等式组所表示的平面区域为，记内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为（1）求的值及的表达式；（2）记，试比较的大小；若对于一切的正整数，总有成立，求实数的取值范围；（3）设为数列的前项的和，其中，问是否存在正整数，使成立？若存在，求出正整数；若不存在，说明理由。
高三数学线性规划试题答案及解析
高三数学线性规划试题答案及解析1.，满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为（）A．或B．或C．或D．或【答案】D．【解析】如图，画出线性约束条件所表示的可行域，坐出直线，因此要使线性目标函数取得最大值的最优解不唯一，直线的斜率，要与直线或的斜率相等，∴或．【考点】线性规划．2.已知最小值是5，则z的最大值是（）A．10B．12C．14D．15【答案】A【解析】首先作出不等式组所表示的平面区域，如图中黄色区域，则直线-2x+y+c=0必过点B（2，-1），从而c=5,进而就可作出不等式组所表示的平面区域，如图部的蓝色区域：故知只有当直线经过点C（3，1）时，z取最大值为：，故选A．【考点】线性规划．3.执行如图1所示的程序框图，如果输入的，则输出的的最大值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】该程序执行以下运算：已知，求的最大值.作出表示的区域如图所示，由图可知，当时，最大，最大值为.选C.【考点】程序框图与线性规划.4.执行如图1所示的程序框图，如果输入的，则输出的的最大值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】该程序执行以下运算：已知，求的最大值.作出表示的区域如图所示，由图可知，当时，最大，最大值为.选C.【考点】程序框图与线性规划.5.设变量满足约束条件则目标函数的最小值为（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】作出可行域:oyxA(1，1)由图可知，当直线过点时，目标函数取最小值为3，选B.【考点】线性规划6.已知x，y满足条件，则目标函数的最大值为 .【答案】【解析】画出可行域，如下图所示，将目标函数变形为，当取到最大值时，直线的纵截距最大，故将直线向上平移到过点C时，目标函数取到最大值，，得，故．【考点】线性规划．7.若变量满足约束条件，则的最大值为_________.【答案】【解析】作出不等式组表示的区域如下,则根据线性规划的知识可得目标函数在点处取得最大值,故填.【考点】线性规划8.设x，y满足约束条件，则z＝(x＋1)2＋y2的最大值为()A．80B．4C．25D．【答案】A【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．(x＋1)2＋y2可看作点(x，y)到点P(－1,0)的距离的平方，由图可知可行域内的点A到点P(－1,0)的距离最大．解方程＝(3＋1)2＋82＝80.组，得A点的坐标为(3,8)，代入z＝(x＋1)2＋y2，得zmax9.已知实数满足，则目标函数的取值范围是．【答案】【解析】可行域表示一个三角形ABC，其中当直线过点A时取最大值4，过点B时取最小值2，因此的取值范围是.【考点】线性规划求取值范围10.设变量满足，则的最大值和最小值分别为（）A．1，-1B．2，-2C．1，-2D．2，-1【答案】B【解析】由约束条件，作出可行域如图，设，则，平移直线，当经过点时，取得最大值，当经过点时，取得最小值，故选．【考点】线性规划.11.（2011•浙江）设实数x、y满足不等式组，若x、y为整数，则3x+4y的最小值是（）A．14B．16C．17D．19【答案】B【解析】依题意作出可行性区域如图，目标函数z=3x+4y在点（4，1）处取到最小值z=16．故选B．12.若点(x,y)位于曲线y = |x|与y = 2所围成的封闭区域, 则2x－y的最小值为A．－6B．－2C．0D．2【答案】A【解析】的图像围成一个三角形区域，3个顶点的坐标分别是 (0,0),(-2,2),(2,2). 且当取点(-2,2)时，2x – y =" -" 6取最小值。
高考专题练习： 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题
1．二元一次不等式(组)表示的平面区域满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x，y)，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．3．线性规划的有关概念1．画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0，1)或(1，0)来验证．2．利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有(1)当B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；(2)当B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．3．平移规律当b >0时，直线z ＝ax ＋by 向上平移z 变大，向下平移z 变小；当b <0时，直线z ＝ax ＋by 向上平移z 变小，向下平移z 变大．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．( )(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．( )(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．( ) (4)在目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( )答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× 二、易错纠偏常见误区| (1)不会用代点法判断平面区域； (2)不明确目标函数的最值与等值线截距的关系； (3)不理解目标函数的几何意义； (4)对“最优解有无数个”理解有误．1．若点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方，则t 的取值范围是__________． 解析：因为直线2x －3y ＋6＝0的上方区域可以用不等式2x －3y ＋6＜0表示，所以由点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方得－4－3t ＋6＜0，解得t ＞23.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞2．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ＋2≥0，x －2≤0，2x －y ＋1≥0.则z ＝x ＋y 的最大值与最小值的比值为________．解析：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，z ＝x ＋y 可化为y ＝－x ＋z ，当直线y ＝－x ＋z 经过A 点时，z 最大，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝0，2x －y ＋1＝0.得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5，故A (2，5)，此时z ＝7；当直线y ＝－x ＋z 经过B 点时，z 最小，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2＝0，2x －y ＋1＝0，得⎩⎨⎧x ＝－32，y ＝－2，故B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－2，此时z ＝－72，故最大值与最小值的比值为－2.答案：－23．已知x ，y 满足条件⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，则z ＝y －1x ＋3的最大值为________．解析：作出可行域如图中阴影部分所示，问题转化为区域上哪一点与点M (－3，1)连线斜率最大，观察知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，52，使k MA 最大，z max ＝k MA ＝52－1－52＋3＝3.答案：34．已知x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，若使得z ＝ax ＋y 取得最大值的点(x ，y )有无数个，则a 的值为________．解析：先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，当直线z ＝ax ＋y 和直线AB 重合时，z 取得最大值的点(x ，y )有无数个，所以－a ＝k AB ＝1，所以a ＝－1.答案：－1二元一次不等式(组)表示的平面区域(多维探究) 角度一 平面区域的面积不等式组⎩⎨⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于()A ．32B ．23C ．43D ．34【解析】 由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43，B (1，1)，C (0，4)，则△ABC 的面积为12×1×83＝43.故选C ．【答案】 C角度二 平面区域的形状若不等式组⎩⎨⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________．【解析】不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图所示(阴影部分)．解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，2x ＋y ＝2得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23；解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，2x ＋y ＝2得B (1，0)．若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x ＋y ＝a 中的a 的取值范围是0<a ≤1或a ≥43.【答案】 (0，1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞(1)求平面区域面积的方法①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和．(2)根据平面区域确定参数的方法在含有参数的二元一次不等式组所表示的平面区域问题中，首先把不含参数的平面区域确定好，然后用数形结合的方法根据参数的不同取值情况画图观察区域的形状，根据求解要求确定问题的答案．1．已知约束条件⎩⎨⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．－2解析：选A ．作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，要使阴影部分为直角三角形，当k ＝0时，此三角形的面积为12×3×3＝92≠1，所以不成立，所以k ＞0，则必有BC ⊥AB ，因为x ＋y －4＝0的斜率为－1，所以直线kx －y ＝0的斜率为1，即k ＝1，满足题意，故选A ．2．设不等式组⎩⎨⎧x ≥1，x －y ≤0，x ＋y ≤4表示的平面区域为M ，若直线y ＝kx －2上存在M内的点，则实数k 的取值范围是( )A ．[1，3]B ．(－∞，1]∪[3，＋∞)C ．[2，5]D ．(－∞，2]∪[5，＋∞)解析：选C ．作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ≤0，x ＋y ≤4表示的平面区域，如图中阴影部分所示，因为直线l ：y ＝kx －2的图象过定点A (0，－2)，且斜率为k ，由图知，当直线l 过点B (1，3)时，k 取最大值3＋21－0＝5，当直线l 过点C (2，2)时，k 取最小值2＋22－0＝2，故实数k 的取值范围是[2，5]．求目标函数的最值(多维探究) 角度一 求线性目标函数的最值(2021·郑州第一次质量预测)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥0，x －y ≥0，3x ＋y －4≤0，则y －2x 的最小值是( ) A ．－1 B ．－6 C ．－10D ．－15【解析】不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ≥0，3x ＋y －4≤0表示的平面区域如图中阴影部分所示．令z ＝y －2x ，作出直线y ＝2x ，并平移，当直线z ＝y －2x 过点B (2，－2)时，z 的值最小，最小值为－6，故选B ．【答案】 B(1)求目标函数的最值形如z ＝ax ＋by (b ≠0)的目标函数，可变形为斜截式y ＝－a b x ＋zb (b ≠0)． ①若b >0，当直线过可行域且在y 轴上的截距最大时，z 值最大，在y 轴上截距最小时，z 值最小；②若b <0，当直线过可行域且在y 轴上的截距最大时，z 值最小，在y 轴上的截距最小时，z 值最大．(2)求目标函数最优解的常用方法如果可行域是一个多边形，那么一般在某顶点处使目标函数取得最优解，到底哪个顶点为最优解，可有两种方法判断：①将可行域各顶点的坐标代入目标函数，通过比较各顶点函数值大小即可求得最优解；②将目标函数的直线平移，最先通过或最后通过的顶点便是最优解． 角度二 求非线性目标函数的最值(范围)实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，x ≥0，y ≤2.(1)若z ＝yx ，则z 的取值范围为________；(2)若z ＝x 2＋y 2，则z 的最大值为________，最小值为________．【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ≥0，y ≤2，作出可行域，如图中阴影部分所示．(1)z ＝yx 表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此yx 的取值范围为直线OB 的斜率到直线OA 的斜率(直线OA 的斜率不存在，即z max 不存在)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2，得B (1，2)， 所以k OB ＝21＝2，即z min ＝2， 所以z 的取值范围是[2，＋∞)．(2)z ＝x 2＋y 2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方． 因此x 2＋y 2的最小值为OA 2，最大值为OB 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＝0，得A (0，1)， 所以OA 2＝(02＋12)2＝1，OB 2＝(12＋22)2＝5.【答案】 (1)[2，＋∞) (2)5 1【迁移探究1】 (变问法)本例条件不变，求目标函数z ＝y －1x －1的取值范围．解：z ＝y －1x －1可以看作过点P (1，1)及(x ，y )两点的直线的斜率．所以z 的取值范围是(－∞，0]．【迁移探究2】 (变问法)本例条件不变，求目标函数z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3的最值．解：z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3 ＝(x －1)2＋(y －1)2＋1，而(x －1)2＋(y －1)2表示点P (1，1)与Q (x ，y )的距离的平方PQ 2，PQ 2max ＝(0－1)2＋(2－1)2＝2，PQ 2min ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫|1－1＋1|12＋（－1）22＝12，所以z max ＝2＋1＝3，z min ＝12＋1＝32.常见两类非线性目标函数的几何意义(1)x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0，0)间的距离，（x －a ）2＋（y －b ）2表示点(x ，y )与点(a ，b )间的距离；(2)yx 表示点(x ，y )与原点(0，0)连线的斜率，y －b x －a 表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率．角度三 求参数值或取值范围(2021·贵阳市第一学期监测考试)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋2≥y ，x ≤2，y －1≥0，若z＝x ＋ay (a >0)的最大值为10，则a ＝ ( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x －y ＋2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，所以A (2，4)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，所以B (2，1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝0，x －y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，所以C (－1，1)．若(2，4)是最优解，则2＋4a ＝10，a ＝2，经检验符合题意；若(2，1)是最优解，则2＋a ＝10，a ＝8，经检验不符合题意；若(－1，1)是最优解，则－1＋a ＝10，a ＝11，经检验不符合题意．综上所述，a ＝2，故选B ．【答案】 B求解线性规划中含参数问题的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．1．若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥1，x ＋2y ≤2，x ≤a ，目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为2，则a ＝________．解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x ＋2y ≤2，x ≤a 表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线2x ＋3y ＝0，平移直线2x ＋3y ＝0，显然过A (a ，1－a )时，z ＝2x ＋3y 取得最小值，则2a ＋3(1－a )＝2，解得a ＝1.答案：12．(2021·开封市第一次模拟考试)已知点A (0，2)，动点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎨⎧x ≥0，y ≤x ，则|P A |的最小值是________．解析：依题意，画出不等式组⎩⎨⎧x ≥0，y ≤x 表示的平面区域，如图中阴影部分所示，结合图形可知，|P A |的最小值等于点A (0，2)到直线x －y ＝0的距离，即|0－2|2＝ 2.答案： 23．(2021·湖北八校第一次联考)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧2x －y ＋3≥0，2x ＋y －5≤0，y ≥1，则z ＝|x－y |的取值范围为________．解析：画出可行域如图中阴影部分所示，z ＝|x －y |＝|x －y |2·2表示可行域内的点(x ，y )到直线x －y ＝0的距离的2倍．作出直线x －y ＝0，由图可得可行域内的点(x ，y )到直线x －y ＝0的距离的最小值为0，最大值为直线2x －y ＋3＝0与2x ＋y －5＝0的交点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，4到直线x －y ＝0的距离，即724，所以z 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，72.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，72线性规划的实际应用(师生共研)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的限量如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为( )甲 乙 原料限量 A /吨 3 2 12 B /吨128A ．16万元 C ．18万元D ．19万元【解析】 设该企业每天生产x 吨甲产品，y 吨乙产品，可获得利润为z 万元，则z ＝3x ＋4y ，且x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线3x ＋4y ＝0并平移，可知当直线经过点(2，3)时，z 取得最大值，z max ＝3×2＋4×3＝18(万元)．故选C ．【答案】 C利用线性规划解决实际问题的五步曲某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为________元．解析：设租用A 型车x 辆，B 型车y 辆，目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y ，则约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧36x ＋60y ≥900，x ＋y ≤21，y －x ≤7，x ，y ∈N ，作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点A (5，12)时，有最小值z min ＝36 800(元)．答案：36 800[A 级 基础练]1．不等式组⎩⎨⎧x －3y ＋6≤0，x －y ＋2>0表示的平面区域是( )解析：选C ．用特殊点代入，比如(0，0)，容易判断为C ． 2．设集合A ＝{(x ，y )|x －y ≥1，ax ＋y >4，x －ay ≤2}，则( ) A ．对任意实数a ，(2，1)∈A B ．对任意实数a ，(2，1)∉A C ．当且仅当a <0时，(2，1)∉A D ．当且仅当a ≤32时，(2，1)∉A解析：选D ．若(2，1)∈A ，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1>4，2－a ≤2，解得a >32，所以当且仅当a ≤32时，(2，1)∉A ，故选D ．3．(2020·高考浙江卷)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －3y ＋1≤0，x ＋y －3≥0，则z ＝x ＋2y的取值范围是( )A ．(－∞，4]B ．[4，＋∞)C ．[5，＋∞)D ．(－∞，＋∞)解析：选B ．画出可行域如图中阴影部分所示，作出直线x ＋2y ＝0，平移该直线，易知当直线经过点A (2，1)时，z 取得最小值，z min ＝2＋2×1＝4，再数形结合可得z ＝x ＋2y 的取值范围是[4，＋∞)．故选B ．4．若M 为不等式组⎩⎨⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2 连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过M 中的那部分区域的面积为( )A ．1B ．32C ．34D ．74解析：选D ．在平面直角坐标系中作出区域M 如图中阴影部分所示，当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过M 中的那部分区域为图中的四边形AODE ，所以其面积S ＝S △AOC －S △DEC ＝12×2×2－12×1×12＝74，故选D ．5．若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －m ≥0，x －3≤0，若z ＝2x －3y 的最大值为9，则正实数m 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．8解析：选A ．作出x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －m ≥0，x －3≤0表示的可行域如图中阴影部分所示，由图可知z ＝2x －3y 在点A 处取得最大值， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －m ＝0，x ＝3解得A (3，m －3)， 由z max ＝2×3－3(m －3)＝9，解得m ＝2. 故选A ．6．(2021·广州市阶段训练)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧1≤x ≤3，0≤x ＋y ≤2，则z ＝x －2y的最小值为________．解析：依题意，在平面直角坐标系内作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线x －2y ＝0，并平移，当平移到经过该平面区域内的点(1，1)时，相应直线在x 轴上的截距最小，此时z ＝x －2y 取得最小值，最小值为－1.答案：－17．(2021·合肥第一次教学检测)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ≥y ，x ≤2y ，x ＋y －6≤0，则z ＝2x＋y 取得最大值时的最优解为________．解析：方法一：作不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥y ，x ≤2y ，x ＋y －6≤0表示的平面区域，如图中阴影部分所示，作出直线2x ＋y ＝0，并平移，根据z 的几何意义，很容易看出当直线平移到点B 处时z 取得最大值，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x ＋y －6＝0，得B (4，2)．方法二：易知目标函数z ＝2x ＋y 的最大值在交点处取得，只需求出两两相交的三个交点的坐标，代入z ＝2x ＋y ，即可求得最大值．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ，x －2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0为原点，代入可得z ＝0；联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ，x ＋y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，将(3，3)代入可得z ＝9；联立⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x ＋y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2，将(4，2)代入可得z ＝10.通过比较可知，z 的最大值为10，故最优解为(4，2)．答案：(4，2)8．(2021·四省八校第二次质量检测)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －2≤0，x －2y ＋2≥0，x ＋y ＋1≥0，若－x ＋y ≥－m 2＋4m 恒成立，则实数m 的取值范围为________． 解析：设z ＝－x ＋y ，作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线－x ＋y ＝0，并平移可知当直线过点B (2，－3)时z 取得最小值，所以z min ＝－5，所以－m 2＋4m ≤－5，m 2－4m －5≥0⇒m ≤－1或m ≥5，所以m 的取值范围为(－∞，－1]∪[5，＋∞)．答案：(－∞，－1]∪[5，＋∞)9.如图所示，已知D 是以点A (4，1)，B (－1，－6)，C (－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．(1)写出表示区域D 的不等式组；(2)设点B (－1，－6)，C (－3，2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，求a 的取值范围．解：(1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0，4x ＋y ＋10＝0.原点(0，0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a ]·[4×(－3)－3×2－a ]<0，即(14－a )(－18－a )<0，解得－18<a <14.故a 的取值范围是(－18，14)．10．已知x ，y 满足⎩⎨⎧y ＞0，x ＋y ＋1＜0，3x ＋y ＋9＞0，记点(x ，y )对应的平面区域为P .(1)设z ＝y ＋1x ＋3，求z 的取值范围； (2)过点(－5，1)的一束光线，射到x 轴被反射后经过区域P ，当反射光线所在直线l 经过区域P 内的整点(即横纵坐标均是整数的点)时，求直线l 的方程．解：平面区域如图所示(阴影部分)，易得A ，B ，C 三点坐标分别为A (－4，3)，B (－3，0)，C (－1，0)．(1)由z ＝y ＋1x ＋3知z 的值即是定点M (－3，－1)与区域内的点Q (x ，y )连接的直线的斜率，当直线过A (－4，3)时，z ＝－4； 当直线过C (－1，0)时，z ＝12.故z 的取值范围是(－∞，－4)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.(2)过点(－5，1)的光线被x 轴反射后的光线所在直线必经过点(－5，－1)，由题设可得区域内坐标为整数点仅有点(－3，1)，故直线l 的方程是y －1（－1）－1＝x ＋3（－5）＋3，即x －y ＋4＝0.[B 级 综合练]11．已知点(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(1，0)处取得最小值，则a 的取值范围为( )A ．(－1，2)B ．(－2，1)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12解析：选B ．作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示，由z ＝ax ＋y 可得y ＝－ax ＋z ，直线的斜率k ＝－a ， 因为k AC ＝2，k AB ＝－1，目标函数z ＝ax ＋y 仅在点A (1，0)处取得最小值，则有k AB <k <k AC ， 即－1<－a <2，所以－2<a <1，即实数a 的取值范围是(－2，1)．故选B ．12．若点M (x ，y )满足⎩⎨⎧x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，1≤x ≤2，0≤y ≤2，则x ＋y 的取值集合是( )A ．[1，2＋2]B ．[1，3]C ．[2＋2，4]D ．[1，4]解析：选A ．x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝(x －1)2＋(y －1)2＝1，根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，令z ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋z ，根据图象得到当直线过点(1，0)时目标函数取得最小值，为1，当直线和半圆相切时，取得最大值，根据点到直线的距离等于半径得到|2－z |2＝1⇒z ＝2±2，易知2－2不符合题意，故z ＝2＋2，所以x ＋y 的取值范围为[1，2＋2]．故选A ．13．已知点A (2，1)，O 是坐标原点，P (x ，y )的坐标满足⎩⎨⎧2x －y ≤0x －2y ＋3≥0y ≥0，设z ＝OP →·OA→，则z 的最大值是________． 解析：方法一：由题意，作出可行域，如图中阴影部分所示．z ＝OP →·OA →＝2x ＋y ，作出直线2x ＋y ＝0并平移，可知当直线过点C 时，z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x －2y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即C (1，2)，则z 的最大值是4.方法二：由题意，作出可行域，如图中阴影部分所示，可知可行域是三角形封闭区域．z ＝OP →·OA →＝2x ＋y ，易知目标函数z ＝2x ＋y 的最大值在顶点处取得，求出三个顶点的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(－3，0)，分别将(0，0)，(1，2)，(－3，0)代入z ＝2x ＋y ，对应z 的值为0，4，－6，故z 的最大值是4.答案：414．某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A ，B ，C 三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：原料 肥料ABC甲 4 8 3 乙5510现有A 种原料200吨，B 种原料360吨，C 种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x ，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．解：(1)由已知得，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，8x ＋5y ≤360，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0.二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分．(2)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y .考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋z 3， 这是斜率为－23，随z 变化的一族平行直线.z 3为直线在y 轴上的截距，当z3取最大值时，z 的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z3最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20，24)． 所以z max ＝2×20＋3×24＝112.即生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．[C 级 提升练]15．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧6x ＋y －1≥0，x －y －3≤0，y ≤0，则z ＝y －ln x 的取值范围为________．解析：作出可行域如图(阴影部分)，其中A (16，0)，B (3，0)，C (47，－177)．由图可知，当y ＝ln x ＋z 过点A (16，0)时z 取得最大值，z max ＝0－ln 16＝ln 6.设y ＝ln x ＋z 的图象与直线y ＝x －3相切于点M (x 0，y 0)，由y ＝ln x ＋z 得y ′＝1x ，令1x 0＝1得x 0＝1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫47，3，故y ＝ln x ＋z 与y ＝x －3切于点M (1，－2)时，z 取得最小值，z min ＝－2－ln 1＝－2.所以z ＝y －ln x 的取值范围为[－2，ln 6]． 答案：[－2，ln 6]16．已知点A (53，5)，直线l ：x ＝my ＋n (n ＞0)过点A .若可行域⎩⎨⎧x ≤my ＋n ，x －3y ≥0，y ≥0的外接圆的直径为20，则n ＝________．解析：注意到直线l ′：x －3y ＝0也经过点A ，所以点A 为直线l 与l ′的交点． 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤my ＋n ，x －3y ≥0，y ≥0表示的可行域，如图中阴影部分所示．设直线l 的倾斜角为α，则∠ABO ＝π－α. 在△OAB 中，OA ＝（53）2＋52＝10.根据正弦定理，得10sin （π－α）＝20，解得α＝5π6或π6.当α＝5π6时，1m ＝tan 5π6，得m ＝－ 3. 又直线l 过点A (53，5)， 所以53＝－3×5＋n ， 解得n ＝10 3.当α＝π6时，同理可得m ＝3，n ＝0(舍去)． 综上，n ＝10 3. 答案：10 3。
2020年高考数学二轮重难点复习：简单的线性规划附答案详解
2020年高考数学二轮重难点复习：简单的线性规划近三年的高考对简单线性规划的考查主要表现在要求学生会从实际问题中抽象出二元一次不等式，在了解二元一次不等式的几何意义的基础上会画出二元一次不等式组表示的平面区域并求出最优解等方面.体现了基础性、融合性、思想性的特点.提高本专题的复习效率，要求教师在认真研究近几年高考试题的基础上，把握简单线性规划的命题特点，从多元视角切入，帮助学生理解线性规划知识的本质.1试题特点简单线性规划是近几年高考的热点之一，试题一般为一道小题，在选择题与填空题部分出现，保持相对的稳定性.分析近几年高考试题，对简单线性规划问题的考查体现出以下的几个特点.基础性:命题注重对学生线性规划的基本知识、基本技能的考查，关注学生的共同基础，侧重知识与方法的应用.要求学生会运用所学知识将二元一次不等式组表示成平面区域，并求出线性目标函数z=ax+by的相关问题.试题难度一般不大，面向全体，强调有效检测学生对简单线性规划知识的理解与运用融合性:近几年高考在重视基础的同时，注重从学科整体意义来考查学生思维能力，强调在知识网络交汇点处命制简单线性规划考题.如将直线、斜率、距离等作为目标函数，考查线性规划与解析几何的融合的斜率型、距离型等目标函数的最优解；与三角函数融合考查可行域的面积；绝对值不等式中符号的选取等，这些对学生的思维能力有较高的要求.思想性:高考对简单线性规划问题，重视对学生数学思想与方法的考查.命题时注重以思想价值立意，考查学生对数学思想与方法的掌握程度.要求学生活用数形结合思想，理解二元一次不等式组表示的几何区域；运用转化与化归思想及函数与方程思想理解目标函数的几何解释，运用分类讨论及特殊与一般思想研究含参问题，确立最优解；要求学生会将实际问题抽象成线性规划模型求解，引导学生学会用数学的眼光看世界.2复习建议2.1理解知识本质，掌握通性通法把握知识本质是教与学成功的关键.求解线性规划问题的关键有两点:其一是将二元一次不等式组转化为可行域；其二是理解目标函数的几何意义，数形结合求解.高考对线性规划的考查较多以常规题的形式出现，这一类问题一般是可行域较为常规，但目标函数有变化.常出现的形式有:①直线型，转化成斜截式比较截距；②分式型，几何意义是已知点与在可行域内运动的动点连线的斜率；③平方型，其几何意义是动点与已知点之间的距离，需要注意的是最终结果应该是距离的平方；④绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离.因此在复习时应使学生准确理解二元一次不等式组的几何意义，准确画出二元一次不等式组所表示的平面区域，利用直线的性质求出目标函数的最优解例1设x，y满足约束条件，则z=3x－2y的最小值为.例2若x，y满足约束条件，则的最大值为.2.2关注知识融合，提升思维能力线性规划问题是数学工具性知识之一.以线性规划为背景，从知识融合的视角强化对解析几何、三角函数、绝对值不等式等相关知识的理解，有利于使学生在夯实数学基础知识和基本技能的基础上，提升解题能力.这类问题涉及知识点相对较多，设问灵活，能更好地体现高考选拔性考试的特点，要引起重视例3若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为( )A. B.1 C. D.3例4设p:实数x，y满足，q:实数x，y满足，则p是q的( )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.3注重思想渗透，培育学科素养数学思想与方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，是学科知识的灵魂，也应成为复习的核心.线性规划专题的复习要注意从思想价值立意，适度淡化特殊技巧，注重强化学生对线性规划知识中所蕴含的数学思想方法的掌握.注意加强整体转化思想、数形结合思想、方程与函数思想及数学应用素养的训练.例5如果函数(m ≥0，n ≥0)在区间上单调递减，则mn的最大值为( )A ．16B ．18C ．25D ． 模拟题1．已知实数x ，y 满足5,210,220,x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩则3z x y =+的最小值为（ ）A ．1B ．3C ．5D ．112．若实数x ，y 满足22000x y x x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最大值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．33．若,x y 满足约束条件0210x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则4z x y =+的最大值为（ ）A ．5-B ．1-C ．5D ．64．若x ，y 满足|1|x y ≤-，且y ≥−1，则3x+y 的最大值为A ．−7B ．1C ．5D ．75．设实数,x y 满足3260,3260,0,x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则731x y +-的最小值为（）A ．15-B ．13-C ．11-D ．9-6．已知,x y R ∈，且00y y y +≤-≥≥⎪⎩，则存在R θ∈，使得cos sin 10x y θθ++=成立的(),P x y 构成的区域面积为（ ）。
2020年高考江苏版高考数学 8.2 线性规划
{ 2������ - ������ ≤ 0,
6.(2019 届江苏黄桥中学检测)已知变量 x,y 满足 ������ - 2������ + 3 ≥ 0,则 z=8x·2y 的最大值是 . ������ ≥ 0,
答案 32
{ 7.(2019
届江苏苏州第六中学检测)设
个,则 a 的值等于 .
{ 0 ≤ ������ ≤ 3,
1.(2018 江苏苏州高三第一次调研测试)已知变量 x,y 满足 ������ + ������ ≥ 0, 则 z=2x-3y 的最大值为 . ������ - ������ + 3 ≤ 0,
答案 -9
{ ������ ≥ 2,
2.(2018 江苏无锡普通高中高三期末调研)已知变量 x,y 满足 ������ + ������ ≤ 4,目标函数 z=3x+y 的最小值为 5,则 2������ - ������ ≤ ������,
3
答案 2
过专题
【五年高考】
A 组 自主命题·江苏卷题组
{������ - 2������ + 4 ≥ 0,
(2016 江苏,12,5 分)已知实数 x,y 满足 2������ + ������ - 2 ≥ 0,则 x2+y2 的取值范围是 . 3������ - ������ - 3 ≤ 0,
答案 -1
{ ������ + 2������ ≤ 1,
10.(2017 课标全国Ⅰ理,14,5 分)设 x,y 满足约束条件 2������ + ������ ≥ - 1,则 z=3x-2y 的最小值为 . ������ - ������ ≤ 0,
2020年高考数学(理)二轮复习命题考点串讲系列-专题05 不等式与线性规划(含答案解析)
2020年高考数学（理）二轮复习命题考点串讲系列-专题05 不等式与线性规划1、考情解读与区域有关的面积、距离、参数范围问题及线性规划问题；利用基本不等式求函数最值、运用不等式性质求参数范围、证明不等式是高考热点．2020年高考备考时，应切实理解与线性规划有关的概念，要熟练掌握基本不等式求最值的方法，特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧方法．要特别加强综合能力的培养，提升运用不等式性质分析、解决问题的能力．2、重点知识梳理1.熟记比较实数大小的依据与基本方法．①作差(商)法；②利用函数的单调性．2．特别注意熟记活用以下不等式的基本性质(1)乘法法则：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；(2)同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(3)同向可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；(4)乘方法则：a>b>0⇒a n>b n(n∈N，n≥2)；3．熟练应用基本不等式证明不等式与求函数的最值．4．牢记常见类型不等式的解法．(1)一元二次不等式，利用三个二次之间的关系求解．(2)简单分式、高次不等式，关键是熟练进行等价转化．(3)简单指、对不等式利用指、对函数的单调性求解．5．简单线性规划(1)应用特殊点检验法判断二元一次不等式表示的平面区域．(2)简单的线性规划问题解线性规划问题，关键在于根据条件写出线性约束关系式及目标函数，必要时可先做出表格，然后结合线性约束关系式作出可行域，在可行域中求出最优解．3、高频考点突破考点1 不等式性质及解不等式 例1、(1)不等式组⎩⎨⎧x x ＋2＞0，|x |＜1的解集为( )A ．{x |－2＜x ＜－1}B ．{x |－1＜x ＜0}C ．{x |0＜x ＜1}D ．{x |x ＞1}解析：基本法：由x (x ＋2)＞0得x ＞0或x ＜－2；由|x |＜1得－1＜x ＜1，所以不等式组的解集为{x |0＜x ＜1}，故选C.答案：C(2)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(1，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞速解法：令x ＝0，f (x )＝f (0)＝－1＜0. f (2x －1)＝f (－1)＝ln 2－12＝ln 2－ln e ＞0. 不适合f (x )＞f (2x －1)，排除C. 令x ＝2，f (x )＝f (2)＝ln 3－15， f (2x －1)＝f (3)，由于f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2在(0，＋∞)上为增函数 ∴f (2)＜f (3)，不适合．排除B 、D ，故选A. 答案：A考点2 基本不等式及应用例2、【2017山东，理7】若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是（A ）()21log 2a b a a b b +<<+ （B ）()21log 2a b a b a b <+<+（C ）()21log 2a ba ab b +<+< （D ）()21log 2a b a b a b +<+<【答案】B【解析】因为0a b >>，且1ab =，所以()221,01,1,log log 21,2aba b a b ab ><<∴+= ()12112log a ba ab a a b b b+>+>+⇒+>+ ，所以选B. 【变式探究】(1)若直线x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于( ) A ．2B ．3C ．4D ．5答案：C(2)定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy (x ，y ∈R ，xy ≠0)．当x ＞0，y ＞0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________．解析：基本法：x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋4y 2－x 22yx ＝2x 2－2y 2＋4y 2－x 22xy ＝x 2＋2y 22xy ＝x 2y ＋yx ，∵x ＞0，y ＞0，∴x 2y ＋yx ≥212＝2，当且仅当x 2y＝yx ，即x ＝2y 时等号成立，故所求最小值为 2. 答案： 2考点3 求线性规划中线性目标函数的最值例3、【2017课标II ，理5】设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．15-B ．9-C ．1D ．9 【答案】A【解析】x 、y 满足约束条件2+330{2330 30x y x y y -≤-+≥+≥的可行域如图：【变式探究】(1)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．解析：基本法：作出可行域，如图：由z ＝x ＋y 得y ＝－x ＋z ，当直线y ＝－x ＋z 过点 A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12时，z 取得最大值，z max ＝1＋12＝32. 速解法：由⎩⎨⎧x －y ＋1＝0x －2y ＝0得点(－2，－1)，则z ＝－3由⎩⎨⎧ x －y ＋1＝0x ＋2y －2＝0得点(0,1)，则z ＝1 由⎩⎨⎧x －2y ＝0x ＋2y －2＝0得点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12则z ＝32.答案：32(2)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－3解析：基本法：二元一次不等式组表示的平面区域如图所示，其中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12，a ＋12.平移直线x ＋ay ＝0，可知在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12，a ＋12处，z 取得最小值，答案：B考点4 线性规划的非线性目标函数的最值例4、(1)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是( ) A ．[1,5] B ．[2,6] C ．[3,11] D ．[3,10]答案：C(2)(2016·高考山东卷)若变量x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．12解析：基本法：先作出不等式组表示的平面区域，再求目标函数的最大值．作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．x 2＋y 2表示平面区域内的点到原点距离的平方，由⎩⎨⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9得A (3，－1)，由图易得(x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝32＋(－1)2＝10.故选C.答案：C4、真题感悟（2014-2017年）1.【2017北京，理4】若x ，y 满足32x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，，， 则x + 2y 的最大值为（A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）9 【答案】D【解析】如图，画出可行域，2.【2017浙江，4】若x ，y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则y x z 2+=的取值范围是A ．[0，6]B ．[0，4]C ．[6，)∞+D ．[4，)∞+【答案】D【解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线过点(2,1)时取最小值4，无最大值，选D ．3.【2017山东，理7】若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是（A ）()21log 2a b a a bb +<<+ （B ）()21log 2a b a b a b <+<+（C ）()21log 2a ba ab b +<+< （D ）()21log 2a b a b a b +<+<【答案】B4.【2017课标II ，理5】设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．15-B ．9-C ．1D ．9 【答案】Axoy2x y -=02=-y x03=-+y x【解析】x、y满足约束条件2+330{233030x yx yy-≤-+≥+≥的可行域如图：z=2x+y经过可行域的A时，目标函数取得最小值，由3{2330yx y=--+=解得A(−6,−3)，则z=2x+y的最小值是：−15. 故选：A.5.【2017山东，理4】已知x,y满足x y3x y⎧-+≤⎪+≤⎨⎪+≥⎩30+5030x，则z=x+2y的最大值是（A）0 （B） 2 （C） 5 （D）6 【答案】C【解析】由x y3x y⎧-+≤⎪+≤⎨⎪+≥⎩30+5030x画出可行域及直线20x y+=如图所示，平移20x y+=发现，当其经过直线3x +y 50=+与x -3=的交点(3,4)-时，2z x y =+最大为3245z =-+⨯=，选C.6.【2017天津，理2】设变量,x y 满足约束条件20,220,0,3,x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩则目标函数z x y =+的最大值为（A ）23 （B ）1（C ）32 （D ）3【答案】D1. 【2016高考新课标1卷】若101a b c >><<，,则( )（A ）c c a b < （B ）c c ab ba < （C ）log log b a a c b c < （D ）log log a b c c < 【答案】C【解析】用特殊值法，令3a =，2b =，12c =得112232>，选项A 错误，11223223⨯>⨯，选项B 错误，2313log 2log 22<，选项C 正确，3211log log 22>，选项D 错误，故选C ． 2.【2016高考天津理数】设变量x ，y 满足约束条件20,2360,3290.x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数25z x y=+的最小值为（ ）（A ）4-（B ）6（C ）10（D ）17【答案】B【解析】可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中(0,2),(3,0),(1,3)A B C ，直线z 25x y =+过点B 时取最小值6，选B.3.【2016高考山东理数】若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x ì+?ïïïï-?íïï锍ïî则22x y +的最大值是（ ） （A ）4 （B ）9 （C ）10 （D ）12【答案】C4.【2016高考浙江理数】在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域200340x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩中的点在直线x +y -2=0上的投影构成的线段记为AB ，则│AB │=（ ）A ．22B ．4C ．32D ．6 【答案】C【解析】如图∆PQR 为线性区域，区域内的点在直线20x y +-=上的投影构成了线段''R Q ，即AB ，而''=R Q PQ ，由3400-+=⎧⎨+=⎩x y x y 得(1,1)-Q ，由2=⎧⎨+=⎩x x y 得(2,2)-R ，22(12)(12)32==--++=AB QR ．故选C ．5.【2016年高考北京理数】若x ，y 满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的最大值为（ ）A.0B.3C.4D.5 【答案】C6.【2016年高考四川理数】设p ：实数x ，y 满足22(1)(1)2x y -+-≤，q ：实数x ，y 满足1,1,1,y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则p 是q 的( )（A ）必要不充分条件 （B ）充分不必要条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】画出可行域（如图所示），可知命题q 中不等式组表示的平面区域ABC ∆在命题p 中不等式表示的圆盘内，故选A.7.【2016高考新课标3理数】若,x y 满足约束条件1020220x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩ 则z x y =+的最大值为______.xy OP【答案】328.【2016高考新课标1卷】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元．【答案】216000【解析】设生产产品A、产品B分别为x、y件,利润之和为z元,那么1.50.5150,0.390,53600,0,0.x yx yx yxy+⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩……………①目标函数2100900z x y=+.二元一次不等式组①等价于3300,103900,53600,0,0.x yx yx yxy+⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩?…………②作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图）,即可行域.9.【2016高考江苏卷】已知实数,x y满足240220330x yx yx y-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则22x y+的取值范围是.【答案】4[,13]51.【2015高考北京，理2】若x，y满足1x yx yx-⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，则2z x y=+的最大值为（）A．0 B．1 C．32D．2【答案】D【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y =+，则1122y x z =-+，令0Z =，作直线12y x =-，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取得最小值2. 2．【2015高考广东，理6】若变量，满足约束条件则的最小值为（ ）A ． B. 6 C. D. 4 【答案】C3.【2015高考天津，理2】设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数6z x y=+的最大值为( )x y ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≥+2031854y x y x y x z 23+=531523（A）3 （B）4 （C）18 （D）40 【答案】C864224681510551015AB4.【2015高考陕西，理10】某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元甲乙原料限额A（吨）3212B（吨）128【答案】D当直线340x y z +-=过点(2,3)A 时，z 取得最大值，所以max 324318z =⨯+⨯=，故选D ．5.【2015高考福建，理5】若变量,x y 满足约束条件20,0,220,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩则2z x y =- 的最小值等于( )A ．52-B ．2-C ．32- D ．2【答案】AxyBOA6.【2015高考山东，理6】已知,x y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z ax y =+的最大值为4，则a =（ ）（A ）3 （B ）2 （C ）-2 （D ）-3 【答案】B【解析】不等式组020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩在直角坐标系中所表示的平面区域如下图中的阴影部分所示，若z ax y =+的最大值为4，则最优解可能为1,1x y == 或2,0x y == ，经检验，2,0x y ==是最优解，此时2a = ；1,1x y ==不是最优解.故选B.7.【2015高考新课标1，理15】若,x y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则y x 的最大值为.【答案】3【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，yx 是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A （1,3）与原点连线的斜率最大，故yx的最大值为3.8.【2015高考浙江，理14】若实数,x y 满足221x y +≤，则2263x y x y +-+--的最小值是 ．【答案】3.9．【2015高考新课标2，理14】若x，y满足约束条件1020,220,x yx yx y-+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，，则z x y=+的最大值为____________．【答案】32【考点定位】线性规划．xy–1–2–3–41234–1–2–3–41234DCBO10.【2015高考湖南，理4】若变量x，y满足约束条件1211x yx yy+≥-⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则3z x y=-的最小值为（）A.-7B.-1C.1D.2【答案】A.【解析】如下图所示，画出线性约束条件所表示的区域，即可行域，作直线l ：30x y -=，平移l ，从而可知当2-=x ，1=y 时，min 3(2)17z =⨯--=-的最小值是7-，故选A.11.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =-+-+≥≥，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812【答案】B12.【2015高考陕西，理9】设()ln ,0f x x a b =<<，若)p f ab =，()2a bq f +=，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是（ ）A ．q r p =<B ．q r p =>C ．p r q =<D ．p r q => 【答案】C【解析】()ln p f ab ab ==，()ln22a b a b q f ++==，11(()())ln ln 22r f a f b ab ab =+==，函数()ln f x x =在()0,+∞上单调递增，因为2a b ab +>，所以()()2a bf f ab +>，所以q p r >=，故选C ．1. 【2014高考安徽卷理第5题】y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ，若ax y z -=取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为（ ） A,121-或 B.212或 C.2或1 D.12-或【答案】D【考点定位】线性规划2. 【2014高考北京版理第6题】若x 、y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，且z y x =-的最小值为4-，则k 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．12D ．12- 【答案】D【解析】若0≥k ，x y z -=没有最小值，不合题意；【考点定位】不等式组表示的平面区域，求目标函数的最小值3. 【2014高考福建卷第11题】若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≤+-008201x y x y x 则y x z +=3的最小值为________.A (0,1)Oxy【答案】1【解析】依题意如图可得目标函数过点A 时截距最大.即min 1z =. 【考点定位】线性规划.4. 【2014高考福建卷第13题】要制作一个容器为43m ，高为m 1的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）.【答案】88【解析】假设底面长方形的长宽分别为x, 4 x. 则该容器的最低总造价是808020160y xx=++≥.当且仅当2x=的时区到最小值.【考点定位】函数的最值.5. 【2014高考广东卷理第3题】若变量x、y满足约束条件11y xx yy≤⎧⎪+≤⎨⎪≤-⎩，且2z x y=+的最大值和最小值分别为M和m，则M m-=（）A.8B.7C.6D.5【答案】C【解析】作出不等式组11y xx yy≤⎧⎪+≤⎨⎪≤-⎩所表示的可行域如下图中的阴影部分所表示，Bl:z=2x+yOyxAy=-1x+y=1y=x【考点定位】线性规划中线性目标函数的最值6. 【2014高考湖南卷第14题】若变量yx,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤kyyxxy4，且yxz+=2的最小值为6-，则____=k .【答案】2-【考点定位】线性规划7. 【2014辽宁高考理第16题】对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，345a b c-+的最小值为 .【答案】2-【解析】法一：判别式法：令2a b t +=，则2b t a =-，代入到224240a ab b c -+-=中，得()()22422420a a t a t a c --+--=，即22241840a ta t c -+-=……①因为关于a 的二次方程①有实根，所以()2221842440t t c ∆=-⨯-≥，可得285ct ≤， 2a b +取最大值时，321010c a c b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩321010c a c b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 当321010ca cb ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩22345210410510552222a b c c c c c c c -+=+=-=-≥-，当321010c ac b⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩时，34521041052105a b c c cc c c-+=-++=+>，综上可知当531,,242c a b===时，min3452a b c⎛⎫-+=-⎪⎝⎭【考点定位】柯西不等式.8. 【2014全国1高考理第9题】不等式组1,24,x yx y+≥⎧⎨-≤⎩的解集为D,有下面四个命题：1:(x,y)D,x2y2p∀∈+≥-，2:(x,y)D,x2y2p∃∈+≥，3:(x,y)D,x 2y 3p ∀∈+≤ 4:(x,y)D,x 2y 1p ∃∈+≤-，其中的真命题是（ ）A ．23,p pB ．12,p pC ．13,p pD ．14,p p 【答案】Bxy –1–2–3–41234–1–2–3–41234OA【考点定位】线性规划、存在量词和全称量词．10. 【2014山东高考理第5题】已知实数y x ,满足)10(<<<a a a y x ，则下面关系是恒成立的是（ ）A.111122+>+y x B.)1ln()1(ln 22+>+y x C.y x sin sin > D.33y x > 【答案】D【解析】由(01)x y a a a <<<及指数函数的性质得，,x y >所以，33x y >，选D . 【考点定位】指数函数的性质，不等式的性质.11. 【2014山东高考理第9题】 已知,x y 满足约束条件10230x y x y --≤⎧⎨--≥⎩，当目标函数(0,0)z ax by a b =+>>在该约束条件下取到最小值25时，22a b +的最小值为（ ）A.5B.4 5 D.2 【答案】B【解析】画出可行域（如图所示），由于0,0a b >>，所以，ax by z +=经过直线230x y --=【考点定位】简单线性规划的应用，二次函数的图象和性质.12. 【2014四川高考理第4题】若0a b >>，0x d <<，则一定有（ ） A ．a bc d> B ．a bc d< C ．a b d c> D ．a b d c< 4．若0a b >>，0c d <<，则一定有（ ） A ．a b c d > B ．a b c d < C ．a b d c > D ．a b d c< 【答案】D【解析】110,0,0c d c d d c <<∴->->->->Q ，又0,0,a b a ba b d c d c>>∴->->∴<.选D 【考点定位】不等式的基本性质.13. 【2014四川高考理第5题】执行如图1所示的程序框图，如果输入的,x y R ∈，则输出的S 的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】Cxy–112–1–2–3–412O【考点定位】程序框图与线性规划.14. 【2014浙江高考理第13题】当实数x ，y 满足240,10,1,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时，14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围是________.【答案】31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】作出不等式组240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩所表示的区域，由14ax y ≤+≤得，由图可知，0a ≥，且在()1,0点取得最小值在()2,1取得最大值，故1a ≥，214a +≤，故a 取值范围为31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【考点定位】线性规划.15. 【2014天津高考理第2题】设变量x ，y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧≥--≤≥⎪⎨⎪⎩则目标函数2z x y =+的最小值为（ ）【答案】5.2112342246810yBCAOx【考点定位】二元一次不等式组表示的平面区域、线线目标函数的最值的计算．17. 【2014高考上海理科】若实数x,y 满足xy=1,则2x +22y 的最小值为______________.【答案】22【解析】22222222222x y x y xy +≥⋅=⋅=，当且仅当222x y =时等号成立. 【考点定位】基本不等式.18.【2014高考安徽卷第21题】设实数0>c ，整数1>p ，*N n ∈. （1）证明：当1->x 且0≠x 时，px x p +>+1)1(；（2）数列{}n a 满足pc a 11>，pn n n a pc a p p a -++-=111，证明：p n n c a a 11>>+. 【答案】（1）证明：当1->x 且0≠x 时，px x p +>+1)1(；（2）pn n c a a 11>>+. 【解析】（1）证明：用数学归纳法证明①当2p =时，22(1)1212x x x x +=++>+，原不等式成立. ②假设(2,*)p k k k N =≥∈时，不等式(1)1k x kx +>+成立.当1p k =+时，12(1)(1)(1)(1)(1)1(1)1(1)k k x x x x kx k x kx k x ++=++>++=+++>++ 所以1p k =+时，原不等式也成立.综合①②可得，当1->x 且0≠x 时，对一切整数1p >，不等式px x p +>+1)1(均成立.再由111(1)n p n na ca p a +=+-可得11n n a a +<，即1n n a a +<.综上所述，11,*pn n a a c n N +>>∈.证法2：设111(),p p p cf x x x x c p p --=+≥，则p x c ≥，并且111'()(1)(1)0,p p p p c p cf x p x x c p p p x---=+-=->>.由此可得，()f x 在1[,)p c +∞上单调递增，因而，当1p x c >时，11()()p pf x f c c >=. ①当1n =时，由110pa c >>，即1p a c >可知121111111[1(1)]p p p c c a a a a a p p p a --=+=+-<，并且121()p a f a c =>，从而112p a a c >>.故当1n =时，不等式11pn n a a c +>>成立.②假设(1,*)n k k k N =≥∈时，不等式11pk k a a c +>>成立，则当1n k =+时，11()()()p k k f a f a f c +>>，即有112pk k a a c ++>>.所以当1n k =+时，原不等式也成立.综合①②可得，对一切正整数n ，不等式11pn n a a c +>>均成立. 【考点定位】数学归纳法证明不等式、构造函数法证明不等式. 5、押题专练1．若点A (a ，b )在第一象限且在直线x ＋2y ＝4上移动，则log 2a ＋log 2b ( ) A ．有最大值2 B ．有最小值1 C ．有最大值1 D ．没有最大值和最小值解析：基本法：由题意，知a ＋2b ＝4(a ＞0，b ＞0)，则有4＝a ＋2b ≥22ab ，当且仅当a ＝2b ，即a ＝2，b ＝1时等号成立，所以0＜ab ≤2，所以log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ≤log 22＝1，故选C.答案：C2．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2]B ．[－2,0]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]答案：D3．设实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≤2y －x ≤2y ≥1，则x 2＋y 2的取值范围是( )A ．[1,2]B ．[1,4]C ．[2，2]D ．[2,4]解析：基本法：如图所示，不等式组表示的平面区域是△ABC 内部(含边界)，x 2＋y 2表示的是此区域内的点(x ，y )到原点距离的平方．从图中可知最短距离为原点到直线BC 的距离，其值为1；最远的距离为AO ，其值为2，故x 2＋y 2的取值范围是[1,4]，故选B.答案：B4．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≤1x ＋1≥0x －y ≤1，则目标函数z ＝yx ＋2的取值范围为( )A ．[－3,3]B ．[－3，－2]C ．[－2,2]D ．[2,3]解析：基本法：(特殊点数形结合法)根据yx ＋2的几何意义，观察图形中点的位置作可行域如图阴影部分所示y x ＋2＝y －0x －－2表示点(x ，y )与点(－2,0)连线的斜率．答案：C5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <1，x 13x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．解析：结合题意分段求解，再取并集． 当x <1时，x －1<0，e x －1<e 0＝1≤2， ∴当x <1时满足f (x )≤2. 当x ≥1时，x 13≤2，x ≤23＝8， ∴1≤x ≤8.综上可知x ∈(－∞，8]． 答案：(－∞，8]6．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )＞x 的解集用区间表示为________．速解法：数形结合作出y 1＝x 2－4x 与y 2＝x 的图象使y 1的图象在y 2图象的上部所对应的x 的范围．设y 1＝f (x )＝x 2－4x ，y 2＝x (x >0)． 令y 1＝y 2，∴x 2－4x ＝x ，∴x ＝0或x ＝5. 作y 1＝f (x )及y 2＝x 的图象，则A (5,5)，由于y 1＝f (x )及y 2＝x 都是奇函数，作它们关于(0,0)的对称图象，则B (－5，－5)，由图象可看出当f (x )>x 时，x ∈(5，＋∞)及(－5,0)．答案：(－5,0)∪(5，＋∞)7．若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x －2y ＋1≤0，2x －y ＋2≥0.则z ＝3x ＋y 的最大值为________．解析：基本法：画出可行域，并分析z 的几何意义，平移直线y ＝－3x 求解．画出可行域如图所示．∵z ＝3x ＋y ， ∴y ＝－3x ＋z .∴直线y ＝－3x ＋z 在y 轴上截距最大时，即直线过点B 时，z 取得最大值．答案：4。
高三数学线性规划试题答案及解析
高三数学线性规划试题答案及解析1.设满足则（）A．有最小值2，最大值3B．有最小值2，无最大值C．有最大值3，无最小值D．既无最小值，也无最大值．【答案】B【解析】不等式组所表示的平面区域如下图所示：由得，当变化时，它表示一组斜率为-1的平行直线，在轴上的截距为，截距越大越大，截距越小越小，由图可知当直线经过点时在轴上的截距最小，截距不存在最大值；所以，有最小值2，无最大值．故选B．【考点】线性规划．2.设变量满足，则的最大值是 .【答案】3【解析】由约束条件画出可行域如图所示，则目标函数在点取得最大值，代入得，故的最大值为.【考点】线性规划.3.已知满足约束条件，当目标函数在该约束条件下取到最小值时，的最小值为（）A．5B．4C．D．2【答案】B【解析】画出可行域（如图所示），由于，所以，经过直线与直线的交点时，取得最小值，即，代人得，，所以，时，，选B.【考点】简单线性规划的应用，二次函数的图象和性质.4.若变量、满足约束条件，则的最大值等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】作出不等式组所表示的可行域如下图所示，直线交直线于点，作直线，则为直线在轴上的截距，当直线经过可行域上的点时，直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即，故选C.【考点】本题考查线性规划中线性目标函数的最值，属于中等题.5.已知x，y满足条件，则目标函数的最大值为 .【答案】【解析】画出可行域，如下图所示，将目标函数变形为，当取到最大值时，直线的纵截距最大，故将直线向上平移到过点C时，目标函数取到最大值，，得，故．【考点】线性规划．6.若实数x，y满足，则的取值范围是________．【答案】[1,5]【解析】由题可知＝，即为求不等式组所表示的平面区域内的点与点(0，－1)的连线斜率k的取值范围，由图可知k∈[1,5]，即的取值范围是[1,5]．7.已知,若恒成立, 则的取值范围是 .【答案】【解析】要使不等式成立,则有,即,设,则.作出不等式组对应的平面区域如图,平移直线,由图象可知当直线经过点B时,直线的截距最小,此时最大,由,解得,代入得,所以要使恒成立,则的取值范围是,即,【考点】线性规划.8.若变量满足约束条件则的最小值为。
2020年高考数学新课标一卷
2020年高考数学新课标一卷一、选择题1.复数与模o题目：若z=1+i，则|z²–2z|=()o选项：A.0 B.1 C.（缺失）D.2o答案：Do解析：本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解。
由题意，z=1+i，则z²=(1+i)²=1+2i+i²=1+2i-1=2i，2z=2(1+i)=2+2i，所以|z²–2z|=|2i-(2+2i)|=|-2|=2。
2.集合与不等式o题目：设集合A={x|x²-4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|-2≤x≤1}，则a=()o选项：A.-4 B.-2 C.2 D.4o答案：Bo解析：本题主要考查交集的运算和不等式的解法。
由题意，A={x|-2≤x≤2}，B={x|x≤-a/2}。
因为A∩B={x|-2≤x≤1}，所以-a/2=1，解得a=-2。
3.正四棱锥与比值o题目：埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()o选项：（具体选项未给出，但可通过解析得出答案）o答案：可通过计算得出（具体答案未直接给出，但解析过程清晰）o解析：本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算。
设底面边长为a，高为h，侧面三角形底边上的高为l。
由题意，h²=(1/2)×a×l，即l=2h²/a。
又因为侧面三角形面积为(1/2)×a×l=h²，所以l/a=2h/a²，即l/a=2/√(a²/h²)。
由题意知a²/h²=4（因为以高为边长的正方形面积等于侧面三角形面积），所以l/a=1/√2的倒数，即√2/2的2倍，为√2（考虑到比值应为正数，且题目问的是“比值”，故直接给出√2作为答案的近似值或简化形式，实际计算中可能涉及更精确的数学表达式或数值）。
2020高考数学(理数)题海集训29 线性规划(30题含答案)
2020高考数学(理数)题海集训29 线性规划一、选择题1.设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z=x －y 的取值范围是( )A ．[－3，0]B ．[－3，2]C ．[0，2]D ．[0，3]2.已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y≤0x －3y ＋5≥0x≥0y≥0，则z=8－x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 的最小值为( )A ．1B ．324 C.116 D ．1323.若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+011y x y x ,则z=2x ＋y 的最大值和最小值分别为( )A.4和3B.4和2C.3和2D.2和04.已知变量x，y 满足约束条件，则的取值范围是( )A.[1.8,6]B.(-∞,1.8)∪[6，+∞)C.(﹣∞，3]∪[6，+∞)D.[3，6]5.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥1，x －2y≤4的解集记为D ，有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D，x ＋2y≥－2， p 2：∃(x ，y )∈D，x ＋2y≥2， p 3：∀(x ，y )∈D，x ＋2y≤3， p 4：∃(x ，y )∈D，x ＋2y≤－1， 其中的真命题是( )A ．p 2，p 3B ．p 1，p 2C ．p 1，p 4D ．p 1，p 36.设x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤+-≤-+05301307y x y x y x 则z=2x-y 的最大值为( )A.10B.8C.3D.27.已知(x,y)满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥100y x y x ，则k=1+x y 的最大值为( )A.21 B.23 C.1 D.41 8.若函数y=2x图象上存在点(x ，y)满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A.0.5 B ．1 C.1.5 D ．29.已知平面区域如图所示，z=mx ＋y(m>0)在平面区域内取得最大值的最优解有无数多个，则m的值为()A.－207B.207C.21 D.不存在10.下面给出的四个点中,位于⎩⎨⎧>+-<-+0101y x y x 表示的平面区域内的点是( )A.(0,2)B.(-2,0)C.(0,-2)D.(2,0)11.已知z=2x ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y≥x，x ＋y≤2，x ≥a ，且z 的最大值是最小值的4倍，则a 的值是( )A.211 B ．14 C ．4 D ．11212.若变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧->≤≤+-1101x y y x ，则(x-2)2+y 2的最小值为( )A.223 B.5 C.29D.5 13.已知P(x,y)为区域⎩⎨⎧≤≤≤-ax x y 0022内的任意一点,当该区域的面积为4时,z=2x-y 的最大值是( )A.6B.0C.2D.2214.寒假期间，某校家长委员会准备租赁A ，B 两种型号的客车安排900名学生到重点高校进行参观．已知A ，B 两种客车的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 200元/辆和1 800元/辆，家长委员会为节约成本，要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为________元．15.若平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≥-+03203203y x y x y x 夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是( ) A.553 B.2 C.223 D.5 16.设实数x,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≤+6142102y x y x y x 则xy 的最大值为( )A.12.5B.24.5C.12D.16 17.已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋4≥0，x ＋y≥0，x ≤2，若使得z=ax ＋y 取得最大值的点有无数个，则t=x －2ay 的最小值为( )A ．－2B ．－0.5C ．2D ．0.518.在平面直角坐标系中，点P 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥0x ＋y≥1所确定的平面区域上的动点，Q 是直线2x＋y=0上任意一点，O 为坐标原点，则|OP →＋OQ →|的最小值为( ) A.255 B ．55 C.233 D ．3319. (2017全国卷1∙文)设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z=x+y 的最大值为( )A.0B.1C.2D.320.如图，四边形OABC 是边长为1的正方形，点D 满足OD →=2OA →，点P 为△BCD 内(含边界)的动点，设OP →=αOA →＋βOC →(α，β∈R)，则当α＋2β取得最大值时，OP →在CD →方向上的投影为________．二、填空题21.若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，则z=x ＋y 的最大值为________．22.已知实数x,y 满足条件，若目标函数z=2x+y 的最小值为3，则其最大值为 .23.已知点P （x ，y ）在不等式组所表示的平面区域内运动，则的取值范围为 ． 24.已知实数x 、y 满足，则z=2x+y 的最大值是 ．25.若实数x,y 满足不等式组，则z=y-2x 的最大值是 .26.设实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥-≤-+1004y y x y x ，则z=2x+y 的最大值与最小值的和___________．27.设变量满足的约束条件，则z=3x-y 的取值范围是 ．28.在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≤-a y y x y x 00确定的平面区域中，若z=x+2y 的最大值为9，则a 的值为 ．29.若实数x,y 满足不等式组，则z=2y-x 的最小值是30.若x,y 满足，则z=x-2y 的最小值为___________．答案解析1.答案为：B.作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l 0：y=x ，平移直线l 0， 当直线z=x －y 过点A(2，0)时，z 取得最大值2， 当直线z=x －y 过点B(0，3)时，z 取得最小值－3， 所以z=x －y 的取值范围是[－3，2]．2.答案为：D.作出不等式组满足的可行域如图中阴影部分所示，而z=8－x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y=2－3x －y ，欲使z 最小，只需使－3x －y 最小即可．由图知当x=1，y=2时，－3x －y 的值最小，且－3×1－2=－5，此时2－3x －y最小，最小值为132.故选D.3.答案为：B ；解析：画出可行域如下图阴影部分所示.画出直线2x ＋y=0，并向可行域方向移动， 当直线经过点(1,0)时，z 取最小值.当直线经过点(2,0)时，z 取最大值. 故z max =2×2＋0=4，z min =2×1＋0=2.4.A.5.答案为：B.画出不等式组满足的可行域如图阴影部分所示．作直线l 0：y=－12x ，平移l 0，当直线经过A(2，－1)时，x ＋2y 取最小值，此时(x ＋2y)min =0.故p 1：∀(x ，y )∈D，x ＋2y≥－2为真．p 2：∃(x ，y )∈D，x ＋2y≥2为真．故选B.6.答案为：B ；解析：作出可行域如图中阴影部分所示,由z=2x-y 得y=2x-z,观察可知, 当直线经过点A(5,2)时,对应的z 值最大.故z max =2×5-2=8.7.答案为：C ；解析：如图,不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥100y x y x 表示的平面区域为△AOB 及其内部,k=1+x y =)1(0---x y表示点(x,y)和(-1,0)的连线的斜率.由图知,点(0,1)和点(-1,0)连线的斜率最大,所以k max=1.8.答案为：B.在同一直角坐标系中作出函数y=2x的图象及⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0所表示的平面区域，如图阴影部分所示．由图象可知，当m≤1时，函数y=2x的图象上存在点(x ，y)满足约束条件，故m 的最大值为1.9.答案为：B10.答案为：C ；解析：将四个点的坐标分别代入不等式组⎩⎨⎧>+-<-+0101y x y x 满足条件的是点(0,-2).11.答案为：B.作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分(包括边界)所示．由z=2x ＋y 得y=－2x ＋z. 由图象可知当直线y=－2x ＋z 经过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 最大． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即A(1，1)，故z max =2×1＋1=3， 当直线y=－2x ＋z 经过点B 时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 最小． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝a ，即B(a ，a)，故z min =2×a＋a=3a ，由z 的最大值是最小值的4倍， 得3=4×3a，即a=14.12.答案为：D ；解析：作出不等式组对应的平面区域如图,设z=(x-2)2+y 2,则z 的几何意义为区域内的点到定点D(2,0)的距离的平方, 由图知C 、D 间的距离最小,此时z 最小.得x=0,y=1即C(0,1),此时z min =(x-2)2+y 2=4+1=5,故选D.13.答案为：A ；解析：作出可行域如图,易求得A(a,-a),B(a,a),由题意知S △OAB =21·2a ·a=4,得a=2. ∴A(2,-2),当直线y=2x-z 过A 点时,z 最大,z max =2×2-(-2)=6.故选A.14.答案为：27 600；解析：设租用A ，B 两种型号的客车分别为x 辆，y 辆，所用的总租金为z 元，则z=1 200x ＋1 800y ，其中x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧36x ＋60y≥900，x ＋y≤21，y －x≤7(x ，y ∈N)，即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5y≥75，x ＋y≤21，y －x≤7(x ，y ∈N)，由z=1 200x ＋1 800y ， 得y=－23x ＋z1 800，作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5y≥75，x ＋y≤21，y －x≤7表示的平面区域(图略)，由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5y ＝75，y －x ＝7，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝12，作出直线y=－23x 并平移，由图象知当直线经过点(5，12)时，直线的截距最小，此时z 最小，此时的总租金为1 200×5＋1 800×12=27 600(元)．15.答案为：B ；解析：作出可行域如图.由⎩⎨⎧=-+=--03032y x y x 得A(2,1),由⎩⎨⎧=+-=-+03203y x y x 得B(1,2).斜率为1的平行直线l 1,l 2分别过A,B 两点时它们之间的距离最小.过A(2,1)的直线l 1:y=x-1,过B(1,2)的直线l 2:y=x+1,此时两平行直线间的距离d=2.16.答案为：A ；解析：解法一:作出可行域,如图.设z=xy,则y=xz. ∵y=x z 关于y=x 对称,∴当y=xz与2x+y=10相切时,z 有最大值. 把y=10-2x 代入xy=z,得x(10-2x)=z,即2x 2-10x+z=0,由Δ=100-4×2×z=0, 得z=12.5.此时切点为(2.5,5),满足线性约束条件.∴xy 的最大值为12.5.解法二:作出可行域,如图.易求得A(2,6),B(4,2).设z=xy,若xy 有最大值, 则点(x,y)在第一象限,xy 的几何意义为以可行域中的点对应的横坐标x, 纵坐标y 为邻边长的矩形面积,所以z=xy 的最大值在上边界或右边界取得. 当0<x ≤2时,z=xy=x ·21214=-x [(x-7)2-49],∴当x=2时,z 取得最大值,z max =12. 当2<x ≤4时,z=xy=x(10-2x)=-2(x-2.5)2+12.5,∴当x=2.5时,z 取得最大值,z max =12.5.∴xy 的最大值为12.5,故选A.17.答案为：A.不等式组表示的可行域是如图所示的阴影区域，若使得z=ax ＋y 取得最大值的点有无数个， 则需满足直线z=ax ＋y 与直线AB 重合，故－a=1，即a=－1，故t=x ＋2y.由数形结合可知，目标函数t=x ＋2y 在点C 处取得最小值，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y ＝0，解得C(2，－2)，所以t min =2＋2×(－2)=－2，故选A.18.答案为：B.作出不等式组对应的可行域，如图中阴影部分所示．设P(x ，y)，Q(a ，－2a)， 则OP →＋OQ →=(x ＋a ，y －2a)，则|OP →＋OQ →|=（x ＋a ）2＋（y －2a ）2，设z=|OP →＋OQ →|，则z 的几何意义为可行域内的动点P 到动点M(－a ，2a)的距离，其中M 也在直线2x ＋y=0上，由图可知，当点P 为(0，1)，M 为P 在直线2x ＋y=0上的垂足时，z 取得最小值d=122＋1=15=55.19.【答案】D 【解析】如图，目标函数z x y =+经过(3,0)A 时最大，故max 303z =+=，故选D.20.答案为：55； 解析：以O 为原点，OA ，OC 所在直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则OC →=(0，1)，OA →=(1，0)，OD →=(2，0)，设P(x ，y)，则OP →=(x ，y)，由OP →=αOA →＋βOC →，得(x ，y)=α(1，0)＋β(0，1)=(α，β)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝α，y ＝β，所以α＋2β=x ＋2y.设z=x ＋2y ，则y=－12x ＋z 2，所以z 2是直线y=－12x ＋z2在y 轴上的截距，由图易知，当该直线经过点 B(1，1)时，在y 轴上的截距最大，即α＋2β取得最大值，此时OP →=(1，1)，又CD →=(2，－1)，所以OP →在CD →方向上的投影为OP →·CD →|CD →|=2－15=55.一、填空题21.答案为：9；解析：由线性约束条件画出可行域(如图所示的阴影部分)，由图可知，当直线x ＋y －z=0经过点A(5，4)时，z=x ＋y 取得最大值，最大值为z max =5＋4=9.23.答案为：（1，1.75）．24.答案为：10．25.答案为：2.26.答案为：6.27.答案为：[-1.5,6].28.答案为：3.29.答案为：—1.。
2020年高考试题分类汇编：线性规划
直线方程 过原点 ，令 。
验证点 ，验证不等式 成立。
约束条件二： 。
直线方程 过原点 ，令 。
验证点 ，验证不等式 成立。
约束条件三： 在直线 的左侧。
如下图所示：
端点 ：联立 和 得到端点 ；端点 ：联立 和 得到端点 ；
端点 。
目标函数： 。
端点 端点 端点
所以：目标函数 的最大值为 。
2020年高考数学分类汇编：线性规划
2020年高考数学新课标Ⅰ卷文科第13题理科第13题
若 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为。
本题解答：约束条件一： 。
直线方程： 。令 ；令 。
验证点 ，验证 成立。
约束条件二： 。
直线方程： 。令 ；令 。
验证点 ，验证 不成立。
约束条件三： 。
在直线 的上方。
2020年高考数学上海卷第7题
若 ， 满足约束条件 ， 则 的最大值为。
本题解答：约束条件一： 。
直线方程： 。令 ；令 。
验证点 ，验证不等式 不成立。
约束条件二： 在直线 （ 轴）的上方。
约束条件三： 。
直线方程： 。令 ；令 。
验证点 ，验证不等式 成立。
如下图所示：
端点 ：联立 和 得到端点 ，端点 ，端点 。
如下图所示：
端点 ：联立 和 得到端点 ；点 。
目标函数 。
端点 点
目标函数 的最小值为 ，最大值为 ，取值范围 。
如下图所示：
端点 ，端点 ，端点 ：联立 和 得到端点 。
目标函数： 。
端点 端点 端点
所以：目标函数 的最大值为 。
2020年高考文科数学新课标Ⅱ卷第15题
2020年高考数学(理)总复习：不等式、线性规划(解析版)
2020 年高考数学（理）总复习：不等式、线性规划题型一不等式的解法【题型重点】 解不等式的常有策略(1) 解一元二次不等式，一是图象法：利用“三个二次 ”之间的关系，借助相应二次函数图象，确立一元二次不等式的解集；二是因式分解法：利用“同号得正，异号得负 ”这一符号法例，转变为一元一次不等式组求解．(2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是把他们等价转变为整式不等式(一般为一元二次不等式 )求解．(3)解含 “f ”的函数不等式，第一要确立 f(x)的单一性，而后依据函数的单一性去掉“f ”转化为往常的不等式求解．(4) 解决含参数不等式的难点在于对参数的合适分类，重点是找到对参数进行议论的原由，确立好分类标准，有理有据、层次清楚地求解．x －12e ， x<1【例 1】已知函数 f(x)＝，则 f(f(x))<2 的解集为 ()x 3 ＋x ， x ≥1A ． (1－ ln 2，＋ ∞)B ． (－ ∞， 1－ ln 2)C ．(1－ ln 2,1)D ． (1,1＋ ln 2)【分析】由于当3x－1等x ≥1时， f(x)＝ x ＋ x ≥2，当 x<1 时， f(x)＝ 2e <2，所以 f(f(x))<2x －1<1 ，解得 x<1－ ln 2，所以 f(f(x))<2 的解集为 (－∞，1－ ln 2) ，应选 B.价于 f( x)<1 ，即 2e【答案】B－ x 2＋ 2x ， x ≤0，【例 2】．已知函数 f(x)＝若|f(x)| ≥ax ，则 a 的取值范围是 ()ln x ＋ 1 ， x ＞ 0.A ．(－∞，0]B ． (－ ∞， 1]C ．[ －2,1]D ． [－ 2,0]【分析】 当 x ≤0时，f(x) ＝－ x 2＋ 2x ＝－ (x － 1) 2＋ 1≤0，所以 |f(x)| ≥ax 化简为 x 2－2x ≥ax ，即 x2≥(a＋ 2)x，由于所以 |f( x)| ≥ax 化简为式|f(x)| ≥ax 恒成立．x≤0，所以 a＋ 2≥x 恒成立，所以 a≥－ 2；当 x＞ 0 时，f(x)＝ ln(x＋ 1)＞0， ln( x＋ 1) ≥ax 恒成立，由函数图象可知 a≤0，综上，当－ 2≤a≤0时，不等【答案】 D题组训练一不等式的解法1．若不等式ax2－ bx＋ c>0 的解集是1 ,2 ，则以下结论中：①a>0；②b<0；③c>0；2④a＋ b＋ c>0；⑤ a－ b＋c>0，正确的选项是 ()A ．①②⑤B．①③⑤C．②③⑤D．③④⑤【分析】ax2－ bx＋ c>0 的解集是1,2 ，故 a<0，且 ax2－ bx＋c＝ 0 的两根为－1，2 22.由根与系数的关系得2－1＝b>0,2 × 1 ＝c<0，故 b<0，c>0. 所以，②③正确，①错误．设2 a 2 af(x)＝ ax2－ bx＋ c，依据 f(－ 1)<0，f(1)>0 ，可知 a＋ b＋ c<0 ，a－ b＋ c>0 ，故④错误，⑤正确．【答案】 C2．已知 f(x)是定义在R上的奇函数，且 f(x－ 2)＝ f(x＋ 2)，当 0＜ x＜ 2 时，f(x)＝1－ log2(x ＋1)，则当 0 ＜x＜ 4 时，不等式 (x－ 2)f(x) ＞0 的解集是 ( )A ． (0,1) ∪ (2,3) B． (0,1)∪ (3,4)C．(1,2) ∪(3,4) D． (1,2)∪ (2,3)【分析】当 0＜ x＜ 2 时，x－ 2＜ 0，不等式可化为x－ 2＜ 0，x－ 2＜ 0，即1－ log2 x＋1 <0 ，f x ＜ 0，解得 1＜ x＜2，x－ 2＞0，当 2＜x＜ 4 时， x－ 2＞ 0，不等式可化为f x ＞ 0，由函数 f(x)是奇函数，得f(－ x)＝－ f(x) ，又 f(x－ 2)＝ f(x＋2) ，则 f(x) ＝f(x－ 2＋2) ＝f(x－ 2－ 2)＝－ f(4－ x)，由于 0＜ 4－ x＜ 2，不等式可化为x－ 2＞ 0，，解得 2＜ x＜ 3，－1＋ log2 5－ x ＞0则原不等式的解集为(1,2)∪ (2,3)，应选 D.【答案】 D题型二简单的线性规划问题【题型重点】线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求地区面积；三是知最优解状况或可行域状况确立参数的值或取值范围．解决线性规划问题应特别关注以下三点：(1)第一要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，找到目标函数达到最值时可行域的极点 (或界限上的点 )，但要注意作图必定要正确，整点问题要考证解决．(2)画可行域时应注意地区能否包括界限．(3)对目标函数z＝ Ax＋ By 中 B 的符号，必定要注意 B 的正负与z 的最值的对应，要结合图形剖析．x＋y≤4【例 3】已知 P(x， y)为不等式组x－y≤0表示的平面地区M 内随意一点，若目标函x－a≥0数 z＝ 5x＋ 3y 的最大值等于平面地区M 的面积，则a＝ ________.【分析】作出不等式组对应的平面地区如图：由 z ＝ 5x ＋3y 得 y ＝－ 5x ＋ z，3 35z平移直线 y ＝－ 3x ＋ 3，由图象知当直线 y ＝－5 z z 最大，x ＋ ，经过点 A 时，直线的截距最大，此时33x ＋y ＝ 4 由，解得 x ＝ y ＝2，即 A(2,2)，x －y ＝ 0此时 z ＝5×2＋ 3×2＝ 16，x ＋y ＝ 4 由.解得 x ＝ a ，y ＝ 4－ a ，即 B(a,4－a)，x ＝ax －y ＝ 0由，解得 x ＝ y ＝a ，即 C(a ， a)，x ＝a∴ BC ＝ 4－a － a ＝ 4－2a ， △ ABC 的高为 2－ a ，1 2∴ S △ABC ＝ 2×(2－ a)(4－ 2a)＝ (2－ a) ＝ 16，解得 a ＝－ 2， a ＝ 6(舍去 )，【答案】－ 2x ≥0，则x ＋2y ＋ 3的取值范围是 ()【例 4】．设 x ， y 知足拘束条件 y ≥x ，4x ＋ 3y ≤ 12， x ＋ 1A ． [1,5]B ． [2,6]C ．[3,10]D ． [3,11]【分析】依据拘束条件画出可行域如图暗影部分所示．∵x ＋2y ＋ 3＝ 1＋2 y ＋1，令 k ＝y ＋1，即为可行域中的随意点(x ，x ＋ 1 x ＋ 1 x ＋1y)与点 ( －1，－ 1)连线的斜率．由图象可知，当点 (x ，y)为 A(0,4)时， k最大，此时 x ＋ 2y ＋ 3的最大值为 11，当点 (x ，y)在线段 OB 上时， k 最x ＋ 1小，此时x ＋ 2y ＋ 3的最小值为 3.应选 D.x ＋ 1【答案】D题组训练二 简单的线性规划问题y ≤x － 1，则 x 21．已知实数 x 、y 知足 x ≤3的最小值是 () x ＋5y ≥4yA ． 1B ． 2C ．3D ． 4【分析】作出不等式组所对应的平面地区：2由图象可知 x ＞ 0，y ＞ 0，设 z ＝ x，则 x 2＝ zy ，对应y的曲线为抛物线，由图象可知当直线y ＝ x － 1 与抛物线相切时，此时 z 获得最小值，将 y ＝ x － 1 代入抛物线 x2＝ z y ，得 x 2－ zx ＋ z ＝ 0，由 ＝ 0? z ＝ 4， z ＝ 0(舍 )所以选择 D.【答案】 Dx ≥0，2．已知点 P(x ， y)知足条件 y ≤x ，若 z ＝ x ＋3y 的最大值为 8，则实数 k ＝2x ＋ y ＋ k ≤0，________.【分析】依题意 k<0 且不等式组表示的平面地区如下图．易得，Bkk113 , 3 .目标函数 z ＝x ＋ 3y 可看作直线 y ＝－ 3x ＋ 3z 在 y 轴上的截距的 3倍，明显当直线过点B 时截距最大，此时 z 获得最大值．所以 z max ＝－ k3＋ 3×k＝－4k3＝ 8，解得 k ＝－ 6.3【答案】－ 6题型三基本不等式的应用【题型重点】利用基本不等式求函数或代数式的最值应关注的三个方面(1)形式：一般地，分子、分母有一个一次、一个二次的分式构造的函数以及含有两个变量的函数，特别适适用基本不等式求最值．(2)条件：利用基本不等式求最值需知足“正”(即条件要求中字母为正数 )、“定”(不等式的另一边一定为定值 )、“等”(等号获得的条件 )的条件才能应用，不然会出现错误．(3) 方法：使用基本不等式时，一般经过“拆、拼、凑”的技巧把求最值的函数或代数式b化为ax＋x(ab＞0) 的形式，常用的方法是变量分别法和配凑法．【例 5】已知二次函数f(x)＝ ax2＋ bx＋c 的导数为 f′(x)， f′(0)＞ 0，对于随意的实数x 都有 f(x) ≥0，则f 1的取值范围是 ()f′0A. 3 , B． [2，＋∞)2C. 5 , D． [3，＋∞)2【分析】∵ f′(x)＝ 2ax＋ b，∴ f′(0)＝b＞ 0.又∵对于随意的实数x 都有 f(x) ≥0，∴ a＞0 且 b2－ 4ac≤0，∴ b2≤4ac，∴ c＞ 0，∴f 1 ＝f′0a＋ b＋ c a＋ c 2 acb ＝ b ＋ 1≥b＋ 1≥2.【答案】 B1＋2＝ 1，则 2 ＋1的最小值为 ()2．若正数 a， b 知足：a b a－ 1 b－ 23 2A ． 2 B. 253 2C.2D ．1＋ 4【分析】 由 a ，b 为正数，且 1＋ 2＝ 1，得 b ＝2a2 ＋ 1a ba － 1>0，所以 a － 1>0，所以 a － 1b － 2＝ 2 ＋ 1 ＝ 2 ＋ a －1 2a － 1＝2，当且仅当 2 ＝ a － 1和1＋ 2＝ 1 同时成 a － 1 2a － 2 a － 1 2 ≥2 a － 1 · 2 a － 1 2a b a － 1立，即 a ＝b ＝ 3 时等号成立，所以2 ＋ 1的最小值为 2，应选 A.a － 1b － 2【答案】 A题组训练三 基本不等式的应用1．若直线 l ： ax ＋ by ＋ 1＝0(a ＞ 0，b ＞ 0)把圆 C ： (x ＋ 4)2＋ (y ＋ 1)2＝ 16 分红面积相等的两部分，则当 ab 获得最大值时，坐标原点到直线l 的距离是 ( )A ． 4B ．8 178 17 C ．2D. 17【分析】由题意，圆心 (－4，－ 1)代入直线 l ： ax ＋by ＋ 1＝ 0，可得 4a ＋ b ＝ 1,4a ＋ b＝1≥4ab ，∴ ab ≤1 ，当且仅当 a ＝ 1，b ＝1时， ab 获得最大值，坐标原点到直线 l 的距离16 82是1＝8 17，应选 D.641＋1417【答案】D2．设正实数1，不等式 4x 2y 2≥m 恒成立，则 m 的最大值为 ()x ，y 知足 x> ，y>1＋2y － 1 2x － 1A ．2 2B ． 4 2C ．8D ． 162222【分析】依题意得， 2x － 1>0 ， y － 1>0，4x＋ y ＝ [ 2x － 1 ＋ 1] ＋ [ y －1 ＋1]y － 1 2x － 1 y － 12x － 14 2x－ 1 4 y－ 1 2x－ 1 y－ 1 2 2＝8，即4x ＋y ≥8，当且仅当≥＋≥ 4×2×y－1 2x－ 1 y－ 1 2x－ 1 y－ 1 2x－12x－ 1＝ 1y－ 1＝1 x＝ 1 2 2时，取等号，所以4x ＋y 的最小值是8， m≤8，m 的最，即2x－ 1 y－ 1 y＝ 2 y－ 1 2x－1y－ 1 ＝2x－ 1大值是8，选 C.【答案】 C题型四“点”定乾坤求解与线性规划相关的问题【题型重点】线性规划求目标函数的最值时，常用方法是数形联合判断所过的定点，也能够把界限端点的坐标代入目标函数，找寻最值，研究可行域与其余函数的关系时，可用界限端点确立出答案．x≥0，【例 7】记不等式组x＋ 3y≥4，所表示的平面地区为D，若直线 y＝ a(x＋ 1)与 D 有3x＋ y≤4公共点，则 a 的取值范围是________．3x＋ y＝ 4，【分析】法一：作出可行域，利用可行域的上下界，成立的不等式，由x＝ 0得(0,4) ，x＋3y＝ 4，由得 (1,1)．3x＋ y＝ 4地区 D 的上界为 (0,4)，下界为 (1,1)，∴ y＝ a(x＋ 1)与 D 有公共点，则有2a≥1，a≤41∴2≤a≤ 4.法二：直线y＝ a(x＋ 1)为经过定点P(－ 1,0)且斜率为a，作出可行域后数形联合可知．不等式组所表示的平面地区 D 为如下图暗影部分(含界限 )，且 A(1,1)，B(0,4) ，C4，0,31直线 y＝a(x＋ 1)恒过定点 P(－ 1,0)且斜率为a，由斜率公式可知k BP＝ 4， k AP＝2，若直线 y ＝a(x＋1)知地区 D 有公共点，数形联合可得12≤a≤ 4.【答案】1 ,4 2题组训练四“点”定乾坤求解与线性规划相关的问题3x＋ 4y－ 10≥0，已知不等式组x≤4，表示地区D，过地区 D 中随意一点P 作圆 x2＋y2＝1 的两y≤3条切线且切点分别为A， B，当∠ PAB 最小时， cos∠ PAB＝ ()3 B.1A. 2 23D．－1C．－2 23x＋ 4y－ 10≥0，【分析】作出不等式组x≤4，表示的平面地区D，如下图：y≤3要使∠ APB 最大，则∠ OPB 最大．∵sin∠ OPB＝|OB|＝1，|OP| |OP |∴只需 OP 最小即可，即点 P 到圆心 O 的距离最小即可．由图象可知当|OP|垂直于直线3x－ 4y－ 10＝0，|－ 10|此时 |OP|＝＝2，|OA|＝1.2 23 ＋ 4αα OA 1，设∠ APB＝α，则∠ APO＝，即 sin ＝＝2 2 OP 22 α此时 cos α＝ 1－ 2sin2＝1－2×122＝1－12＝12，即 cos∠ APB＝1，∴∠ APB＝60°， 21∴△ PAB 为等边三角形，此时对应的∠PAB＝ 60°为最小，且cos∠PAB＝2.应选 B.【答案】 B【专题训练】一、选择题1．已知一元二次不等式f(x) ＜ 0 的解集为x x1 1或 x3A ． { x|x＜－ 1 或 x＞－ ln 3} B．{ x|－ 1＜ x＜－ ln 3} C．{ x|x＞－ ln 3}D． { x|x＜－ ln 3}x的解集为 ()，则 f(e )＞ 01【分析】f(x)＞0 的解集为x1x3xx1则由 f(e )＞ 0 得－ 1＜ e ＜ ，解得 x ＜－ ln 3 ，即 f(e x )＞ 0 的解集为 { x|x ＜－ ln 3} ．【答案】 D2＋ 1＝ 1， x ＋ 2y ＞m 2－ 2m 恒成立，则 m 的取值范围是 ()2．已知 x ＞ 0， y ＞0， x y 3A ． [－ 6,4]B ． [－ 4,6]C ．( －4,6)D ． (－ 6,4)2 12 1 2 【分析】∵ x ＋ y ≥2 xy ，即3≥2xy， 解得 xy ≥72，∵ 2＋ 1＝ 1，∴ 6＋ 3＝ 1，xy 3x y1即 3x ＋6y ＝ xy ，∴ x ＋2y ＝ 3xy ≥ 24，∴ m 2－ 2m ＜24 恒成立，解不等式 m 2－2m －24＜ 0得－ 4＜ m ＜ 6.应选 C.【答案】 C3．设 x ， y 知足拘束条件x ＋ y ≥a 7，则 a ＝ ()，且 z ＝ x ＋ ay 的最小值为x － y ≤－1A ．－ 5B ． 3C ．－5或 3D ．5 或－ 3【分析】依据拘束条件画出可行域如图中暗影部分所示：可知可行域为张口向上的V 字型．在极点处 z 有最小值，极点为 a 1 , a 1 ，则 a－ 12 2 2＋a a 1＝7，解得 a＝ 3 或 a＝－ 5.当 a＝－ 5 时，如图 2，2图 2虚线向上挪动时 z 减小，故 z→－∞，没有最小值，故只有a＝ 3 知足题意．选 B. 【答案】 B4．已知 g(x)是R上的奇函数，当 x＜ 0x3， x≤0，时，g(x) ＝－ ln(1 － x)，函数 f(x)＝g x ，x＞0，若 f(2－ x2)＞ f(x)，则实数 x 的取值范围是 ( )A．(－∞，1)∪(2，＋∞ ) B． (－∞，－ 2)∪ (1，＋∞)C．(1,2) D． (－ 2,1)【分析】设 x＞0，则－ x＜ 0，所以 g(－ x)＝－ ln(1 ＋ x)，由于 g(x)是R上的奇函数，x3， x≤0，易知 f(x)是R上的单一递所以 g(x)＝－ g(－x)＝ln(1 ＋ x)，所以 f(x)＝ln 1＋ x ， x＞ 0，增函数，所以原不等式等价于2－ x2＞ x，解得－ 2＜ x＜ 1.应选 D.【答案】 D2x－ y≤0，5．已知实数x， y 知足x＋ y－ 5≥0，若不等式a(x2＋ y2) ≥(x＋ y)2恒成立，则实数a 的y－ 4≤0，最小值是 ________．【分析】可行域为一个三角形ABC 及其内部 (图略 )，此中 A(2,4)，B(1,4)，C5 ,10，3 3所以 y∈ [k OA ， k OB ] ＝ [2,4] ，由于 y ＋ x在 [2,4] 上单一递加，所以y ＋ x ∈5 ,17，不等式 a(x 2xxyx y2 422x y 299＋y ) ≥(x ＋ y) 恒成立等价于 a ≥ x2y 2 5? a min ＝ 5.max【答案】9 52x －y － 2≥06．已知实数 x ，y 知足 x ＋y － 1≤0 ，z ＝ mx ＋ y 的最大值为 3，则实数m 的值是 ( )y ＋ 1≥0A ．－ 2B ． 3C ．8D ． 22x － y － 2≥0【分析】由实数 x ， y 知足 x ＋ y － 1≤0 作出可行域如图，y ＋ 1≥02x － y － 2＝0 ，解得A1, 1，联立y ＋ 1＝ 0 22x － y － 2＝0，解得 B(1,0)，同理 C(2，－ 1)联立x ＋ y － 2＝0化目标函数 z ＝ mx ＋ y 为 y ＝－ mx ＋ z ，当直线 z ＝ mx ＋ y 经过 C 点时，获得最大值3；∴ 3＝ 2m － 1，解得 m ＝ 2.应选 D.【答案】 D1＋ 4的最小值为 ()7．已知函数 f(x) ＝cos πx(0<x<2)，若 a ≠b ，且 f(a)＝ f(b)，则 a b 9A. 2 B ． 9【分析】函数 f( x)＝ cosπx(0< x<2) ，轴为 x＝ 1，若 a≠b，且 f(a)＝ f( b)，所以 a＋ b＝ 2131 4＝1 4 1 1 b 4a所以＋a b (a＋ b) ×＝25ba b 2 a 1 9 2 4 1 ≥ (5＋ 4)＝，当 a＝，b＝时取等号，故a 2 2 3 3＋4b的最小值为92，应选 A.【答案】 A2x－ y＋ 6≥08．已知实数 x，y 知足 x＋ y≥0，若目标函数 z＝－ mx＋ y 的最大值为－ 2m＋ 10，x≤2最小值为－ 2m－ 2，则实数 m 的取值不行能是 ( )A ． 3 B． 2C．0 D．－ 12x－ y＋ 6≥0【分析】由拘束条件x＋ y≥0作出可行域如图，x≤2联立方程组求得A(－ 2,2)， B(2，－ 2)， C(2,10) ，化目标函数z＝－ mx＋ y 为 y＝ mx＋ z，若 m≥0，则目标函数的最大值为 2m＋ 2，最小值为－ 2m－2，－2m＋ 10＝2m＋2由，可知 m＝ 2；－2m－ 2＝－ 2m－ 2若 m＝ 0，则目标函数的最大值为 10，最小值为－ 2，切合题意；若 m＝－ 1，则目标函数的最大值为－ 2m＋ 10，最小值为－ 2m－ 2，切合题意．∴实数 m 的取值不行能是 3.应选 A.【答案】 A－ ln x－x， x＞ 0，1 ＜ ln 1－ 2 的解集为9．已知函数f(x)＝则对于 m 的不等式 f－ ln －x ＋ x， x＜ 0. m 2()A. 0,1B ． (0,2)2C.1,0 ∪ 0,1D ． (－ 2,0)∪ (0,2)22【分析】函数 f(x)的定义域 ( －∞， 0)∪ (0，＋ ∞)对于原点对称，∵ x ＞ 0 时，－ x ＜ 0，f(－ x)＝－ ln x － x ＝ f(x)，同理： x<0 时， f(－ x)＝ f(x) ，∴ f(x)为偶函数．∵ f(x)在(0 ，＋ ∞)上为减函数，且 f(2) ＝－ ln 2 － 2＝ ln 1 －2.2∴当 m ＞ 0 时，由 f1＜ ln 1－ 2，得 f 1 ＜ f(2)，m2m∴ 11m ＜0 时，得－1 ＞ 2，解得 0＜ m ＜ .依据偶函数的性质知当＜ m ＜ 0.m 22【答案】Cx ≥2，时，z ＝ x ＋ y10．已知 x ，y 知足 y ≥2， (a ≥b ＞ 0)的最大值为 2，则 a ＋ b 的最小值为 ()x ＋ y ≤8 a bA ．4＋2 3B ．4－2 3C ．9D ． 8x ≥2，【分析】由拘束条件y ≥2，作出可行域如图，x ＋ y ≤8x ＝ 2， 联立，x ＋ y ＝ 8解得 A(2,6)，化目标函数 x y bz ＝ ＋ 为 y ＝－ x ＋ bz ，a b ab由图可知，当直线y＝－a x＋ bz 过点 A 时，2 6直线在 y 轴上的截距最大，z 有最大值为＋＝2，即1＋3＝1. a b所以 a＋ b＝ (a＋ b) 1 3a bb ＋3a b 3a＝ 4＋b ≥4＋ 2 ·＝4＋2 3.a a b1＋3＝ 1，当且仅当 a b 即 a＝ 3＋ 1， b＝ 3＋3时取等号．b＝3a，【答案】 A11．若函数 f(x)＝ x4＋ 4x3＋ ax2－ 4x＋ 1 的图象恒在 x 轴上方，则实数 a 的取值范围是 () A．(2，＋∞ ) B． (1，＋∞)C．( 3－1，＋∞) D． (2－ 1，＋∞)2 2【分析】x4＋ 4x3＋ ax2－ 4x＋ 1>0 恒成立，当x＝ 0 时， a∈R，当 x≠0时， a> －x4＋ 4x3－ 4x＋ 1 2 4 1 2 2 1 x2 ＝－ (x ＋4x－x＋x2)＝－ (t ＋ 4t＋ 2) ＝－ (t＋ 2) ＋ 2，此中t＝ x－x∈R，由于－( t＋ 2)2＋ 2≤2，进而 a>2，所以实数 a 的取值范围是 (2，＋∞)，选 A.【答案】 A二、填空题2x＋ y－ 4≥012．已知点 M 的坐标 (x，y)知足不等式x－ y－ 2≤0，N为直线y＝－2x＋2上任一点，y－ 3≤0则|MN|的最小值是 ()5 2 5A. 5B. 5C. 5D. 5 102x ＋ y － 4≥0【分析】点 M 的坐标 ( x ， y)知足不等式组 x － y － 2≤0 的可行y －3≤0域如图： N 为直线 y ＝－ 2x ＋2 上任一点，则 |MN |的最小值，就是两条|－ 2＋4|25 平行线 y ＝－ 2x ＋ 2 与 2x ＋ y － 4＝0 之间的距离： d ＝＝，故选 B.【答案】Ba ba13．设 a>b>c>0 ，若不等式 log2018＋ log 2018 ≥dlog2018 对全部知足题设的 a ，b ， cbcc均成立，则实数 d 的最大值为 ____________．a b a lg2018 lg2018 lg2018【分析】log b 2018＋ log c 2018 ≥dlog c 2018?a ＋b ≥d a ，由于 a>b>c>0 ，lg b lg clg ca ba ab a 1 1)(x ＋ y)的最小值，所以 lg >0 ，lg>0，lg >0 ，设 x ＝ lg ，y ＝ lg ，则 lg＝ x ＋ y ，所以 d ≤(＋bccbccx y1 1 y x y xd ≤4，即实数 d 的而( ＋ )( x ＋ y)＝ 2＋＋ ≥2＋2·＝ 4，当且仅当 x ＝ y 时取等号，进而x y x yx y最大值为 4.【答案】 4x ＋y ≥2，14．已知点 O 是坐标原点，点A(－ 1，－ 2)，若点 M(x ， y)是平面地区 x ≤1，上y ≤2，→ → →1的一个动点， OA ·(OA －MA )＋ m ≤0恒成立，则实数 m 的取值范围是 ________．【分析】→ →由于 OA ＝ ( －1，－ 2)，OM ＝ (x ， y)，→ → → → →所以 OA ·(OA － MA )＝ OA ·OM ＝－ x － 2y.→ → → 1 1 1恒成立．所以不等式 OA ·(OA － MA )＋ ≤0恒成立等价于－ x － 2y ＋m≤0，即 ≤x ＋ 2ym m设 z ＝ x ＋ 2y ，作出不等式组表示的可行域如下图，当目标函数 z ＝ x ＋ 2y 表示的直线经过点 D(1,1)时获得最小值， 最小值为 1＋ 2×1＝3；当目标函数 z ＝ x ＋ 2y 表示的直线经过点B(1,2)时获得最大值，最大值1＋ 2×2＝ 5.1所以 x ＋2y ∈ [3,5] ，于是要使 m ≤x ＋ 2y 恒成立，只需 11m 的取值范围是 (－ ∞， 0)∪ 1≤3，解得m ≥ 或 m ＜0，即实数 ,m33【答案】 (－∞，0)∪1,3。
2020届高考(文)数学二轮复习专项训练《5 线性规划》含答案
线性规划1．若x，y满足约束条件1020220xyx y+≥⎧⎪-≤⎨⎪--≤⎩，则x y+的最大值是（）A．5-B．1C．2D．42．设变量x，y满足约束条件3602030x yx yy+-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩，则目标函数2z y x=-的最小值为（）A．7-B．4-C．5-D．23．若变量x，y满足约束条件20220x yx yx y+≥-≤-+≥⎧⎪⎨⎪⎩，则2z x y=-的最小值等于（）A．52-B．2-C．32-D．24．设x，y满足约束条件22010240x yx yx y+-≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则目标函数2z x y=-的最大值是（）A．3B．23C．1D．125．已知实数x，y满足约束条件301x yx yy-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则22x yz-+=的最大值是（）A．2B．1C．12D．1-6．已知实数x，y满足1201x yx yy+≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则yx的最小值为（）A．3-B．3C．13-D．137．设实数x，y满足约束条件2xyx y≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则24x yz=⨯的最大值为（）一、选择题A ．1B ．4C ．8D ．168．已知点(,)x y 满足1122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，目标函数2z ax y =+仅在点()1,0处取得最小值，则a 的范围为（ ） A ．(1,2)-B ．(4,2)-C ．(2,1)-D ．(2,4)-9．已知实数,x y 满足12100y y x x y m ≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，如果目标函数z x y =-的最小值为1-，则实数m 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510．已知x 、y 满足的约束条件02300x x y y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩，则22x y +的最小值为（ ）A ．355B ．255C ．3D ．511．已知0a >，,x y 满足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，若2z x y =+的最小值为1，则a =（ ）A ．2B ．1C ．12D ．1412．若实数x ，y 满足约束条件40250270x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩，则12y z x -=-的取值范围为（ ）A ．[]2,0-B ．(],2-∞-C ．[)2,0-D ．()0,∞+13．已知实数x y ，满足2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数3z x y =-的最小值为______．14．设x ，y 满足约束条件1124x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则()222z x y =++的最小值为_______．二、填空题15．已知实数x，y满足不等式组2202x yyy x+-≥⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，则1yx+的最大值为_______．16．已知x，y满足203012yxx y⎧⎪-≤⎪+≥⎨⎪⎪-+≤⎩，则264x yx+--的最大值是_______．1．【答案】D【解析】画出可行域如下图所示，向上平移基准直线0x y+=到可行域边界()2,2B的位置，由此求得目标函数的最大值为224+=．2．【答案】A【解析】画出变量,x y满足的可行域（见下图阴影部分），目标函数2z y x=-可化为2y x z=+，显然直线2y x z=+在y轴上的截距最小时，z最小，平移直线2y x=经过点A时，z最小，联立3020yx y-=⎧⎨--=⎩，解得()5,3A，此时min3257z=-⨯=-．3．【答案】A【解析】由变量,x y满足约束条件20220x yx yx y+≥-≤-+≥⎧⎪⎨⎪⎩，作出可行域如图，答案与解析一、选择题由图可知，最优解为A ，联立20220x y x y +=-+=⎧⎨⎩，解得121,A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴2z x y =-的最小值为()152122⨯--=-． 4．【答案】C 【解析】作出不等式组22010240x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩对应的平面区域，如阴影部分所示；平移直线2z x y =-，由图像可知当直线2z x y =-经过点A 时，z 最大．22010x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得()1,0A ，即1z =，所以z 的最大值为1． 5．【答案】C【解析】由实数x ，y 满足约束条件0301x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，作出可行域如图，则22x yz -+=的最大值就是2t x y =-+的最大值时取得，联立01x y y -=⎧⎨=⎩，解得(1,1)A ．化目标函数2t x y =-+为2y x t =+，由图可知，当直线2y x t =+过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 有最大值为12． 6．【答案】C【解析】如图所示：画出可行域：00y y k x x -==-，看作点到原点的斜率， 根据图像知，当32x =，12y =-时，有最小值为13-． 7．【答案】D【解析】作图可得，可行域为阴影部分，对于24x y z =⨯，可化简为22x y z +=，令2h x y =+，明显地，当直线2h x y =+过()0,2时，即当24x y +=时，h 取最大值4，则24x y z =⨯的最大值为16． 8．【答案】B 【解析】不等式组对应的可行域如图所示：其中()1,0C ，若0a >，因目标函数2z ax y =+仅在点()1,0处取得最小值， 所以动直线22a z yx =-+的斜率102a-<-<，故02a <<；若0a ≤，因目标函数2z ax y =+仅在点()1,0处取得最小值， 所以动直线22a z yx =-+的斜率022a≤-<，故40a -<?．综上，42a -<<． 9．【答案】D 【解析】如图，由21y x x y m =-⎧⎨+=⎩可得B 的坐标为121,33m m +-⎛⎫⎪⎝⎭， 当动直线0x y z --=过B 时，z 取最大值1-，故1211033m m +--+=， 故5m =．10．【答案】A 【解析】作出不等式组02300x x y y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩所表示的可行域如下图所示：=()0,0的距离，过点O 作直线230x y +-=的垂线OH ，5OH ==． 11．【答案】C 【解析】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点()1,2A a -处取得最小值，即221a -=，12a =． 12．【答案】A 【解析】12y z x -=-的几何意义为点(),M x y 与点()2,1P 所在直线的斜率． 画出如图的可行域，当直线PM 经过点()1,3A 时，min 31212z -==--；当直线PM经过点()3,1B -时，max1132z-==--．12yzx-=-的取值范围为[]2,0-．13．【答案】1【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图可得(1,2)A，(3,1)B，(4,2)C，平移直线30x y-=，可知过A、C时分别取得最小值与最大值，所以1310x y≤-≤，所以min1z=．14．【答案】92【解析】作出不等式组表示的可行域为一个三角形区域（包括边界），22(2)z x y=++表示可行域内的点到定点()0, 2-的距离的平方，由图可知，该距离的最小值为点()0, 2-到直线1x y+=的距离|021|322d--==，故max92z=．二、填空题15．【答案】2 【解析】由题意，作出不等式组表示的平面区域，如图所示，又由()011y y x x -=+--，即1y x +表示平面区域内任一点(),x y 与点()1,0D -之间连线的斜率， 显然直线AD 的斜率最大，又由2202x y y +-=⎧⎨=⎩，解得()0,2A ，则02210AD k -==--， 所以1yx +的最大值为2． 16．【答案】2 【解析】作可行域如图，264x y x +--112124PA y k x -=+⨯=+-，其中(4,1)A ，P 为可行域内任一点，因为51()124(3)2PA PBk k --≤==--，所以264x y x +--的最大值是2．。
2020届高三数学备考冲刺140分问题25线性规划中的参数问题(含解析)
问题25线性规划中的参数问题【解析】不等式组表示的平面区域如图阴影部分’易求得X2.2X ^（23） I 要目标圈数 z=ay+^>0:fr>0）的最小值为 2, A la^2b=2 :即 a = b = l t .\当且仅当 24等号成“炮的最大值吋.【点评】本题主要考查最优解的求法以及均值不等式的应用•应明确若可行域是封闭的多边形 在多边形的顶点处取得•应用均值不等式时需注意“一正、二定、三相等”、考情分析 线性规划是高考必考问题，常有以下几种类型：（1 ）平面区域的确定问题；（2）区域面积问题；（3）最值问 题；（4 ）逆向求参数问题•而逆向求参数问题 ，是线性规划中的难点，其主要是依据目标函数的最值或可行 域的情况决定参数取值. 二、经验分享 （1）求平面区域的面积： ①首先画出不等式组表示的平面区域,若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题 ，从而 再作出平面区域;②对平面区域进行分析 ，若为三角形应确定底与高 ，若为规则的四边形（如平行四边形或梯形），可利用面积 公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可. 3 .目标函数中x ，y 的系数均含参数 【例3】设x ，y 满足约束条件 x _2 2x -y _1,若目标函数 z=ox+ir （fl>03>0）的最小值为2,则ab 的最大 值为 ___________ 【答案】-.4，最优解一般，缺一不可.\2x-y-2^0 z = (?+l)X-X^+Oy長-2F + 2M【小试牛刀】设变量 x, y 满足约束条件,且 的最小值是-20,则实数a 二 ___________ . 【答案】_2【解析】作出不等式组表示的平面区域 ,如图所示,由图知,当---；-- 经过点A(2, 2)时取2(/+1)-如+1)=-20得最小值一 20,即,解得a = _2 .x y <4,-'【例4】设不等式组<y _x 工0,表示的平面区域为 D •若圆(r a 0)不经过区域x -n^oD 上的点，则r 的取值范围是()A . 2、2,2、5丨 B. 2、23、2 】【答案】D.【解析】不等式对应的区域为•圆心为区域中A 到圆心的距离最小月到圆心的距离最大' 二要梗圆不经过区域D 则有0<心|」0或由：-得:「即1) *由「- 「得 y = x 1=1y — -x+斗，即 5(13) . J. \AC\ -141 . \BC\ = 2 J? . J. 0<? <27：或 r>2^5 r 的取值范围是 Y =3(Q2血)U(2@：+龙人选D.C. 3、.2,2.. 5】D.4 •目标函数为非线性函数且含有参数【答案】B【点评】本题的关键是给出目标函数的实际意义 ，即圆与可行域无公共点的问题•对于目标函数为平方型：2 =(X -盘「,可看成可行域内的点 p (x y )与定点Q (ab )两点连线的距离的平方，即；也可看成是以Q (a b )为圆心,伍为半径的圆，转换为圆与可行域有无公共点的问题.【点评】线性规划的实质是把代数问题几何化 ，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行 域；二，画目标函数所对应的 直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较 ，避免出错；三，一般情况 下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得 (三)目标函数及约束条件中均含参数工y — x【例6】设m=1,在约束条件* yEmx 下，目标函数 z = x + my 的最大值大于2,则m 的取值范围为x + ^1( )• A . 112 B • 12，：： C •1,3 D •3，：：【答案】B【解析】把目标堡徼转化为y = -丄.¥+三:表示是斜率为-2,截距为三的平行直线系，当截距最大时:二最m ??? in m 大当过点［丄一—［时截距最大二丄+二门，解之得心+圧V w + 1 m + lj 附-1 啣 + 1「x + y a【小试牛刀】设 x , y 满足约束条件『 '且 x ay 的最小值为7,则a =l x —y 兰—1,(A ) -5( B ) 3( C ) -5 或 3( D ) 5 或-3【解析】根捋題中约朿条件可画出可行域如下图所示.两直线交点坐标为：T （呼.譽）,又由题中此时最小值为，即- --，则：-- 当■-:：时， ，即| , 同时• I 也在直线上，二=.Y +卬•可知'当a>0时卫有最小值:+心+1 /+A7则亡竺1 •【陕西省西安市高新一中 fx+y-2>0 tz - y +2 > 02019届高三一模】若兀丁满足y ~C，且 V7的最小值为则比的值为（）1 1A . 3B •C •D •【答案】D 【解析】由 得，,【答案】Bk=--代入可得宀+ •' ，解得，故选D.-y <0 Jc+ y > 16.【山东省聊城市第一中学2019届高三上学期期中】设 工，F 满足约束条件I yWm ，若^ = x + y 的最大龙+ a值为■爲贝U的最小值为（）1 1A . 4B .C .D . 【答案】D，y <a+ y > 1【解析】作出x , y 满足约束条件所表示的平面区域，由｛,2x^— y =。
2020年高考数学五年真题与三年模拟考点分类解读(江苏版)12 线性规划(解析版)
考点12 线性规划一、考纲要求1. 能从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.2. 能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并加以解决二、近五年江苏高考一般地，二元一次不等式Ax +By+ C >0 在平面直角坐标系中表示Ax +By+ C =0 某一侧所有点组成的平面区域。
我们把直线画成虚线表示区域不包括边界直线。
当我们在坐标系中画不等式Ax +By+ C ≥0 所表示的平面区域时，此区域的边界直线画成实线。
线性规划问题的考查，通常以求最优解、最值等问题出现，一般情况下，可通过作出图像，用数形结合的方法解题，题目多为填空题，为容易题或中档题，多数情况下可用特殊位置法求解。
高考对此内容的考查主要有三种：一是与二元一次不等式(组)表示的平面区域有关的距离、面积等问题；二是求目标函数的最值(取值范围)或已知目标函数的最值，求约束条件或目标。
三、考点总结：`函数中的参数的取值范围；三是求实际生活中效益最大，耗费的人力、物力资源最少等问题。
1. 用二元一次不等式表示平面区域，是简单线性规划问题的基础。
2. 掌握二元一次不等式表示平面区域的方法：(1 )直线定界，特殊点定域。
(2 )讨论B >0 时，不等式的方向。
(3 )也可根据斜截式判断：y < kx + b 表示直线的下方；y >kx + b 表示直线的上方。
3. 解决线性规划问题，正确画出可行域并利用数形结合求最优解是重要的一环，故要重视正确画图；而在求最优解时，常把视线落在可行域的顶点上。
4. 目标函数所对应的直线束的斜率，如果与约束条件组中的某一约束条件所对应的直线斜率相等，那么最优解可能有无数个。
最后一定要注意检验，考虑最优解是否符合实际意义。
解题中，要特别注意目标函数所对应的直线束的斜率与边界的斜率的大小关系而导致的错误。
四、近几年江苏高考题1、(2017江苏卷)．在平面直角坐标系xOy 中，(12,0),(0,6),A B -点P 在圆22:50O x y +=上，若20,PA PB ⋅≤则点P 的横坐标的取值范围是 ．【答案】 [－52，1]【解析】 满足P A →·PB →≤20，点P (x ，y )的轨迹方程是x 2＋y 2＋12x －6y ≤20.又因为x 2＋y 2＝50，所以2x －y ＋5≤0.点P (x ，y )满足的所有约束条件是⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝50，2x －y ＋5≤0.与线性规划类似，点P 对应的图形是：以E (－5，－5)，F (1，7)为端点的左侧圆弧EF ，圆弧EF 在x 轴上的射影为线段，点P 横坐标的范围是[－52，1]．易错警示 圆弧在x 轴上的射影与对应弦的射影和范围可能不一致．2、（2016江苏卷） 已知实数,x y 满足240220330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，，， 则22x y +的取值范围是 .【答案】 ⎣⎡⎦⎤45，13 思路分析 注意到x 2＋y 2表示坐标原点到平面区域内的点的距离的平方，因此，问题转化为求坐标原点到平面区域内的点的距离的最大值与最小值．作出如图所示的平面区域，则A (1，0)，B (2，3)，C (0，2)，所以当x ＝2，y ＝3时，x 2＋y 2取得最大值为13，x 2＋y 2的最小值为坐标原点到直线AC 的距离的平方，即为⎝ ⎛⎭⎪⎫|2|4＋12＝45，故x 2＋y 2的取值范围为⎣⎡⎦⎤45，13.3、（2013江苏卷） 抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部与边界)．若点P(x ，y)是区域D 内的任意一点，则x ＋2y 的取值范围是________．【答案】 ⎣⎡⎦⎤－2，12 【解析】 由y ＝x 2得y ′＝2x ，则在点x ＝1处的切线斜率k ＝2×1＝2，切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.在平面直角坐标系中作出可行域，如图阴影部分所示，则A (0，－1)，B ⎝⎛⎭⎫12，0.作直线l 0：x ＋2y ＝0.当平移直线l 0至点A 时，z min ＝0＋2×(－1)＝－2；当平移直线l 0至点B 时，z max ＝12＋2×0＝12.故x ＋2y的取值范围是⎣⎡⎦⎤－2，12.五、近三年模拟题题型一、目标函数的最值问题1、(2019无锡期末） 已知 x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥02x －y≤0x≥0，则z ＝ x ＋y 的取值范围是________．【答案】[0，3]【解析】由z ＝x ＋y 可得y ＝－x ＋z ，所以z 为直线y ＝－x 及平行直线的纵截距，根据可行域，令⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝02x －y ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2故z max ＝3；令⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0x ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝0故z min ＝0，所以z ＝x ＋y 的取值范围是．[0，3] 2、(2019南京三模）．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，2x ＋y ≥0，x ≤1，则x ＋3y 的最小值为 ．【答案】－5【解析】作出不等式组表示的平面区域，如下图所示，当目标函数z ＝x ＋3y 过点B （1，－2）时，取得最小值为：13(2)5z =+⨯-=-.3、(2019南通、泰州、扬州一调） 若实数x ，y 满足x≤y≤2x ＋3，则x ＋y 的最小值为________． 【答案】 －6【解法1】x ＋y≥x ＋2x ＋3＝3x ＋3，而2x ＋3≥x ，则x≥－3，所以3x ＋3≥－6，则x ＋y 的最小值为－6，此时x ＝y ＝－3.故答案为－6.【解法2】作出不等式组x≤y≤2x ＋3所表示的平面区域，如图所示，解得所以A(－3，－3)，令z ＝x ＋y ，可以得到y ＝－x ＋z ，作出直线l 0：y ＝－x 并平行移动，当直线经过A 点时，z 取最小值－3－3＝－6，故答案为－6.4、(2018南通、泰州一调） 若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，y≤3，x －y －1≤0，则2x －y 的最大值为________．【答案】 5【解析】令z ＝2x －y ，作出平面区域，设直线l 0：y ＝2x ，将l 0平移，当l 0经过点B(4，3)时，z 取最大值为8－3＝5.5、(2018南京学情调研） 已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧2≤x≤4，y≥3，x ＋y≤8，则z ＝3x －2y 的最大值为________．【答案】 6【解析】由约束条件作出可行域，如图所示，欲求z ＝3x －2y 的最大值，即求直线y ＝32x －z 2纵截距的最小值，由图知，当直线y ＝32x －z2过点B 时取得，而点B 的坐标为(4，3)，所以z ＝3x －2y 的最大值为3×4－2×3＝6.6、(2018苏州期末）已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤3，x ＋y≥0，x －y ＋3≥0，则z ＝2x －3y 的最大值为________．【答案】15解法1(线性规划) 根据线性约束条件，画出可行域如图．z 的几何意义为动直线2x －3y ＝z 的截距负3倍，平移直线可得当直线经过点C 时，z 最大．又点C(3，－3)，故z max ＝15.解法2(向量的数量积) 先画出可行域，z ＝2x －3y 是定向量ON →＝(2，－3)与动向量OP →＝(x ，y)的数量积．可行域是以O(0，0)，A(3，－3)，B(3，6)，C(0，3)为顶点的梯形OABC 及它的内部．当点P 在点A(3，－3)处时，动向量OP →在定向量ON →方向上的投影最大．所以z ＝2x －3y ＝(2，－3)·(x ，y)≤(2，－3)·(3，－3)＝15.解后反思 利用向量数量积的几何意义“一个向量的模与另一个向量在该向量上的投影的乘积”，比平移直线更直观．7、(2018常州期末） 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y≤0，2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，则x ＋y 的取值范围是________．【答案】 ⎣⎡⎦⎤43，8【解析】如图，画出可行域．阴影三角形的三个顶点坐标分别为A(0，2)，B ⎝⎛⎭⎫23，23，C(4，4)，则x ＋y 的取值范围为⎣⎡⎦⎤43，8.8、(2018扬州期末）若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x≤4，y≤3，3x ＋4y≥12，则x 2＋y 2的取值范围是________．【答案】 ⎣⎡⎦⎤14425，25【解析】首先作出如图所示的可行域，设P(x ，y)表示可行域内任意一点，则x 2＋y 2的几何意义就是OP 2，它的最大值就是OA 2＝42＋32＝25，最小值就是原点O 到直线3x ＋4y ＝12的距离的平方，即⎝ ⎛⎭⎪⎫|3×0＋4×0－12|32＋422＝14425，故x 2＋y 2的取值范围为⎣⎡⎦⎤14425，25.9、(2017苏北四市一模） 设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤1，x ＋2y ≥1，则3x ＋2y 的最大值为________．【答案】 3【解析】作出不等式组所表示的平面区域(如图)，令z ＝3x ＋2y，则y ＝－32x ＋z2，故当目标函数经过点C (1，0)时，取得最大值，故z max ＝3.10、(2017南通一调） 若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤4，x ＋3y ≤7，x ≥0，y ≥0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．【答案】 7【解析】作出平面区域，如图所示的阴影部分，作出直线l 0：3x ＋2y ＝0，并平行移动，当直线经过点A (1，2)时，z max ＝3＋2×2＝7 .11、(2017南京、盐城一模） 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x ＋y ≤7，x ＋2≤2y ，)则yx的最小值是________． 【答案】 34【解析】作出不等式组所表示的平面区域(如图阴影部分)，而yx 表示区域内的点与坐标原点的连线的直线的斜率，故当直线过点A (4，3)时，⎝⎛⎭⎫y x min＝34.题型二 线性规划中的参数问题1、(2018无锡期末） 已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x≥2，x ＋y≤4，2x －y≤c ，目标函数z ＝3x ＋y 的最小值为5，则c 的值为________．【答案】5【解析】：如图，作可行域，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，2x －y ＝c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4－c ，根据目标函数的几何意义可知此为使得目标函数取得最小值的最优解，故z ＝3×2＋4－c ＝5，解得c ＝5.2、(2017无锡期末）设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ≤0，x ＋y ≤4表示的平面区域为M ，若直线y ＝kx －2上存在M 内的点，则实数k 的取值范围为________．【答案】 [2，5]【解析】直线y ＝kx －2上存在M 内的点，即直线与平面区域M 有公共点，作出平面区域M ，注意到直线y ＝kx －2经过定点P (0，－2)，求得直线l 1：x －y ＝0和l 2：x ＋y ＝4的交点A (2，2)及l 2和l 3：x ＝1的交点B (1，3)，则k P A ＝2，k PB ＝5，由题意可得k 的取值范围是[2，5]．3、(2017苏州暑假测试） 已知点P 是△ABC 内一点(不包括边界)，且AP →＝mAB →＋nAC →，m ，n ∈R ，则(m －2)2＋(n －2)2 的取值范围是________．【答案】 ⎝⎛⎭⎫92，8思路分析 注意到点P 是△ABC 内一点(不包括边界)，且AP →＝mAB →＋nAC →，m ，n ∈R ，所以m ，n 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，n ＞0，m ＋n ＜1，因此，本题的本质就是在约束条件下求目标式(m －2)2＋(n －2)2的取值范围，而(m －2)2＋(n －2)2表示的是区域内的动点(m ，n )到点(2，2)的距离的平方，因此，利用此几何意义不难得到问题的答案．因为点P 是△ABC 内一点(不包括边界)，且AP →＝mAB →＋nAC →，所以m ，n 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，n ＞0，m ＋n ＜1，作出不等式组平面区域如图所示．因为(m －2)2＋(n －2)2表示的是区域内的动点(m ，n )到点A (2，2)的距离的平方．因为点A 到直线m ＋n ＝1的距离为|2＋2－1|2＝32，故⎝⎛⎭⎫322＜(m －2)2＋(n －2)2＜OA 2，即(m －2)2＋(n －2)2的取值范围是⎝⎛⎭⎫92，8.解后反思 本题是隐藏在向量背景下的线性规划问题，本题的关键在于找到m ，n 所满足的不等关系，有了不等关系，只需按线性规划问题的处理方法进行求解即可．。
高三数学线性规划试题答案及解析
高三数学线性规划试题答案及解析1.已知不等式组表示的平面区域的面积等于，则的值为（）﹙A﹚（B）﹙C﹚（D）【答案】D【解析】由题意，要使不等式组表示平面区域存在，需要，不等式组表示的区域如下图中的阴影部分，面积，解得，故选D.【考点】1.线性规划求参数的取值.2.曲线f（x）=（其中e为自然对数的底数）在点（0,1）处的切线与直线y=－x+3和x轴所围成的区域为D（包含边界），点P（x，y）为区域D内的动点，则z=x-3y的最大值为（）A．3B．4C．-1D．2【答案】A【解析】，切线的斜率k==1，切线方程为y=x+1，区域D如图所示，目标函数z=x-3y过点（3,0）时，z的值最大，最大值为3-3×0=3，故选A.【考点】线性规划.3.已知满足不等式设，则的最大值与最小值的差为（）A．4B．3C．2D．1【答案】A【解析】作出不等式组所表示的区域，，由图可知，在点取得最小值，在点取得最大值，故的最大值与最小值的差为．【考点】线性规划．4.某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1kg、B原料2kg；生产乙产品1桶需耗A原料2kg，B原料1kg.每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12kg.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是多少？【答案】2800元【解析】设公司每天生产甲种产品x桶，乙种产品y桶，公司共可获得利润为z元/天，则由已知，得z＝300x＋400y，且画可行域如图所示，目标函数z＝300x＋400y可变形为y＝－x＋，这是随z变化的一簇平行直线，解方程组∴即A(4，4)，∴z＝1200＋1600＝2800(元)．max故公司每天生产甲产品4桶、生产乙产品4桶时，可获得最大利润为2800元．5.若直线y＝2x上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为________．【答案】1【解析】可行域如下：所以，若直线y＝2x上存在点(x，y)满足约束条件则3－m≥2m，即m≤1.6.已知实数x，y满足不等式组则2x－y＋3的最小值是()A．3B．4C．6D．9【解析】已知不等式组表示的平面区域如图所示．设z＝2x－y，则z为直线2x－y－z＝0在y轴的截距的相反数，结合图形可知在点A处z最小，A(1，1)，故z的最小值为1，所以2x－y＋3的最小值是4.7.不等式组所表示的平面区域是面积为1的直角三角形，则z＝x－2y的最大值是()．A．－5B．－2C．－1D．1【答案】C【解析】如图，由题意知，直线x＋y－4＝0与直线y＝kx垂直，所以k＝1，满足平面区域的面积为1，所以当直线x－2y＝0平行移动经过点A(1,1)时，z达到最大值－1.8.已知实数x，y满足则目标函数z＝x－y的最小值为()．A．－2B．5C．6D．7【答案】A【解析】由z＝x－y，得y＝x－z.作出不等式对应的平面区域BCD，平移直线y＝x－z，由平移可知，当直线y＝x－z经过点C时，直线的截距最大，此时z最小．由解得即C(3,5)，代入z＝x－y得最小值为z＝3－5＝－2.9.设变量x、y满足约束条件且不等式x＋2y≤14恒成立，则实数a的取值范围是【答案】[8,10]【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，显然a≥8，否则可行域无意义．由图可知x＋2y在点(6，a－6)处取得最大值2a－6，由2a－6≤14得，a≤10，故8≤a≤10.10.曲线y＝在点M(π，0)处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D（包含三角形内部与边界）．若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则x＋4y的最大值为．【答案】4【解析】，，，所以曲线在点处的切线方程为：，即：，它与两坐标轴所围成的三角形区域如下图所示：令，将其变形为，当变化时，它表示一组斜率为，在轴上的截距为的平行直线，并且该截距越在，就越大，由图可知，当直线经过时，截距最大，所以＝，故答案为：4.【考点】1、导数的几何意义；2、求导公式；3、线必规划.11.已知实数，满足约束条件则的最大值为．【答案】【解析】解线性规划问题，不仅要正确确定可行域，本题是直角三角形及其内部,而且要挖出目标函数的几何意义，本题中可理解为坐标原点到可行域中点的距离的平方.要求目标函数最大值，就是求的最小值，即坐标原点到直线的距离的平方，为.【考点】线性规划求最值12.若不等式组表示的平面区域是三角形，则实数的取值范围是．【答案】【解析】画出表示的可行域，表示过的一组直线，如果能构成三角形，如图，那直线不与已知直线平行，夹在如图粗线直接，由逆时针旋转到之间的直线，能构成三角形，,.【考点】线性规划.13.若变量x,y满足约束条件则的最大值为A．4B．3C．2D．1【答案】A【解析】由画出可行域及直线.平移直线，当其经过点时，取到最大值4，选A.【考点】简单线性规划的应用14.若实数x，y满足，如果目标函数的最小值为，则实数m=______.【答案】8【解析】画出可行域如下图：可得直线与直线的交点使目标函数取得最小值，故解，得，代入得故答案为8．【考点】简单线性规划15.雾霾大气严重影响人们生活，某科技公司拟投资开发新型节能环保产品，策划部制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且还要考虑可能出现的亏损，经过市场调查，公司打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和60%，可能的最大亏损率分别为20%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元要求确保可能的资金亏损不超过1.6万元.（1）若投资人用万元投资甲项目，万元投资乙项目，试写出、所满足的条件，并在直角坐标系内做出表示、范围的图形；（2）根据（1）的规划，投资公司对甲、乙两个项目投资多少万元，才能是可能的盈利最大？【答案】（1）如图；（2）用6万元投资甲项目，4万元投资乙项目.【解析】（1）根据已知条件列出不等式组，再在平面直角坐标系中画出对应的可行域，注意边界上的点也满足条件；（2）主要是利用可行域求解线性目标函数的最大值即得投资公司获得的最大利润，图解法解决含有实际背景的线性规划问题的基本步骤是：①列出约束条件，确定目标函数；②画出不等式（组）表示的平面区域；③作平行直线系使之与可行域有交点，求得最优解；④写出目标函数的最值，并下结论.试题解析：（1）由题意，上述不等式组表示的平面区域如图中阴影部分（含边界），根据（1）的规划和题设条件，可知目标函数为，作直线，并作平行于直线与可行域相交，当平行直线经过直线与的交点时，其截距最大，解方程组，解得，即，此时（万元），当，时，取得最大值.即投资人用6万元投资甲项目，4万元投资乙项目，才能确保亏损不超过1.6万元，使可能的利润最大.【考点】用线性规划解决实际问题，投资利润最大问题.16.设变量x、y满足则目标函数z=2x+y的最小值为（）A．6B．4C．2D．【答案】C．【解析】由题意可得，在点B处取得最小值，所以z=2.【考点】线性规划.17.设实数满足约束条件，若目标函数的最大值为8，则a+b的最小值为_____________．【答案】4【解析】满足约束条件的平面区域如图，由，得，由，知，所以，当直线经过点时，取得最大值，这时，即，所以≥，当且仅当时，上式等号成立.所以的最小值为【考点】简单线性规划的应用18.已知实数、满足，则函数的取值范围是 .【答案】(2,5)【解析】作出不等式组表示的区域如图所示，设P（x,y），显然.从图可知，当点P在点C，D时，取最大值5；当点P在点A时，取最小值2.但要区域中应去掉A、C、D三点，所以其范围为（2，5）.【考点】线性规划.19.某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐，已知一个单位的午餐含个单位的碳水化合物，个单位的蛋白质和个单位的维生素；一个单位的晚餐含个单位的碳水化合物，个单位的蛋白质和个单位的维生素.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含个单位的碳水化合物，个单位的蛋白质和个单位的维生素.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是元和元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？【答案】应当为该儿童预订个单位的午餐和个单位的晚餐，就可满足要求．【解析】先根据条件列举出、所满足的约束条件，并确定目标函数，然后作出可行域，利用目标函数所代表的直线进行平移，根据的几何意义确定最优解，从而解决实际问题.试题解析：设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为个单位和个单位，所花的费用为元，则依题意得：，且、满足：，即，画出可行域如图所示：让目标函数表示的直线在可行域上平移，由此可知在处取得最小值．因此，应当为该儿童预订个单位的午餐和个单位的晚餐，就可满足要求．【考点】线性规划20.已知x，y满足，则的取值范围是__________．【答案】【解析】由满足的条件作图如下，又由，可看成两点间的斜率，由图可知过点时，有最大值;过点时，有最小值，则范围为．【考点】简单的线性规划21.设z＝2x＋y，其中x，y满足，若z的最大值为6，则z的最小值为_________．【答案】【解析】根据题意画出可行域，其中，经过平移图中虚线方程可知，当目标函数过点时，所以，此时，，当目标函数过点时，.【考点】线性规划.22.设，其中满足约束条件，若的最小值，则k的值为___ .【答案】1.【解析】由题意若的最小值为1，则直线通过直线和直线的交点，则有，解得.【考点】线性规划.23.若实数、，满足，则的取值范围是【答案】【解析】，令，如图画出可行域，的取值范围为可行域上任一点，与连线的斜率的取值范围，，故．【考点】线性规划．24.已设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为( ) A．11B．10C．9D．【答案】B【解析】不等式表示的平面区域如图所示为三角形及其内部，根据中的几何意义，由图可知，当直线经过点时，最大，解方程得，所以，选B.【考点】简单的线性规划.25.已知满足约束条件，且恒成立，则的取值范围为。
2020高考数学----线性规划(非常规问题)
第44炼 线性规划中的非常规问题一、基础知识：在线性规划问题中，除了传统的已知可行域求目标函数最值之外，本身还会结合围成可行域的图形特点，或是在条件中设置参数，与其它知识相结合，产生一些非常规的问题。
在处理这些问题时，第一依然要借助可行域及其图形；第二，要确定参数的作用，让含参数的图形运动起来寻找规律；第三，要能将图形中的特点与关系翻译成代数的语言，并进行精确计算。
做到以上三点，便可大大增强解决此类问题的概率。
二、典型例题：例1：不等式组()0014x y k y kx k≥⎧⎪≥>⎨⎪≤-+⎩所表示的平面区域为D ，若D 的面积为S ，则1kS k -的最小值为________思路：先作出平面区域。
直线()44y kx k k x =-+=-，可判断出过定点()4,0，通过作图可得平面区域D 为直角三角形。
所以三角形面积14482S k k =⋅⋅=。
从而2811818121111kS k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫==++=-++ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，因为1121k k -+≥-，所以32S ≥ 答案：32例2：关于,x y 的不等式组()0y x ab a y x b ⎧≥-⎪>>⎨≤-+⎪⎩所确定的区域面积为2，则2b a -的最小值为（ ）2 D. 1 思路：要求出2b a -的最值，则需要,a b 的关系，所以要借助不等式组的面积，先作出不等式的表示区域，从斜率可判断出该区域为一个矩形，可得长为，所以2222b a S -==，即224b a -=，作出双曲线，通过平移2z b a =-可得直线与224b a -=相切时，2b a -取得最小值。
即：22224321602b a a az z z b a ⎧-=⇒-+-=⎨=-⎩()244480z ∆=-=解得z =2z b a =-的最小值为答案：B例3：若不等式组0024x y x y s x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个三角形，则实数s 的取值范围是（ ）A. 02s <≤或4s ≥B. 02s <≤C. 4s ≥D. 2s ≤或4s ≥思路：本题约束条件含参，所以先从常系数不等式入手作图，直线x y s +=为一组平行线，在平移的过程中观察能否构成一个三角形。
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2020年高考线性规划问题
x y 3 > 0,
1、（ 2020湖北）设变量 x, y 满足约束条件 x y > 0,
则目标函数2x y 的最小值
2 < x < 3,
2
x y > 2,
2、（ 2020福建）已知实数 X, y 满足 x y < 2,则z 2x y 的取值范围是 ___________________
0 < y < 3,
5,7
3、（2020年天津文）设变量 x y 满足约束条件
y > 2
标函数z = 2x +4 y 的最大值为(
)
(A) 10
(B) 12 (C) 13 (D) 14
C
面区域内的点是（
）
A. （0,2）
B. （ 2,0）
C
5、 （ 2020陕西）已知实数x 、y 满足条件
为 8
2x 3y < 0
6、( 2020重庆)已知 x y > 0, 则z 3x y 的最小值为 _____________________
y > 0.
9
7、（ 2020四川）某公司有 60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投
2
资不小于对项目乙投资的
2
倍，且对每个项目的投资不能低于 5万元，对项目甲每投资 1
3
万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资
1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确提
x 2y 4 0,
3x y 3 0,则z
x °,y 0
,
4、（ 2020全国I ）下面给出四个点中，位于 x y 1 0
表示的平
x y 1 0
C. (0, 2)
D. (2,0) 图 1
x 2y 的最大值
财投资后，在两个项目上共可获得的最大利润为
A.36万元
B.31.2万元
C.30.4万元
D.24万元
B
x 2y 5 0,
8、 （ 2020浙江）z 2x y 中的x , y 满足约 束条件3 x > 0, 则z 的最小值
x y > 0,
是 ________ .
5 3
9、 （ 2020山东）本公司计划 2020年在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300分钟的广告， 广告总费用不超过 9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为 500元/分钟和200元/分钟, 规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为 0.3万元和
0.2万元•问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最
大收益是多少万元？
解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为
x 分钟和y 分钟，总收益为z 元，由
x y < 300,
二元一次不等式组等价于
5x 2y < 900, x > 0, y > 0.
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域. 如图： 作直线 l :3000 x 2000 y 0 , 即 3x 2y 0 .
平移直线l ，从图中可知，当直线l 过M 点时，目标函数取得最大值.
联立 x y
3
00,解得 x I 。
，y 200. 5x 2y 900.
点M 的坐标为（100,200）.
z max 3000x 2000y 700000 （元）
答：该公司在甲电视台做 100分钟广告，在乙电视台做 200分钟广告，公司的收益最大，最 大收益是70万元.
x y < 300, 题意得 500x
200y < 90000,
x > 0, y > 0.
目标函数为z 3000x 2000 y .
x y 5 > ,
1O 、（ 2020北京）若不等式组 y > a ,
表示的平面区域是一个三角形，则
a 的取值
0 < x < 2
范围是(
)
A. a 5
B . a > 7
2y 1> 0
那么PQ 的最小值为（
）
x 0, y 0}，则平面区域B {( x y,x y) | (x, y) A}的面积为
1
1
A . 2
B . 1
C .
D .—
2 4
B
11、（2020安徽）如果点P 在平面区域
y 2 < 0上，点Q 在曲线x 2
2
(y 2)
1
A.
B . 1
-5
c. 2 2 1 D. 2 1
12、 （2020江苏）在平面直角坐标系xOy , 已知平面区域A {(x,y)|x y 1,且。