4、1二项式定理与杨辉三角完整讲义(最终修订版)

二项式定理

知识要点

（一）探究34

a b a b ++,（）（）的展开式

问题1：()()112233 a b a b a b +++（）展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？ 问题2：将上式中，若令123123, a a a a b b b b ======,则展开式又是什么？

思考一：合并同类项后，为什么2

a b 的系数是3？

问题3：

4

a b +（）的展开式又是什么呢？

结论：40413222334444444a b C a C a b C a b C ab C b +=++++（）；

（二）猜想、证明“二项式定理”

问题4：

n

a b +（）的展开式又是什么呢？ 思考二：

（1） 将

n

a b +（）展开有多少项？ （2）每一项中，字母,a b 的指数有什么特点？ （3）字母,a b 指数的含义是什么？是怎么得到的？ （4）如何确定,a b 的系数？

二项式定理：

0111222()n n n n r n r r

n n

n n n n n a b C a C a b C a b C a b C b ---+=+++

++

+()n *∈N ；

（三）归纳小结：二项式定理的公式特征 （1）项数：_______；

（2）次数：字母a 按降幂排列，次数由____递减到_____；字母b 按升幂排列，次数由____递增到______；

（3）二项式系数：下标为_____，上标由_____递增至_____；

（4）通项：1k T +=__________；指的是第1k +项，该项的二项式系数为______；

（5）公式所表示的定理叫_____________，右边的多项式叫做n

a b +（）的二项展开式。

典型例题

例1、求6)12(x

x -的展开式；

例2、①7)21(x +的展开式的第4项的系数及第4项的二项式系数。 ②求9

)1(x

x -的展开式中含3x 的系数。 变式练习

1、写出7

p q +（）

的展开式；

2、求

6

23a b +（）的展开式的第3项；

3.写出n

x x ⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛-3

321的展开式的第1r +项；

4、

10

1x -（）的展开式的第6项的系数是 ；

例3、求2

7

(42)(2)x x x ++-的展开式中5

x 的系数。

例4、在(

)

5

2

32x x ++的展开式中，求x 的系数

例5、求()()()210

111x x x ++++⋯++展开式中3

x 的系数

例6、21091001910(1)(1)(1)x x a a x a x a x +=+++

++++，则9a ＝（ ）

A ．9

B ．10

C ．－9

D ．－10

例7、已知22n

x ⎫⎪⎭的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14：3，求展

开式的常数项

高考真题

1、21n

x x ⎛

⎫- ⎪⎝

⎭的展开式中，常数项为15，则n =（ ）

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

2、 8

21(12)x x x ⎛

⎫+- ⎪⎝⎭

的展开式中常数项为 ．

（用数字作答）

3、若6

21x ax ⎛⎫+ ⎪⎝

⎭的二项展开式中6

x 的系数为52，则a = （用数字作答）．

随堂练习

1、2

6

1

(2)x x

+的展开式中常数项是 。

2、已知9()x a +的展开式中常数项是8-，则展开式中3

x 的系数是（ ） A. 168 B. 168- C. 336 D. 336-

3、在8)22(-x 的展开式中，6

x 的系数是 .（写出数字答案） 4、8

)1(-x 的展开式中5

x 项的系数是 .

5、()

6

21x + 的展开式中所有有理项系数之和等于_________。（用数字作答）

6、在6

212⎪⎭⎫ ⎝

⎛-x x 的展开式中2

x 项的系数是 （ ）

（A ）30- （B ）60- （C ）30 （D ）60

课后作业

1、在()

10

3

-x 的展开式中，6

x 的系数为

；

2、9

2

)21(x

x -

展开式中9x 的系数是 ； 3、12

3

1⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛-x x 的展开式中常数项为 ； 4、 ()

()10

311x x +-的展开式中，含5x 项的系数是 ；

5、 若()

100

a x +的展开式中98

x 前的系数是9900，求实数a 的值。

6、10()x y -的展开式中，73x y 的系数与37x y 的系数之和等于 。

7、求2

5

(1)(1)x x +⋅-的展开式中3

x 的系数。