弹丸一般运动微分方程组与运动稳定性分析

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３.２ 弹丸一般运动微分方程组
• 要列出弹丸的一般运动微分方程组，尚需以下述假设为前提： • ①弹丸外形及质量分布均为轴对称刚体，因而弹轴为一惯性主轴，且
质心位于弹轴线上； • ②弹丸只受３.１节所述全部外力及外力矩的作用； • ③攻角δ较小（即线性关系成立）。
• ３.２.１ 质心运动方程
• 将Ｂ１、Ｂ２的表达式（３－３３）、式（３－３４）代入式（３－ ４２）和式（３－４３）得
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３.３ 弹丸动态稳定性的分析
• 将第２章中关于ｂｘ、ｂｙ、ｋｙ、ｋｚｚ的表达式代入式（３－５ ２），并将极转动惯量Ｊ及赤道转动惯量Ｉ用相应的回转半径ＲＣ和 ＲＡ以及弹丸质量ｍ表示，即
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３.１ 坐标系，作用于弹丸上的全部的 力和力矩
• 在上述推导弹轴坐标系与速度坐标系的关系时，隐含假定δ１、δ２、 ψ２为一阶小量。
• ３.１.２ 作用于弹丸上的全部力及力矩
• 作用在弹丸上的力和力矩有：重力、空气动力及其力矩。为了便于列 出运动方程，将所有的力向速度坐标系Ｏ′－ｘ２ｙ２ｚ２分解，将所 有的力矩向弹轴坐标系Ｏ′－ｘ１ｙ１ｚ１分解。
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３.３ 弹丸动态稳定性的分析
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３.３ 弹丸动态稳定性的分析
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３.３ 弹丸动态稳定性的分析
• ３.３.２ 动态稳定条件的讨论
• 陀螺稳定因子Ｓｇ反映了陀螺力矩与俯仰力矩对弹丸围绕质心运动的 影响，动态稳定因子Ｓｄ则反映了马格努斯力矩、赤道阻尼力矩，升 力、阻力以及重力切向分量对弹丸围绕质心运动的影响。
• 速度矢量ｖ与理想弹道间的夹角可用复偏角来表示。
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３.１ 坐标系，作用于弹丸上的全部的 力和力矩
• ψ＝ψ２＋ｉψ１（３－１） • 根据上述定义，式中ψ２为偏角在垂直面内的分量，相当于弹道倾角θ
的增量Δθ；ψ１则为侧向分量（负方向）。矢量ｖ的空间方位由相对 于理想弹道的复偏角完全确定。 • ４.弹轴坐标系Ｏ′－ｘ１ｙ１ｚ１与弹体坐标系Ｏ′－ξηζ • 弹轴坐标系原点为弹丸质心Ｏ′，Ｏ′ｘ１轴与弹轴ξ重合，指向弹顶为 正；为了确定Ｏ′ｙ１轴与Ｏ′ｚ１轴在理想弹道坐标系中的方位，采用 φ１、φ２两个角度。首先将坐标系Ｏ′－ｘＩｙＩｚＩ绕Ｏ′ｚＩ轴转动φ ２（正方向），使Ｏ′ｘＩ转到Ｏ′ｘ″位置，Ｏ′ｙＩ转到Ｏ′ｙ１位置， 然后再绕Ｏ′ｙ１轴转动φ１（负方向），使Ｏ′ｘＩ转到Ｏ′ｘ１位置，Ｏ ′ｚＩ转到Ｏ′ｚ１位置。
• １.地面固联坐标系Ｏ－ｘｙｚ • 即以地球为惯性参考系的直角坐标系，已在第１章中应用，主要用于
确定弹丸质心坐标，也能作为确定弹轴和速度方向的基准。即取水平 面向炮口的方向为ｘ轴方向，取铅垂向上的方向为ｙ轴方向，ｚ轴方 向由右手法则确定，坐标原点Ｏ取在炮口。
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３.１ 坐标系，作用于弹丸上的全部的 力和力矩
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３.１ 坐标系，作用于弹丸上的全部的 力和力矩
• 该坐标系以弹丸质心Ｏ′为原点，Ｏ′ｘ２与速度矢量ｖ重合且其正向与 ｖ相同。为了确定Ｏ′ｙ２轴与Ｏ′ｚ２轴在理想弹道坐标系中的方位， 采用ψ１、ψ２两个角度。首先将Ｏ′－ｘＩｙＩｚＩ坐标系绕Ｏ′ｚＩ轴转 动ψ２（正方向），使Ｏ′ｘＩ转到Ｏ′ｘ′位置，Ｏ′ｙＩ转到Ｏ′ｙ２位置 ，然后再绕Ｏ′ｙ２轴转动ψ１（负方向），使Ｏ′ｘＩ转到Ｏ′ｘ２位置， Ｏ′ｚＩ转到Ｏ′ｚ２位置。可见ｘ２Ｏ′ｙ２组成的平面始终是包含速度 矢量ｖ的垂直平面。整个坐标系如图３－１所示。表３－１给出了速 度坐标系与理想弹道坐标系间的转换关系，即方向余弦关系。
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３.１ 坐标系，作用于弹丸上的全部的 力和力矩
• 可见ｘ１Ｏ′ｙ１组成的平面始终是包含弹轴ξ的垂直平面。表３－２给 出了弹轴坐标系与理想弹道坐标系间的转换关系，即方向余弦关系。
• ５.弹轴坐标系与速度坐标系的关系 • 为了确定弹轴在速度坐标系内的位置，可将速度坐标系Ｏ′－ｘ２ｙ２
• Ｓｇ＞１（３－５０） •或 • Ｓｇ＜０（３－５１） • 可见，式（３－５０）就是第２章所述的陀螺稳定条件，可以说动态
稳定的弹丸必定是陀 • 螺稳定的，因此它是旋转弹丸动态稳定的必要条件。当Ｓｇ＜０时，
由Ｓｇ＝α２１／ｋｚ知，Ｓｇ的正负号取决于ｋｚ。由ｋｚ的表达式可 知，当ｍ′ｚ＜０时，表明压力中心在弹丸质心的后方，此时俯仰力矩 为稳定力矩，即静态稳定，这正是尾翼弹动态稳定的必要条件。
Hale Waihona Puke ３.２ 弹丸一般运动微分方程组
• ３.２.２ 弹丸绕质心运动方程组
• 弹丸绕质心运动由自转和摆动两种运动组成，运动方程在Ｏ′－ｘ１ｙ １ｚ１参考系下立。
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３.３ 弹丸动态稳定性的分析
• ３.３.１ 弹丸飞行动态稳定性的条件
• 微分方程（３－３５）为研究弹丸动态稳定性提供了理论依据。假定 微分方程的系数为常量（实际不是常量），根据常微分方程求解理论 ，方程（３－３５）的全解为
３.３ 弹丸动态稳定性的分析
• 上述两个动态稳定因子表达式，直接地将气动力特性、弹丸结构特性 及弹道特性等参数明显地联系起来，对于指导弹丸设计与分析具有十 分重要的意义。
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图 3–1
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表 3–1
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表 3–2
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图 3–3
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表 3–4
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• 以地面固联坐标系来列出弹丸质心运动的方程 • ｍ*ｄｖ/ｄｔ＝Ｆ（３－１９） • 式中，ｄｖ／ｄｔ是相对地面坐标系的加速度；Ｆ是作用于弹丸上的
外力之和。由于速度坐标系的转动角速度为
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３.２ 弹丸一般运动微分方程组
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３.２ 弹丸一般运动微分方程组
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３.３ 弹丸动态稳定性的分析
• 以上的讨论是基于弹丸运动的齐次解，即弹丸在气流中处于静态平衡 的情况。实际飞行中弹丸常受到扰动，此时弹轴将偏离平衡位置，在 这种情况下，若Ｓｇ＜０，即ｍ′ｚ＜０，则有稳定力矩出现，使弹轴 回到平衡位置，此时弹丸的飞行是平衡稳定的，即具有静态稳定性， 尾翼弹就具有此种情况。如果Ｓｇ及ｍ′ｚ并不小于零，而是ｍ′ｚ＞０ ，则出现反转力矩，使弹轴偏离平衡位置越来越远，弹丸飞行是不稳 定的。为了避免这种不稳定的现象，必须使弹丸绕纵轴声速自转，产 生陀螺稳定性，即必须使Ｓｇ＞１，这就是陀螺稳定性。
第３章 弹丸一般运动微分方程组与运 动稳定性分析
• ３.１ 坐标系，作用于弹丸上的全部的力和力 矩
• ３.２ 弹丸一般运动微分方程组 • ３.３ 弹丸动态稳定性的分析
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３.１ 坐标系，作用于弹丸上的全部的 力和力矩
• ３.１.１ 坐标系
• 描述弹丸运动规律的坐标系多种多样，因研究的重点不同，可以选用 更为适宜的坐标系。此处仅介绍几种常用的坐标系。
ｚ２先绕Ｏ′ｚ２转动δ２（正方向），将Ｏ′ｘ２和Ｏ′ｙ２分别转到Ｏ′ｘ′ ２和Ｏ′ｙ１，然后再绕Ｏ′ｙ１转动δ１（负方向），使Ｏ′ｘ′２和Ｏ′ｚ２ 轴分别转到Ｏ′ｘ１和Ｏ′ｚ１位置。于是用δ１和δ２两个角度即可确定 弹轴在速度坐标系内的方位。弹轴坐标系与速度坐标系的关系如图３ －３所示。弹轴坐标系与速度坐标系间的转换关系见表３－４。
• 当只计入俯仰力矩，而忽略马氏力矩，赤道阻尼力矩，升力、阻力及 重力的切向分量的影响，亦即方程（３－３５）中Ｂ１＝Ｂ２＝０时 ，则齐次微分方程转化为
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３.３ 弹丸动态稳定性的分析
• 此方程具有周期解的必要条件是１－（ｋｚ／α２１）＞０，由式（２ －６７）及α＝ｖα１知，α２１／ｋｚ＝Ｓｇ。所以必有
• ΔΣ＝Ｃ１ｅｋ１ｓ＋Ｃ２ｅｋ２ｓ＋Δｐ（３－３６） • 式中，右端第三项为非齐次方程（３－３５）的特解，而前两项为其
齐次方程的一般解。其中指数ｋ１、ｋ２为齐次方程的特征值 • ｋ２＋（２Ｂ１－ｉ２α１）ｋ－(ｋｚ＋ｉ４α１Ｂ２)＝０（３－３７） • 的两个根
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３.３ 弹丸动态稳定性的分析
• ２.理想弹道坐标系Ｏ′－ｘＩｙＩｚＩ • 该坐标系用英文字母Ｉ下标，以弹丸质心Ｏ′为原点，Ｏ′ｘＩ轴为理想
弹道切线方向，向前为正；Ｏ′ｙＩ轴在垂直平面内与Ｏ′ｘＩ垂直，向 上为正；Ｏ′ｚＩ按右手法则确定（如图３－１所示）。Ｏ′ｘＩ轴与水 平面的夹角为理想弹道的弹道倾角θ。显然理想弹道坐标系既非固定 坐标系，也非平动坐标系，不仅其坐标原点是运动的，而且Ｏ′ｘＩ与 Ｏ′ｙＩ的方向也随着θ的变化在改变，但Ｏ′ｚＩ轴始终保持与射击面 垂直。 • ３.弹道坐标系Ｏ′－ｘ２ｙ２ｚ２ • 由于研究弹丸质心运动及计算空气动力常以弹道坐标系为参考，故该 坐标系又称为速度坐标系或自然坐标系。