巧求最值问题八种方法

如何求“最值”问题
求最大值与最小值是中学数学常见的一种题型，在数学竞赛中作为一个靓点大量存在，解这类题有一定的难度和技巧，所以不少同学为之感叹，这里向大家介绍一些求最值问题的方法与技巧。

一、 利用配方求最值
例1：若x,y 是实数，则19993322+--+-y x y xy x 的最小值是 。

分析:由于是二次多项式，难以直接用完全平方公式，所以用配方法来解更为简捷。

原式=
1990)96(2
1)96(21)2(212222++-++-++-y y x x y xy x =1990)3(21)3(21)(21222+-+-+-y x y x 显然有 (x-y)2≥0, (x-3)2≥0, (y-3)2≥0,
所以 当x-y=0,x-3=0,y-3=0时 ,得x=y=3时, 代数式的值最小，最小是1990； 例2，设x 为实数，求y=312-+-x
x x 的最小值。

分析：由于此函数只有一个未知数，容易想到配方法，但要注意只有一个完全平方式完不成，因此要考虑用两个平方完全平方式，并使两个完个平方式中的x 取值相同。

由于y=121122--+++-x x x x =1)1()1(22--+-x
x x ,要求y 的最小值，必须有x-1=0,且01
=-x x ，解得x=1,
于是当x=1时，y=312-+-x
x x 的最小值是-1。

二、 利用重要不等式求最值
例3：若xy=1,那么代数式4
4411y x +的最小值是 。

分析：已知两数积为定值，求两数平方和的最小值，可考虑用不等式的性质来解此题，44411y x +=2
222222)(121·1·2)21()1(xy y x y x =≥+=1 所以：4
4411y x +的最小值是1 三、 构造方程求最值
例4：已知实数a 、b 、c 满足：a+b+c=2, abc=4.求a 、b 、c 中的最大者的最小值. 分析：此例字母较多，由已知可联想到用根与系数的关系，构造方程来解。

解：设c 为最大者，由已知可知，c>0, 得：a+b=2-c, ab=c 4,则a 、b 可以看作04)2(2=+--c x c x 的两根，因为 a 、b 是实数，所以04·4)2(2≥--c c ，即0164423≥-+-c c c , 0)4)(2)(2(≥--+c c c ,得,42≥≤c c 或因为c 是最大者,所以c 的最小值是4.
四、 构造图形求最值
例5:使16)8(422+-++x x 取最小值的实数x 的值为 .
分析:用一般方法很难求出代数式的最值,由于16)8(422+-++x x
=2222)40()8()20()0(-+-+-+-x x ,于是可构造图形,转化为:在x 轴上求一点c(x,0),使它到两点A （0，2）和B （8，4）的距离和CA+CB 最小，利用对称可求出C 点坐标，这样，通过构造图形使问题迎刃而解。

解：16)8(422+-++x x
=2222)40()8()20()0(-+-+-+-x x .
于是构造如图所示。

作A （0，2）关于x 轴的
对称点A ′(0,-2),,令直线A ′B 的解析式为y=kx+b,
则⎩⎨⎧=+-=+8820b k b k 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==2
43b k
所以24
3-=x y ,令y=0,得38=x . 即C 点的坐标是，x x ，　x 有最小值时所以当16)8(43
8),0,38(22+-++= 五、利用判别式求最值
例6::求y=1
556322++++x x x x 的最小值 解：去分母可以整理出关于x 的一元二次方程,
0)102()122()6(2=-+---y x y x y ,因为x 为实数,所以△≥0
得:4≤x ≤6,解得,故y 的最小值是4
六、消元思想求最值
例7：已知a 、b 、c 为整数，且a+b=2006，c-a=2005，a<b ，则a+b+c 的最大值为———（2006年全国初中数学竞赛试题）
分析由题：由于是求三个未知数的最大值，设法将其转化成一个未知数的形式，由题设可得b=2006-a ，c=2005+a ，将其代入原式得：
a+b+c=a+2006-a+2005+a=4011+a
又a+b=2006,a 、b 均为整数，a<b ，所以a ≤1002,
所以当a=1002时，a+b+c 的最大值是4011+1002=5013.
七、利用数的整除性求最值
例8：已知a 、b 为正整数，关于x 的方程022
=+-b ax x 的两个实数根
21、x x ，关于y 的方程022=++b ay y 两个实数根为21、y y ，且满足,20082211=-y x 、y x 求b 的最小值。

（《数学周报》杯2008年全国初中数学竞试题）
分析与解：因为方程022=+-b ax x 与022
=++b ay y 有实根，所以有： 04)2(2≥-b a ,即b a ≥2，由根与系数的关系，得:
b x x
a x x ==+2121,2；
b y y a y y ==+2121,2 即⎩⎨⎧--=-+-=+-=-=+)
)(()()()(22121212121x x y y x x x x a y y
解得：11122221
y x y x y x y x =-=-⎧⎧⎨⎨=-=-⎩⎩或 把12,y y 的值分别代入，20082221=-y x y x 得
2008)()(2211=---x x x x ，或2008)()(1221=---x x x x （不成立） 即22212008x x -=，2121()()2008x x x x +-=
因为0,022121>=>=+b x x a x x 所以0,021>>　x x
于是有 20084422=-b a a 即251250212⨯=⨯=-b a a
因为a,b 都是正整数，所以
2222221505225150212514
a a a a a
b a b a b a b ====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨-=-=-=-=⎩⎩⎩⎩或或或 分别解得：2222150222511502502122512514a a a a b b b b ====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨=-=-=-=-⎩⎩⎩⎩或或或 经检验只有：22502
25150212514a a b b ==⎧⎧⎨⎨=-=-⎩⎩，　符合题意. 所以b 的最小值为：2251462997b =-最小值＝
八、利用函数的增减性求最值
例9：设21、x x 是方程0232422
2=-++-m m mx x 的两个实根，当m 为何值时，
2
221x x + 有最小值，并求这个最小值。

解：因为方程02324222=-++-m m mx x 有实根，所以 △=0)232{8)4(22≥-+-m m m ,解得3
2≤m 由根与系数的关系得：2
232,222121-+==+m m x x m x x ， 于是)232(42)(22212212221-+-=-+=+m m m x x x x x x =8
7)43
(22+-m 因为函数y=8
7)41(22
+-m 在43 m ≤时的值y 随m 的增大而减少，即m 取最大值时y 取最小值，由于方程有实数根的条件是32≤m ，所以当3
2=m 时，2221x x + 有最小值，最小值为：2221x x + =87)43(22+-m =9887)4332(22=+-.。