第五节有理函数积分法

1
1
5
9(x1)9(x2)3(x2)2.
例2
将 3x
1 x3
分解为简单分式.
解
3x
3x
A BxC
1 x 3 (1x)(1xx2) 1x1xx2
3 x (A B )x2(B C A )x(A C )
1 x3
1x3
AB0 BCA3 A1 AC0
B1
C1
3x
1 x1
1 x 3 1x1xx2.
(2) 任何一个假分式都可以通过多项式除法
化为一个多项式与一个真分式之和.
例如 4 x 3 (4x24x4)( 4 )
x1
x1
x3 2x5
12x8
x2 3x1 (x3)x23x1
二.真分式分解为简单分式
对真分式 P n ( x ) 有如下结论:
Qm(x)
1.如果 Qm ( x) 含有因子(xa)k,则
第五节 有理函数积分
利用学过的四种积分方法
求一类特殊函数的积分
第五节 有理函数积分
一.有理函数
定义
设 Pn( x)与 Qm ( x) 分别为n次与 m次
多项式
,则形如
Pn( x ) Qm(x)
的函数,
称为有理函数.
(1) nm
nm
Pn( x ) Qm(x)
Pn( x ) Qm(x)
称为假分式 称为真分式
例1
将
2x 1 (x 1)(x 2)2
分解为简单分式.
解
2x1 (x1)(x2)2
AB C x1x2(x2)2
(x
2x 1 1)(x 2)2
(A B )x2(C 4A B )x4A 2B C
(x1)x (2)2
AB0
C4A B2
A 1
4A 2B C 1
9
B1 9
C5 3
2x1 (x1)(x2)2
令 xtatn 则 dxse2ctdt
1 (1 x2)2dx
1 (1ta n2 t)2
s
e2ctd
t
cos2 tdt
12(1co2st)dt
1(t 2
1sin2t)c 2
1
1
x
2(tsintcots)c2(arcxta1 nx2)c
故
1 x x2 (x2 1)2
dx
1 2x 2(1 x2)
例3
将
1 x x2 ( x 2 1)2
分解为简单分式.
解
1 x x2 ( x 2 1)2
AxB CxD 1x2 (1x2)2
1 x x 2 A3xB2x(AC)x(BD)
( x 2 1)2
(1x2)2
A0 B B A C D 1 11
A0 B1 C1 D2
1 x x2 ( x 2 1)2
12xx1x2dx
3 2
1 1xx2dx
ln1x1ln1xx2 3
1
d(x1)
2
2 (x1)2( 3)2
2
22
ln 1x1ln 1xx2 3arct2axn1c.
2
3
例5
求
1 x x2
(x2 1)2
dx.
解
1 x x2 (x2 1)2
dx
1 2x [1x2 (1x2)2]dx
1
2x
c.
作业题
1.习题五(A) 9. 2.习题五(B).
本章基本要求
1.理解原函数和不定积分的概念. 2.掌握不定积分的基本性质基本积分公式. 3.掌握不定积分的换元积分法与分部积分法.
本章重点、难点
重点：不定积分的计算. 难点：不定积分的第一类换元积分法.
2
2
(x2 pxq)n
dx
类型4
A
2
(x22xpxpq)ndx(B2pA)
1 (x2pxq)ndx
A 2 (x2p 1 xq)nd(x2p xq)(B2pA)
1 (x2pxq)ndx
A 1
1
21n(x2pxq)n1
(BpA) 2
1 (x2pxq)ndx
A 211n(x2p1xq)n1
(BpA) 2
Pn( x ) Qm(x)
分解
式中必含有下述分式: xA 1a(xA 2a)2(xA ka)k
2.如果 Qm ( x) 含有因子 (x2pxq)k,则 P n ( x ) 分解
Qm(x)
式中必含有下述分式:
x B 21 x p C 1 x q (x 2 B 2 x p C 2 x q )2 (x 2 B k x p C x k q )k
1 (x2pxq)ndx
A 211n(x2p1xq)n1
p
1
p
(B A)
d(x )
2 [x (p)2( qp)2]n
2
2
2
利用上节例10结果
例4
求
1
3
x x
3
dx.
解 3x
1 x3 ln1x
1 x1
dx1(xx11 x2xdx1xln1x2x)dx 121(2xx1)x2
3 2dx
ln1x1 2
Alnx2 p xq(BpA)
1
dx
2
2 (xp)2( qp2)2
2
4
Alnx2pxq(BpA)
1
d(xp)
2
2 (xp)2( qp2)2
2
2
4
Alnx2
p
xq (B pA )/
p 2
p
p 2
q arcx ta )/n q[(] c
2
2
4
24
A
A
AxB (x2 pxq)ndx
(2xp)(B p)
arc txan(1x2)2dxarctxan
2x 2 (1 x2
2 )2 dx
arctxan1 2
2x (1 x2
)2dx
2 (1 x2)2dx
arctxan 1 2
1
1 x
2
2
1 (1 x2)2dx
1 x x2 (x2 1)2
dx
11
1
arcxta 21 nx22(1x2)2dx
Ax B
x2
px
dx q
A(2xp)(BAp)
2
2 x2 pxq
dx
类型3
A2
2xp
p
1
x2
dx(B A)
pxq
2
x2pxqdx
A
2
x21 px qd(x2px q)(B2pA)
ห้องสมุดไป่ตู้
1 x2pxqdx
Alnx2 p xq (BpA)
2
2
1 x2pxqdx
A 2ln x2p x q(B 2 pA ) x21 p x qdx
1 2x 1x2 (1x2)2 .
三.简单分式的积分
类型1
x
1
dx a
类型3
Ax B
x2
px
dx q
类型2
(
x
1 a
)n
dx
类型4
AxB
(x2 pxq)ndx
类型1
x
1
dx a
1 d(xa) xa
lnxac.
类型2
1
( x a)n dx
1 (xa)n
d(xa)
1
1
1n(xa)n1 c.