2020年吉林省示范高中(梅河口五中、白城一中、四平一中)等高考数学五模试卷(理科)
2020年吉林省梅河口市第五中学高考第五次模拟考试数学试题(含解析)
2020年吉林省梅河口市第五中学高考第五次模拟考试数学试题一、单选题1．图中的阴影表示的集合中是()A ．UB ．AC ．U C AD ．A C U2．中兴、华为事件暴露了我国计算机行业中芯片、软件两大短板，为防止“卡脖子”事件的再发生，科技专业人才就成了决胜的关键．为了解我国在芯片、软件方面的潜力，某调查机构对我国若干大型科技公司进行调查统计，得到了这两个行业从业者的年龄分布的饼形图和“90后”从事这两个行业的岗位分布雷达图，则下列说法中不一定正确的是（ ）A ．芯片、软件行业从业者中，“90后”占总人数的比例超过50%B ．芯片、软件行业中从事技术设计岗位的“90后”人数超过总人数的25%C ．芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多D ．芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前“的总人数多3．向量()(),4,6,3AB x CD ==且AB CD ⊥，若()=2,CF y ，且//AB CF ，则CF CD ⋅的数量积为（ ） A ．1B ．0C ．2D ．34．已知a β、都是锐角，且cosa =，cos β=，则a β+=（ ）A ．4πB ．34π C ．4π或34πD ．3π或23π5．复数z 2016是虚数单位)在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为()mod N n m =，例如()102mod4=.下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.执行该程序框图，则输出的i 等于（ ）A ．32B ．16C ．8D ．47．在矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝6，若向该矩形内随机投一点P ，那么使△ABP 与△ADP 的面积都小于4的概率为（ ） A ．136B ．112C ．19D ．498．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，实轴长为6，渐近线方程为13y x =±，动点M 在双曲线左支上，点N 为圆22:(1E x y +=上一点，则2||||MN MF +的最小值为 A ．8B ．9C ．10D ．119．一个四面体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是右图．图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形．则这个四面体的外接球的表面积是( )A ．πB ．3πC ．4πD ．6π10．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导函数为f ′(x )，f ′(x )>0，对于任意实数x ，有f (x )≥0，则()()10f f '的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1D ．－211．设()f x 的定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有()()4f x f x =+，且当[]2,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()()log 201a f x x a -+=>恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．()1,2B ．()2,+∞C ．(D ．)212．已知函数f （x ）=（cos θ+1）cos2x +cos θ（cos x +1），有下述四个结论：①f （x ）是偶函数；②f （x ）在（4π，2π）上单调递减；③当θ∈[23π，34π]时，有|f （x ）|75<；④当θ∈[23π，34π]时，有|f '（x ）|145<；其中所有真命题的编号是( ) A ．①③ B ．②④C ．①③④D ．①④二、填空题13．已知某单位有100名职工，现要从中抽取5名职工，将全体职工随机按1~100编号,并按编号顺序平均分成5组，按系统抽样方法在各组内抽取一个号码，若第1组抽出的号码8号，则第3组被抽出职工的号码为_____;14．已知复数1cos15(sin15)z i =+和复数2cos 45(sin 45)z i =+，则12z z ⋅=__________.15．已知F 为抛物线C ：24x y =的焦点，直线112y x =+与曲线C 相交于,A B 两点，O 为坐标原点，则OAB S ∆=________.三、解答题16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点22P ⎛ ⎝⎭在椭圆上，且椭圆的离心率为2． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过2F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求AOB （O 为坐标原点）面积的最大值． 17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=，2PA PD AD ===，点M 在线段PC 上，且2PM MC =，N 为AD 的中点.（1）求证：AD ⊥平面PNB ；（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，求三棱锥PNBM 的体积.18．十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康，经过不懈的努力奋斗拼搏，新农村建设取得了巨大进步，农民年收入也逐年增加．为了实现2020年脱贫的工作计划，该地扶贫办随机收集了以下50位农民的统计数据，以此研究脱贫攻坚的效果是否与农民的受教育的发展状况有关：（1）根据列联表运用独立性检验的思想方法分析：能否有99%的把握认为“脱贫攻坚的效果与农民的受教育的发展状况有关”，并说明理由；（2）现用分层抽样的方法在全部受过教育的农民中随机抽取5位农民作为代表，再从这5位农民代表中任选2位继续调查，求这2位农民代表中至少有1位脱贫攻坚效果明显的概率． 参考附表：参考公式：()()()()()22n ad bc K a b a c b d c d +=++++，其中n a b c d =+++．19．已知()|2||21|f x x x =+--，M 为不等式()0f x >的解集. （1）求M ；（2）求证：当,x y M ∈时， ||15x y xy ++<.20．已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的各项均为整数，它们的前n 项和分别为,n n S T ，且1122b a ==，232254,11b S a T =+=.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求112233n n n M a b a b a b a b =++++；（3）是否存在正整数m ，使得1m m m mS T S T +++恰好是数列{}n a 或{}n b 中的项？若存在，求出所有满足条件的m 的值；若不存在，说明理由. 21．[选修4—5：参数方程选讲]在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程是11x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 是参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是ρsin 13πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(1)求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程； (2)若两曲线交点为A 、B ，求AB 22．已知函数()ln ,0f x x ax a =->．（1）若()f x a ≤-对0x ∀>恒成立，求实数a 的取值集合； （2）在函数()f x 的图象上取定点()()()()()112212,,,A x f x B x f x xx <，记直线AB 的斜率为k ，证明：存在()012x x x ∈，，使()0k f x '=成立；（3）当*n N ∈时，证明：()22231ln 2ln ln 224n n n n +⎛⎫⎛⎫+++> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭．【答案与解析】1．C由韦恩图可知：阴影表示的集合为以U 为全集，集合A 的补集，得解. 解：由图可知，阴影表示的集合为以U 为全集，集合A 的补集， 即阴影表示的集合是U C A ， 故选C.本题考查了韦恩图及集合的补集，属基础题. 2．C根据图表信息，整合数据，逐项判断即可得解.对于选项A ，芯片、软件行业从业者中“90后”占总人数的55%，故选项A 正确；对于选项B ，芯片、软件行业中从事技术、设计岗位的“90后”占总人数的（37%+13%）×55%=27.5%，故选项B 正确；对于选项C ，芯片、软件行业中从事技术岗位的“90后”占总人数的37%×55%＝20.35%，“80后”占总人数的40%，但从事技术的“80后”占总人数的百分比不知道，无法确定二者人数多少，故选项C 错误；对于选项D ，芯片、软件行业中从事市场岗位的“90后”占总人数的14%×55%＝7.7%、“80前”占总人数的5%，故选项D 正确. 故选：C .本题考查了统计图的应用，考查了数据整合的能力，属于基础题． 3．B根据向量垂直计算得到2x =-，根据平行计算得到4y =-，再计算数量积得到答案.()(),4,6,3AB x CD ==且AB CD ⊥，则6120,2AB CD x x ⋅=+=∴=-.()2,4AB =-，()=2,CF y ，//AB CF ，则28,4y y -==-，()=2,4CF -. ()()2,46,312120CF CD ⋅=-⋅=-=.故选：B .本题考查了向量的垂直和平行，数量积，意在考查学生的计算能力. 4．B先求sin a ，sin β，然后求cos()a β+的值，根据,a β为锐角求出a β+的值．。
2020届吉林省示范高中(四平一中、梅河口五中、白城一中等)高三第五次模拟联考数学(文)试题(解析版)
2020届吉林省示范高中（四平一中、梅河口五中、白城一中等）高三第五次模拟联考数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}2,1,0,1,2,3A =--，{}2log 2B x x =<，则A B =（ ）A ．{}2,3B ．{}1,2,3C ．{}0,1,2,3D ．{}2,1,0,1,2,3--【答案】B【解析】先解对数不等式，再求集合交集运算. 【详解】解：因为2log 2x <，所以22log log 420x x <=⎧⎨>⎩，解得{}04B x x =<<，所以{}1,2,3AB =，故B 正确.故 选：B. 【点睛】本题考查对数不等式的解法，集合的交集运算，是中档题. 2．已知i 为虚数单位，则221ii-=+（ ） A ．2- B ．2i -C ．2D ．2i【答案】B【解析】直接根据复数代数形式的除法法则计算可得； 【详解】解：()()()()222122222221112i i i i i i i i i i -----+===-++- 故选：B 【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，属于基础题.3．已知函数()[]()()221,0,1,1,3xx f x x b x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩，5(0)2f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则实数b =（ ） A ．1 B ．52C ．3D ．4【答案】B【解析】由5(0)2f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭可得2502b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解方程求出b 的值即可. 【详解】根据题意，()502f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴2052102b ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，∴52b =.故选：B . 【点睛】本题考查分段函数，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于基础题.4．2020年西部某县一个生态果园公司根据当地的特产开发生产了A ，B 两种不同口味的果汁饮料.现随机抽取了两种果汁饮料各10瓶（均是500mL ）组成的一个样本进行了检测，得到某种添加剂指标（毫克/升）的茎叶图如图，则对这种添加剂指标的分析正确的是（ ）A ．A 种果汁饮料添加剂指标的平均值高于B 种果汁饮料添加剂指标的平均值 B ．A 种果汁饮料添加剂指标的中位数高于B 种果汁饮料添加剂指标的中位数C ．A 种果汁饮料添加剂指标的方差高于B 种果汁饮料添加剂指标的方差D ．A 种果汁饮料添加剂指标的最小值高于B 种果汁饮料添加剂指标的最小值 【答案】D【解析】根据茎叶图估计均值、中位数、方差及最值，然后判断各选项． 【详解】B 种果汁饮料添加剂指标集中在以4为茎的茎上，A 种果汁饮料添加剂指标集中在以2为茎的茎上，A 错误；A 种果汁饮料添加剂指标的中位数为23.5，B 种果汁饮料添加剂指标的中位数为31.5，B 错误；A 种果汁饮料添加剂指标数据比较集中，而B 种果汁饮料添加剂指标数据比较分散，所以B 种果汁饮料添加剂指标的方差要大一些，C 错误：A 种果汁饮料添加剂指标的最小值为5，B 种果汁饮料添加剂指标的最小值为2，A 高，D 正确. 故选：D ． 【点睛】本题考查茎叶图，考查样本数据特征估计总体数据特征，属于基础题．5．下面是由一个实体的半圆柱从上底面向下挖去一部分后而得到的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 【答案】C 【解析】由三视图还原几何体，根据圆柱和圆锥的体积公式可得选项. 【详解】根据题意，半圆柱挖去一个半圆锥，半圆柱的体积为122ππ⨯=，半圆锥的体积为12323ππ⨯⨯=， 所以该几何体的体积为233πππ-=. 故选：C.【点睛】本题考查由三视图还原几何体和圆柱、圆锥的体积的计算，属于基础题.6．公元四世纪的古希腊数学家佩波斯提出：蜂巢的优美形状，是自然界最有效劳动的代表.他猜想人们所见到的截面呈六边形的蜂巢，是蜜蛑采用最少量的蝉蜡建造而成的.如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的顶点称为“晶格点”，重复的算作一个“晶格点”，已知第一行有1个六边形，第二行有2个六边形，每行比上一行多一个六边形（六边形均相同），设图中前n 行晶格点数n b 满足125n n b b n +-=+，n *∈N ，则10b =（ ）A ．101B ．123C ．141D ．150【答案】C【解析】由已知125n n b b n +-=+，可得数列{}1n n b b +-是以7为首项，2为公差的等差数列，由此可求出n b ，从而可得10b . 【详解】解:因为()()2112n n n n b b b b +++---=，所以数列{}1n n b b +-是以7为首项，2为公差的等差数列，2n ≥时，()()()()()()12132172316792362n n n n n b b b b b b b b n -++-=+-+-++-=+++++=+241n n =++，所以10141b =. 故选：C 【点睛】此题考查了等差数列的判断，等差数列的前n 项和，累加法求通项等知识，属于基础题.7．已知函数[]y x =称为高斯函数，其中不超过实数x 的最大整数称为x 的整数部分，记作[]x ，如图，则输出的S 值为（ ）A ．42B ．43C ．44D ．45【答案】D 【解析】对i 进行分类讨论，一步步往下执行，即可得答案； 【详解】当13i ≤<时，[]3log 0i =；39i ≤<时，[]3log 1i =； 927i ≤<时，[]3log 2i =； 27i =时，[]3log 3i =，所以61182345S =⨯+⨯+=. 故选：D. 【点睛】本题考查根据程序框图输出值，考查阅读程序框图能力，求解时注意取整函数的定义. 8．定义在R 上的偶函数()f x ，满足()()4f x f x =-，当[]0,2x ∈时，()2f x x x =+，则不等式()2f x >的解集为（ ）A ．()21,23k k ++，k Z ∈B ．()21,21k k -+，k Z ∈C ．()41,43k k ++，k Z ∈D ．()41,41k k -+，k Z ∈【答案】C【解析】先根据已知求得()f x 的周期为4，且图象关于2x =对称，再求[]0,2x ∈时，()2f x >的解集为(]1,2，根据对称性，在一个周期[]0,4x ∈时，()2f x >的解集为()1,3；再利用周期性推广到x ∈R 时，得不等式的解集.【详解】∵()()()()444f x f x f x f x +=--=-=， 所以()f x 的周期为4，且图象关于2x =对称， 所以[]0,2x ∈时，()2f x >的解集为(]1,2，又因为图象关于2x =对称，得[]0,4x ∈时，解()2f x >的解集为()1,3， 所以x ∈R 时，()2f x >的解集为()41,43k k ++，k Z ∈. 故选：C. 【点睛】本题考查利用函数的对称性，周期性，奇偶性解决不等式问题，是中档题.9．已知()F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左焦点，P 为双曲线C 右支上一点，圆222x y a +=与y 轴的正半轴交点为A ，PA PF +的最小值4，则双曲线C 的实轴长为（ ）A ．B ．2C ．D ．【答案】B【解析】由双曲线的定义把P 到左焦点的距离转化为到右焦点F '的距离，从而可利用P 在线段AF '上时取最小值，由此可求得a ． 【详解】由题意，()0,A a ，设F '为双曲线的右焦点，则2PF a PF '=+，()F，)F '.∴()2222PA PF PA a PF a PF PA a AF a '''+=++=++≥+=三点P ，A ，F '共线时取等号.所以24a =，解得1a =，所以实轴长为2. 故选：B ． 【点睛】本题考查求双曲线的实轴长，解题关键是利用双曲线的定义把双曲线上的点到一个焦点的距离转化为到另一焦点的距离，从而利用平面几何性质得到最值． 10．已知函数()sin cos f x m x n x =+（m ，n 为常数，0m n ⋅≠，x ∈R ）在4x π=处取得最大值()f x 的图象向左平移()0h h >个单位长度以后得到的图象与函数()sin 0y k x k =>的图象重合，则k h +的最小值为（ ） A．34π+B．54π+C．74π+D．74π+【答案】D【解析】用辅助角公式变形函数式()()sin cos n f x m x n x x ϕ=++=，，由最大值的两种表示法()4f π==,m n的值，然后写出平移后函数解析式，由它与sin y k x =重合求得,k h ，根据0h >可得最小值． 【详解】由()()sin cos n f x m x n x x ϕ=++=，所以)2m n +==2m n ==，所以()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()f x 的图象向左平移()0h h >个单位长度以后得到函数解析式为()4f x x h π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以2,4k h t t Zππ⎧=⎪⎨+=∈⎪⎩，所以k =24h t ππ=-，t Z ∈，又0h >，min 74h π=.故k h +的最小值为74π+故选：D ．本题考查三角函数图象变换，考查三角函数辅助角公式，掌握三角函数图象变换是解题基础．11．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点21,0F ，31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆上一点，过左顶点A 作直线l x ⊥轴，Q 为直线l 上一点，2AP F Q ⊥，则直线PQ 在x 轴上的截距为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】A【解析】由点P 在椭圆上，可得222219141a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，可求出22,a b ，即可得到()2,0A -，进而可求出直线AP 的斜率，结合2AP F Q ⊥，可求得直线2F Q 的方程，然后求出Q 的坐标，进而可求出直线PQ 的方程，令0y =，可求出答案. 【详解】由点P 在椭圆上，右焦点为21,0F ，可得222219141a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得2243a b ⎧=⎨=⎩， 即椭圆方程为22143x y +=，所以()2,0A -，21,0F ，则直线AP 的斜率312122APk ==+.又2AP F Q ⊥，所以21AP F Q k k ⋅=-，则212F Q APk k =-=-，所以直线2F Q 的方程()21y x =--，联立直线2F Q ，l 的方程()212y x x ⎧=--⎨=-⎩，得交点()2,6Q -，所以,P Q 两点连线的斜率3632212PQk -==---，则直线PQ 的方程为()33122y x -=--，令0y =，得2x =. 故选：A.本题考查椭圆的方程、椭圆的性质，考查直线的方程，考查学生的计算求解能力，属于中档题.12．已知函数()()220af x x a x =+>在()0,∞+上的最小值为3，直线l 在y 轴上的截距为1-，则下列结论正确是（ ） ①实数1a =；②直线l 的斜率为1时，l 是曲线()y f x =的切线； ③曲线()y f x =与直线l 有且仅有一个交点. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B【解析】对函数进行求导，通过导数判断函数的单调性得x =()f x 取得最小值，进而可判断①；通过导数的几何意义求出切线的斜率为1时，切点的横坐标为0x =2121x kx x +=-的根的个数，即3112k x x=++，判断函数()32h t t t =++的单调性，得其范围可判断③. 【详解】因为()()333222x a a f x x x -'=-=，因为0x <<()0f x '<，x >()0f x '>，所以x =()f x取得最小值，所以()23af==，所以1a =.故①正确；设切点为00201,2A x x x ⎛⎫+⎪⎝⎭，又因为()322f x x '=-，所以切线满足斜率30212x =-，∴0x =0011y x =-=，代入()212f x x x =+不成立. 所以直线:1l y x =-不是曲线()y f x =的切线，故②错误； 又设直线:1l y kx =-，则曲线()y f x =与直线l 的交点个数，等价于方程2121x kx x+=-的根的个数. 由方程2121x kx x +=-，得3112k x x=++.令1t x=，则32k t t =++，其中t R ∈，且0t ≠. 考察函数()32h t t t =++，其中t R ∈，因为()2310h t t '=+>时，所以函数()h t 在R 上单调递增，且()h t R ∈.而方程32k t t =++中，t R ∈，且0t ≠. 所以当()02k h ==时，方程32k t t =++无根； 当2k ≠时，方程32k t t =++有且仅有一根，故当2k =时，曲线()y f x =与直线l 没有交点，而当2k ≠时，曲线()y f x =与直线l 有且仅有一个交点，故③错误，正确的个数为1个；故选：B. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数求函数的最值，通过导数判断函数的零点，属于中档题.二、填空题13．已知向量()1,a x =，()1,1b x =-，()2a b a -⊥，则a b +=___________.【解析】根据向量垂直得到数量积为零，即可求出参数的值，再根据向量模的公式计算可得； 【详解】∵()1,a x =，()1,1b x =-， 且()2a b a -⊥，()2220a b a a b a ∴-⋅=-⋅=()221210x x x ∴+-+-=∴1x =，所以()1,1a =，()1,0b =，()2,1a b += 所以5a b +=.【点睛】本题考查向量的数量积及向量模的坐标表示，属于基础题.14．任意写出一个自然数n ，并且按照以下的规律进行变换：如果n 是个奇数，则下一步变成31n +，如果n 是个偶数，则下一步变成2n，依照上述规律，将5作为首项，构造一个数列{}n a ，则{}n a 的前20项和为__________. 【答案】70【解析】通过计算数列的前几项，发现数列的规律，再进行求和. 【详解】因为15a =，216a =，38a =，44a =，52a =，61a =，74a =， 从第4项开始，数列{}n a 是周期为3的数列， 所以前20项和为5168754270+++⨯++=. 故答案为：70. 【点睛】本题考查不完全归纳法的应用，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意发现数列的周期.15．2019年末至2020年初，某在线教育公司为了适应线上教学的快速发展，近5个月加大了对该公司的网上教学使用软件的研发投入，过去5个月资金投入量x （单位：百万元）和收益y （单位：百万元）的数据如下表：若y 与x 的线性回归方程为3y x a =+，则资金投入量为16百万元时，该月收益的预报值为__________百万元. 【答案】56.04【解析】计算出,x y ，由中心点(,)x y 求出参数a ，再令16x =代入可得． 【详解】 由题意得，24810127.25x ++++==，14.2120.3131.1837.8344.6729.645y ++++==，所以329.6437.28.04a y x =-=-⨯=.所以y 关于x 的回归方程为ˆ38.04y x =+.把16x =代入回归方程得ˆ3168.0456.04y=⨯+=，故预报值为56.04百万元. 故答案为：56.04． 【点睛】本题考查线性回归方程，解题关键是掌握性质：线性回归直线一定过中心点(,)x y ． 16．如图，已知直三棱柱ADF BCE -，AD DF ⊥，2AD DF CD ===，M 为AB 上一点，四棱锥F AMCD -的体积与该直三棱柱的体积之比为512，则异面直线AF 与CM 所成角的余弦值为________.【答案】225【解析】根据已知条件求得ADF BCE V -，设AM x =，由四棱锥F AMCD -的体积与直三棱柱ADF BCE -的体积之比为512，求得AM 的值，过M 作//MN BE ，交EF 于点N ，连接CN ，在CMN △中，根据余弦定理可求得答案. 【详解】直三棱柱ADF BCE -，AD DF ⊥，2AD DF CD === 根据柱体体积公式可得：122242ADF BCE V Sh -==⨯⨯⨯= 设AM x =， 则()()2211222323F AMCD x V x -+=⨯⨯+⨯⨯=， 四棱锥F AMCD -的体积与直三棱柱ADF BCE -的体积之比为512∴()2253412x +=∴ 12x =，过M 作//MN BE ，交EF 于点N ，连接CN ，如图，则CMN ∠（或其补角）为异面直线AF 与CM 所成角， 52CM CN ==，22MN = 在CMN △根据余弦定理可得：22222cos 25M CM CN CM M N N CM N +-∠==⋅∴22cos CMN ∠=.22. 【点睛】本题主要考查了求异面直线夹角的余弦值，解题关键是掌握异面直线夹角定义和余弦定理，数形结合，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.三、解答题17．已知ABC 的内角A ，B ，C 满足()()()sin sin sin sin sin sin sin A B A B C B C +-=-，ABC 的面积为103（1）求sin 2A ； （2）133sin sin 14B C +=，求ABC 的周长. 【答案】（13（2）20. 【解析】（1）利用余弦定理求出3A π=，再利用倍角公式计算，即可得答案；（2）利用正弦定理可得137b c a +=，再利用面积公式和余弦定理可得7a =，即可得答案； 【详解】解：（1）设内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， ∵()()()sin sin sin sin sin sin sin A B A B C B C +-=- 可得()()()a b a b c b c +-=-， 化简可得，222b c bc a +-=，由余弦定理可得，2221cos 22b c a A bc +-==， ∵0A π<<，∴3A π=，∴3sin 2A =. （2）因为133sin sin B C +=.所以1331327b c R a +=⋅=. 由1103sin 2bc A =，∴40bc =，. 因为222b c bc a +-=，∴()223b c bc a +-=，∴22131207a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴7a =，所以ABC 的周长为71320+=. 【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的运用、三角形的面积公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，平面PAD ⊥底面ABCD ，222PA PD AD BC CD =====，M 为PC 上一点，//PA 平面BDM .（1）求:PM MC 的值；（2）求四棱锥P ABCD -外接球的半径.【答案】（1）2；（2. 【解析】(1)连接AC 交BD 于点N ，连接MN ，由线面平行的性质定理可得//PA MN ，再结合BCN DAN △∽△可得所求比例.(2) 取AD 的中点O ，连接PO ，由面面垂直的性质定理可得PO ⊥平面ABCD .取PAD △的重心为G ，则GO ⊥平面ABCD ，经计算可确定G 为四棱锥P ABCD -外接球球心，从而可得半径. 【详解】（1）如图，连接AC 交BD 于点N ，连接MN ，因为平面PAC平面BDM MN =，//PA 平BDM 所以//PA MN ，所以PM ANMC NC=. 又因为BCN DAN △∽△， 所以2AN AD NC BC ==，故2PMMC= （2）根据题意，取AD 的中点O ，连接PO ，因为PAD △为等边三角形，所以PO AD ⊥，PO = 因为平面PAD ⊥底面ABCD ，且平面PAD 底面ABCD AD =，所以PO ⊥平面ABCD .设PAD △的重心为G ，则GO ⊥平面ABCD ，AG DG PG ===. 在等腰梯形ABCD 中，可得O 为梯形ABCD 外接圆的圆心，所以1OD OA OB OC ====，所以GD GA GB GC ====，故G 为四棱锥P ABCD -外接球球心，半径为3.【点睛】本题考查线面平行和面面垂直的性质定理的应用，考查多面体外接球球心的确定方法，考查空间想象能力和计算能力，属于基础题.19．搪瓷是在金属坯体表面涂搪瓷釉而得到的制品.曾经是人们不可或缺的生活必备品，厨房用具中的锅碗瓢盆；喝茶用到的杯子；洗脸用到的脸盆；婚嫁礼品等，它浓缩了上世纪整整一个时代的记忆.某搪瓷设计公司新开发了一种新型复古搪瓷水杯，将其细分成6个等级，等级系数X依次3，4，5，6，7，8，该公司交给生产水平不同的A和B两个广生产，从B厂生产的搪瓷水杯中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如图所示：（1）依据上表，若从上述等级系数为7和8的搪瓷水杯中抽取2件，求这2件全部来自等级系数为8的搪瓷水杯的概率；（2）下图是5位网友对两厂生产的搪瓷水杯对比评分图，根据图表，利用评分均值和标准差比较两种搪瓷水杯的评分情况，并说明理由.【答案】（1）15；（2）B 厂生产的糖瓷水杯的评分的均值较高；A 厂生产的搪瓷水杯的评分的标准差较小，比较稳定.理由见解析. 【解析】（1）设等级系数为7的搪瓷水杯为A ，B ，C ，等级系数为8的搪瓷水杯为a ，b ，c ， 利用列举法列出所有可能结果，最后利用古典概型概率公式计算可得； （2）计算出平均数与标准差即可比较； 【详解】解：（1）设等级系数为7的搪瓷水杯为A ，B ，C ，等级系数为8的搪瓷水杯为a ，b ，c ， 则从中抽取2件的基本事件为(),A B ，(),A C ，(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),B C ，(),B a ，(),B b ，(),B c ，(),C a ，(),C b ，(),C c ，(),a b ，(),a c ，(),b c ，共15种，其中2件全部来自等级系数为8的搪瓷水杯的基本事件为(),a b ，(),a c ，(),b c ，共3种， 所以31155P ==. （2）因为()467895 6.8B x =++++÷=，所以B 厂生产的搪瓷水杯的评分平均分为6.8，标准差为()()()()()2222214 6.86 6.87 6.88 6.89 6.8 1.725S ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦， 所以B 厂生产的搪瓷水杯的评分标准差为1.72，因为()56 6.5785 6.5A x =++++÷=，所以A 厂生产的搪瓷水杯的评分平均分为6.5，1S == 所以A 厂生产的搪瓷水杯的评分标准差为1，综上，B 厂生产的糖瓷水杯的评分的均值较高；A 厂生产的搪瓷水杯的评分的标准差较小，比较稳定. 【点睛】本题考查古典概型的概率计算，以及几个数的平均数、标准差的计算，属于基础题. 20．已知抛物线()2:20E y px p =>恰好经过等腰梯形ABCD 的四个顶点，//AB DC ，AD 的延长线与抛物线E 的准线的交点1,02M ⎛⎫-⎪⎝⎭. （1）求抛物线E 的方程；（2）证明：BD 经过抛物线E 的焦点. 【答案】（1）22y x =；（2）证明见解析 【解析】（1）由1,02M ⎛⎫-⎪⎝⎭为抛物线E 的准线上的点，可知122p =，即可求出p ，从而可得到抛物线E 的方程；（2）抛物线E 的焦点为1,02，设()11,A x y ，()11,B x y -，()22,D x y ，设出直线AD 的方程，与抛物线方程联立，可得1214x x =，且1212x x <<，设BD 与x 轴的交点坐标为()(),00n n >，可表示出直线BD 的方程，与抛物线方程联立，可得到212x x n =，从而可得214n =，即BD 经过点1,02，即可证明结论成立. 【详解】（1）根据题意，1,02M ⎛⎫- ⎪⎝⎭为抛物线E 的准线上的点， 所以122p =，即1p =， 所以抛物线E 的方程为22y x =.（2）抛物线E 的焦点为1,02，设()11,A x y ，()11,B x y -，()22,D x y ，设直线AD的方程为12y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，联立方程组2122y k x y x⎧⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，得()2222204k k x k x +-+=， 则1214x x =，且120x x <<，所以1212x x <<， 设BD 与x 轴的交点坐标为()(),00n n >，直线BD 的方程为()11y y x n x n-=--， 与方程22y x =联立得()()()22222122111121220y y n y n x x x n x n x n ⎡⎤-++=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦， 则()()212121212221y n x n x x n y x n -==-，即214n =，解得12n =，即BD 经过点1,02， 所以BD 经过抛物线E 的焦点.【点睛】本题考查抛物线方程的求法，考查直线过定点问题，考查学生的逻辑推理能力与计算能力，属于中档题.21．已知函数()()ln f x x x a =-，()3F x x x m =-+，若()f x 在()(),e f e 处的切线斜率为1.（1）若()()f x F x <在()1,+∞上恒成立，求m 的最小值M ； （2）当m M =，(]0,1x ∈时，求证：()()xf x e F x >⋅.【答案】（1）1-；（2）证明见解析.【解析】（1）根据导数的几何意义可知，()ln 11f e e a '=-+=可求出a ，再由()()f x F x <可得3ln m x x x >-，构造函数()3ln g x x x x =-，利用导数求出其在()1,+∞上的最大值（或上确界），即可得到m 的最小值；（2）利用导数可知，函数()()ln f x x x a =-在()0,1上单调递减，于是可得()()11f x f >=-，再利用导数研究函数()()()31x x G x e F x x x e =⋅=--在()0,1上的单调性可知，存在()10,1x ∈，使得()10G x '=，且函数()G x 在()10,x 上单调递减，在()1,1x 上单调递增，于是可得()1G x <-，从而证得()()xf x e F x >⋅．【详解】（1）由题意，()ln 1f x x a '=-+，∴()ln 11f e e a '=-+=，∴1a =， 所以()()ln 1f x x x =-，又()33ln f x x x m m x x x <-+⇔>-，令()3ln g x x x x =-，则()()21ln 3h x g x x x '==+-，所以()21166x h x x x x-'=-=，∵当()1,x ∈+∞时，()0h x '<，∴()h x 在()1,+∞上是减函数， ∴()()120h x h <=-<，即()0g x '<，∴()g x 在()1,+∞上是减函数， ∴()()11g x g <=-， ∴m 的最小值1M =-.（2）由（1）知，函数()()ln 1f x x x =-，()0,1x ∈，则()ln f x x '=. 当()0,1x ∈）时，()0f x '<，故函数()f x 在()0,1上单调递减． 所以()()11f x f >=-.设函数()()()31xxG x e F x x x e =⋅=--则()()2323xG x x x x e '--+=.设函数()3232p x x x x =+--，则()2361p x x x '=+-，()p x '在()0,1上单调递增.当()0,1x ∈时，()()0180p p ''⋅=-<，故存在()00,1x ∈，使得()00p x '=， 从而函数()p x 在()00,x 上单调递减；在()0,1x 上单调递增. 当()00,x x ∈时，()()002p x p <=-. 当()0,1x x ∈时，()00p x <，()10p >， 故存在()10,1x ∈，使得()10G x '=，即当()10,x x ∈时，()0G x '<，当()1,1x x ∈时，()0G x '>.从而函数()G x 在()10,x 上单调递减，在()1,1x 上单调递增.因为()01G =-，()1G e =-，故当()0,1x ∈时，()()01G x G <=-，所以()()xf x e F x >⋅. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义的应用，分离参数法的应用，以及利用导数求解或证明函数不等式恒成立问题，考查学生的转化能力，数学建模能力，逻辑推理能力和数学运算能力，属于难题．22．在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为1cos 21sin 2x t y t αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线2l 的极坐标方程为()0R θθρ=∈.（1）设直线2l 与曲线1C 相交于不同的两点A 、B ，求AB 中点的轨迹2C 的方程； （2）设直线1l 与2C 相交于E 、F 两点，求弦长EF 的最小值.【答案】（1）()()22110x y x -+=≠；（2.【解析】（1）将曲线1C 的极坐标方程化为直角坐标方程，可知02πθ≠，设0tan k θ=，可得直线2l 的直角坐标方程为y kx =，设()11,A x y 、()22,B x y ，中点()00,M x y ，将直线2l 与曲线1C 的直角坐标方程联立，由韦达定理计算出点M 的坐标，消去参数k 即可得出曲线2C 的直角坐标方程；（2）将直线1l 的参数方程代入曲线2C 的直角坐标方程，设点E 、F 对应的参数分别为1t 、2t ，列出韦达定理，利用弦长公式可计算得出EF 关于α的表达式，由此可计算得出EF 的最小值.【详解】（1）在曲线1C 的极坐标方程两边同时乘以ρ得24cos ρρθ=，将222cos x x y ρθρ=⎧⎨+=⎩代入方程24cos ρρθ=，得2240x y x +-=，设()11,A x y 、()22,B x y ，中点()00,M x y ， 若02πθ=，则直线2l 与圆1C 相切，不合乎题意，所以，02πθ≠，则00x ≠.直线2l 普通方程为y kx =，其中0tan k θ=，联立2240y kx x y x =⎧⎨+-=⎩，得()22140k x x +-=， 12241x x k ∴+=+，1202221x x x k +∴==+，00221k y kx k ==+. ()()()()2222000222222241444421111k k y x x k k k k +-===-=-++++，即()220011x y -+=. 因此，曲线2C 的方程为()()22110x y x -+=≠；（2）根据题意，直线1l 过定点11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，且在曲线2C 的内部. 设点E 、F 对应的参数分别为1t 、2t ，将直线1l 的参数方程代入曲线2C 的直角坐标方程得2211cos 1sin 122t t αα⎛⎫⎛⎫+-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 整理可得()21sin cos 02t t αα+--=， 由韦达定理得12cos sin t t αα+=-，1212t t =-. 所以12EF t t =-===≥， 0απ≤<，则022απ≤<，当22πα=时等号成立，故弦长EF .【点睛】 本题考查动点轨迹方程的求解，同时也考查了直线截圆所得弦长的计算，考查了直线参数方程几何意义的应用，考查计算能力，属于中等题. 23．已知函数()321f x x x =-+-的最小值为M ；（1）求函数()4f x <的解集；（2）若0a >，0b >，1a b +=，求证：2414M a b+≥. 【答案】（1）()0,2；（2）证明见解析. 【解析】（1）根据绝对值的符号，分类讨论解不等式即可；（2）利用基本不等式“1”的用法证明即可.【详解】解：（1）①当3x ≥时，有321344x x x -+-=-<，得83x <，故无解； ②当132x <<时，解32124x x x -+-=+<，解得2x < ，故122x <<； ③当12x ≤时，解312434x x x -+-=-<，解得0x >，故102x <≤； 综合①②③得：不等式()4f x <的解集为()0,2.（2）由（1）知，当12x =，()min 52f x M ==， ∵0a >，0b >，1a b +=，∴ ()44111444444b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++ ⎪⎝⎭2172544M ≥+==， 当且仅当4=4b a a b ，即：445a b ==时等号成立. 故2414M a b +≥，当且仅当45a =，15b =时，等号成立. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，基本不等式“1”的用法，是基础题.。
2020届吉林省梅河口市第五中学高三下学期模拟考试数学(理)试题(解析版)
2020届吉林省梅河口市第五中学高三下学期模拟考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{|A x y ==，{}2|log 1B x x =>则全集U =R 则下列结论正确的是( ) A ．A B A =I B ．A B B ⋃=C ．()U A B =∅I ðD ．U B A ⊆ð【答案】D【解析】化简集合A ，根据对数函数的性质，化简集合B ，按照集合交集、并集、补集定义，逐项判断，即可求出结论. 【详解】由2230,(23)(1)0x x x x -++≥-+≤，则31,2A ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，故U 3(,1),2A ⎛⎫=-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ð， 由2log 1x >知，(2,)B =+∞，因此A B =∅I ，31,(2,)2A B ⎡⎤⋃=-⋃+∞⎢⎥⎣⎦，()U (2,)A B ⋂=+∞ð，3(2,)(,1),2⎛⎫+∞⊆-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，故选:D 【点睛】本题考查集合运算以及集合间的关系，求解不等式是解题的关键，属于基础题. 2．设i 为虚数单位，若复数(1)22z i i -=+，则复数z 等于( ) A ．2i - B ．2iC ．1i -+D ．0【答案】B【解析】根据复数除法的运算法则，即可求解. 【详解】22(1)22,21iz i i z i i+-=+==-. 故选:B.本题考查复数的代数运算，属于基础题. 3．设1,0(){2,0xx x f x x -≥=<，则((2))f f -=（ ）A ．1-B ．14C ．12D ．32【答案】C【解析】试题分析：()21224f --==Q ，()()11112114422f f f ⎛⎫∴-==-=-= ⎪⎝⎭．故C 正确．【考点】复合函数求值．4．执行如图所示的程序框图，若输入的3t =，则输出的i =( )A ．9B ．31C ．15D ．63【解析】根据程序框图中的循环结构的运算，直至满足条件退出循环体，即可得出结果. 【详解】执行程序框3,t =0i =；8,t =1i =；23,t =3i =；68,t =7i =；203,t =15i =；608,t =31i =，满足606t >，退出循环，因此输出31i =， 故选:B. 【点睛】本题考查循环结构输出结果，模拟程序运行是解题的关键，属于基础题. 5．若直线2y x =-的倾斜角为α，则sin 2α的值为（ ） A ．45B ．45-C ．45±D ．35-【答案】B【解析】根据题意可得：tan 2α=-，所求式子利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将tan 2α=-代入计算即可求出值． 【详解】由于直线2y x =-的倾斜角为α，所以tan 2α=-， 则22222sin cos 2tan 224sin 22sin cos sin cos tan 1(2)15ααααααααα-⨯=====-++-+故答案选B 【点睛】本题考查二倍角的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及直线倾斜角与斜率之间的关系，熟练掌握公式是解本题的关键．6．如图是函数sin()R,A 0,0,02y A x x πωφωφ⎛⎫=+∈>><<⎪⎝⎭在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将sin (R)y x x =∈的图象上的所有的点( )A ．向左平移3π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变 B ．向左平移3π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移6π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变 D ．向左平移6π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 【答案】A【解析】由函数的最大值求出A ，根据周期求出ω，由五点画法中的点坐标求出ϕ，进而求出sin()y A x ωφ=+的解析式，与sin (R)y x x =∈对比结合坐标变换关系，即可求出结论. 【详解】由图可知1,A =T π=，2ω∴=，又2()6k k πωϕπ-+=∈z ，2()3k k πϕπ∴=+∈z ，又02πφ<<，3πϕ∴=，sin 23y x π⎛⎫∴=+⎪⎝⎭， ∴为了得到这个函数的图象，只需将sin ()y x x R =∈的图象上的所有向左平移3π个长度单位， 得到sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象， 再将sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变）即可. 故选:A 【点睛】本题考查函数的图象求解析式，考查函数图象间的变换关系，属于中档题.7．盒中装有形状、大小完全相同的5张“刮刮卡”，其中只有2张“刮刮卡”有奖，现甲从盒中随机取出2张，则至少有一张有奖的概率为( )A ．12B ．35C ．710D ．45【答案】C【解析】先计算出总的基本事件的个数，再计算出两张都没获奖的个数，根据古典概型的概率，求出两张都没有奖的概率，由对立事件的概率关系，即可求解. 【详解】从5张“刮刮卡”中随机取出2张，共有2510C =种情况，2张均没有奖的情况有233C =（种），故所求概率为3711010-=. 故选:C. 【点睛】本题考查古典概型的概率、对立事件的概率关系，意在考查数学建模、数学计算能力，属于基础题.8．已知a b r r ，满足23a =r ，3b =r ，6a b ⋅=-r r ,则a r 在b r 上的投影为（ ）A ．2-B ．1-C ．3-D ．2【答案】A【解析】根据向量投影的定义，即可求解. 【详解】a r 在b r 上的投影为6cos 23a b a bθ⋅-===-rr r r . 故选:A 【点睛】本题考查向量的投影，属于基础题.9．如图，某几何体的三视图是由三个边长为2的正方形和其内部的一些虚线构成的，则该几何体的体积为( )A ．23B ．163C ．6D ．与点O 的位置有关 【答案】B【解析】根据三视图还原直观图如下图所示，几何体的体积为正方体的体积减去四棱锥的体积，即可求出结论.【详解】如下图是还原后的几何体，是由棱长为2的正方体挖去一个四棱锥构成的，正方体的体积为8，四棱锥的底面是边长为2的正方形，顶点O在平面11ADD A上，高为2，所以四棱锥的体积为184233⨯⨯=，所以该几何体的体积为816 833 -=.故选:B.【点睛】本题考查三视图求几何体的体积，还原几何体的直观图是解题的关键，属于基础题. 10．泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述：甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路；乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路；丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（）A．甲走桃花峪登山线路B．乙走红门盘道徒步线路C．丙走桃花峪登山线路D．甲走天烛峰登山线路【答案】D【解析】甲乙丙三人陈述中都提到了甲的路线,由题意知这三句中一定有一个是正确另外两个错误的,再分情况讨论即可. 【详解】若甲走的红门盘道徒步线路,则乙,丙描述中的甲的去向均错误,又三人的陈述都只对一半,则乙丙的另外两句话“丙走红门盘道徒步线路”,“乙走红门盘道徒步线路”正确,与“三人走的线路均不同”矛盾.故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路”正确,故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误,“甲走天烛峰登山线路”正确.乙的话中“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确.综上所述,甲走天烛峰登山线路,乙走桃花峪登山线路, 丙走红门盘道徒步线路 故选：D 【点睛】本题主要考查了判断与推理的问题,重点是找到三人中都提到的内容进行分类讨论,属于基础题型.11．记()[]f x x x =-其中[]x 表示不大于x 的最大整数,0()1,0kx x g x x x ≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若方程在()()f x g x =在[5,5]-有7个不同的实数根，则实数k 的取值范围( )A ．11,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,65⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．11,54⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,54⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】做出函数(),()f x g x 的图象，问题转化为函数(),()f x g x 的图象在[5,5]-有7个交点，而函数(),()f x g x 在[5,0]-上有3个交点，则在[0,5]上有4个不同的交点，数形结合即可求解. 【详解】作出函数(),f x ()g x 的图象如图所示，由图可知方程()()f x g x =在[5,0]-上有3个不同的实数根， 则在[0,5]上有4个不同的实数根， 当直线y kx =经过(4,1)时，14k =； 当直线y kx =经过(5,1)时，15k =， 可知当1154k ≤<时，直线y kx =与()f x 的图象在[0,5]上有4个交点， 即方程()()f x g x =，在[0,5]上有4个不同的实数根. 故选:D. 【点睛】本题考查方程根的个数求参数，利用函数零点和方程之间的关系转化为两个函数的交点是解题的关键，运用数形结合是解决函数零点问题的基本思想，属于中档题.12．直线330x y -=经过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点F ，交椭圆于,A B 两点，交y 轴于C 点，若2FC CA =u u u v u u u v，则该椭圆的离心率是（）A ．31B 31- C ．222 D 21【答案】A【解析】由直线330x -+=过椭圆的左焦点F ，得到左焦点为(3,0)F ，且223a b -=，再由2FC CA =u u u r u u u r ，求得332A ⎫⎪⎪⎝⎭，代入椭圆的方程，求得2336a +=，进而利用椭圆的离心率的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，直线330x +=经过椭圆的左焦点F ，令0y =，解得3x =所以3c =，即椭圆的左焦点为(3,0)F -，且223a b -= ①直线交y 轴于(0,1)C ，所以，3,1,2OF OC FC ===，因为2FC CA =u u u r u u u r，所以3FA =，所以33,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，又由点A 在椭圆上，得22394a b+= ② 由①②，可得2242490a a -+=，解得2336a +=， 所以()222242331336c e a ===-=-+，所以椭圆的离心率为31e =-. 故选A. 【点睛】本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解，其中求椭圆的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程，即可得e 的值(范围)．二、填空题13．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则6=S _______. 【答案】6【解析】试题分析：因为{}n a 是等差数列，所以35420a a a +==，即40a =，又4136a a d -==-，所以2d =-，所以616156615(2)6S a d =+=⨯+⨯-=．故答案为6． 【考点】等差数列的基本性质 【名师点睛】在等差数列五个基本量，，，，中，已知其中三个量，可以根据已知条件，结合等差数列的通项公式、前项和公式列出关于基本量的方程(组)来求余下的两个量，计算时须注意整体代换思想及方程思想的应用.14．已知下列命题：①命题“∃x 0∈R ，20013x x +>”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1＜3x ”；②已知p ，q 为两个命题，若“p ∨q ”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝”为真命题； ③“a ＞2”是“a ＞5”的充分不必要条件；④“若xy ＝0，则x ＝0且y ＝0”的逆否命题为真命题． 其中所有真命题的序号是________． 【答案】②【解析】命题“∃x ∈R ，x 2＋1＞3x”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1≤3x”，故①错误；“p ∨q”为假命题说明p 假q 假，则(⌝p)∧(⌝q)为真命题，故②正确；a ＞5⇒a ＞2，但a ＞2⇒/ a ＞5，故“a ＞2”是“a ＞5”的必要不充分条件，故③错误；因为“若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0”，所以原命题为假命题，故其逆否命题也为假命题，故④错误． 15．将函数()sin cos (,R,0)f x a x b x a b a =+∈≠的图象向左平移6π个单位长度，得到一个偶函数图象，则ba=________． 【答案】3【解析】根据平移后关于y 轴对称可知()f x 关于6x π=对称，进而利用特殊值()03f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭构造方程，从而求得结果. 【详解】()f x Q 向左平移6π个单位长度后得到偶函数图象，即关于y 轴对称()f x ∴关于6x π=对称 ()03f f π⎛⎫∴=⎪⎝⎭即：31sincos3322a b a b b ππ+=+= 3b a ∴=本题正确结果：3 【点睛】本题考查根据三角函数的对称轴求解参数值的问题，关键是能够通过平移后的对称轴得到原函数的对称轴，进而利用特殊值的方式来进行求解.16．如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在x 轴上，且a c -=, 那么椭圆的方程是 ．【答案】【解析】【详解】由题意可设椭圆方程为：∵短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在轴上 ∴tan 360bc︒== 又，∴，∴椭圆的方程为221129x y +=，故答案为221129x y +=．【考点】椭圆的标准方程，解三角形以及解方程组的相关知识．三、解答题17．在ABC ∆3sin cos a C c A =． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若3ABC S ∆，223b c +=+a 的值． 【答案】(1) 6A π=;(2) 2a =.【解析】试题分析：（13sin sin sin cos A C C A ⋅=⋅．消去公因式得到所以 3tan A =进而得到角A ；（2）结合三角形的面积公式，和余弦定理得到223b c +=+式得到2a =． 解析：（I 3sin cos a C c A =，所以cos 0A ≠， 由正弦定理sin sin sin a b cA B C==， 3sin sin sin cos A C C A ⋅=⋅．又因为 ()0,C π∈，sin 0C ≠，所以 3tan 3A =． 又因为 ()0,A π∈， 所以 6A π=．（II ）由11sin 324ABC S bc A bc ∆===，得43bc =， 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 得2222cos6a b c bc π=+-，即()()222238312a b c bc bc b c =+--=+--， 因为223b c +=+， 解得 24a =. 因为 0a >， 所以 2a =.18．在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，CF ⊥平面ABCD ，CF DE P ，22AB CF DE ===，G 为BF 的中点.（1）求证：CG AF ⊥；（2）求平面BCF 与平面AEF 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）306【解析】（1）首先证明CG AB ⊥，CG BF ⊥，AB BF B =I ，∴CG ⊥平面ABF .即可得到AF ⊂平面ABF ，CG AF ⊥.（2）以D 为坐标原点，DA ，DC ，DE 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面AEF 和平面BCF 的法向量，带入公式求解即可.【详解】（1）∵CF ⊥平面ABCD ，AB Ì平面ABCD ，∴CF AB ⊥. 又∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ∵BC CF C =I ，∴AB ⊥平面BCF . ∵CG ⊂平面BCF ，∴CG AB ⊥.又∵2BC CF ==，G 为BF 的中点，∴CG BF ⊥. ∵AB BF B =I ，∴CG ⊥平面ABF . ∵AF ⊂平面ABF ，∴CG AF ⊥.（2）∵CF ⊥平面ABCD ，CF DE P ，∴DE ⊥平面ABCD .以D 为坐标原点，DA ，DC ，DE 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.如图所示：则()0,0,0D ，()2,0,0A ，()0,2,0C ，()0,0,1E ()0,2,2F .∴()2,0,1AE =-u u u r ，()0,2,1EF =u u u r ，()0,2,0DC =u u u r. 设(),,n x y z =r为平面AEF 的法向量， 则·0·0n AE n EF ⎧=⎨=⎩u u u v v u u u v v ，得2020x z y z -+=⎧⎨+=⎩，令1x =，则()1,1,2n =-r.由题意知()0,2,0DC =u u u r为平面BCF 的一个法向量， ∴()6cos ,||||62n DC n DC n DC ===⨯r u u u rr u u u r g r u u u r∴平面BCF 与平面AEF 26301()66--=.【点睛】本题第一问考查线线垂直，先证线面垂直时解题关键，第二问考查二面角，建立空间直角坐标系是解题关键，属于中档题.19．在四棱锥P ABCD —的底面是菱形， PO ⊥底面ABCD ，O ，E 分别是,AD AB 的中点， 6,5,60AB AP BAD ==∠=︒.（Ⅰ）求证： AC PE ⊥；（Ⅱ）求直线PB 与平面POE 所成角的正弦值；（III ）在DC 边上是否存在点F ，使BF 与PA 33，若存在，确定点F 的位置；若不存在，说明理由. 【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）312986； （Ⅲ）见解析. 【解析】(Ⅰ)由题意结合几何关系可证得AC ⊥平面POE ，据此证明题中的结论即可； (Ⅱ)建立空间直角坐标系，求得直线PB 的方向向量与平面POE 的一个法向量，然后求解线面角的正弦值即可；(Ⅲ)假设满足题意的点F 存在，设(01)DF DC λλ=<<u u u v u u u v，由直线BF 与PA 的方向向量得到关于λ的方程，解方程即可确定点F 的位置. 【详解】(Ⅰ)由菱形的性质可得：AC BD ⊥，结合三角形中位线的性质可知：OE BD P ，故OE AC ⊥，PO ⊥底面ABCD ，AC ⊆底面ABCD ，故AC OP ⊥，且OP OE O ⋂=，故AC ⊥平面POE ，PE ⊆平面POE ，AC PE ∴⊥(Ⅱ)由题意结合菱形的性质易知OP OA ⊥，OP OB ⊥，OA OB ⊥， 以点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则：()()()330,0,4,0,33,0,00,0,0,3,022P B E ⎛⎫⎪⎝⎭，设平面POE 的一个法向量为(),,m x y z =r,则：40333022m OP z m OB x ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩u u uv r u u u v r ， 据此可得平面POE 的一个法向量为)3,1,0m =-r，而()0,33,4PB =-u u u v，设直线PB 与平面POE 所成角为θ，则333sin 12986213PB m PB m θ⋅===⨯⨯u u u v r u u uv r (Ⅲ)由题意可得：()()()3,0,0,6,33,0,3,0,0D C A --，假设满足题意的点F 存在，设(),,F x y z ，(01)DF DC λλ=<<u u u v u u u v，据此可得：()()3,,3,33,0x y z λ+=-，即：33330x y z λλ=--⎧⎪=⎨⎪=⎩,从而点F 的坐标为()33,33,0F λλ--，据此可得：()33,3333,0BF λλ=---u u u v ,()3,0,4PA =-u u u v ， 结合题意有：()()223310591271BF PA BF PA λλ⋅==⨯⨯++-u u u v u u u v u u u v u u u v ，解得：12λ=. 故点F 为CD 中点时满足题意. 【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质定理，线面角的向量求法，立体几何中的探索性问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 20．已知双曲线22:1C x y -=及直线:1l y kx =+. （1）若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；（2）若l 与C 交于A ，B 两点，O是原点，且OAB S =V k 的值. 【答案】（1）(1)( 1.1)-⋃-⋃；（2）0k =或2k =±. 【解析】（1）联立直线方程与双曲线方程，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，根据根的判别式，即可求出结论；（2）设()11,,A x y ()22,B x y ，由（1）可得12,x x 关系，再由直线l 过点(0,1)，可得1212OAB S x x =-=V ，进而建立关于k 的方程，求解即可. 【详解】（1）双曲线C 与直线l 有两个不同的交点， 则方程组2211y kx x y =+⎧⎨-=⎩有两个不同的实数根， 整理得()221220kxkx ---=，()222104810k k k ⎧-≠⎪∴⎨∆=+->⎪⎩，解得k <<且1k ≠±.双曲线C 与直线l 有两个不同交点时， k的取值范围是(1)( 1.1)-⋃-⋃.（2）设交点()11,,A x y ()22,B x y ，直线l 与y 轴交于点(0,1)D ，1221222121k x x k x x k -⎧+=⎪⎪-∴⎨-⎪⋅=⎪-⎩，1212OAB S x x =-=V Q ()2212x x ∴-=，即22228811k k k-⎛⎫+= ⎪--⎝⎭， 整理得42230k k -=，解得0k =或232k =0k ∴=或2k =±.又k <<Q 0k ∴=或k =时，AOB V. 【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系、三角形面积计算，要熟练掌握根与系数关系解决相交弦问题，考查计算求解能力，属于中档题. 21．已知函数()(0)x axf x a e=≠. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当1a =时，如果方程()f x t =有两个不等实根1,x 2x ，求实数t 的取值范围，并证明122x x +>.【答案】（1）当0a >时，()f x 的单调递增区间是(,1)-∞，单调递减区间是(1,)+∞；当0a <时，()f x 的单调递增区间是(1,)+∞，单调递减区间是(,1)-∞；（2）10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，证明见解析.【解析】（1）求出()f x '，对a 分类讨论，分别求出()0,()0f x f x ''><的解，即可得出结论；（2）由（1）得出()f x t =有两解时t 的范围，以及12,,t x x 关系，将122x x +>，等价转化为证明()()121212121x x x x x x e e ---+>-，不妨设12x x >，令12m x x =-，则0,m >1m e >，即证(2)20mm e m -++>，构造函数()(2)2(0)xg x x e x x =-++>，只要证明对于任意0,()0x g x >>恒成立即可. 【详解】（1）()f x 的定义域为R ，且(1)()xa x f x e -'=. 由10x x e ->，得1x <；由10x xe-<，得1x >. 故当0a >时，函数()f x 的单调递增区间是(,1)-∞， 单调递减区间是(1,)+∞；当0a <时，函数()f x 的单调递增区间是(1,)+∞， 单调递减区间是(,1)-∞.（2）由（1）知当1a =时，()x xf x e =，且max1()(1)f x f e==. 当0x <时，()0f x <；当0x >时，()0f x >.∴当10t e<<时，直线y t =与()y f x =的图像有两个交点， ∴实数t 的取值范围是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. Q 方程()f x t =有两个不等实根1,x 2x ，11x x t e ∴=，22x x t e=，11x x te ∴=，22x x te =， ()1212x x x x t e e ∴-=-，即122x x x t e e -=-.要证122x x +>，只需证()122x xt e e +>，即证()()1212122x x x x x x e e e e-+>-，不妨设12x x >.令12m x x =-，则0,m >1m e >， 则要证()121m m m e e +>-，即证(2)20mm e m -++>.令()(2)2(0)x g x x e x x =-++>，则()(1)1xg x x e '=-+. 令()(1)1xh x x e =-+，则()0xh x xe '=>，()(1)1x h x x e ∴=-+在(0,)+∞上单调递增，()(0)0h x h ∴>=.()0g x '∴>，()g x ∴在(0,)+∞上单调递增， ()(0)0g x g ∴>=，即(2)20x x e x -++>成立，即(2)20mm e m -++>成立.122x x ∴+>.【点睛】本题考查函数与导数的综合应用，涉及到函数单调性、极值、零点、不等式证明，构造函数函数是解题的关键，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.22．在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为cos 1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数）.以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）直线1cos :sin x t l y t θθ=+⎧⎨=⎩（t 为参数）与曲线C 交于A ，B 两点，求||AB 最大时，直线l 的直角坐标方程.【答案】（1）2sin 0ρθ-=；（2）10x y +-=.【解析】（1）利用22cos cos 1θθ+=消去参数θ，得到曲线C 的普通方程，再将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入普通方程，即可求出结论；（2）由（1）得曲线C 表示圆，直线曲线C 交于A ，B 两点，||AB 最大值为圆的直径，直线l 过圆心，即可求出直线l 的方程. 【详解】（1）由曲线C 的参数方程cos 1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数），可得曲线C 的普通方程为22(1)1y x +-=， 因为cos ,x ρθ=sin y ρθ=，所以曲线C 的极坐标方程为22(cos )(sin 1)1ρθρθ+-=， 即2sin 0ρθ-=.（2）因为直线1cos :sin x t l y t θθ=+⎧⎨=⎩（t 为参数）表示的是过点(1,0)的直线， 曲线C 的普通方程为22(1)1y x +-=， 所以当||AB 最大时，直线l 经过圆心(0,1).∴直线l 的斜率为1-，方程为1y x =-+，所以直线l 的直角坐标方程为10x y +-=. 【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化、直角坐标方程与极坐标方程互化、直线与曲线的位置关系，考查化归和转化思想，属于中档题.23．已知函数()|2|f x x a a =-+.（1）当a=2时，求不等式()6f x ≤的解集；（2）设函数()|21|g x x =-.当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围. 【答案】（1）{|13}x x -≤≤；（2）[2,)+∞． 【解析】试题分析：（1）当2a =时⇒()|22|2f x x =-+⇒|22|26x -+≤⇒13x -≤≤；（2）由()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a ≥-+-+|1|a a =-+⇒()()3f x g x +≥等价于|1|3a a -+≥，解之得2a ≥.试题解析： （1）当2a =时，()|22|2f x x =-+. 解不等式|22|26x -+≤，得13x -≤≤. 因此，()6f x ≤的解集为.（2）当x ∈R 时，()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a ≥-+-+|1|a a =-+，当12x =时等号成立， 所以当x ∈R 时，()()3f x g x +≥等价于|1|3a a -+≥. ① 当1a ≤时，①等价于13a a -+≥，无解. 当1a >时，①等价于13a a -+≥，解得2a ≥. 所以a 的取值范围是[2,)+∞. 【考点】不等式选讲.。
专题35 空间中线线角、线面角,二面角的求法-
专题35 空间中线线角、线面角、二面角的求法【高考地位】立体几何是高考数学命题的一个重点，空间中线线角、线面角的考查更是重中之重. 其求解的策略主要有两种方法：其一是一般方法，即按照“作——证——解”的顺序进行；其一是空间向量法，即建立直角坐标系进行求解. 在高考中常常以解答题出现，其试题难度属中高档题.类型一 空间中线线角的求法方法一 平移法例1正四面体ABCD 中， E F ，分别为棱AD BC ，的中点，则异面直线EF 与CD 所成的角为 A.6π B. 4π C. 3π D. 2π 【变式演练1】【2021届全国著名重点中学新高考冲刺】如图，正方体1111ABCD A B C D -，的棱长为6，点F 是棱1AA 的中点，AC 与BD 的交点为O ，点M 在棱BC 上，且2BM MC =，动点T （不同于点M ）在四边形ABCD 内部及其边界上运动，且TM OF ⊥，则直线1B F 与TM 所成角的余弦值为（ ）A B C D ．79【变式演练2】【江苏省南通市2020-2021学年高三上学期9月月考模拟测试】当动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的棱DC 上运动时，异面直线1D P 与1BC 所成角的取值范围（ ）A ．,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【变式演练3】【甘肃省白银市靖远县2020届高三高考数学（文科）第四次联考】在四面体ABCD 中，2BD AC ==，AB BC CD DA ====E ，F 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线EF 与AC 所成的角为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2【变式演练4】【2020年浙江省名校高考押题预测卷】如图，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，4AB BC ==，90ABC ∠=︒，侧棱SB 与平面ABC 所成的角为45︒，M 为AC 的中点，N 是侧棱SC上一动点，当BMN △的面积最小时，异面直线SB 与MN 所成角的余弦值为（ ）A ．16B ．3C D ．6方法二 空间向量法例2、【重庆市第三十七中学校2020-2021学年高三上学期10月月考】在长方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为棱1AA ，11C D ，1DD 的中点，12AB AA AD ==，则异面直线EF 与BG 所成角的大小为（ ） A ．30B ．60︒C ．90︒D ．120︒例3、【四川省泸县第四中学2020-2021学年高三上学期第一次月考】在长方体1111ABCD A B C D -中，2BC =，14AB BB ==，E ，F 分别是11A D ，CD 的中点，则异面直线1A F 与1B E 所成角的余弦值为（ ）A ．34B ．34-C D ．6【变式演练5】【2021届全国著名重点中学新高考冲刺】《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图），其中四边形ABCD 为矩形，//EF AB ，若3AB EF =，ADE 和BCF △都是正三角形，且2AD EF =，则异面直线AE 与CF 所成角的大小为（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【变式演练6】【云南省云天化中学、下关一中2021届高三复习备考联合质量检测卷】如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为线段AB 的中点，点F 在线段AD 上移动，异面直线1B C 与EF 所成角最小时，其余弦值为（ ）A ．0B ．12C D ．1116类型二 空间中线面角的求法方法一 垂线法第一步 首先根据题意找出直线上的点到平面的射影点；第二步 然后连接其射影点与直线和平面的交点即可得出线面角； 第三步 得出结论.例3如图，四边形ABCD是矩形，1,AB AD ==E 是AD 的中点，BE 与AC 交于点F ，GF ⊥平面ABCD .（Ⅰ）求证：AF ⊥面BEG ；（Ⅰ）若AF FG =，求直线EG 与平面ABG 所成角的正弦值.【变式演练7】已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等,1A 在底面ABC 内的射影为ABC 的中心,则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为（ ）A ．13 B． C．3 D ．23【变式演练8】【北京市朝阳区2020届高三年级下学期二模】如图，在五面体ABCDEF 中，面ABCD 是正方形，AD DE ⊥，4=AD ，2DE EF ==，且π3EDC ∠=．（1）求证：AD ⊥平面CDEF ；（2）求直线BD 与平面ADE 所成角的正弦值；GFEDCBA（3）设M 是CF 的中点，棱AB 上是否存在点G ，使得//MG 平面ADE ？若存在，求线段AG 的长；若不存在，说明理由．方法二 空间向量法第一步 首先建立适当的直角坐标系并写出相应点的空间直角坐标； 第二步 然后求出所求异面直线的空间直角坐标以及平面的法向量坐标；第三步 再利用a bsin a bθ→→→→⋅=即可得出结论.例4 【内蒙古赤峰市2020届高三（5月份）高考数学（理科）模拟】在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，//BC AD ，222AD BC CD ===，O 是AD 的中点，PO ⊥平面ABCD ，过AB 的平面交棱PC 于点E （异于点C ，P 两点），交PO 于F .（1）求证：//EF 平面ABCD ；（2）若F 是PO 中点，且平面EFD 与平面ABCD 求PC 与底面ABCD 所成角的正切值.【变式演练9】【2020年浙江省名校高考仿真训练】已知三棱台111ABC A B C -的下底面ABC 是边长为2的正三角形，上地面111A B C △是边长为1的正三角形.1A 在下底面的射影为ABC 的重心，且11A B A C ⊥.（1）证明：1A B ⊥平面11ACC A ；（2）求直线1CB 与平面11ACC A 所成角的正弦值.类型三 空间二面角的求解例4【江西省部分省级示范性重点中学教科研协作体2021届高三统一联合考试】三棱锥S ABC -中，2SA BC ==，SC AB ==，SB AC ==记BC 中点为M ，SA 中点为N（1）求异面直线AM 与CN 的距离； （2）求二面角A SM C --的余弦值.【变式演练10】【2021年届国著名重点中学新高考冲刺】如图，四边形MABC 中，ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，MAC △是边长为2的正三角形，以AC 为折痕，将MAC △向上折叠到DAC △的位置，使D 点在平面ABC 内的射影在AB 上，再将MAC △向下折叠到EAC 的位置，使平面EAC ⊥平面ABC ，形成几何体DABCE .（1）点F 在BC 上，若//DF 平面EAC ，求点F 的位置； （2）求二面角D BC E --的余弦值. 【高考再现】1．【2020年高考山东卷4】日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为O ），地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面．在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40︒，则晷针与点A 处的水平面所成角为 （ ）A ．20︒B ．40︒C ．50︒D ．90︒2. 【2017课标II ，理10】已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（ ）A B C D 3．【2020年高考全国Ⅰ卷理数16】如图，在三棱锥P ABC -的平面展开图中，1,3,,,30AC AB AD AB AC AB AD CAE ===⊥⊥∠=︒，则cos FCB ∠=_____________．4.【2020年高考全国Ⅱ卷理数20】如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，,M N 分别为11,BC B C 的中点，P 为AM 上一点．过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．（1）证明：1AA //MN ，且平面1A AMN ⊥平面11EB C F ；（2）设O 为Ⅰ111C B A 的中心，若F C EB AO 11平面∥，且AB AO =，求直线E B 1与平面AMN A 1所成角的正弦值．5.【2020年高考江苏卷24】在三棱锥A —BCD 中，已知CB =CD BD =2，O 为BD 的中点，AO Ⅰ平面BCD ，AO =2，E 为AC 的中点．（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；（2）若点F在BC上，满足BF=14BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．6．【2020年高考浙江卷19】如图，三棱台DEF—ABC中，面ADFC⊥面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC =2BC．（I）证明：EF⊥DB；（II）求DF与面DBC所成角的正弦值．7．【2020年高考山东卷20】如图，四棱锥P ABCD-的底面为正方形，PD⊥底面ABCD，设平面PAD与平面PBC的交线为l．（1）证明：l⊥平面PDC；（2）已知1PD AD==，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．【反馈练习】1．【江西省乐平市第一中学2021届高三上学期联考理科】已知正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是线段BC ，1BB 的中点，则异面直线DE 与1D F 所成角的余弦值为（ ）A B C ．35 D ．452．【湖南省永州市宁远、道县、东安、江华、蓝山、新田2020届高三下学期六月联考】某四棱锥的三视图如图所示，点E 在棱BC 上，且2BE EC =，则异面直线PB 与DE 所成的角的余弦值为（ ）A ．BCD ．153．【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟】如图，在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是平面11A BC 内一个动点，且满足12DP PB +=1B P 与直线1AD 所成角的余弦值的取值范围为（ ）A ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12⎡⎢⎣⎦D ．1,22⎡⎢⎣⎦4．【广西玉林市2021届高三11月教学质量监测理科】如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱AD ，CC 1的中点，则异面直线A 1E 与BF 所成角的大小为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 5．【山东省泰安市2020届高三第四轮模拟复习质量】如图，在三棱锥A —BCD 中，AB =AC =BD =CD =3，AD =BC =2，点M ，N 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是（ ）A ．58B ．8C ．78D ．86．【福建省厦门市2020届高三毕业班（6月）第二次质量检查（文科）】如图，圆柱1OO 中，12OO =，1OA =，1OA O B ⊥，则AB 与下底面所成角的正切值为( )A ．2BC ．2D ．127．【内蒙古赤峰市2020届高三（5月份）高考数学（理科）】若正方体1AC 的棱长为1，点P 是面11AA D D 的中心，点Q 是面1111D C B A 的对角线11B D 上一点，且//PQ 面11AA B B ，则异面直线PQ 与1CC 所成角的正弦值为__.8．【吉林省示范高中（四平一中、梅河口五中、白城一中等）2020届高三第五次模拟联考】如图，已知直三棱柱ADF BCE -，AD DF ⊥，2AD DF CD ===，M 为AB 上一点，四棱锥F AMCD -的体积与该直三棱柱的体积之比为512，则异面直线AF 与CM 所成角的余弦值为________.9．【湖北省华中师大附中2020届高三下学期高考预测联考文科】如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上一点，PA ⊥平面ABC ，E 、F 分别是PC 、PB 边上的中点，点M 是线段AB 上任意一点，若2AP AC BC ===.（1）求异面直线AE 与BC 所成的角：（2）若三棱锥M AEF -的体积等于19，求AM BM10．【广东省湛江市2021届高三上学期高中毕业班调研测试】如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为2的等边三角形，侧面11BCC B 为菱形，且平面11BCC B ⊥平面ABC ，160CBB ∠=︒，D 为棱1AA 的中点．（1）证明：1BC ⊥平面1DCB ；（2）求二面角11B DC C --的余弦值．11．【河南省焦作市2020—2021学年高三年级第一次模拟考试数学（理）】如图，四边形ABCD 为菱形，120ABC ∠=︒，四边形BDFE 为矩形，平面BDFE ⊥平面ABCD ，点P 在AD 上，EP BC ⊥.（1）证明：AD ⊥平面BEP ；（2）若EP 与平面ABCD 所成角为60°，求二面角C PE B --的余弦值.12．【广西南宁三中2020届高三数学（理科）考试】如图1，在直角ABC 中，90ABC ∠=︒，AC =AB =D ，E 分别为AC ，BD 的中点，连结AE 并延长交BC 于点F ，将ABD △沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，如图2所示.（1）求证：AE CD ⊥；（2）求平面AEF 与平面ADC 所成锐二面角的余弦值.13．【广西柳州市2020届高三第二次模拟考试理科】已知三棱锥P ABC -的展开图如图二，其中四边形ABCD ABE △和BCF △均为正三角形，在三棱锥P ABC -中：（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）若M 是PA 的中点，求二面角P BC M --的余弦值．14．【浙江省“山水联盟”2020届高三下学期高考模拟】四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，侧面PBC 为正三角形，平面PBC ⊥平面ABCD ，3ABC π∠=，点M 为AD 中点.；（1）求证：CM PB（2）若点N是线段PA上的中点，求直线MN与平面PCM所成角的正弦值.。
2020年3月吉林省梅河口市第五中学2020届高三高考模拟考试数学(文)试题及答案
绝密★启用前吉林省梅河口市第五中学2020届高三毕业班下学期3月高考模拟考试数学(文)试题1、已知集合A ={1,2,3},B ={x(x +1)(x -2 )≤0}，则A⋂B 等于( )A. {1}B. {1, 2}C. {0,1, 2, 3}D. {-1,0,1,2,3}2、已知复数z 在复平面内对应点是(1, -2),i 为虚数单位,则z + 2 =( )z -1A. -1 -iB. 1+i3C. 1-i2D. 1+3 i23、命题"∀x∈ R, x3 -x2 +1≤ 0 "的否定是( )4、已知向量a =(4,-1),b =(-5,2),且(a +b) / /(ma -b),则实数m =（）A. 1B. -1C. 75D. -755、已知a = 21.2 ,b =⎛1 ⎫⎝⎭-0.8,c =2log52,则a,b,c 的大小关系为()2⎪A. c < b < aB. c < a < bC. b < a < cD. b < c < a6、数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题:松长四尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等.如图,是源于其思想的一个程序框图.若输入的 a , b 分别为 8, 2 , 则输出的 n = ()A.2B.3C.4D.57、在△ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,若 A = 30︒, b 2 = 2ac ,则 b sin B = c （ ） A. 1 B. 2 C. 1 2D.28、在区间[- π , π ] 上随机取一个数 x ,则sin 2x 的值介于 0 到 之间的概率为 4 4 2（） A. 3 4D. 1 3 B. 2 3 C. 1 29、已知直线 y = kx (k ≠ 0) 与双曲线 x 2 y 2 -= 1(a > 0, b > 0) 交于 A , B 两点,以 AB 为直。
【精品卷】2020年吉林省通化市梅河口五中高三数学五模试题(有答案解析)
2020年吉林省通化市梅河口五中高三数学五模试题一、单选题1．在复平面内，复数()2221i z i -=+对应的点（ ） A ．在第二象限B ．在虚轴上C ．在直线0x y +=上D ．在直线0x y -=上2．下列结论错误的是 （ ）A ．若“p 且q”与“p 或q”均为假命题，则p 真q 假 B ．命题“存在”的否定是“对任意的” C ．“x =1”是“”的充分不必要条件 D ．若“”的逆命题为真3．下图是一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图，其俯视图是面积为.则该几何体的表面积是（ ）A ．20+B ．24+C ．8D ．164．已知函数()f x 是(),-∞+∞上的偶函数，若对于0x ≥，都有()()2f x f x +=，且当[)0,2x ∈时，()()2log 1f x x =+，则()()20082009f f -+的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2 5．小王于2015年底贷款购置了一套房子，根据家庭收入情况，小王选择了10年期每月还款数额相同的还贷方式，且截止2019年底，他没有再购买第二套房子.下图是2016年和2019年小王的家庭收入用于各项支出的比例分配图，根据以上信息，判断下列结论中正确的是（ ）A ．小王一家2019年用于饮食的支出费用跟2016年相同B ．小王一家2019年用于其他方面的支出费用是2016年的3倍C ．小王一家2019年的家庭收入比2016年增加了1倍D ．小王一家2019年用于房贷的支出费用比2016年减少了6．若1cos 36πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，且263ππα<<，则7sin 12πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．12-B ．12C ．12D ．127．在矩形ABCD 中， 2AB =, 3AD =，点F 为CD 的中点，点E 在BC 边上，若4AF DE ⋅=-，则AE BF ⋅的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．38．割圆术是估算圆周率的科学方法，由三国时期数学家刘徽创立，他用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积，从而得出圆周率为3.1416，在半径为1的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形的概率为（ ）A ．1πB ．3πCD ．2π9．已知函数f(x)=x 3+px 2+qx 与x 轴切于x 00(0)x ≠点,且极小值为-4,则p+q=（ ）A ．12B ．13C ．15D ．16 10．已知集合{}2012,{|540}A B x x x ==-+<，，，则()R A C B （ ） A ．{0,1,2} B ．{1,2} C ．{0} D ．{0,1}11． 大衍数列,来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,如图一,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理。
2020届吉林省示范高中(四平一中、梅河口五中、白城一中等)2017级高三第四次模拟考试文科数学试卷参考答案
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2020届吉林省梅河口市第五中学高三下学期高考模拟考试数学(文)试题(解析版)
绝密★启用前吉林省梅河口市第五中学2020届高三毕业班下学期高考模拟考试数学(文)试题(解析版)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,A =2，3}，()(){|120}B x x x =+-≤，则A B ⋂等于( )A. {}1B. {}1,2C. {0,1，2，3}D. {1,-0，1，2，3}【答案】B【解析】【分析】分别求出集合A,B,由此能求出A B ⋂． 【详解】集合A {1,=2,3},()()B {x |x 1x 20}{x |1x 2}=+-≤=-≤≤, {}A B 1,2∴⋂=．故选B ．【点睛】本题考查交集的求法,考查交集定义、不等式性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题2.已知复数z 在复平面内对应点是()1,2-,i 为虚数单位,则21z z +=-（ ） A. 1i --B. 1i +C. 312i - D. 312i + 【答案】D【解析】21z z +=-323122i i i -=+- ,选D.3.命题“R,x ∀∈3210x x -+≤”的否定是( )A. 不存在0R,x ∈320010x x -+≤B. 0R,x ∃∈320010x x -+≥C. 0R,x ∃∈320010x x -+>D. R,x ∀∈3210x x -+>【答案】C【解析】【分析】全称命题的否定为∀→∃,对结论进行否定,即可得到结果.【详解】由全称命题的否定是特称命题,可得命题32R,10x x x ∀∈-+≤的否定是“32000R,10x x x ∃∈-+>”,故选:C【点睛】本题考查全称命题的否定,属于基础题.4.已知向量()()4,1,5,2a b =-=-且()()//a b ma b +-,则m =A. 1B. 1-C. 75D. 75- 【答案】B【解析】【分析】根据题意,求得()()1,1,45,2a b ma b m m +=--=+--,根据()()a b ma b +-//,列出关于m 的方程,即可求解．【详解】由题意,向量()()4,1,5,2a b =-=-,则()()1,1,45,2a b ma b m m +=--=+--因为()()a b ma b +-//,所以(1)(2)1(45)m m -⨯--=⨯+,解得1m =-,故选B ．【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示,以及向量的共线条件的应用,其中熟记向量的坐标表示,合理根据共线条件列出方程求解是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题．。
梅河口市第五中学2020届高三数学第五次模拟考试试题文含解析
15。已知函数 ，则使不等式 成立的x的取值范围为___________________。
【答案】
【解析】
【分析】
对自变 进行分类讨论,解两个不等式，再取并集，即可得答案;
【详解】 ，由 得,
当 时,由 ，得 ；
当 时， ,此时无解。
综上所述，不等式 的解集为 。
故答案为： .
【点睛】本题考查利用分类讨论解不等式,考运算求解能力，求解时注意交集与并集的运用.
所以
故选：B
【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系的应用,两角和的正弦公式及二倍角公式的应用，属于基础题.
7。为了求得椭圆 的面积，把该椭圆放入一个矩形当中，恰好与矩形相切，向矩形内随机投入 共n个不同的点，其中在椭圆内的点恰好有 个。若矩形的面积是2,则可以估计椭圆的面积为( ）
A。 B. C. D。
故选：B。
【点睛】本题考查统计图之饼图的读取与理解，并对所反应的数据进行分析和判断,属于基础题。
4。已知向量 ， ， ，若 ,则实数 （ ）
梅河口市第五中学2020届高三数学第五次模拟考试试题理含解析
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题目的三视图作出几何体的直观图,然后计算即可求解。
【详解】由三视图知，该几何体是圆柱与圆锥的组合体，如图所示；
则该组合体的体积为V=V柱+V锥=π 32 6 π 32 3=63π。
故选：C
【点睛】本题考查几何体的三视图,属于简单题.
【答案】 。
【解析】
【分析】
利用余弦定理可得c，再利用三角形面积计算公式即可得出．
【详解】因为 ， ， ，又 ，
所以 ，化为 ，解得 ，
所以 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了余弦定理、三角形面积计算公式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力与计算能力，属于基础题.
15. 若 ，则 _____。
11. 在矩形ABCD中， , ，沿矩形对角线BD将 折起形成四面体ABCD，在这个过程中，现在下面四个结论:①在四面体ABCD中，当 时， ；②四面体ABCD的体积的最大值为 ;③在四面体ABCD中，BC与平面ABD所成角可能为 ；④四面体ABCD的外接球的体积为定值。其中所有正确结论的编号为( )
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合 ， ，则 ( ）
A。（﹣∞,2）B.（﹣1，0]C.（﹣1,2）D.(﹣1,0）
【答案】B
【解析】
【分析】
分别根据对数与二次不等式的运算求解集合 ，进而求得 即可。
【点睛】本题主要考查了指数、对数值的大小比较,熟练掌握指数函数和对数函数的单调性是解题的关键，属于基础题.
2020年吉林省示范高中(四平一中、梅河口五中、白城一中等)高考数学四模试卷(文科)
2020年吉林省示范高中（四平一中、梅河口五中、白城一中等）高考数学四模试卷（文科）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|2x >6−x}，B ={0,2，4，6}，则A ∩B =( )A. {0}B. {0,2}C. {2,4}D. {4,6}2. 若z 1=2−3i ，z 2=3+2i ，则( )A. z 1+z 2的实部为1B. z 2=iz 1C. z 1+z 2的虚部为1D. z 2=−iz 13. 若双曲线C ：x 23−y 2m=1的离心率为√3，则C 的虚轴长为( )A. 4B. 2√6C. 2√3D. 24. 已知函数f(x)=log 6x ，则2−2f(2)=( )A. f(4)B. f(6)C. f(9)D. f(12)5. 若通过10组数据(x i ,y i )(i =1,2，…，10)得到y 关于x 的线性回归方程为 y ⏜=3x +a ̂，且∑x i 10i=1=10，∑y i 10i=1=90，则a ̂=( )A. 4B. 5C. 6D. 76. 北京公交101路是北京最早的无轨电车之一，最早可追溯至1957年．游客甲与乙同时从红庙路口西站上了开往百万庄西口站方向的101路公交车，甲将在朝阳门外站之前的任意一站下车，乙将在神路街站之前的任意一站下车，他们都至少坐一站再下车，则甲比乙后下车的概率为( )A. 720B. 25C. 920D. 127. 已知二次函数f(x)=ax 2+bx 在[1,+∞)上单调递减，则a ，b 应满足的约束条件为( )A. {a ≠02a +b ≥0B. {a <02a +b ≥0C. {a ≠02a +b ≤0D. {a <02a +b ≤08. 设函数f(x)=cos(ωx −π3)(ω>0)在[0,π2]上的值域为[12,1]，则ω的取值范围为( )A. [23,43]B. (0,23]C. [23,1]D. [1,43]9. 执行如图所示的程序框图，则输出的a =( )A. −12B. 23C. 3D. −310. a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边．已知bsinA =(√3b −c)sinB ，则b 2ac的最小值为( )A. 54B. 74C. 43D. 5311. 已知椭圆C 的焦点为F 1(−c,0)，F 2(c,0)，其中c >0，C 的长轴长为2a ，过F 1的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 1|=3|F 1B|，4|BF 2|=5|AB|，则|AF 2|=( )A. 54aB. 43aC. 23aD. a12. 已知QA ⊥平面ABC ，PC ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，PC =1，AB =AQ =3，BC =4，现有下述四个结论：①四边形ACPQ 为直角梯形；②四面体PABC 的外接球的表面积为25π； ③平面PBC ⊥平面QAB ；④四面体PABC 与四面体QABC 的公共部分的体积为32． 其中所有正确结论的编号是( )A. ①③B. ①③④C. ②④D. ①②③④二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13. 设向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,x)，若A ，B ，C 三点共线，则x =______． 14. 若tanα+tanβ=−tan(α+β)=3，则tanαtanβ=______．15. 《九章算术》中有这样一个问题：“今有方锥，下方二丈七尺，高二丈九尺．问积几何？”其意思是：今有一个正四棱锥，其下底边长为2丈7尺(1丈=10尺)，高为2丈9尺，则其体积为______立方尺． 三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16. 已知函数f(x)=x(ae x −e −x )为偶函数，函数g(x)=f(x)+xe −x ，则a = (1) ；若g(x)>mx −e 对x ∈(0,+∞)恒成立，则m 的取值范围为 (2) ． 四、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 世界各国越来越关注环境保护问题，某检测点连续100天监视空气质量指数(AQI)，将这100天的AQI 数据分为五组，各组对应的区间为[0,50)，[50,100)，[100,150)，[150,200)，[200,250]，并绘制出如图所示的不完整的频率分布直方图．(1)请将频率分布直方图补充完整；(2)已知空气质量指数AQI在[0,50)内的空气质量等级为优，在[50,100)内的空气质量等级为良，分别求这100天中空气质量等级为优与空气质量等级为良的天数；(3)若这100天中，AQI在[0,100)的天数与AQI在[m,250]的天数相等，估计m的值．18.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为d，且(S6−S3)2=S9．(1)若d=−1，求{a n}的通项公式；(2)若a5<1，1<a6<2，求数列{d×2n−1}的前10项和T10的取值范围．19.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，D为AB的中点，E为棱BB1上一点，且AE⊥A1C.(1)证明：AE⊥平面A1CD．(2)若AB=2，AA1=3，求三棱锥E−A1BC1的体积．20.直线l过点P(0,b)且与抛物线y2=2px(p>0)交于A，B(A,B都在x轴同侧)两点，过A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D．(1)若b>0，|AC|+|BD|=p，证明：l的斜率为定值；(2)若Q(0,−b)，设△QAB的面积为S1，梯形ACDB的面积为S2，是否存在正整数λ，使3S1=λS2成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由，21.已知函数f(x)=ae x+cosx−3的图象在点(0,f(0))处的切线与直线x+y=0垂直．(1)判断f(x)的零点的个数，并说明理由；(2)证明：f(x)>lnx对x∈(0,+∞)恒成立．22.在极坐标系中，曲线C由圆M与圆N构成，圆M与圆N的极坐标方程为ρ=−2cosθ，ρ=6cosθ，直线l的极坐标方程为ρsinθ=k(ρcosθ+4)(k>0)．(1)求圆M与圆N的圆心距；(2)若直线l与曲线C恰有2个公共点，求k的取值范围．23.已知函数f(x)=||x|−1|+2|x|．(1)求不等式f(x)<8的解集；(2)若直线y=kx与曲线y=f(x)仅有1个公共点，求k的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵集合A={x|2x>6−x}={x|x>2}，B={0,2，4，6}，∴A∩B={4,6}．故选：D．求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】B【解析】解：∵z1=2−3i，z2=3+2i，∴z1+z2的实部为5，虚部为−1，故A，C错误；iz1=i(2−3i)=3+2i=z2，故B正确，D错误．故选：B．由已知分别求得z1+z2的实部与虚部判断A与C，再求出iz1判断B与D．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】B【解析】解：双曲线C：x23−y2m=1的离心率为√3，可得e=√1+b2a2=√1+m3=√3，解得m=6，故C的虚轴长为2√6．故选：B．通过双曲线的离心率求出m，然后求解双曲线的虚轴长即可．本题考查双曲线的性质，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】C【解析】解：∵函数f(x)=log6x，则2−2f(2)=2−2log62=2log66−2log62=2log63=log69=f(9)；故选：C．直接把变量的值代入求解即可．本题考查对数的运算，考查运算求解能力．5.【答案】C【解析】解：∵x −=110∑x i 10i=1=10=1，y −=110∑y i 10i=1=90=9，∴样本点的中心为(1,9)，代入y ̂=3x +a ，得9=3×1+a ̂， 即a ̂=6． 故选：C ．由已知数据求得样本点的中心坐标，代入线性回归方程即可求得a ^的值． 本题考查统计中的线性回归方程，考查数据处理能力，是基础题．6.【答案】D【解析】解：甲下车的站名可能为小庄路口东站、呼家楼西站，关东店站，东大桥路口西站、神路街站， 乙下车的站名可能为小庄路口东站、呼家楼西站、关东店站、东大桥路口西站． 所以甲、乙下车的所有情况共有20种，其中甲比乙后下车的情况共有10种． 故甲比乙后下车的概率为P =1020=12． 故选：D ．利用列举法求出甲、乙下车的所有情况共有20种，其中甲比乙后下车的情况共有10种．由此能求出甲比乙后下车的概率．本题考查概率的求法，考题考查古典概型、信息解读能力与应用意识等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.【答案】D【解析】解：由二次函数f(x)=ax 2+bx 在[1,+∞)上单调递减， ∴开口向下，即a <0， 对称轴−b2a ≤1，可得−b ≥2a ，即2a +b ≤0； 故选：D ．根据二次函数的图象，在[1,+∞)上单调递减，开口向下，对称轴−b2a ≤1，即可求解a ，b 应满足的约束条件． 本题考查二次函数的图象性质和单调性的应用，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：∵x∈[0,π2]，∴ωx−π3∈[−π3,π2ω−π3]，∴0≤π2ω−π3≤π3，解得：23≤ω≤43，故选：A．根据x的范围求出ωx−π3∈[−π3,π2ω−π3]，结合余弦函数的图象可得π2ω−π3的范围，进而得出结果．本题考查了三角函数的性质，最值问题，熟练掌握三角函数的性质是解题的关键，本题属于基础题．9.【答案】A【解析】解：模拟程序的运行，可得a=3，i=1；满足判断框内的条件，执行循环体，a=23，i=2；满足判断框内的条件，执行循环体，a=−12，i=3；满足判断框内的条件，执行循环体，a=3，i=4；满足判断框内的条件，执行循环体，a=23，i=5；满足判断框内的条件，执行循环体，a=−12，i=6；此时，不满足判断框内的条件，退出循环，输出a的值为−12．故选：A．由已知中的程序语句可知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．10.【答案】C【解析】解：由bsinA=(√3b−c)sinB及正弦定理可得，ab=√3b2−bc，所以√3b=a+c≥2√ac，当且仅当a=c时取等号，所以√3b≥2√ac，则b2ac ≥43，故选：C．由已知结合正弦定理及基本不等式即可求解．本题主要考查了正弦定理及基本不等式的应用，考查了推理论证的能力，属于中档试题．11.【答案】D【解析】解：由题意设椭圆方程为：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，连接AF2，如图所示：∵|AF1|=3|BF1|，则|BA|=4|F1B|，又4|BF2|=5|AB|=20|F1B|，可得|BF2|=5|BF1|，由椭圆定义可得：|AF1|+|AF2|=2a=6|F1B|，所以|BF1|=13a，|AF1|=a，可得|AF2|=2a−a=a，故选：D．设出椭圆方程，利用已知条件，结合椭圆的定义，转化求解即可．本题考查椭圆定义的应用，考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．12.【答案】B【解析】解：因为QA⊥平面ABC，PC⊥平面ABC，所以QA//PC，且PC⊥AC，又QA=3PC，所以四边形ACPQ 为直角梯形．依题意可得，四面体PABC的外接球的球心O为线段PA的中点，因为AC=√32+42=5，PC=1，所以AO=√52+122=√262，所以球O的表面积为26π.易证BC⊥平面QAB，而BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面QAB.设PA∩QC=D，则四面体PABC与四面体QABC的公共部分为四面体ABCD．过D作DE⊥AC于E，则DEPC =33+1，所以DE=34PC=34，所以四面体ABCD的体积为13×12×3×4×34=32．故所有正确结论的编号是①③④．故选：B．直接利用线面垂直和线线平行及几何体的外接球知识的应用求出结果．本题考查空间中的垂直关系与四面体的外接球等问题，考查直观想象与逻辑推理的核心素养．属于中档题．13.【答案】−4【解析】解：∵A ，B ，C 三点共线， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC⃗⃗⃗⃗⃗ 共线， ∴x +4=0，解得x =−4． 故答案为：−4．根据A ，B ，C 三点共线即可得出向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，从而可求出x 的值． 本题考查了共线向量的定义，共线向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．14.【答案】2【解析】解：∵tanα+tanβ=−tan(α+β)=tanα+tanβtanαtanβ−1=3， ∴tanαtanβ−1=1， ∴tanαtanβ=2． 故答案为：2．由已知利用两角和的正切函数公式即可计算得解．本题主要考查了两角和的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．15.【答案】7047【解析】解：∵该正四棱锥的底边长为27尺，高为29尺， ∴其体积V =13×272×29=7047立方尺． 故答案为：7047．由题意可得正四棱锥的底面边长与高，代入棱锥体积公式求解．本题考查数学文化与简单几何体的体积，考查信息解读能力与运算求解能力，是基础题．16.【答案】1(−∞,2e)【解析】解：根据题意，函数f(x)=x(ae x −e −x )为偶函数，则f(−x)=f(x)， 即(−x)(ae −x −e x )=x(ae x −e −x )，变形可得a =1， 则f(x)=x(e x −e −x )，g(x)=f(x)+xe −x =xe x ，若g(x)>mx −e 对x ∈(0,+∞)恒成立，即xe x >mx −e 对x ∈(0,+∞)恒成立， 又由x ∈(0,+∞)，变形可得m <e x +ex ， 设g(x)=e x +ex ，其导数g′(x)=e x −e x 2，在区间(0,1)上，g′(x)<0，g(x)为减函数，在区间(1,+∞)上，g′(x)>0，g(x)为增函数，则区间(0,+∞)上，g(x)≥g(1)=2e，若m<e x+ex对x∈(0,+∞)恒成立，必有m<2e，故m的取值范围为(−∞,2e)；故答案为：1，(−∞,2e)对于第一空：由欧函数的定义可得(−x)(ae−x−e x)=x(ae x−e−x)，变形分析可得a的值，即可得答案；对于第二空：求出g(x)的解析式，变形可得m<e x+ex 对x∈(0,+∞)恒成立，设g(x)=e x+ex，求出其导数，分析其单调性以及最值，分析可得答案．本题考查利用导数分析函数的单调性、最值，涉及函数的奇偶性的性质以及应用，关键是求出a的值，属于基础题．17.【答案】解：(1)∵AQI在[0,50)内的频率为：1−50×(0.004+0.008+0.002+0.001)=0.25，∴AQI在[0,50)内的频率组距=0.005，∴频率分布直方图补充完整如图所示：(2)这100天中空气质量等级为优的天数为50×0.004×100=20．这100天中空气质量等级为优与空气质量等级为良的天数为50×0.008×100=40．(3)依题意可得AQI在[0,100)内的频率等于AQI在[m,250]内的频率，∵AQI在[0,100)的频率为0.6，AQI在[50,100)的频率为0.4，∴m∈(50,100)，则(100−m)×0.008+1−0.6=0.6，解得m=75．【解析】(1)求出AQI在[0,50)内的频率为0.25，AQI在[0,50)内的频率组距=0.005，由此能补充完整频率分布直方图．(2)这100天中空气质量等级为优的天数为20，由此能求出这100天中空气质量等级为优与空气质量等级为良的天数．(3)依题意可得AQI在[0,100)内的频率等于AQI在[m,250]内的频率，由此能求出m．本题考查频数、概率的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.【答案】解：(1)由(S6−S3)2=S9，得(a4+a5+a6)2=(3a5)2=9a5，∴a5=0或a5=1．当a5=0时，a1=a5−4d=4，a n=4+(n−1)×(−1)=−n+5；当a5=1时，a1=a5−4d=5，a n=5+(n−1)×(−1)=−n+6．(2)∵a5<1，∴a5=0，则a6=a5+d=d，∵1<a6<2，∴1<d<2．∵T10=d(1+2+22+⋯+29)=d⋅1×(1−210)1−2=d(210−1)=1023d．∴T10的取值范围为(1023,2046)．【解析】(1)由已知结合等差数列的性质求得a5，再分类求得首项，可得{a n}的通项公式；(2)由a5<1，结合已知得a5=0，则a6=a5+d=d，再由1<a6<2，求得1<d<2，利用等比数列的前n项和公式求得T10，结合d的范围得答案．本题考查等差数列的性质，考查等比数列的前n项和，考查分类讨论的数学思想方法，是中档题．19.【答案】(1)证明：∵D为AB的中点，AC=BC，∴CD⊥AB．在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，则AA1⊥CD，∵AB∩AA1=A，∴CD⊥平面ABB1A1．∵AE⊂平面ABB1A1，∴CD⊥AE．又AE⊥A1C，CD∩A1C=C，∴AE⊥平面A1CD；(2)解：由(1)知，AE⊥平面A1CD，∵A1D⊂平面A1CD，∴AE⊥A1D，∴△ABE∽△A1AD，则A1AAD =ABBE，∴BE=AB⋅ADA1A =23．∵C1C//B//1B，C1C⊄平面ABB1A1，B1B⊂平面ABB1A1，∴C1C//平面ABB1A1，∴C1到平面ABB1A1的距离等于C到平面ABB1A1的距离，故V E−A1BC1=V C1−A1BE=13×12×BE×AB×CD=16×23×2×√3=2√39．【解析】(1)由已知证明CD⊥AB.再证明AA1⊥CD，可得CD⊥平面ABB1A1.得到CD⊥AE.结合已知及直线与平面垂直的判定可得AE⊥平面A1CD；(2)由(1)知，AE⊥平面A1CD，得到AE⊥A1D，从而可得△ABE∽△A1AD，利用相似三角形对应边成比例可得BE.证明C 1C//平面ABB 1A 1，可得C 1 到平面ABB 1A 1 的距离等于C 到平面ABB 1A 1 的距离，然后利用等体积法求解三棱锥E −A 1BC 1的体积．本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题． 20.【答案】解：(1)证明：设直线l 的方程为y =kx +b(k >0)，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由|AC|+|BD|=p ，可得y 1+y 2=p ，联立{y =kx +b y 2=2px可得ky 2−2py +2pb =0， 所以y 1+y 2=2p k =p ，即k =2，直线l 的斜率为定值；(2)设直线l 的方程为y =kx +b(kb >0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由(1)可得△=4p 2−8pb >0，即0<kb <12p ，因为Q 到直线l 的距离d =√1+k 2，且|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|，所以S 1=12|AB|⋅d =|b|⋅|x 1−x 2|，S 2=12(|AC|+|BD|)⋅|CD|=12|y 1+y 2|⋅|x 1−x 2|=p |k|⋅|x 1−x 2|，所以S 1S 2=|k|⋅|b|p=|kb|p =kb p ， 由0<kb <12p ，可得0<kb p <12， 假设存在正整数λ，使3S 1=λS 2成立，则0<λ3<12，即0<λ<32，所以存在正整数λ=1，使3S 1=λS 2成立．【解析】(1)设直线l 的方程为y =kx +b(k >0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理和两点的距离公式，即可得证；(2)设直线l 的方程为y =kx +b(k >0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，运用判别式大于0，以及点到直线的距离公式和三角形的面积公式、弦长公式，化简整理即可判断存在性．本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理和弦长公式，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．21.【答案】(1)解：f′(x)=ae x −sinx ，则f′(0)×(−1)=−a =−1，所以a =1．当x ≤0时，0<e x ≤1，−1≤cosx ≤1，则f(x)<0，此时f(x)无零点；当x >0时，e x >1，−1≤sinx ≤1，f′(x)=e x −sinx >0，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增．因为f(0)<0，f(2)>0，所以f(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点．综上，函数f(x)的零点个数为1．(2)证明：设p(x)=x−1−lnx，则p’(x)=x−1x(x>0)，当0<x<1时，p′(x)<0；当x>1时，p′(x)>0，所以p(x)min=p(1)=0，则p(x)=x−1−lnx≥0，即x−1≥lnx．要证f(x)>lnx对x∈(0,+∞)恒成立，只需证f(x)>x−1对x∈(0,+∞)恒成立．设函数g(x)=f(x)−(x−1)=e x−x+cosx−2(x>0)，则g′(x)=e x−1−sinx，设ℎ(x)=e x−1−sinx，则ℎ′(x)=e x−cosx，因为x>0，所以e x>1，−1≤cosx≤1，所以ℎ′(x)>0，所以ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，则ℎ(x)>ℎ(0)=0，即g′(x)>0，从而g(x)在(0,+∞)上单调递增，所以g(x)>g(0)=0，故f(x)−(x−1)>0，即f(x)>x−1对x∈(0,+∞)恒成立，又x−1≥lnx，所以f(x)>lnx对x∈(0,+∞)恒成立．【解析】(1)求导，由已知得f′(0)×(−1)=−1，解得a=1，当x≤0时，f(x)<0，无零点；当x>0时，由导数判断单调性，即可得零点个数；(2)设p(x)=x−1−lnx，利用导数证得p(x)=x−1−lnx≥0，即x−1≥lnx.要证f(x)>lnx对x∈(0,+∞)恒成立，只需证f(x)>x−1对x∈(0,+∞)恒成立．设函数g(x)=f(x)−(x−1)=e x−x+cosx−2(x>0)，利用导数判断单调性，可得g(x)>g(0)=0，从而得证．本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的最值，利用导数证明不等式恒成立，体现了转化思想的应用，属于难题．22.【答案】解：(1)以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系xOy．由ρ=−2cosθ，得ρ2=−2ρcosθ，则x2+y2=−2x，即(x+1)2+y2=1，所以圆M的圆心的直角坐标为(−1,0)．由ρ=6cosθ，得ρ2=6ρcosθ，则x2+y2=6x，即(x−3)2+y2=9，所以圆N的圆心的直角坐标为(3,0)．故圆M与圆N的圆心距|MN|=1+3=4．(2)因为直线l的极坐标方程为ρsinθ=k(ρcosθ+4)(k>0)，所以直线l的直角坐标方程为y=k(x+4)．当直线l与圆M相切时，2=1，又k>0，所以k=√24；当直线l与圆N相切时，√1+k2=3，又k>0，所以k=3√1020．因为直线l与曲线C恰有2个公共点，所以k的取值范围为(√24,3√10 20).【解析】(1)首先把圆的方程进行转换，转换为直角坐标方程，进一步求出圆心距．(2)利用直线与圆的位置关系的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线与圆的位置关系的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．23.【答案】解：(1)当x<−1时，f(x)=−3x−1<8，则−3<x<−1，当−1≤x≤0时，f(x)=1−x<8，则−1≤x≤0，当0<x≤1时，f(x)=x+1<8，则0<x≤1，当x>1时，f(x)=3x−1<8，则1<x<3，故不等式f(x)<8的解集是(−3,3)；(2)作出f(x)的图象，如图示：直线y=kx过原点，当此直线经过点(1,2)时，k=2，当此直线与直线y=3x−1平行时，k=3，结合f(x)的图象的对称性可得k的取值范围是(−∞,−3]∪{−2，2}∪[3,+∞)；【解析】(1)通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；(2)画出函数的图象结合函数的对称性求出k的范围即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查数形结合思想以及转化思想，是一道常规题．。
吉林省白城市2019-2020学年高考数学五模考试卷含解析
吉林省白城市2019-2020学年高考数学五模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下图是我国第24~30届奥运奖牌数的回眸和中国代表团奖牌总数统计图，根据表和统计图，以下描述正确的是（）．金牌（块）银牌（块）铜牌（块）奖牌总数24 5 11 12 2825 16 22 12 5426 16 22 12 5027 28 16 15 5928 32 17 14 6329 51 21 28 10030 38 27 23 88A．中国代表团的奥运奖牌总数一直保持上升趋势B．折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不具有实际意义C．第30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、银牌数、铜牌数都有所下降D．统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数的中位数是54.5【答案】B【解析】【分析】根据表格和折线统计图逐一判断即可.【详解】A.中国代表团的奥运奖牌总数不是一直保持上升趋势，29届最多，错误；B.折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不表示某种意思，正确；C.30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、铜牌数有所下降，银牌数有所上升，错误；D. 统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数按照顺序排列的中位数为545956.52+=,不正确； 故选：B 【点睛】此题考查统计图，关键点读懂折线图，属于简单题目.2．已知抛物线C ：28x y =，点P 为C 上一点，过点P 作PQ x ⊥轴于点Q ，又知点()5,2A ，则PQ PA+的最小值为（ ） A ．132B．2C ．3D ．5【答案】C 【解析】 【分析】由2PQ PF =-,再运用,,P F A 三点共线时和最小，即可求解. 【详解】22523PQ PA PF PA FA +=-+≥-=-=.故选：C 【点睛】本题考查抛物线的定义，合理转化是本题的关键，注意抛物线的性质的灵活运用，属于中档题． 3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，262,21a S ==，则5a = A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】方法一：设等差数列{}n a 的公差为d ，则112656212a d a d +=⎧⎪⎨⨯+⨯=⎪⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，所以51(51)15a =+-⨯=.故选C ． 方法二：因为166256()3()2a a S a a +==+，所以53(2)21a +=，则55a =.故选C ． 4．已知实数,x y 满足不等式组10240440x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则34x y +的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】 【分析】作出约束条件的可行域，在可行域内求34z x y =+的最小值即为34x y +的最小值，作34y x =-，平移直线即可求解. 【详解】作出实数,x y 满足不等式组10240440x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩的可行域，如图（阴影部分）令34z x y =+，则344z y x =-+， 作出34y x =-，平移直线，当直线经过点()1,0A 时，截距最小， 故min 3103z =⨯+=， 即34x y +的最小值为3. 故选：B 【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，解题的关键是作出可行域、理解目标函数的意义，属于基础题.5．已知双曲线C ：2214x y -=，1F ，2F 为其左、右焦点，直线l 过右焦点2F ，与双曲线C 的右支交于A ，B 两点，且点A 在x 轴上方，若223AF BF =，则直线l 的斜率为( )A ．1B ．2-C ．1-D ．2【答案】D 【解析】 【分析】由|AF 2|＝3|BF 2|，可得223AF F B u u u u v u u u u v=.设直线l 的方程x ＝m ＞0，设()11,A x y ，()22,B x y ，即y 1＝﹣3y 2①，联立直线l 与曲线C,得y 1+y 2＝-24m -②，y 1y 2＝214m -③，求出m 的值即可求出直线的斜率. 【详解】双曲线C ：2214x y -=，F 1，F 2为左、右焦点，则F 20），设直线l 的方程x ＝，m ＞0，∵双曲线的渐近线方程为x ＝±2y ，∴m≠±2，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），且y 1＞0，由|AF 2|＝3|BF 2|，∴223AF F B u u u u v u u u u v=，∴y 1＝﹣3y 2①由22{440x my x y =--=，得()22410m y -++=∴△＝（）2﹣4（m 2﹣4）＞0，即m 2+4＞0恒成立，∴y 1+y 2＝y 1y 2＝214m -③，联立①②得220y -=>，联立①③得2221304y m -=<-，2y ∴=2221123y m =-即：221123m =-⎝⎭，0m >，解得：12m =，直线l 的斜率为2， 故选D ． 【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，属于中档题．6．若集合{}{,33A x y B x x ===-≤≤，则A B =I （ ）A ．[]3,2-B ．{}23x x ≤≤ C ．()2,3 D ．{}32x x -≤<【答案】A 【解析】 【分析】先确定集合A 中的元素，然后由交集定义求解． 【详解】{{}{}2,33A x y x x B x x ===≤=-≤≤Q ，{}32x x ∴A⋂B =-≤≤.故选：A ．【点睛】本题考查求集合的交集运算，掌握交集定义是解题关键．7．己知集合{|13}M y y =-<<，{|(27)0}N x x x =-…，则M N ⋃=（ ） A ．[0,3) B ．70,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．71,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．∅【答案】C 【解析】 【分析】先化简7{|(27)0}|02N x x x x x ⎧⎫=-=⎨⎬⎩⎭剟?，再求M N ⋃. 【详解】因为7{|(27)0}|02N x x x x x ⎧⎫=-=⎨⎬⎩⎭剟?， 又因为{|13}M y y =-<<， 所以71,2M N ⎛⎤⋃=- ⎥⎝⎦， 故选：C. 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法、集合的运算，还考查了运算求解能力，属于基础题. 8．已知，都是偶函数，且在上单调递增，设函数，若，则（ ）A ．且B ．且C ．且D ．且【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，，∴，，∵，∴，∴， ∴若：，，∴， 若：，，∴，若：，，∴，综上可知，同理可知，故选A.考点：1.函数的性质；2.分类讨论的数学思想.【思路点睛】本题在在解题过程中抓住偶函数的性质，避免了由于单调性不同导致与大小不明确的讨论，从而使解题过程得以优化，另外，不要忘记定义域，如果要研究奇函数或者偶函数的值域、最值、单调性等问题，通常先在原点一侧的区间(对奇(偶)函数而言)或某一周期内(对周期函数而言)考虑，然后推广到整个定义域上.9．设12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 作圆222x y a +=的切线，与双曲线的左、右两支分别交于点,P Q ，若2||QF PQ =，则双曲线渐近线的斜率为（ ） A ．±1 B ．)31±C ．)31±D ．5【答案】C 【解析】 【分析】如图所示：切点为M ，连接OM ，作PN x ⊥轴于N ，计算12PF a =，24PF a =，22a PN c =，12abF N c=，根据勾股定理计算得到答案. 【详解】如图所示：切点为M ，连接OM ，作PN x ⊥轴于N ，121212QF QF QP PF QF PF a -=+-==，故24PF a =，在1Rt MOF ∆中，1sin a MFO c ∠=，故1cos b MFO c ∠=，故22a PN c=，12ab F N c =， 根据勾股定理：242242162a ab a c c c ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，解得31b a =. 故选：C .【点睛】本题考查了双曲线的渐近线斜率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.10．有一改形塔几何体由若千个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为8，如果改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是（）A．8 B．7 C．6 D．4【答案】A【解析】【分析】22+=4442()()22+=2222224+=222的最上层正方体的边长小于1时该塔形中正方体的个数的最小值的求法.【详解】最底层正方体的棱长为8，22+=4442()()22+=，2222422+=，22222=，=1=，2=， ∴改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是8. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查正方体有关计算，属于基础题. 11．若0a b <<，则下列不等式不能成立的是（ ） A ．11a b> B ．11a b a>- C ．|a|>|b|D ．22a b >【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质对选项逐一判断即可. 【详解】选项A ：由于0a b <<，即0ab >，0b a ->，所以110b aa b ab --=>，所以11a b>，所以成立； 选项B ：由于0a b <<，即0a b -<，所以110()b a b a a a b -=<--，所以11a b a<-，所以不成立； 选项C ：由于0a b <<，所以0a b ->->，所以||||a b >，所以成立；选项D ：由于0a b <<，所以0a b ->->，所以||||a b >，所以22a b >，所以成立. 故选：B. 【点睛】本题考查不等关系和不等式，属于基础题.12．设全集U =R ，集合{}2A x x =<，{}230B x x x =-<，则()U A B =I ð（ ） A ．()0,3 B ．[)2,3C ．()0,2D ．()0,∞+【答案】B 【解析】 【分析】可解出集合B ，然后进行补集、交集的运算即可．【详解】{}()2300,3B x x x =-<=Q，{}2A x x =<，则[)2,U A =+∞ð，因此，()[)2,3U A B =I ð.故选：B. 【点睛】本题考查补集和交集的运算，涉及一元二次不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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2020年吉林省示范高中（梅河口五中、白城一中、四平一中等）高考数学
五模试卷（理科）
一、选择题（共12小题）.
1．已知集合A＝{x|x2﹣1＜0}，B＝{x|0＜x＜2}，则A∩B＝（）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）
2．已知i为虚数单位，对应点的坐标为（）
A．B．C．D．
3．2020年西部某县一个生态果园公司根据当地的特产开发生产了A，B两种不同口味的果汁饮料．现随机抽取了两种果汁饮料各10瓶（均是500mL）组成的一个样本进行了检测，得到某种添加剂指标（毫克/升）的茎叶图如图，则对这种添加剂指标的分析正确的是（）
A．A种果汁饮料添加剂指标的平均值高于B种果汁饮料添加剂指标的平均值
B．A种果汁饮料添加剂指标的中位数高于B种果汁饮料添加剂指标的中位数
C．A种果汁饮料添加剂指标的方差高于B种果汁饮料添加剂指标的方差
D．A种果汁饮料添加剂指标的最小值高于B种果汁饮料添加剂指标的最小值
4．已知，点P（sin x+cos x，sin x﹣cos x）在角α的终边上，则cosα的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．C．D．
5．阿基米德立体是一种高度对称的半正多面体，并且都是可以从正多面体经过截角、截半、截边等操作构造而成．阿基米德立体的三个视图全都一样，如图是棱长为2的正方体经过截角得到的阿基米德立体的正视图，则该几何体的表面积为（）
A．B．12+2C．12+4D．16+4 6．执行如图所示的程序框图，若x∈R，则输出y的最小值是（）
A．B．C．1D．7．函数的图象可能是（）
A．
B．
C．
D．
8．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，点P是抛物线在第一象限上的一个点，线段PF的中垂线l与抛物线的准线交于点Q，且，则直线l在x轴上的截距为（）
A．B．C．D．5
9．已知不等式log a x＜1（a＞0且a≠1）的解集为（0，2），则二项式的展开式中系数最大项的系数为（）
A．16B．80C．240D．480
10．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝3c＝6，，△ABC面积为4，则sin C＝（）
A．B．C．D．
11．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，若双曲线右支上一点M，使得直线MF1与圆O：x2+y2＝1相切．则△F1MF2的面积为（）
A．2B．2+2C．2+4D．4+4
12．设函数f（x）＝|2a cos2x+（a﹣1）•cos x﹣1|，则下列结论正确的个数是（）
①当a＝1时，f（x）的最小正周期为；
②当a＝0时，f（x）+f'（x）的极值点为，k∈Z；
③当0＜a＜1 时，f（x）的最大值为；
④当a≥1时，f（x）的最大值为3a﹣2．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．已知向量，，，则x＝．
14．由数字1，2，3，4组成没有重复数字的四位数，定义个位数字比十位数字大、千位数字是偶数、百位数字为奇数的没有重复数字的四位数为“特征数”，从所有没有重复数字的四位数中任取一个，则这个四位数是“特征数”的概率为．
15．已知函数y＝f（x）满足，当时，f（x）＝sin x，则函数在区间内的解集为．
16．如图，用平行于母线的竖直平面截一个圆柱，得到底面为弓形的圆柱体的一部分，其中M、N为弧、的中点，∠EMF＝120°，且EF+EG＝6，当几何体的体积最大值时，该柱体的高为．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知等比数列{b n}，，且．
（1）求数列{b n}的通项公式；
（2）若数列是首项为b1，公差为b2的等差数列，求数列的前n项和．
18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面为等腰梯形，AD∥BC，平面PAD⊥底面ABCD，PA＝PD＝AD ＝2BC＝2CD＝2，M为PC上一点，PA∥平面BDM．
（1）求PM：MC的值；
（2）求平面PAD与平面BDM所成的锐二面角的余弦值．
19．搪瓷是在金属坯体表面涂搪瓷釉而得到的制品．曾经是人们不可或缺的生活必备品，厨房用具中的锅碗瓢盆；喝茶用到的杯子，洗脸用到的脸盆；婚嫁礼品等，它浓缩了上世纪整整一个时代的记忆．某搪
瓷设计公司新开发了一种新型复古搪瓷水杯，将其细分成6个等级，等级系数X依次3，4，5，6，7，8，该公司交给生产水平不同的A和B两个厂生产，已知A厂生产的该种搪瓷水杯的等级系数X服从正态分布N（μ，0.25），且．在电商平台上A厂生产的糖瓷水杯的零售价为36元/件，B厂生产的糖瓷水杯的零售价为30元/件．
（1）（i）求A厂生产的搪瓷水杯的等级系数的平均值；
（ii）若A厂生产了10000件这种搪瓷水杯，记X表示这10000件搪瓷水杯等级系数X位于区间（5.5，
6.5）的产品件数，求E（X）；
（2）从B厂生产的搪瓷水杯中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如图：
设，若以L的值越大，产品越具可购买性为判断标准．根据以上数据，哪个工厂生产的搪瓷水杯更具可购买性？说明理由．
注：若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．
20．已知椭圆C：（）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，点G与F2关于直线l：y ＝x+1对称．
（1）求直线F1G被椭圆C所截得的弦长；
（2）是否存在直线l1：与椭圆C交于不同的两点M，N，使得直线GM、GN关于F1G所在直线对称？若存在，求出直线l1的方程；若不存在，说明理由．
21．已知函数f（x）＝2mx2﹣nx+lnx在（1，f（1））处的切线平行于x轴．
（1）当m＝﹣1时，求f（x）在（0，e]上的最大值；
（2）若m＞0，f（x）在（0，e]上只有一个零点，求m的取值范围．
请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的方框涂黑，按所选涂题号
进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为，（t为参数），以原点O为极点，
以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，直线l2的极坐标方程为θ＝θ0（ρ∈R）．
（1）设直线l2与曲线C1相交于不同的两点A，B，求AB中点的轨迹C2的方程；
（2）设直线l1与C2相交于E，F两点，求弦长EF的最小值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x﹣3|+|2x﹣1|的最小值为M；
（1）求函数f（x）＜4的解集；
（2）若a＞0，b＞0，a+b＝1，求证：．。