电动力学数学基础知识

学独立地对教材内容进行推导，并明确它们的物理意义
和图象。
“应该怎样学会读书呢？…在对书中每一个问题都经过细 嚼慢咽，真正懂得以后，就需要进一步把全书各部分内容 串连起来理解，加以融会贯通，从而弄清楚什么是书中的 主要问题，以及各问题之间的关联。这样我们就能抓住统 帅全书的基本线索，贯串全书的精神实质。我常常把这种 读书过程，叫做‘从厚到薄’的过程…愈是懂得透彻，就 愈有薄的感觉，这是每个科学家都要经历的过程。‛ ——华罗庚‚学•思•锲而不舍‛
称之为 ( x )在该点的梯度（grad 是gradient 缩写），它是
一个矢量，其大小 | grad | ( ) ，其方向即过该点 max n l n 取得最大方向导数的某一确定方向,即 表示。
矢量场
的方向 grad el l ex ey ez x y z
ex e y ez x y z
divf lim
f dS V
V 0
divf f lim

s
f ds V
V 0
divf f lim

s
f ds V
时，若平均发散量的极限值存在，便记作
divf lim

s
f ds V
V 0
称为矢量场 f ( x )在该点的散度(div是divergence的缩写)。
散度的重要性在于，可用表征空间各点矢量场发散的 强弱程度，当div f 0 ，表示该点有散发通量的正源；当 div f 0 ，表示该点有吸收通量的负源；当div f 0 ，表 示该点为无源场。
场有关的问题。
例如电力系统、凝聚态物理、天体物理、粒子加速
器等，都涉及到不少宏观电磁场的理论问题。在迅变情
况下，电磁场以电磁波的形式存在，其应用更为广泛。 无线电波、热辐射、光波、 X 射线和 γ 射线等都是在不 同波长范围内的电磁波，它们都有共同的规律。因此， 掌握电磁场的基本理论对于生产实践和科学实验都有重
分析：
该矢量场的场量等于其空间位置矢量值 是变量。 意位置，r
。在空间任 r
r xex yey zez
divf f ex ey ez xex yey zez y z x 3


标量 平行四边形面积 平行六面体体积
把三个矢量按循环次序轮换，其积 不变；若只把两矢量对调，其积差 一负号。
矢量的混合积
a b
a b c b c a
c a b




c a b

a b d , d a, b c a b f , f c, d
大的意义。
要想学好电动力学，必须树立严谨的学习态度和刻 苦的学习作风。
电动力学比电磁学难学，主要体现在思维抽象、习
题难解上。为此，在学习时要注意掌握好概念、原理、
结构和方法，这些在听课、阅读、复习、小结和总复习
时都要注意做到。要在数学与物理结合上下硬功夫，培 养物理与数学间相互‚翻译‛的能力，能熟练地运用数



x分量
f1 c2 d3 c3d2
c2 a1b2 a2b1 c3 a3b1 a1b3
c d c1e1 c2e2 c3e3 d1e1 d 2 e2 d3e3 c2 d3 c3d 2 e1
方向，则称此空间为矢量场。如电场、速度场等。若场
称为不稳定场。
中各点处的物理量不随时间变化，就称为稳定场，否则，
（2）标量场的梯度
标量场
方向导数
(x)
l 对距离的变化率，它的数值与所取 l 的方向有关，
一般来说，在不同的方向上 l 的值是不同的。 Pl
方向导数是标量函数 ( x ) 在一点处沿任意方向
值增加最快
ex ey ez x y z
grad
（3） 矢量场的散度
通量
一个矢量场空间中，矢量 f 通过面元dS 的通量 d f dS f cos dS
ˆ n
对于有向曲面S，总可以将S分成许多足 够小的面元dS ，于是通过曲面S的通量Φ即 为每一面元通量之积
Pl
该极限值记作 l
，称为标量场 ( x )在P1处沿 l 的方向导数.
梯度
由于从一点出发，有无穷多个方向，即标量场 ( x ) 在一
点处的方向导数有无穷多个，其中，若过
该点沿某一确定方向取得 ( x ) 在该点的最大方向导数，则
可引进梯度概念。记作
grad n n
θ
f

s
f dS
dS
对于闭合曲面S，通量Φ为

s
f dS
散度 设封闭曲面S所包围的体积为 V ，则

s
f d S / V
就是矢量场 f ( x )在 V 中单位体积的平均通量，或者平 均发散量。
M ( x ) 收缩 当闭合曲面S 及其所包围的体积 V 向其内某点
学习电动力学课程的主要目的是:
1） 掌握电磁场的基本规律，加深对电磁场性质和时空概
念的理解； 2） 获得本课程领域内分析和处理一些基本问题的初步能
力，为以后解决实际问题打下基础； 3） 通过电磁场运动规律和狭义相对论的学习，更深刻领
会电磁场的物质性，帮助我们加深辩证唯物主义的世界观。
学习电动力学课程的主要意义是： 在生产实践和科学技术领域内，存在着大量和电磁
3、高斯定理
它能把一个闭合曲面的面积分转为对该曲面所 包围体积的体积分，反之亦然。

s
f x f y f z f ds dV f dV x y z V V
f x f y f z f x y z
（4）矢量场的旋度
1、矢量场 的环流
在数学上，将矢量场f (r )沿一条有向闭合曲线L
（即取定了正线方向的闭合曲线）的线积分
c
L
f dl
称为 f 沿该曲线L的循环量或流量。 2、旋度
电动力学
Electrodynamics
引 言
Introduction
电动力学的研究对象是电磁场的基本性质、运动规 律以及它和带电物质之间的相互作用。
电动力学的研究内容是阐述宏观电磁场理论，主要 从实验定律中总结电磁场的普遍规律，建立Maxwell’s equations。讨论稳恒电磁场、电磁波传播、电磁波辐射 及电动力学的参考系问题。
第 0 章 附录 数学准备
1. 矢量代数 2. 梯度、散度和旋度
3. 关于散度和旋度的一些定理
4. 算符运算公式
5. 并矢和张量
6. 曲线正交坐标系
7. 轴对称情形下拉普拉斯方程的通解
1.矢量代数
c a b
c a b




含义如何?
c a b
V 0
散度的物理意义
1) 矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性； 2) 矢量场的散度是一个标量； 3) 矢量场的散度是空间坐标的函数；
4) 矢量场的散度值表征空间中通量源的密度（分布特性）。 某一点的散度是指在以该点为中心的邻域内单位体积中 的通量源----通量源密度。
( divF (r ) 0 正源)
学习参考书： 1、经典电动力学 蔡圣善 朱 耘 编著
复旦大学出版社 2、电动出版社 3、Classical Electrodynamics J.D.Jackson (经典电动力学 J.D.杰克逊 著） 人民教育出版社
电动力学习题参考书 电动力学参考书目 1. 郭硕鸿 电动力学 中山大学 2. 曹昌其 电动力学 北京大学 3. 虞福春 电动力学 北京大学 4. 俞允强 电动力学简明教程 北京大学 6. 孙景李 经典电动力学 南京大学 7. 尹真 电动力学 南京大学 8. 刘觉平 电动力学 武汉大学 9. 谢处方 电磁场与电磁波 10. 何启智 电动力学 四川大学 11. 张泽瑜 电动力学 清华大学 12. 吴寿皇 电动力学 十校合编 13. 梁绍荣 电动力学 北京师范大学 14. 郑锡连 电动力学 15. 王一平 工程电动力学 西北电信工程学院 16. 傅君眉 高等电磁理论 西安交大 17. 冯慈璋 电磁场 西安交大 18. 冯慈璋 静态电磁场 西安交大 19. 劳兰 电磁场和电磁波 20. J.D.Jackson, Classical Electrodynamics 21. und, Electromagnetics 22. Leonard Eyges, The Classical Elctromagnetic field 23. Panofy Phillips, Classical Electricity and magnetism 24. Jerry B.Marion, Classical Electromagnetic Radiation 25. David M. Cook, The Theory of the Electromagnetic field 26. R.H.Atkin, Theoretical electromagnetism theory 27. R.Reitz, Foundation of Electromagnetic theory 28. Curtis Johason, Field and Wave Elecreodynamics
divF (r ) 0负源)
( divF (r ) 0无源）
讨论：在矢量场中， 1）若 divf (r ) 0 ，则该矢量场称为有源场，为源密度； 2）若 divA(r ) 0 处处成立，则该矢量场称为无源场。
例题:已知空间中矢量场分布满足 f (r ) r ，求矢量 场在空间中的散度。
如图所示，l 为场中的任意方向，P1是这个方 向线上给定的一点，P2为同一线上邻近的一点。
P2 P1
l
l 为P2和P1之间的距离，从P1沿l 到P2的增量为
( p 2 ) ( p1 )
若下列极限
( p2 ) ( p1 ) lim lim l 0 l l 0 l
ex e y ez x y z
场的概念
场是用空间位置函数来表征的。在物理学中，经常
要研究某种物理量在空间的分布和变化规律。如果物理
量是标量，那么空间每一点都对应着该物理的一个确定
数值，则称此空间为标量场。如电势场、温度场等。如 果物理量是矢量，那么空间每一点都存在着它的大小和
a1 c2b2 c3b3 b1 c2 a2 c3a3 a1 c b b1 c a


c a b c b a c a b


2.散度、旋度和梯度
（1） 算符
1. 林璇英 电动力学习题解 2. 张文灿 电磁场的难题和例题分析 3. 科大编 美国物理试题与解答 第二卷 电磁学 4. B.B 巴蒂金 电动力学习题集 5. 维克史坦 电动力学习题汇编 6. 西安交大编 电路和电磁场习题解 7. D.K．切格 电磁波问题详解 8. 楼仁海 电磁场理论解题指导 9. 罗澄侯 电磁场和电磁波解题方法 10. 余恒清 电磁波理论解题指南