弹丸一般运动微分方程组与运动稳定性分析
微分方程中的稳定性理论研究
微分方程中的稳定性理论研究稳定性是微分方程理论中一个重要的概念，它描述了系统在时间和空间上的变化趋势。
稳定性理论研究的是系统的长期行为，即系统是否会趋向于一个确定的状态，或者是否会出现周期性的振荡。
本文将介绍微分方程中的稳定性理论及其应用。
一、基本概念稳定性理论研究的是微分方程的解在初始条件或参数变化下的行为。
稳定性可以分为局部稳定性和全局稳定性两种情况。
局部稳定性指的是系统在某一特定状态附近的解的行为，即如果系统的初始状态足够接近这个特定状态，那么系统的解将会趋近于这个特定状态。
全局稳定性则要求系统的解在整个定义域内都趋近于一个特定的状态，不管初始状态是如何选择的。
二、线性稳定性分析对于线性微分方程，可以通过判断系统的特征根来研究其稳定性。
考虑形如 $\frac{{dx}}{{dt}}=Ax$ 的线性微分方程，其中 $A$ 是一个常数矩阵。
方程的解可以表示为 $x(t)=e^{At}x_0$，其中 $x_0$ 是初始条件。
系统的稳定性取决于矩阵 $A$ 的特征根的实部。
如果所有特征根的实部都小于零，则系统是局部稳定的；如果所有特征根的实部都小于等于零，则系统是渐近稳定的；如果存在特征根的实部大于零，则系统是不稳定的。
三、非线性稳定性分析对于非线性微分方程，稳定性的分析就更加复杂。
一般情况下，无法直接得到解析解，需要借助数值方法或近似方法进行研究。
一种常用的方法是线性化法，即将非线性方程在某一特定点附近进行线性近似。
通过线性化后的方程，可以通过判断线性化方程的稳定性来推断原方程的稳定性。
此外，还可以使用Lyapunov稳定性理论来研究非线性系统的稳定性。
Lyapunov函数是一个标量函数，通过判断其导数的符号来推断系统的稳定性。
如果导数小于零，则系统是局部稳定的；如果导数小于等于零，则系统是渐近稳定的。
四、应用稳定性理论在物理学、工程学、生物学等领域具有广泛的应用。
在控制系统中，稳定性是设计控制器的一个重要指标。
外弹道学第五章
§1 坐标系及坐标变换
二、坐标变化 1、oxyz ox 2 y 2 z 2 速度坐标系可以看作是 基准坐标系经旋转两次而得： 第一次是o-xyz绕oz轴正向 右旋转过 2角到达 o x y 2 z 位 置；第二次是 o x y 2 z 绕oy2轴 负向右旋转过 1角，最后达 到 ox 2 y 2 z 2 位置。角速度2 沿 oz轴正向，角速度 1 沿0y2 轴负向。如图所示。
oz轴单位长度在 ox 2 , oy 2 , oz 2 轴上的投影为： 即
x2 x y 2 L1 y z z2
sin 1 ,0 , cos 1
cos 1 cos 2 L1 sin 2 cos sin 2 1 cos 1 sin 2 cos 2 sin 2 sin 1 sin 1 0 cos 1
相对于ox 2 y 2 z 2 系的相对导数。
dv dt F x2 d 2 dt
1
则有
m mv cos mv
1
d dt
F y2
F z2
上式即为速度坐标系内的弹丸质心运动动力学方程。此 式描述的是空间弹道，其中第一式是描述速度大小的变 化，第二式描述速度方向茬铅垂面内的变化；第三式描 述速度方向偏离射击面的情况。
二、作用于弹丸上的力矩
(1)静力矩：
Mz M z M z
0 2 Ak z v 2 1
§2 作用在弹丸上的力和力矩
(2)赤道阻尼力矩：
M zz M zz M zz sin 1 Ak zz v 1 cos 1
微分方程的基本理论及稳定性研究
微分方程的基本理论及稳定性研究摘要：本文利用常微分方程和数学建模二者之间的联系，了解微分方程的一般理论、微分方程解的存在惟一性、微分方程的稳定性问题、通过几个典型的数学模型如人口模型等例子来体现微分方程在数学建模中的应用。
用数学理论解决实际生活中的问题。
微分方程的出现以及微分方程在数学建模中的应用，就是为了更好地使更多的人理解并运用数学理论，更好的解决实际生活中的问题。
努力在各个领域利用并渗透数学知识。
关键词：常微分方程；数学建模；数学模型一、前言常微分方程的发展、形成与许多学科都有着密切的联系，例如几何学、物理学、化学、生物学、经济学甚至电子科技、航天航空等。
计算机的发展为常微分方程的应用及理论研究提供有力的工具。
数学若想解决实际问题，就要通过观察研究实际对象的特征和内在的关系规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数学模型。
而在数学模型求解的问题上，常微分方程是最重要的知识工具，因此继续探讨研究常微分方程在数学建模中的应用依然是有着及其重要的学术价值和及其深刻的现实意义。
目前，已有很多学者对此方面进行了研究，例如，朱美玲在《太远城市职业技术学院报》中简要介绍了常微分方程的发展和数学建模的过程以及常微分方程在数学建模中的一些应用，并对数学建模在数学教学中的地位和作用作了一些展望；王英霞在《才智》2011年12期中介绍常微分方程的发展、数学建模的特点，重点介绍了常微分方程与数学建模相互结合，总结常微分方程在数学建模中的重要性；赵家林在《中国科教创新导刊》2009年第1期中描述了客观是数量关系的一种重要数学模型。
数学领域的中心学科常微分方程至今已有近300年的发展历史，为了寻求、解决类似自由落体下落过程中下落距离和时间的函数关系，研究火箭在空中飞行时的飞行轨道等这类实际性的问题，往往就要求我们找到满足某些特定条件的一个或多个未知数方程，为了解决这类实际问题从而产生了微分方程。
把含有未知函数及未知函数导数或微分的方程称之为微分方程。
微分方程与动力系统的稳定性与解析解
微分方程与动力系统的稳定性与解析解一、引言微分方程是数学中重要的研究对象，它描述了自然界中许多现象和系统的变化规律。
在动力学系统中，微分方程被广泛应用于描述系统在不同时间点上的状态变化和稳定性分析。
本文将探讨微分方程与动力系统的稳定性问题，并介绍其解析解的求解方法。
二、微分方程的稳定性稳定性是研究微分方程动力学系统中的一个重要概念，它描述了系统的状态变化是否趋于平衡态。
在微分方程中，稳定性可分为稳定、不稳定和半稳定三种情况。
1. 稳定性当系统在某一平衡态附近的微扰下能够回到平衡态，并且对于初始条件的微小变化不会引起系统状态的剧烈变化时，系统被称为稳定的。
2. 不稳定性当系统在某一平衡态附近的微扰下不能回到平衡态，并且对于初始条件的微小变化会引起系统状态的剧烈变化时，系统被称为不稳定的。
3. 半稳定性当系统在某一平衡态附近的微扰下会回到平衡态，但对于初始条件的微小变化会引起系统状态的小幅度变化时，系统被称为半稳定的。
三、动力系统的稳定性分析方法为了了解动力系统的稳定性，可以使用解析解的方法进行分析。
下面将介绍两种常用的方法：线性稳定性分析和李雅普诺夫稳定性分析。
1. 线性稳定性分析线性稳定性分析适用于一阶线性微分方程。
该方法通过求解微分方程的特征根，得到系统的稳定性。
当所有特征根的实部都小于零时，系统为稳定系统。
当至少存在一个特征根的实部大于零时，系统为不稳定系统。
2. 李雅普诺夫稳定性分析李雅普诺夫稳定性分析适用于高阶非线性微分方程。
该方法通过求解李雅普诺夫方程，判定系统的稳定性。
如果李雅普诺夫方程的解是有界的，且趋近于零，那么系统为稳定系统。
如果李雅普诺夫方程的解在无穷大时趋近于一个有界值，那么系统为半稳定系统。
如果李雅普诺夫方程的解在无穷大时趋近于无穷大，那么系统为不稳定系统。
四、微分方程解析解的求解方法微分方程的解析解为能够用已知函数表达的解。
有一些特定的微分方程能够求得解析解，下面介绍两种求解方法：分离变量法和特征方程法。
弹丸飞行稳定性
上一页
返回
２.２ 旋转理论
• ２.２.１ 描述旋转弹围绕质心运动的坐标系与 参量，有关假设
• 为描述弹丸的一般运动，必须规定一定的坐标系，坐标系不同，弹丸 运动规律的表达式质心运动的坐标系也不相同。可以有多种描述弹丸 一般运动的坐标系与参量，它们的选取取决于对哪些弹丸的运动规律 更为关心和便于分析。此处只介绍一种描述旋转弹围绕质心运动的坐 标系与参量，如图２－１３所示。
• Ｃｘ（Ｍａ，δ）＝Ｃｘ０（Ｍａ）ｆｘ（δ）（２－２） • 由于阻力的指向与δ的正负无关，因而ｆｘδ()是δ的偶函数。由空气动
力学的分析，当δ不大且不在跨声速时，有 • Ｃｘ＝Ｃｘ０（１＋Ｋδ２）（２－３） • 式中，δ的单位为弧度。根据试验，攻角系数Ｋ对于一般旋转弹来说
近似在１５～３０的范围内变化；对于尾翼弹，Ｋ值可达４０左右。 实际应用中应根据试验或有关资料确定。
• 马格努斯力的作用点经常不在重心上，当将其向重心简化时，就形成 一个力矩，叫马格努斯力矩，用Ｍｙ表示。
上一页 下一页 返回
２.１ 弹轴与速度矢量不重合时的空气 动力和力矩
• 此力矩矢量的指向因马格努斯力的作用点在质心前、后而不同，图２ －１０（ｃ）所示为马格努斯力作用于质心前面时马格努斯力矩的指 向。另外，当具有自转运动的弹丸摆动时，在摆动弹丸的前后端分别 产生方向相反的两个马格努斯力Ｒｚ１与Ｒｚ２，形成一个马格努斯力 偶，此力偶矩也属于马格努斯力矩的一部分。
• 图２－８（ａ）表示用同一个弹丸在ｖ＝１１００ｍ／ｓ时做风洞试 验，当δ由０°变至１０°时阻心的移动情况。当δ＜４°时，阻心 位置变化很小；当δ＞４°后，变化速增；至δ＝１０°时，阻心也 向弹底移约ｄ／２。由图２－８（ｂ）可知，当δ＝０°时，ｖ０由 ４００ｍ／ｓ变至１１００ｍ／ｓ，阻力向弹底移动约ｄ／２，即阻 心随Ｍａ的增大而向弹底移动。
微分方程稳定性
微分方程稳定性微分方程是描述自然界或社会现象数学模型的重要工具，在许多领域都得到了广泛应用。
稳定性是微分方程中一个重要的性质，它决定了系统的长期行为。
本文将从微分方程的稳定性入手，探讨其原理及应用。
稳定性概述在微分方程中，稳定性描述了系统在扰动下的表现。
一个系统若具有稳定性，即在初始条件稍微改变时系统也不会产生很大的变化，保持在某种稳定的状态。
相反，若系统不稳定，则初始条件的微小变化可能引起系统行为的剧烈变化。
线性系统的稳定性对于线性微分方程，我们可以通过线性稳定性定理来判断系统的稳定性。
简言之，线性系统的稳定性与其特征根的实部有关。
如果所有特征根的实部都小于零，则系统是稳定的；如果存在实部大于零的特征根，则系统是不稳定的。
非线性系统的稳定性相比线性系统，非线性系统的稳定性分析更加复杂。
通常我们需要通过 Lyapunov 函数、相平面分析等方法来研究非线性系统的稳定性。
Lyapunov 函数是一种标量函数，通过分析 Lyapunov 函数的正负号可以确定系统的渐近稳定性、不稳定性或者随机稳定性。
应用案例分析举一个简单的应用案例，考虑如下的非线性微分方程：$$\frac{dx}{dt} = -x^3$$可以通过 Lyapunov 函数的方法来判断系统的稳定性。
定义Lyapunov 函数为 $V(x) = \frac{1}{2}x^2$，对 $V(x)$ 求导得：$$\dot{V}(x) = x \dot{x} = -x^4$$当 $x \neq 0$ 时，有 $\dot{V}(x) < 0$，因此系统是渐近稳定的。
这个简单的例子展示了Lyapunov 函数在非线性系统稳定性分析中的应用。
结论微分方程的稳定性是微分方程理论中的一个核心问题，它关乎系统的长期行为和稳定性。
通过线性稳定性定理和 Lyapunov 函数等方法，我们可以判断系统的稳定性，并进一步研究系统的动力学特性。
在实际应用中，对微分方程稳定性的研究有助于我们更好地理解系统的演化规律，为问题的求解提供重要参考。
函数的微分方程与方程的稳定性分析
函数的微分方程与方程的稳定性分析函数的微分方程是微积分中的重要概念之一，它描述了函数的导数与函数本身之间的关系。
在本文中，我们将探讨函数的微分方程以及如何进行方程的稳定性分析。
1. 函数的微分方程函数的微分方程可以被定义为：dy/dx = f(x, y)其中，y是函数的依变量，x是自变量，f(x, y)是描述函数关系的表达式。
这个方程表示函数的导数等于函数本身的关系。
函数的微分方程可能包含一阶、二阶或更高阶的导数。
2. 方程的稳定性分析方程的稳定性分析是确定微分方程解的行为随时间的变化。
这个分析涉及到线性稳定性和非线性稳定性两个方面。
2.1 线性稳定性分析线性稳定性分析是针对线性微分方程的情况。
对于线性微分方程：dy/dx = Ax其中A是常数矩阵，我们可以通过计算特征值和特征向量来确定方程的稳定性。
如果特征值都是负实数或者具有负实部，那么方程的解将趋于稳定。
如果存在正实数的特征值或者具有正实部的特征值，方程的解将趋于不稳定。
2.2 非线性稳定性分析非线性稳定性分析涉及到非线性微分方程。
通常，我们使用相图来确定方程的稳定性。
相图是在平面上绘制自变量和函数的对应点，从而形成一条曲线。
通过分析相图的形状和特征，我们可以确定方程的解的稳定性。
一种常见的非线性稳定性分析方法是使用Lyapunov函数。
Lyapunov函数是一个正定的、可微分的函数，通过对Lyapunov函数的求导和计算，可以判断方程的解的稳定性。
3. 实例分析以下是一个实例，展示了如何对函数的微分方程进行稳定性分析。
考虑一个线性微分方程：dy/dx = -2y我们可以通过计算方程的特征值来确定其稳定性。
特征值为-2，说明方程的解将趋于稳定。
另一个实例是一个非线性微分方程：dy/dx = y - y^2我们可以绘制相图来确定方程的稳定性。
通过分析相图，我们可以发现当y趋向于0或1时，方程的解将趋于稳定。
总结：函数的微分方程描述了函数的导数与函数本身之间的关系。
微分方程组解的稳定性及其应用研究
微分方程组解的稳定性及其应用研究微分方程组是数学中重要的研究对象之一，它描述了自然界中许多现象的演化规律。
解微分方程组的稳定性是一个重要的问题，它关乎着系统的行为特征和其在实际应用中的可靠性。
本文将探讨微分方程组解的稳定性及其在实际应用中的研究。
稳定性是指当微分方程组的初值稍微改变时，解的演化是否会趋向于原来的解。
稳定性分为几种不同的类型，包括渐近稳定性、指数稳定性和有界稳定性等。
其中，渐近稳定性是指当时间趋于无穷大时，解会趋向于一个特定的稳定解。
指数稳定性是指解的演化速度以指数形式递减。
有界稳定性是指解的演化保持在某个有界区域内。
对于线性微分方程组，其解的稳定性可以通过研究其特征值来确定。
特征值的实部决定了解的渐近稳定性，而虚部则决定了解的周期性。
当特征值的实部都小于零时，解是渐近稳定的；当特征值的实部都大于零时，解是不稳定的；当特征值的实部有正有负时，解是不稳定的。
这种通过特征值判断稳定性的方法在实际应用中有着广泛的应用，例如在控制系统设计中，可以通过特征值的位置来确定系统的稳定性。
然而，对于非线性微分方程组，由于其解的复杂性，很难通过特征值来判断稳定性。
因此，研究非线性微分方程组的稳定性是一个相对困难的问题。
一种常用的方法是通过线性化来近似非线性微分方程组，并通过线性微分方程组的特征值来判断解的稳定性。
然而，这种方法只能在解的附近进行稳定性分析，对于整个解空间的稳定性分析并不适用。
针对非线性微分方程组的稳定性研究，研究者们提出了许多方法和理论。
其中，李雅普诺夫稳定性理论是一种重要的方法。
该理论通过构造李雅普诺夫函数来判断解的稳定性。
李雅普诺夫函数是一个标量函数，它满足在解附近的点上函数值总是小于等于零，并且只有在解上取到零值。
通过构造李雅普诺夫函数，可以判断解是否是渐近稳定的。
除了稳定性的研究，微分方程组的解在实际应用中也有着广泛的应用。
例如，在生物学中，微分方程组可以用来描述生物种群的演化规律。
子母弹子弹飞行稳定性研究
道弧长 s 的变化规律, 即攻角曲线 ( t) 或 ( s ) 进行判别: 若 随 t或 s 的增加而衰减或 被限定为所要求的范围之内, 则说明是动态稳定 的, 否则, 就是动态不稳定的。 ( 1) 子弹运动方程的建立 ∃ 子弹质心运动简化方程。在无风的条件 下, 不考虑地球转动对弹丸运动的影响, 得到在 地面坐标系中子弹的质心运动方程组: dvx = dt (R x + R y + R z )
子弹的稳定性直接影响子弹引信解除保险、 空炸率、发火率和危险哑弹率等重要性能。因 此, 研究子弹飞行稳定性, 使其适应不同的抛撒
47
子母弹子弹飞 行稳定性研究 国外子母式弹药中, 子弹抛撒方式主要有离 心式、中心爆管式、活塞式、柔性气囊式和金属 气囊式等五种方式。如美国 EX - 171 超远程弹 药和美国陆军在研的 XM 982 超远程弹药, 采用 的都是金属气囊抛撒方式, 见图 2 。 式中: 空气密度;
2009 年 12 月
国防技术基础
第 12 期
子母弹子弹飞行稳定性研究
孙宜亮
( 1. 2.
1
田发林
2
孙耀琪
3
孙双喜
4
4 安 徽 东 风 机 电 科 技 股 份 有 限 公 司 , 3. 总 装 驻 合 肥 地 区 军 代 室 )
摘 要: 子母弹子弹弹道稳定性对于子弹引信解除保险和子弹终点毁伤意义重大。 本文的目的是研 究子母弹子弹开舱与抛撒环境 , 建立子弹弹道运动数学模型 , 分析子弹运动状态和影响子弹稳定性 的主要因素 , 提出改善子弹飞行稳定性的技术措施 , 以提高子母弹子弹的作用可靠性。 关键词: 子母弹 子弹 飞行稳定性 子母弹作为常规武器的弹药在现代战争中的 毁伤作用十分明显。子母弹与一般常规弹药不 同, 它的每个子弹都是独立的毁伤单元, 子弹体 具有凹头和柔性稳定带, 或带刚性稳旋翼片或降 落伞, 具有特殊的气动外形和作用机理。这类外 形的弹药弹道阻力大, 飞行轨迹不确定。子弹在 作用前要经历二次发射, 子弹引信除利用发射环 境激励解除其中的一个保险外, 为保证子弹弹道 安全, 还利用抛撒后的环境激励解除另一个保 险。子弹在目标上空由母弹抛出后, 在弹道上完 成调姿至稳定飞行后下落, 对目标实施毁伤。子 弹的毁伤效果与其落角密切相关, 而子弹落角又 取决于子弹弹道飞行稳定性。子弹飞行稳定方式 与陀螺稳定和尾翼稳定的弹丸不同, 它由稳旋翼 片和稳定带共同完成弹道飞行稳定并提供子弹引 信解除保险的激励环境。而稳旋翼片和稳定带的 效能又与母弹抛射状态 ( 开舱和抛撒方式 ) 有 关。其相互关系及影响如图 1 所示。 环境, 实现子母弹子弹的通用化、模块化和组合 化, 提高子弹作用可靠性和毁伤效能, 降低危险 哑弹率等具有特别重要的意义。 一、子母弹药开舱和抛撒方式对子弹稳定性 影响的分析 ( 1) 惯性开舱。通过减速装置 ( 如降落伞 ) 在布撒器尾部打开, 子弹串依靠惯性力从弹舱内 抛撒出来。此结构简单, 子弹受到的冲击较小, 初始干扰小, 但子弹没有获得径向分离速度, 仅 适用于子弹单串装填的子母式弹药中。 ( 2) 剪切螺纹 ( 或连接销 ) 开舱。通过抛 射药产生的高压气体串剪切弹舱连接螺纹, 推动 子弹从弹舱内抛射出来。此结构可用于前或后开 舱方式, 结构简单易于实现。但子弹易受到二次 抛射冲击。 ( 3) 爆炸螺栓开舱。爆炸火工品将连接螺栓 炸开后将子弹舱推出, 子弹经二次抛撒后散开。 此结构用于航空子母弹等大型子母式弹药中。 ( 4) 雷管爆炸开舱。雷管爆炸将头螺炸开, 由 抛射药将子弹束推出, 它与第二种开舱方式相近。 ( 5) 切割索开舱。采用有聚能作用的切割 索将舱体打开。切割索位于衬板内, 不会使相邻 的零部件损坏。此结构多用于航空布撒器中。 ( 6) 中心爆管开舱。爆炸药管在子弹串中 心起爆后推动子弹撑破壳体将子弹抛撒出去。此 种结构易使子弹受到大过载, 且初始干扰大, 不 利于子弹飞行稳定。
外弹道学第七章解读
分别为弹道倾角和弹道偏角
（2）弹轴系与速度系
（3）弹轴系与弹体系 γ 为弹丸的滚转角
18
弹轴坐标系与速度坐标系之间的关系 以弹丸质心为球心，单位长度为半径作球面，球 面上弧长的弧度值就等于对应的圆心角。 理想弹道的切线方向与球面交点L，弹轴与球面交 点A，速度与球面交点T。A点的轨迹表示弹轴在空 间的运动过程，T点的轨迹表示速度方向变化的过程。 2 i1
Cr 1 p A
13
p 1 p
2 p
考虑极阻尼力矩 M xz 的影响：
dr C M xz dt
r r0e
t
0et
g CmV0 d
2
表达式： p
h d
cos t e H ( y)V 3 Kmz (M )
14
三、影响动力平衡角的因素 （1）弹道参数：弹速、倾角。 弹道顶点附件最大 g CmV0d
d s k xz ds
22
2、动态稳定条件的建立 只研究弹丸的飞行齐次方程所对应的起始条件下的稳定问题。
s ( k zz by bx g sin i 2 ) [( k 2 bz ) i 21 (k y by )] 0 1 s z 1 2 v v
态稳定性，使章动角沿弹道发散； （3）增加各种散布因素的影响效果。
g CmV0 d
1 t e 2 [ ] h H ( y)V 3 Kmz (M ) p d
pmax [p ]
下
16
§7-5 动态稳定性简介
一、坐标系及坐标变换 1、坐标系
17
2、坐标转换 （1）速度系与地面系
弹丸动稳定性的物理解释
.
,
i 时 中 为 陀 螺力 矩 的 等 效 力
(3 1 ) 式 也 可 以 看 作 一个 质 量 为
速 度 ; 中 为 其速 度
。
A 的 质 点作平 面 运 动 的 运 动方 程
。
为 该 质 点的 加 革
。
f 其 所 受 外力 为 i
,
此 外还 受一 个 与 中 垂 直 的 惯 性 力
这样 就把
,
弹轴 与单 位 球 面 的 交点 看 作一 个 质 量 为 A 的
质 点来 研 究
,
犷
攻 角的 变 化 规 律 似 与 八相 等
。
。
由 于 偏 角 一般 比 攻 角小 一 个 数 量 级
,
下 面 应 用此方法 分 析 以 所 近 似认 为 巾 与 八相 等 巾近
。
。
下 面 分 析 弹 轴 作 快 圆运 动 一周 的 过 程 中 马 格 努 斯 力 矩 等 效 力 所 起 的 作 用
2)
式和 ( 2
.
3)
式
,
并忽 略 阻
力 和 重 力项 ( 因 阻 力和 重 力项 较 小 )
。 哈其
得 快 圆运 动 的 稳 定 条件 为
-
一
丫 七 训
.
,
/ 万一 一
,
1
/
1
又
一
-
气 苏尸 一
了 、+
:
F
。
l
一
/
渝 八二
了 切二
’
刁
.
狡洲
一
`
一 一万一 /万 、
`
.
一凡
一
` 厂访
微分方程3——稳定性分析
使得离散自治系统
x1 f1 ( x1 , x2 ,..., xn ) 0
x
2
f 2 ( x1 , x2 ,...,
xn ) 0
......
xn f n ( x1 , x2 ,..., xn ) 0
成立的点x0=(x10, x20, ... ,xn0)称为其平衡点。
如果 lim x(n) x0，则称其为稳定平衡点，否则称为 n
,
N2 (1 2 1 1 2
)
,
P4(0,0)
仅当1, 2 < 1或1, 2 > 1时，P3才有意义
x1 (t)
r1x11
x1 N1
1
x2 N2
x2 (t)
r2 x2 1 2
x1 N1
x2 N2
模型分析
平衡点及其稳定性
由
A
f x1 g x1
fx2 gx2
r1
1
2 x1 N1
更一般的，对线性离散自治系统
x ( n 1) Ax ( n ) b A x ( n ) A 1b
若A的所有特征值λ都有|λ|<1,那么A-1b是它稳定的平衡点。
对线性自治系统
x Ax b
若A的所有特征值λ都有λ<0, 那么A-1b是它稳定的平衡点。 反之，不是稳定平衡点。
2
微分方程的稳定性
1x2
N2
r2 2 x2
N1
r11x1
N2
r2
1
2 x1
N1
2x2 N2
和
p ( f x1 g x2 )
,pi
q det A
,
pi
i 1,2,3,4
得
平衡点 Pi 稳定条件： p > 0 且 q > 0
微分方程与振动系统的稳定性研究
微分方程与振动系统的稳定性研究微分方程是数学中的一个重要分支，它描述了自然界中许多现象的变化规律。
而振动系统是微分方程的一个典型应用，研究振动系统的稳定性对于了解和控制这些系统具有重要意义。
在物理学中，振动系统是指具有周期性运动的系统，比如弹簧振子、摆钟等。
这些系统可以用微分方程来描述，其中最简单的是一阶线性常微分方程。
例如，对于一个弹簧振子，其运动可以由以下方程描述：$$m\frac{{d^2x}}{{dt^2}} + kx = 0$$其中，$m$是质量，$k$是弹簧的劲度系数，$x$是振子的位移。
这个方程描述了振子在外力作用下的运动规律。
稳定性是研究振动系统的一个重要问题。
一个稳定的振动系统意味着它的运动会趋向于一个平衡位置，并且对于微小的扰动具有抵抗力。
而一个不稳定的振动系统则会发生剧烈的运动，甚至失去平衡。
对于线性振动系统，稳定性可以通过判断其特征方程的根来确定。
特征方程是由系统的微分方程得到的一个代数方程，其根决定了系统的稳定性。
例如，对于上述的弹簧振子，其特征方程为：$$m\lambda^2 + k = 0$$解这个方程可以得到两个根$\lambda_1$和$\lambda_2$，它们的实部和虚部决定了系统的稳定性。
如果特征方程的根都是实数且小于零，那么系统是稳定的；如果有根是零或者有根是实数且大于零，那么系统是不稳定的；如果有根是复数，那么系统是振荡稳定的。
除了线性振动系统，非线性振动系统也是研究的重点之一。
非线性振动系统的微分方程通常比线性振动系统更加复杂，但是其稳定性的研究方法与线性振动系统类似。
非线性振动系统的稳定性可以通过线性化的方法来分析。
线性化是将非线性系统在某个平衡点附近进行线性近似，然后再应用线性振动系统的稳定性分析方法。
通过线性化可以得到一个近似的线性微分方程，然后再判断其稳定性。
除了稳定性的研究，振动系统还有许多其他的研究内容，比如共振现象、阻尼效应等。
共振是指当外力的频率与系统的固有频率相等时，系统会发生剧烈的振动。
弹丸一般运动微分方程组与运动稳定性分析
３.１ 坐标系，作用于弹丸上的全部的 力和力矩
• 可见ｘ１Ｏ′ｙ１组成的平面始终是包含弹轴ξ的垂直平面。表３－２给 出了弹轴坐标系与理想弹道坐标系间的转换关系，即方向余弦关系。
• ５.弹轴坐标系与速度坐标系的关系 • 为了确定弹轴在速度坐标系内的位置，可将速度坐标系Ｏ′－ｘ２ｙ２
ｚ２先绕Ｏ′ｚ２转动δ２（正方向），将Ｏ′ｘ２和Ｏ′ｙ２分别转到Ｏ′ｘ′ ２和Ｏ′ｙ１，然后再绕Ｏ′ｙ１转动δ１（负方向），使Ｏ′ｘ′２和Ｏ′ｚ２ 轴分别转到Ｏ′ｘ１和Ｏ′ｚ１位置。于是用δ１和δ２两个角度即可确定 弹轴在速度坐标系内的方位。弹轴坐标系与速度坐标系的关系如图３ －３所示。弹轴坐标系与速度坐标系间的转换关系见表３－４。
３.２ 弹丸一般运动微分方程组
• ３.２.２ 弹丸绕质心运动方程组
• 弹丸绕质心运动由自转和摆动两种运动组成，运动方程在Ｏ′－ｘ１ｙ １ｚ１参考系下立。
上一页
返回
３.３ 弹丸动态稳定性的分析
• ３.３.１ 弹丸飞行动态稳定性的条件
• 微分方程（３－３５）为研究弹丸动态稳定性提供了理论依据。假定 微分方程的系数为常量（实际不是常量），根据常微分方程求解理论 ，方程（３－３５）的全解为
上一页 下一页 返回
３.３ 弹丸动态稳定性的分析
• 以上的讨论是基于弹丸运动的齐次解，即弹丸在气流中处于静态平衡 的情况。实际飞行中弹丸常受到扰动，此时弹轴将偏离平衡位置，在 这种情况下，若Ｓｇ＜０，即ｍ′ｚ＜０，则有稳定力矩出现，使弹轴 回到平衡位置，此时弹丸的飞行是平衡稳定的，即具有静态稳定性， 尾翼弹就具有此种情况。如果Ｓｇ及ｍ′ｚ并不小于零，而是ｍ′ｚ＞０ ，则出现反转力矩，使弹轴偏离平衡位置越来越远，弹丸飞行是不稳 定的。为了避免这种不稳定的现象，必须使弹丸绕纵轴声速自转，产 生陀螺稳定性，即必须使Ｓｇ＞１，这就是陀螺稳定性。
3讲--弹丸质心运动方程组
将上面切向及法向加速度方程连同确定x和y的两个方程一起写出，即得
到以t为自变量的自然坐标系的弹丸质心运动方程组：
dv cH ( y ) F (v) g sin dt
①
d g cos dt v
dy v sin dt
②
(2-2)
③
dx v cos dt
将(2-2′)式两端均向x轴上投影得：
du ax cos dt cH ( y )vG (v) cos cH ( y )G (v)u
将(2-2′)式两端均向y轴上投影得：
dw ax sin g dt cH ( y )vG (v) sin g cH ( y )G (v) w g
真空弹道特性
§1.5 弹形的选择
目的：是使弹丸的形状在给定的速度范围内，除满足弹丸的主要要
求外，应使其平均阻力尽量小。这里主要针对旋转弹的弹形进行讨论。
§1.5.1 弹头弧形部母线形状
抛物线形，阻力最小 弹头弧形部 母线形状
圆弧形，阻力次之，数量最多
椭圆形，阻力最大
§1.5.2 弧形部的锐钝
•（1）圆弹头比平弹头阻力小，但平弹头在近距离精度好； 有些为了设计或使用上的某些要求，有时可能采取增大弹丸
•众所周知，向量方程无法进行计算，一般将其向取定的坐标系
上投影，得出相应的标量方程。为此，我们下面进行进一步讨
论。
二、以t为自变量的直角坐标系的弹丸质心运动微分方程组
所谓直角坐标系的弹丸质心运动微分方程组，就是将向量方程(2-
2′)式分别向前面介绍的地面直角坐标系中x及y轴上投影所得到的方
程组。下图中O-xy显然是射击面。
为了求y和t，还应加上：
微分方程的稳定性分析与解的局部性质
微分方程的稳定性分析与解的局部性质微分方程是数学中的重要分支，广泛应用于物理学、生物学、经济学等领域。
在解微分方程时，我们不仅关注方程的解析解，还需要研究解的稳定性和局部性质。
本文将探讨微分方程的稳定性分析与解的局部性质。
一、稳定性分析稳定性分析是研究微分方程解的长期行为的重要方法。
在微分方程中，我们经常遇到稳定解和不稳定解的情况。
稳定解是指当初始条件发生微小变化时，解仍然趋向于原解；不稳定解则相反，微小变化会使解发生剧烈变化。
稳定性分析可以通过线性化方法来进行。
线性化方法的基本思想是将非线性方程在稳定点附近进行线性近似，从而研究其稳定性。
具体来说，我们将非线性方程在稳定点附近进行泰勒展开，保留一阶项，得到一个线性方程，然后研究线性方程的特征值来判断原方程的稳定性。
稳定性分析还可以通过构造Lyapunov函数来进行。
Lyapunov函数是一种能够量化系统稳定性的函数，通过构造合适的Lyapunov函数，我们可以判断系统的稳定性。
具体来说，我们需要找到一个函数，满足在稳定点附近的导数小于等于零，且只有在稳定点处导数等于零。
这样的函数就是Lyapunov函数，系统在稳定点附近的稳定性可以由该函数的性质来判断。
二、解的局部性质解的局部性质是研究微分方程解在某一点附近的行为的重要内容。
在微分方程中，我们经常遇到解的连续性、可微性和唯一性的问题。
解的连续性是指解函数在某一点附近连续的性质。
对于一阶微分方程，如果方程的右端函数在某一点连续，那么解函数在该点附近也是连续的。
对于高阶微分方程，类似的结论也成立。
解的可微性是指解函数在某一点附近可导的性质。
对于一阶微分方程，如果方程的右端函数在某一点可导，那么解函数在该点附近也是可导的。
对于高阶微分方程，类似的结论也成立。
解的唯一性是指微分方程解的存在性和唯一性。
对于一阶线性微分方程，如果方程的右端函数在某一区间内连续，那么方程存在唯一的解。
对于一般的非线性微分方程，解的存在性和唯一性是一个复杂的问题，需要借助一些特殊的定理和方法来研究。
弹箭质心运动方程组及弹道特性
弹箭在真空中运动的 微分方程组为
du dt
0
dw
dt
g
当t=0时，初始条件为
u u0 v0 cos0
w
w0
v0
si n0
x
y
0
将方程组积分一次，得
uu0 v0 cos0 wv0 sin0 gt
即弹箭的水平分速为常数，与时间无关，铅直分速与t成直线 关系，时间越长，铅直分速越小，至弹道顶点S，w=0，过顶点 后，弹丸开始下降，w为负值。
2、①②③三式具有联解性，必须同时积分，⑤式为联系方程。 3、使用范围：
由于在大角度时，p(=tanθ)随θ角的变化而激剧变化，此时用该 方程组计算弹道不够准确，一般此组方程不适宜于θ>60 °时的弹道 计算，比较适用于低伸弹道的近似解。
6.3 抛物线〔真空〕弹道的特点
一、抛物线弹道诸元公式
真空弹道是假设空气阻力为零的弹道，只受重力作用，在前述假设
再积分一次，得
x
v0
cos0t
y
v0
s
i
n0t
1 2
gt2
消去t，得到抛物线形式的弹道方程：
yxtan0
gx2
2v02cos20
或
yxtan02gvx022 1tan20
而 vu2w 2和 tanu/w
得 v v0 22v0sin0gtg2t2
以时间t为自变量的任意点弹道诸元公式如下：
x v0 cos 0t
质点运动问题。在根本假设条件下研究弹箭质心运动称为外弹道学的
根本问题，所求得的弹道定义为理想弹道。
6.2 弹箭质心运动方程组的建立
在根本假设下，弹箭仅受重力和空气阻力的作用。由牛顿第二
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
上一页
返回
３.２ 弹丸一般运动微分方程组
• 要列出弹丸的一般运动微分方程组，尚需以下述假设为前提： • ①弹丸外形及质量分布均为轴对称刚体，因而弹轴为一惯性主轴，且
质心位于弹轴线上； • ②弹丸只受３.１节所述全部外力及外力矩的作用； • ③攻角δ较小（即线性关系成立）。
• ３.２.１ 质心运动方程
• 将Ｂ１、Ｂ２的表达式（３－３３）、式（３－３４）代入式（３－ ４２）和式（３－４３）得
上一页 下一页 返回
３.３ 弹丸动态稳定性的分析
• 将第２章中关于ｂｘ、ｂｙ、ｋｙ、ｋｚｚ的表达式代入式（３－５ ２），并将极转动惯量Ｊ及赤道转动惯量Ｉ用相应的回转半径ＲＣ和 ＲＡ以及弹丸质量ｍ表示，即
上一页 下一页 返回
上一页 下一页 返回
３.１ 坐标系，作用于弹丸上的全部的 力和力矩
• 在上述推导弹轴坐标系与速度坐标系的关系时，隐含假定δ１、δ２、 ψ２为一阶小量。
• ３.１.２ 作用于弹丸上的全部力及力矩
• 作用在弹丸上的力和力矩有：重力、空气动力及其力矩。为了便于列 出运动方程，将所有的力向速度坐标系Ｏ′－ｘ２ｙ２ｚ２分解，将所 有的力矩向弹轴坐标系Ｏ′－ｘ１ｙ１ｚ１分解。
上一页 下一页 返回
３.３ 弹丸动态稳定性的分析
上一页 下一页 返回
３.３ 弹丸动态稳定性的分析
上一页 下一页 返回
３.３ 弹丸动态稳定性的分析
• ３.３.２ 动态稳定条件的讨论
• 陀螺稳定因子Ｓｇ反映了陀螺力矩与俯仰力矩对弹丸围绕质心运动的 影响，动态稳定因子Ｓｄ则反映了马格努斯力矩、赤道阻尼力矩，升 力、阻力以及重力切向分量对弹丸围绕质心运动的影响。
• 速度矢量ｖ与理想弹道间的夹角可用复偏角来表示。
上一页 下一页 返回
３.１ 坐标系，作用于弹丸上的全部的 力和力矩
• ψ＝ψ２＋ｉψ１（３－１） • 根据上述定义，式中ψ２为偏角在垂直面内的分量，相当于弹道倾角θ
的增量Δθ；ψ１则为侧向分量（负方向）。矢量ｖ的空间方位由相对 于理想弹道的复偏角完全确定。 • ４.弹轴坐标系Ｏ′－ｘ１ｙ１ｚ１与弹体坐标系Ｏ′－ξηζ • 弹轴坐标系原点为弹丸质心Ｏ′，Ｏ′ｘ１轴与弹轴ξ重合，指向弹顶为 正；为了确定Ｏ′ｙ１轴与Ｏ′ｚ１轴在理想弹道坐标系中的方位，采用 φ１、φ２两个角度。首先将坐标系Ｏ′－ｘＩｙＩｚＩ绕Ｏ′ｚＩ轴转动φ ２（正方向），使Ｏ′ｘＩ转到Ｏ′ｘ″位置，Ｏ′ｙＩ转到Ｏ′ｙ１位置， 然后再绕Ｏ′ｙ１轴转动φ１（负方向），使Ｏ′ｘＩ转到Ｏ′ｘ１位置，Ｏ ′ｚＩ转到Ｏ′ｚ１位置。
• １.地面固联坐标系Ｏ－ｘｙｚ • 即以地球为惯性参考系的直角坐标系，已在第１章中应用，主要用于
确定弹丸质心坐标，也能作为确定弹轴和速度方向的基准。即取水平 面向炮口的方向为ｘ轴方向，取铅垂向上的方向为ｙ轴方向，ｚ轴方 向由右手法则确定，坐标原点Ｏ取在炮口。
下一页 返回
３.１ 坐标系，作用于弹丸上的全部的 力和力矩
上一页 下一页 返回
３.１ 坐标系，作用于弹丸上的全部的 力和力矩
• 该坐标系以弹丸质心Ｏ′为原点，Ｏ′ｘ２与速度矢量ｖ重合且其正向与 ｖ相同。为了确定Ｏ′ｙ２轴与Ｏ′ｚ２轴在理想弹道坐标系中的方位， 采用ψ１、ψ２两个角度。首先将Ｏ′－ｘＩｙＩｚＩ坐标系绕Ｏ′ｚＩ轴转 动ψ２（正方向），使Ｏ′ｘＩ转到Ｏ′ｘ′位置，Ｏ′ｙＩ转到Ｏ′ｙ２位置 ，然后再绕Ｏ′ｙ２轴转动ψ１（负方向），使Ｏ′ｘＩ转到Ｏ′ｘ２位置， Ｏ′ｚＩ转到Ｏ′ｚ２位置。可见ｘ２Ｏ′ｙ２组成的平面始终是包含速度 矢量ｖ的垂直平面。整个坐标系如图３－１所示。表３－１给出了速 度坐标系与理想弹道坐标系间的转换关系，即方向余弦关系。
上一页 下一页 返回
３.１ 坐标系，作用于弹丸上的全部的 力和力矩
• 可见ｘ１Ｏ′ｙ１组成的平面始终是包含弹轴ξ的垂直平面。表３－２给 出了弹轴坐标系与理想弹道坐标系间的转换关系，即方向余弦关系。
• ５.弹轴坐标系与速度坐标系的关系 • 为了确定弹轴在速度坐标系内的位置，可将速度坐标系Ｏ′－ｘ２ｙ２
• Ｓｇ＞１（３－５０） •或 • Ｓｇ＜０（３－５１） • 可见，式（３－５０）就是第２章所述的陀螺稳定条件，可以说动态
稳定的弹丸必定是陀 • 螺稳定的，因此它是旋转弹丸动态稳定的必要条件。当Ｓｇ＜０时，
由Ｓｇ＝α２１／ｋｚ知，Ｓｇ的正负号取决于ｋｚ。由ｋｚ的表达式可 知，当ｍ′ｚ＜０时，表明压力中心在弹丸质心的后方，此时俯仰力矩 为稳定力矩，即静态稳定，这正是尾翼弹动态稳定的必要条件。
Hale Waihona Puke ３.２ 弹丸一般运动微分方程组
• ３.２.２ 弹丸绕质心运动方程组
• 弹丸绕质心运动由自转和摆动两种运动组成，运动方程在Ｏ′－ｘ１ｙ １ｚ１参考系下立。
上一页
返回
３.３ 弹丸动态稳定性的分析
• ３.３.１ 弹丸飞行动态稳定性的条件
• 微分方程（３－３５）为研究弹丸动态稳定性提供了理论依据。假定 微分方程的系数为常量（实际不是常量），根据常微分方程求解理论 ，方程（３－３５）的全解为
３.３ 弹丸动态稳定性的分析
• 上述两个动态稳定因子表达式，直接地将气动力特性、弹丸结构特性 及弹道特性等参数明显地联系起来，对于指导弹丸设计与分析具有十 分重要的意义。
上一页
返回
图 3–1
返回
表 3–1
返回
表 3–2
返回
图 3–3
返回
表 3–4
返回
• 以地面固联坐标系来列出弹丸质心运动的方程 • ｍ*ｄｖ/ｄｔ＝Ｆ（３－１９） • 式中，ｄｖ／ｄｔ是相对地面坐标系的加速度；Ｆ是作用于弹丸上的
外力之和。由于速度坐标系的转动角速度为
下一页 返回
３.２ 弹丸一般运动微分方程组
上一页 下一页 返回
３.２ 弹丸一般运动微分方程组
上一页 下一页 返回
上一页 下一页 返回
３.３ 弹丸动态稳定性的分析
• 以上的讨论是基于弹丸运动的齐次解，即弹丸在气流中处于静态平衡 的情况。实际飞行中弹丸常受到扰动，此时弹轴将偏离平衡位置，在 这种情况下，若Ｓｇ＜０，即ｍ′ｚ＜０，则有稳定力矩出现，使弹轴 回到平衡位置，此时弹丸的飞行是平衡稳定的，即具有静态稳定性， 尾翼弹就具有此种情况。如果Ｓｇ及ｍ′ｚ并不小于零，而是ｍ′ｚ＞０ ，则出现反转力矩，使弹轴偏离平衡位置越来越远，弹丸飞行是不稳 定的。为了避免这种不稳定的现象，必须使弹丸绕纵轴声速自转，产 生陀螺稳定性，即必须使Ｓｇ＞１，这就是陀螺稳定性。
第３章 弹丸一般运动微分方程组与运 动稳定性分析
• ３.１ 坐标系，作用于弹丸上的全部的力和力 矩
• ３.２ 弹丸一般运动微分方程组 • ３.３ 弹丸动态稳定性的分析
下一页 返回
３.１ 坐标系，作用于弹丸上的全部的 力和力矩
• ３.１.１ 坐标系
• 描述弹丸运动规律的坐标系多种多样，因研究的重点不同，可以选用 更为适宜的坐标系。此处仅介绍几种常用的坐标系。
ｚ２先绕Ｏ′ｚ２转动δ２（正方向），将Ｏ′ｘ２和Ｏ′ｙ２分别转到Ｏ′ｘ′ ２和Ｏ′ｙ１，然后再绕Ｏ′ｙ１转动δ１（负方向），使Ｏ′ｘ′２和Ｏ′ｚ２ 轴分别转到Ｏ′ｘ１和Ｏ′ｚ１位置。于是用δ１和δ２两个角度即可确定 弹轴在速度坐标系内的方位。弹轴坐标系与速度坐标系的关系如图３ －３所示。弹轴坐标系与速度坐标系间的转换关系见表３－４。
• 当只计入俯仰力矩，而忽略马氏力矩，赤道阻尼力矩，升力、阻力及 重力的切向分量的影响，亦即方程（３－３５）中Ｂ１＝Ｂ２＝０时 ，则齐次微分方程转化为
上一页 下一页 返回
３.３ 弹丸动态稳定性的分析
• 此方程具有周期解的必要条件是１－（ｋｚ／α２１）＞０，由式（２ －６７）及α＝ｖα１知，α２１／ｋｚ＝Ｓｇ。所以必有
• ΔΣ＝Ｃ１ｅｋ１ｓ＋Ｃ２ｅｋ２ｓ＋Δｐ（３－３６） • 式中，右端第三项为非齐次方程（３－３５）的特解，而前两项为其
齐次方程的一般解。其中指数ｋ１、ｋ２为齐次方程的特征值 • ｋ２＋（２Ｂ１－ｉ２α１）ｋ－(ｋｚ＋ｉ４α１Ｂ２)＝０（３－３７） • 的两个根
下一页 返回
３.３ 弹丸动态稳定性的分析
• ２.理想弹道坐标系Ｏ′－ｘＩｙＩｚＩ • 该坐标系用英文字母Ｉ下标，以弹丸质心Ｏ′为原点，Ｏ′ｘＩ轴为理想
弹道切线方向，向前为正；Ｏ′ｙＩ轴在垂直平面内与Ｏ′ｘＩ垂直，向 上为正；Ｏ′ｚＩ按右手法则确定（如图３－１所示）。Ｏ′ｘＩ轴与水 平面的夹角为理想弹道的弹道倾角θ。显然理想弹道坐标系既非固定 坐标系，也非平动坐标系，不仅其坐标原点是运动的，而且Ｏ′ｘＩ与 Ｏ′ｙＩ的方向也随着θ的变化在改变，但Ｏ′ｚＩ轴始终保持与射击面 垂直。 • ３.弹道坐标系Ｏ′－ｘ２ｙ２ｚ２ • 由于研究弹丸质心运动及计算空气动力常以弹道坐标系为参考，故该 坐标系又称为速度坐标系或自然坐标系。