用空间向量计算夹角问题
用空间向量研究距离、夹角问题全文
MN ( 1 1 )2 (0 1 )2 ( 1 0)2 2 .
22
22
2
y
x
【巩固训练3】如图，正方体ABCD和ABEF的边长都是1，且它们所在平面互相垂 直，点M在AC上，点N在BF上，若CM = BN = 2，求MN的长.
2
解2：设 AB a, AD b, AF c . 则
2. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1
的中点.
z
(4) 求直线FC1到平面AB1E的距离.
D1
C1
解 : FC1 //平面AB1E,直线FC1到平面AB1E的距离 A1
B1
等于点C1到平面AB1 E的距离.
E
由(3)知平面AB1E的一个法向量为n (1, 2, 2). 易知C1(0,1,1), B1(1,1,1),C1B1 (1,0,0).
D1 A1
E
D
C1 B1
F
C
A
B
2. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1
的中点.
z
(1) 求点A1到直线B1E的距离;
D1
C1
解 : 如图示,以D为原点建立空间直角坐标系, 则有
A1
B1
1 A1(1, 0,1), B1(1,1,1), E(0, 0, 2).
z0 ,
0
取y
1, 则z
1,
x
1.
∴平面D1CB1的一个法向量为n (1,1,1).
D
A x
C y
B
点B到平面D1CB1
的距离为
|
BC n |n|
1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题之二：夹角问题
法向量的夹角即可.
典型例题
例5如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2,AA1=3,∠ACB=90°,P为BC的
中点，点Q, R分别在棱AA1,BB1上，A1Q=2AQ,BR=2RB1.求平面PQR与平面
A1B1C1夹角的余弦值.
解：先做出平面PQR与平面A1 1 1 的
典型例题
例5如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2,AA1=3,
∠ACB=90°,P为BC的中点，点Q, R分别在棱AA1,BB1上，
A1Q=2AQ,BR=2RB1.求平面PQR与平面A1B1C1夹角的余弦值.
分析：因为平面PQR与平面A1B1C1的夹角
可以转化为平面PQR与平面A1B1C1的法向
若异面直线l1,l2所成的角为 (0 ≤ ) ，其方向向量分别为 , Ԧ
则 =< , Ԧ >, 或 = −<, >
Ԧ
2
∙ Ԧ
= < , Ԧ > =
Ԧ
不要将两异面直线所成的角与其方向向量的夹角等
同起来,因为两异面直线所成角的范围是0 ≤ ,而
交线。
做PE⊥ 1 1 于E,则PE//Q1 ,PQ∩
1 = .
PR∩ 1 1 = ,则GH即为平面PQR与
平面A1 1 1 的交线。
做PF⊥ 于F,连C1 , ∠1 就是平面
PQR与平面A1 1 1 的二面角的平面角。
我们在⊿PF1 中求∠1 ，接下去就是
= < 1 , 2 > =
.
1 2
反思：1、三式中到底是sin还是cos，我们要通过记图来记住公
1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题2
0 ≤ ≤ ,且 u, n ,或 u, n
2
2
2
un
sin | cos u n
un
讲
课
人
：
邢
启 强
4
学习新知 利用向量方法求二面角
平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中
不大于90°的二面角称为平面α与面β的夹角.
设平面α与面β的夹角为θ,平面α与面β的法向量分别为 n1, n2
则0
<
≤
2
,
n1, n2
, 或
n1, n2
cos | cos n1 n2 n1 n2
n1 n2
讲
课
人
：
邢
启 强
5
典型例题 例2如图,在棱长为1的正四面体（四个面都 是正三角形）ABCD中，M,N分别为BC,AD的中点， 求直线AM和CN夹角的余弦值.
分析：求直线AM和CN夹角的余弦值，可以 转化为求向量MA与CN夹角的余弦值.为此需 要把向量MA,CN用适当的基底表示出来，进 而求得向量MA,CN夹角的余弦值。
2
两个向量夹角的范围是[0,π],事实上,两异面直线所成
讲
课 人 ：
的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系.
邢
启 强
3
学习新知 利用向量方法求直线与平面所成的角
直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法 向量的夹角 。
直线AB与平面α相交于点B,设直线AB与平面α所成的角为θ,直 线AB的方向向量u,平面α的法向量为n,如图可得
讲
课
人
：
邢
启 强
6
典型例题 例2如图,在棱长为1的正四面体（四个面都 是正三角形）ABCD中，M,N分别为BC,AD的中点， 求直线AM和CN夹角的余弦值.
三维空间两直线夹角公式
三维空间两直线夹角公式在三维空间中，两条直线的夹角可以通过向量的内积来计算。
假设我们有两条直线分别表示为L1和L2，以两个点P1和P2为直线L1和L2上的一点。
我们可以用向量来表示这两条直线：L1:P=P1+t1*V1L2:P=P2+t2*V2其中，P表示直线上的任意一点，t1和t2是参数，用来确定直线上的点的位置。
V1和V2是分别与直线L1和L2平行的两个向量，用来确定直线的方向。
为了计算两条直线的夹角，我们首先需要计算出这两条直线的方向向量V1和V2、我们可以从直线上的两个点P1和P2中得到这两条直线的方向向量：V1=P1'-P1V2=P2'-P2其中，P1'和P2'是直线上的另外两个点。
可以是任意点，但需要保证这两个点在直线上。
然后，我们计算这两个向量的数量积（内积或点积）。
对于两个向量A和B的数量积可以通过以下公式计算：A·B = ，A，，B，cosθ其中，A，表示向量A的模，θ表示两个向量之间的夹角。
对于两个平行向量来说，它们之间的夹角为0度或180度。
所以，我们可以通过计算这两个向量的数量积来计算直线的夹角。
具体来说，两条直线L1和L2的夹角θ可以通过以下公式计算：cosθ = (V1·V2) / (，V1，，V2，)其中，·表示向量的点积，V1，和，V2，表示向量的模。
需要注意的是，由于点积可以是负的，因此我们需要在计算出的夹角θ上取绝对值。
然后，我们可以使用反余弦函数（arccos）将夹角的余弦值转换为实际夹角。
θ = arccos(cosθ)这样，我们就可以通过这个公式计算出两条直线的夹角。
需要注意的是，如果两条直线平行，那么它们没有夹角，cosθ将会是1或-1，而arccos(1) = 0度，arccos(-1) = 180度。
此外，如果两条直线重合，也就是说它们是同一条直线，那么它们的夹角为0度。
总结起来，我们可以通过以下步骤计算两条直线的夹角：1.选择直线L1和L2上的两个点P1、P2和P1'、P2'。
利用空间向量求夹角求距离的求值问题
利用空间向量求夹角的问题
1、求两异面直线a 、b 所成的角θ，0,2πθ⎛
⎤∈ ⎥⎝⎦
步骤：①求出直线a 的方向向量a ，求出直线b 的方向向量b
2、求直线a 与平面α所成的线面角θ，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
步骤：①求出直线a 的方向向量a ，求出平面α的法向量μ，并设两向量a 与μ所成角为ϕ
3、求平面α与平面β所成的二面角θ，[]0,θπ∈
步骤：①求出平面α的法向量n ，求出平面β的法向量m ，并设两向量n 与m 所成角为ϕ ②cos n m
n m ϕ=，并求出两向量n 与m 所成角ϕ
③判断求角：两法向量n 与m 的方向一内一外时，θϕ=
两法向量n 与m 的方向同内、同外时，θπϕ=-
利用空间向量求距离的问题
1、求平面α外一点B 到平面α的距离d 步骤：①在平面α内找一点A 得到AB ，求出平面α的法向量n
2、求两异面直线a 、b 的公垂线的长d 步骤：①在直线a 上找一点A ，在直线b 上找一点B ,得到AB
②求出直线a 的方向向量a ，求出直线b 的方向向量b ，在利用求法向量的方法n ，
要求n a ⊥，n b ⊥
3、已知直线a 与平面α平行，求直线a 到平面α的距离d 步骤：①在直线a 上找一点A ，在平面α内找一点B ,得到AB
②求出平面α的法向量n
4、已知平面α与平面β平行，求平面α到平面β的距离d 步骤：①在平面α内找一点A ，在平面β内找一点B ,得到AB
②求出平面 的法向量n。
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(课件)
则
cos
θ＝|cos<n1，n2>|
＝
|n1·n2| |n1|·|n2|
0，2π
自主学习
图（1）直线与平面所成角 图（2）平面与平面所成角
自主学习
思考 1：平面与平面所成的夹角与两平面的法向量所成夹角有何关系？ 两平面的夹角是两法向量的夹角或其补角.
思考 2：两个平面的夹角与二面角的平面角的区别？
B→C·n＝0
－ 3x＋y＝0
由
，得
，
A→1C·n＝0
y－ 3z＝0
→
取 n＝(1，
3，1)，故
sin
θ＝|cos〈E→F，n〉|＝
|EF·n| →
＝45.
|EF|·|n|
因此直线 EF 与平面 A1BC 所成角的余弦值为35.
经典例题
题型二 利用空间向量求夹角
例 6-变式 如图所示，在直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝ 3，
1＋0×(t－2)＋0＝ 2× 1 t 22 ·cos 60°，
所以 t＝1，所以点 E 的位置是 AB 的中点．
经典例题
题型二 利用空间向量求夹角
角度2：线面角 若直线l与平面α的夹角为θ，利用法向量计算θ的步骤如下：
经典例题
题型二 利用空间向量求夹角
例 6 如图，已知三棱柱 ABC-A1B1C1，平面 A1ACC1⊥平面 ABC，∠ABC＝90°， ∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F 分别是 AC，A1B1 的中点． (1)证明：EF⊥BC； (2)求直线 EF 与平面 A1BC 所成角的余弦值．
(2)范围：异面直线所成角的范围是0，π2，故两直线方向向量夹角的余弦 值为负时，应取其绝对值．
两条空间直线夹角计算公式
如何计算两条空间直线的夹角在三维空间里，两条直线的夹角是非常重要的概念，它可以用于许多实际问题的解决，如机械工程、物理学、计算机图形学等领域。
下面介绍两条空间直线夹角计算公式，帮助你轻松解决问题。
1. 向量夹角公式
两条空间直线的夹角可以通过它们的方向向量求得。
具体来说，设两条直线分别为L1和L2，它们的方向向量为u和v，那么它们的夹角θ可以用如下公式计算：
cosθ = (u·v) / (|u| × |v|)
其中，u·v表示u和v的数量积，|u|和|v|分别表示u和v的模长。
由此可得，θ = arccos(cosθ)。
需要注意的是，上述公式只能计算0°到180°之间的夹角，如果θ大于180°，则需要将结果减去π得到夹角的补角。
2. 求交角公式
除了通过向量夹角公式计算两条直线的夹角外，还有一种方法是通过它们的交角来求解。
具体方法是，找到两条直线的一个公共点P 和分别垂直于它们的两个平面，然后计算这两个平面的夹角就是两条直线的夹角。
公式如下：
cosθ = (n1·n2) / (|n1| × |n2|)
其中，n1和n2分别表示两个平面的法向量，|n1|和|n2|分别表示它们的模长。
同样地，由此可得，θ = arccos(cosθ)。
需要注意的是，在寻找两条空间直线的交点时，可能会出现一些特殊情况，如两条直线平行、重合或异面，这些情况需要单独考虑。
总结起来，两条空间直线的夹角计算可以由向量夹角公式或求交角公式得出。
在具体应用中，需要根据实际问题选择合适的方法进行计算，并注意处理特殊情况。
用空间向量研究夹角问题
【答案】2 1530
2
，Q 为 PC 的中点，则直线 PC 与平面 BDQ 所成角的正
【解析】建立如图所示坐标系
设 DC=2 ，则 PD=AB=AD=1， = 5
0,0,1 , 0,2,0 , 1,1,0 , 0,1,
1
2
1
= 0,2, −1 , = 1,1,0 , = 0,1,
2
×
12 + −1
2
+ 22
2 30
=
15
3.在正方体 − ′ ′ ′ ′ 中，二面角 − ′ − ′ 的余弦值是(
1
A．
2
【答案】C
B．
1
2
1
C．
3
D．
1
3
)
【解析】如图，建立空间执教坐标系，设正方体的棱长为 1，
有 0,0,0 , 1,0,0 , 0,1,0 , ′ 1,1,1 , ′ (0,0,1)
设平面1 的法向量 = (, , )，
则
⋅ 1 = 3 − 2 = 0
，取 = 2，得 = ( 2, 1, 3)，
⋅ 1 = 6 − 2 = 0
易知平面的法向量 = 0,0,1 ，
设平面1 与平面夹角为，
| ⋅ |
则cos = | |⋅| | =
所以 = 1,0,1 , = 1, −1,0 , ′′ = (1,1,0)
设平面′ 的一个法向量为 = , , ，
平面′′的一个法向量为 = , ,
则
⋅ ′ = + = 0
， ⋅ ′ = + = 0
⋅ = − = 0
人教版新教材高中数学优质课件 第2课时 用空间向量研究夹角问题
解:以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.
设BC=1,则A(0,0,0),P(0,0,2),B(2,0,0),D(0,2,0),
C(2,1,0),M
1
1, 2 ,1
.
(1)证明:=(2,0,-2), =
∵
3
1,- ,1
2
3
·=(2,0,-2)· 1, − 2 , 1
∴ ⊥ .∴PB⊥DM.
若异面直线l1,l2所成的角为θ,其方向向量分别是u,v,则cos θ= |cos<u,v>|
|·|
=
.
||||
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4.做一做:如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=
2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(
1
A.
5
2
B.
5
3
C.
5
4
D.
5
)
返回目录
解析:以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空
平面β的夹角为
.
解析:设u=(1,0,-1),v=(0,-1,1),α与β的夹角为θ,
则 cos
π
答案:3
|·|
θ=|cos<u,v>|=||||
=
-1
2× 2
=
1
.所以
2
π
θ=3 .
返回目录
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“ ”,错误的画“×”.
(1)两条异面直线所成的角与这两条直线的方向向量所成的角相等或互
∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M,N分别为PC,PB的中点.
高中数学第一章用空间向量研究距离夹角问题第2课时夹角问题课件新人教A版选择性必修第一册
解 设正方体棱长为1.以B为坐标原点,BA,BE,BC所在直线分别为x轴、y轴、
z轴建立空间直角坐标系B-xyz(图略),则
M
1
1
,0, 2
2
,N
1 1
, ,0
2 2
,A(1,0,0),B(0,0,0).
设平面 AMN 的法向量 n1=(x,y,z).
由于 =
(1)证明 由已知得AM=
2
AD=2.
3
如图,取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC的中点知TN∥BC,TN=
1
BC=2.
2
又AD∥BC,故TN AM,所以四边形AMNT为平行四边形,于是MN∥AT.因为
AT⊂平面PAB,MN⊄平面PAB,所以MN∥平面PAB.
(2)解 如图,取BC的中点E,连接AE.
则B1(2,2,2),M(1,1,0),D1(0,0,2),N(1,0,0),
∴1 =(-1,-1,-2),1 =(1,0,-2),
∴B1M 与 D1N 所成角的余弦值为
|cos<1 , 1 >|=
-1+4
√1+1+4× √1+4
=
√30
.
10
知识点2 利用向量方法求直线与平面所成的角
=
所以直线 AN 与平面 PMN
8√5
.
25
8√5
所成角的正弦值为 25 .
规律方法 若直线l与平面α的夹角为θ,利用法向量计算θ的步骤如下
变式训练2
在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为CC1的中点,则直线A1B与平面
BDE所成的角为(
空间向量夹角问题
空间向量夹角问题
空间向量夹角可以通过向量的数量积来计算。
设有两个空间向量a和b，它们的夹角θ可以通过以下公式计算：
cosθ = (a·b) / (|a|·|b|)
其中，a·b为向量a和b的数量积（点积），|a|和|b|分别是向量a和b的模（长度）。
根据上述公式，可以得出以下结论：
1. 如果两个向量a和b的数量积为0（即a·b = 0），则它们的夹角为90°（或π/2弧度）。
2. 如果两个向量a和b的数量积大于0（即a·b > 0），则它们的夹角为锐角。
3. 如果两个向量a和b的数量积小于0（即a·b < 0），则它们的夹角为钝角。
需要注意的是，上述计算夹角的公式都是基于二维空间中的向量，如果考虑到三维空间中的向量，应当使用三维向量的数量积公式：
cosθ = (a·b) / (|a|·|b|)
其中，a·b为向量a和b的数量积（点积），|a|和|b|分别是向量a和b的模（长度）。
空间向量夹角公式大全
空间向量夹角公式大全空间向量是三维空间中的向量，它们具有长度和方向。
在空间中，向量之间的夹角是一个重要的概念，它可以帮助我们理解向量之间的关系，以及在实际问题中的应用。
本文将介绍空间向量夹角的相关概念和公式，帮助读者更好地理解和运用空间向量的知识。
1. 向量的夹角概念。
在二维平面中，我们可以通过向量的数量积来计算它们之间的夹角。
而在三维空间中，向量的夹角的计算则需要借助向量的数量积和向量的模长来进行。
具体而言，设有两个向量a和b，它们之间的夹角θ满足以下公式：cosθ = (a·b) / (|a| |b|)。
其中，a·b表示向量a和b的数量积，|a|和|b|分别表示向量a和b的模长。
这个公式可以帮助我们计算任意两个向量之间的夹角，从而更好地理解它们之间的关系。
2. 向量夹角的计算方法。
在实际问题中，我们可能需要计算两个向量之间的夹角，以便解决一些几何或物理问题。
为了方便计算，我们可以通过向量的坐标表示来求解夹角。
具体而言，设向量a和b的坐标分别为(a1, a2, a3)和(b1, b2, b3)，则它们之间的夹角θ可以通过以下公式计算：cosθ = (a1b1 + a2b2 + a3b3) / (sqrt(a1^2 + a2^2 + a3^2) sqrt(b1^2 + b2^2 + b3^2))。
这个公式可以帮助我们在实际问题中快速准确地计算出向量之间的夹角，从而更好地应用空间向量的知识。
3. 向量夹角的性质。
除了计算向量夹角的公式外，向量夹角还具有一些重要的性质。
首先，向量夹角的范围是[0, π]，即夹角的取值范围在0到180度之间。
其次，当两个向量夹角为0时，它们是共线的；当夹角为π/2时，它们是垂直的；当夹角为π时，它们是相反的。
这些性质可以帮助我们更好地理解和判断向量之间的关系。
4. 应用举例。
最后，我们通过一个具体的应用举例来展示空间向量夹角的计算和应用。
假设有两个向量a(1, 2, 3)和b(4, 5, 6)，我们需要计算它们之间的夹角。
用空间向量计算夹角问题方案
B1
则 D (0,0,0),B 1(1,1,1)
AD
C
B
A (1,0,0),D 1(0,0,1),C (0.1,0),
DB1 (1,1,1), AD (1,01), CD (0,1,1)
AD1 DB1, AC DB1 又AD1 AC A,
DB1 平面ACD1
D1F1
A1B1 4
，求
BE1
与
DF1 所成的角的余弦值。
z
D1
F1
C1
DF1
0
,
1 4
，1 (0
,
0
,
0)
0
,
1 4
，1 .
A1
E1 B1
BE1
DF1
0
0
1 4
1 4
11
15 16
,
D
O
A
x
2019/9/3
C
y | BE1 |
17 4
利用向量解决 夹角问题
紫阳中学陈兴平
•引入
2019/9/3
•复习
•线线角
•线面角
•二面角
•小结 1
空间向量的引入为代数方法处理 立体几何问题提供了一种重要的工具 和方法，解题时，可用定量的计算代 替定性的分析，从而避免了一些繁琐 的推理论证。求空间角与距离是立体 几何的一类重要的问题，也是高考的 热点之一。本节课主要是讨论怎么样 用向量的办法解决空间角问题。
3.二面角：
cos | cos n1, n2 | cos | cos n1, n2 |
2021届高考数学专题16把持空间向量求夹角
培长处十六 利用空间向量求夹角1．利用面面垂直建系例1：在如图所示的多面体中，平面11ABB A ⊥平面ABCD ，四边形11ABB A 为边长为2的菱形，ABCD 为直角梯形，四边形11BCC B 为平行四边形，且AB CD ∥，AB BC ⊥，1CD =．（1）若E ，F 别离为11A C ，1BC 的中点，求证：EF ⊥平面11AB C ； （2）若160A AB ∠=︒，1AC 与平面ABCD 所成角的正弦值为求二面角11A AC D --的余弦值．【答案】（1）观点析；（2【解析】（1）连接1A B ，∵四边形11ABB A 为菱形，∴11A B AB ⊥． ∵平面11ABB A ⊥平面ABCD ，平面11ABB BA 平面ABCD AB =，BC ⊂平面ABCD ，AB BC ⊥，∴BC ⊥平面11ABB A ．又1A B ⊂平面11ABB A ，∴1A B BC ⊥． ∵11BC B C ∥，∴111A B B C ⊥．∵1111B C AB B =，∴1A B ⊥平面11AB C ．∵,E F 别离为11A C ，1BC 的中点，∴1EF A B ∥，∴EF ⊥平面11AB C ． （2）设11B C a =，由（1）得11B C ⊥平面11ABB A ，由160A AB ∠=︒，2BA =，得过点1C 作1C M DC ⊥，与DC 的延长线交于点M ，取AB 的中点H ，连接1A H ，AM ， 如图所示，又160A AB ∠=︒，∴1ABA △为等边三角形，∴1A H AB ⊥， 又平面11ABB A ⊥平面ABCD ，平面11ABB A 平面ABCD AB =，1A H ⊂平面11ABB A ，故1A H ⊥平面ABCD ．∵11BCC B 为平行四边形，∴11CC BB ∥，∴1CC ∥平面11AA BB ． 又∵CD AB ∥，∴CD ∥平面11AA BB ． ∵1CC CD C =，∴平面11AA BB ∥平面1DC M ．由（1），得BC ⊥平面11AA BB ，∴BC ⊥平面1DC M ，∴1BC C M ⊥． ∵BCDC C =，∴1C M ⊥平面ABCD ，∴1C AM ∠是1AC 与平面ABCD 所成角．∵11A B AB ∥，11C B CB ∥，∴11A B ∥平面ABCD ，11B C ∥平面ABCD ，∵11111A B C B B =，∴平面ABCD ∥平面111A BC ．在梯形ABCD 中，易证DE AB ⊥，别离以HA ，HD ，1HA 的正方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向成立空间直角坐标系． 则()1,0,0A ，，()1,0,0B -， 由(11,0,BB =-，及11BB CC =，得 ∴(13,AC =-，(1,AD =-，(11,0,AA =-设平面1ADC 的一个法向量为()111,,x y z =m ，由100AC AD ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=m m 得 令11y =，得()3,1,2=m设平面11AA C 的一个法向量为()222,,x y z =n ，由1100AC AA ⎧⋅=⋅=⎪⎨⎪⎩n n 得 令21z =，得又∵二面角11A AC D --是钝角，∴二面角11A AC D --的余弦值是2．线段上的动点问题 例2：如图，在ABCD 中，30A ∠=︒，，2AB =，沿BD 将ABD △翻折到A BD'△的位置，使平面A BC '⊥平面A BD '． （1）求证：A D '⊥平面BCD ；（2）若在线段A C '上有一点M 知足A M A C λ=''，且二面角M BD C --的大小为60︒， 求λ的值．【答案】（1）观点析；（2． 【解析】（1）ABD △中，由余弦定理，可得1BD =．∴222BD AD AB +=， ∴90ADB ∠=︒，∴90DBC ∠=︒．作DF A B ⊥'于点F ，∵平面A BC '⊥平面A BD '，平面A BC '平面A BD A B '='，∴DF ⊥平面A BC '． ∵CB ⊂平面A BC '，∴DF BC ⊥．又∵CB BD ⊥，BD DF D =，∴CB ⊥平面A DB '． 又∵A D '⊂平面A DB '，∴CB A D ⊥'．又A D BD '⊥，BD CB B =，∴A D '⊥平面BCD ．（2）由（1）知DA ，DB ，DA '两两垂直，以D 为原点，以DA 方向为x 轴正方向成立如图所示空间直角坐标系D xyz -，则()0,1,0B ，．设(),,M x y z ，则由x A M A C y z λ⎧''⎪=⇒⎨⎪⎩ 设平面MDB 的一个法向量为(),,a b c =m ， 0 0DB DM ⎧⎪⋅=⋅=m ⎧⎪⇒取()11,0,a c λλλλ=-⇒=⇒=-m ．平面CBD 的一个法向量可取(0,0,DA '=1,2DA ='m ∵[]0,1λ∈，∴λ 3．翻折类问题例3：如图1，在边长为2的正方形ABCD 中，P 为CD 中点，别离将PAD △，PBC △沿PA ，PB 所在直线折叠，使点C 与点D 重合于点O ，如图2．在三棱锥P OAB -中，E 为PB 中点． （1）求证：PO AB ⊥；（2）求直线BP 与平面POA 所成角的正弦值； （3）求二面角P AO E --的大小． 【答案】（1）观点析；（2；（3【解析】（1）在正方形ABCD 中，P 为CD 中点，PD AD ⊥，PC BC ⊥， ∴在三棱锥P OAB -中，PO OA ⊥，PO OB ⊥． ∵OA OB O =，∴PO ⊥平面OAB ． ∵AB ⊂平面OAB ，∴PO AB ⊥．（2）取AB 中点F ，连接OF ，取AO 中点M ，连接BM ． 过点O 作AB 的平行线OG ．∵PO ⊥平面OAB ，∴PO OF ⊥，PO OG ⊥．∵OA OB =，F 为AB 的中点，∴OF AB ⊥．∴OF OG ⊥． 如图所示，成立空间直角坐标系O xyz -．()A，()B -，()0,0,1P，12M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．∵BO BA =，M 为OA 的中点，∴BM OA ⊥．∵PO ⊥平面OAB ，PO ⊂平面POA ，∴平面POA ⊥平面OAB ． ∵平面POA 平面OAB OA =，BM ⊂平面OAB ， ∴BM ⊥平面POA ．∵3,2BM ⎛=∴平面POA 的法向量)1,0=-m ．(1,BP =-设直线BP 与平面POA 所成角为α15,5BP BP BP⋅==m m ∴直线BP 与平面POA ． （3）由（2，12OE ⎛=- ，()1,3,0OA =． 设平面OAE 的法向量为n ，则有0 0OA OE ⋅⎧⎪=⎪⎩=⎨⋅n n 即令1y =-，则由题知二面角P AO E --一、单选题1．如图，在所有棱长均为a 的直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 别离为1BB ，11A C 的中点，则异面直线AD ，CE 所成角的余弦值为（ ）A ．12BC ．15D ．45【答案】C【解析】设AC 的中点O ，以OB ，OC ，OE 为x ，y ，z 轴成立坐标系， 则0,,02a A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,0,2a D ⎫⎪⎪⎝⎭，0,,02a C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,0,E a ， 则3,,222a a AD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，0,,2a CE a ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 设AD 与CE 成的角为θ，则01cos 5a a aaθ-⨯+⨯==，故选C ． 2．在三棱柱111ABC A B C -中，底面是边长为1的正三角形，侧棱1AA ⊥底面ABC ，点D 在棱1BB 上，且1BD =，若AD 与平面11AA C C 所成的角为α，则sin α的值是（） AB ．2CD 【答案】D【解析】如图，成立空间直角坐标系，易求点1,12D ⎫⎪⎪⎝⎭． 平面11AA C C 的一个法向量是()1,0,0=n，∴32cos ,AD ==n ，则sin α．故选对点增分集训D ．3．如图，圆锥的底面直径2AB =，高OC ，D 为底面圆周上的一点，120AOD ∠=︒，则空间中两条直线AD 与BC 所成的角为（ ） A ．30︒ B ．60︒ C ．75︒ D ．90︒【答案】B【解析】取AB 中点E ，以O 为原点，OE 为x 轴，OB 为y 轴，OC 为z 轴，成立空间直角坐标系， 如图所示，∵圆锥的底面直径2AB =，高OC ，D 为底面圆周上的一点，120AOD ∠=︒，∴可得()0,1,0A -，()0,1,0B ，(C ，1,02D ⎫⎪⎪⎝⎭，则33,022AD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，(0,BC =-，设空间两条直线AD 与BC 所成的角为θ，∴312cos 23AD BCAD BCθ⋅===⨯⋅， ∴60θ=︒，即直线AD 与BC 所成的角为60︒，故选B ．4．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，PA PD ==，平面ABCD ⊥平面PAD ，M 是PC 的中点，O 是AD 的中点，则直线BM 与平面PCO 所成角的正弦值是（ ）A B C D 【答案】D【解析】由题可知()0,0,0O ，()0,0,2P ，()1,2,0B ，()1,2,0C -， 则()0,0,2OP =，()1,2,0OC =-，∵M 是PC 的中点，∴1,1,12M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,1,12BM ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭设平面PCO 的法向量(),,x y z =n ，直线BM 与平面PCO 所成角为θ，则20 20OP z OC x y ⋅==⋅=-⎧⎪⎨⎪=⎩+n n 可取()2,1,0=n，sin cos BM BM BM θ⋅====⋅，n n n，故选D ． 5．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，12AB AC AA ===，点G 与E 别离是11A B 和1CC 的中点，点D 与F 分别是AC 和AB 上的动点．若GD EF⊥，则线段DF 长度的最小值为（ ） ABCD ．【答案】A【解析】成立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()0,2,1E ，()1,0,2G ，0(),0,F x ，0(0,),D y ， 则()1,,2GD y =--，(),2,1EF x =--，由于GD EF ⊥，∴220GD EF x y =--+=⋅，∴22x y =-，故DF ===，∴当45y =时，线段DF ．故选A ． 6．如图，点A B C 、、别离在空间直角坐标系O xyz -的三条坐标轴上，()0,0,2OC =，平面ABC 的法向量为()2,1,2=n ，设二面角C AB O --的大小为θ，则cos θ=（） A ．43B C ．23D ．23-【答案】C【解析】由题意可知，平面ABO 的一个法向量为：()0,0,2OC =， 由空间向量的结论可得：42cos 233OC OC θ⋅===⋅⋅n n．故选C ． 7．如图所示，五面体ABCDE 中，正ABC △的边长为1，AE ⊥平面ABC ，CD AE ∥，且12CD AE =．设CE 与平面ABE 所成的角为α，(0)AE k k =>，若ππ,64α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则当k 取最大值时，平面BDE 与平面ABC 所成角的正切值为（ ）A．2B ．1 CD【答案】C【解析】如图所示，成立如图所示的空间直角坐标系O xyz -， 则()0,1,0A ，0,0,2k D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,1,E k，1,02B ⎫⎪⎪⎝⎭， 取AB 的中点M ，则304M ⎫⎪⎪⎝⎭，，，则平面ABE 的一个法向量为33,044CM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， 由题意3sin 21CE CM CE CMα⋅==⋅又由ππ,64α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴1sin 22α≤=≤k ≤k 当k =BDE 的法向量为(),,x y z=n ， 则0 31022DE yBE x y z ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⋅==⋅=++=⎩n n ， 取(=-n ，由平面ABC 的法向量为()0,0,1=m ， 设平面BDE 和平面ABC 所成的角为θ，则cos θ⋅==⋅n m n m ，∴sin θ=，∴tan θC ． 8．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（）AB C D 【答案】B【解析】如图，设1A 在平面ABC 内的射影为O ，以O 为坐标原点，OA 、1OA 别离为x 轴、z 轴成立空间直角坐标系如图．设ABC △边长为1112B ⎛ ⎝⎭， ∴15AB ⎛=- ABC 的法向量为()0,0,1=n ． 设1AB 与底面ABC 所成角为α111,AB AB AB ⋅==⋅n n n故直线1AB 与底面ABC ．故选B ． 9．如图，四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AD BC ∥，AB BC ⊥，3AB AD PB ===，点E在棱PA 上，且2PE EA =，则平面ABE与平面BED 的夹角的余弦值为（ ） AB C D 【答案】B【解析】以B 为坐标原点，以BC 、BA 、BP 所在直线为x 、y 、z 轴， 成立空间直角坐标系，则()0,0,0B ，()0,3,0A ，()0,0,3P ，()3,3,0D ，()0,2,1E ，∴()0,2,1BE =，()3,3,0BD =设平面BED 的一个法向量为(),,x y z =n，则20330BE y z BD x y ⎧⎪⎨⎪⋅=+=⋅=+=⎩n n ， 取1z =ABE 的法向量为()1,0,0=m ，ABE 与平面BEDB ．10．在正方体1111ABCD A B C D -中，直线1BC与平面1A BD 所成角的余弦值为（ ） AB C D 【答案】C【解析】别离以DA ，DC ，1DD 为x ，y ，z 轴成立如图所示空间直角坐标系： 设正方体的棱长为1，可得()0,0,0D ，()1,1,0B ，()10,1,1C ，()11,0,1A ， ∴()11,0,1BC =-，()11,0,1A D =--，()1,1,0BD =--，设(),,x y z =n 是平面1A BD 的一个法向量，∴100A D BD ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=n n ，即0 0x z x y =+=⎧⎨⎩+，取1x =，得1y z ==-，∴平面1A BD 的一个法向量为()1,1,1=--n ， 设直线1BC 与平面1A BD 所成角为θ，∴111,BC BC BC ⋅〈〉==⋅n n n，即直线1BC 与平面1A BD所成角的余弦值是C ． 11．已知四边形ABCD ，2AB BD DA ===，BC CD ==，现将ABD △沿BD 折起，使二面角A BD C --的大小在5,66π⎡π⎤⎢⎥⎣⎦内，则直线AB 与CD所成角的余弦值取值范围是（ ） A ．⎡⎢⎣⎦B ．⎡⎢⎣⎦C ．52018⎡⎡⎫⎪⎢⎢⎪⎣⎦⎣⎭， D ．⎣⎦【答案】A【解析】取BD 中点O ，连结AO ，CO ，∵2AB BD DA ===．BC CD ==CO BD ⊥，AO BD ⊥，且1CO =，AO =， ∴AOC ∠是二面角A BD C --的平面角， 以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，过点O 作平面BCD 的垂线为z 轴，成立空间直角坐标系， ()0,1,0B -，()1,0,0C ，()0,1,0D ，设二面角A BD C --的平面角为θ，则5,66θπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π，连AO 、BO ，则AOC θ∠=，)A θθ，∴()3cos BA θθ=，()1,1,0CD =-，设AB 、CD 的夹角为α，则1cos AB CD AB CDα⋅-==⋅，∵5,66θπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π，∴cos θ⎡∈⎢⎣⎦，故510,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴cos 0,8α⎡∈⎢⎣⎦．故选A ．12．正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在1A C 上运动（包括端点），则BP 与AD 1所成角的取值范围是（ ）A ．ππ,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】以点D 为原点，DA 、DC 、1DD 所在直线别离为x y z 、、轴成立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，点P 坐标为(),1,x x x -， 则()1,,BP x x x =--，()11,0,1BC =-， 设BP 、1BC 的夹角为α， 则(11cos BP BC BP BC x α⋅===⋅∴当13x =时，cos α，π6α=．当1x =时，cos α取最小值12，π3α=．∵11BC AD ∥，∴BP 与1AD 所成角的取值范围是ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选D ．二、填空题13．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AB BC CC ===，AC =m 是AC 的中点，则异面直线1CB 与1C M 所成角的余弦值为________．【解析】在直三棱柱111ABC A B C -中，12AB BC CC ===，AC =M 是AC 的中点，∴BM AC ⊥，1BM =．以M 为原点，MA 为x 轴，MB 为y 轴，过M 作AC 的垂线为z 轴， 成立空间直角坐标系，则()C ，()10,1,2B，()1C ，()0,0,0M ， ∴()13,1,2CB =，()1MC =-，设异面直线1CB 与1C M 所成角为θ，则1111cos 8CB CB MC MC θ⋅===⋅． ∴异面直线1CB 与1C M 所成角的余弦值为28．14．已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形，60BAD ∠=︒，PD ⊥平面ABCD ，且PD AB =，点E 是棱AD 的中点，F 在棱PC 上，若:1:2PF FC =，则直线EF 与平面ABCD 所成角的正弦值为__________．【解析】以D点成立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，设菱形ABCD 的边长为2， 则()0,0,0D ， 1,02E ⎫-⎪⎪⎝⎭，240,,33F ⎛⎫⎪⎝⎭，∴EF ⎛=- 平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1=n ，,EF =n 即直线EF 与平面ABCD 所成角的正弦值为15．设a ，b 是直线，α，β是平面，a α⊥，b β⊥，向量1a 在a 上，向量1b在b 上，()11,1,1=a ，13,(0)4,=-b ，则α，β所成二面角中较小的一个的余弦值为________．【解析】由题意，∵()11,1,1=a ，13,(0)4,=-b ，∴111111cos ,⋅===⋅a b a b a b ∵a α⊥，b β⊥，向量1a 在a 上，向量1b 在b 上， ∴α，β16．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，120BAD ∠=︒，PA x =，则当x 转变时，直线PD 与平面PBC 所成角的取值范围是__________．【解析】如图成立空间直角坐标系，得()0,2,0B，3,22C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3,2D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,P x ，设平面PBC 的法向量(),,x y z =m ，3,2BC ⎛= ()0,2,PB x =-， ∴00BC PB ⎧⎪⎨⎪⋅=⋅⎩=m m ，得 又3,2PD ⎛= ,PD =m三、解答题17．如图所示：四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为四边形，ACBD ⊥，BC CD =，PB PD =，平面PAC ⊥平面PBD ，AC =30PCA ∠=︒，4PC =，（1）求证：PA ⊥平面ABCD ；（2）若四边形ABCD 中，120BAD ∠=︒，AB BC ⊥是不是在PC 上存在一点M ，使得直线BM 与平面PBDPM MC的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）观点析；（2）存在，1PMMC=．【解析】（1）设ACBD O =，连接POBC CD AC BD =⊥，，O ∴为BD 中点又PB PD =，PO BD ∴⊥∵平面PAC ⊥平面PBD ，平面PAC平面PBD PO =BD ∴⊥平面PAC ，而PA ⊂平面PAC PA BD ∴⊥在PCA △中，由余弦定理得2222cos30PA PC AC PC AC =+-⋅︒，21612244PA =+-⨯⨯=，而222PA AC PC += PA AC PA BD PA BD AC O ⊥⎫⎪∴⊥⇒⊥⎬⎪=⎭平面ABCD ． （2）过A 作AB 垂线记为y 轴，AB 为x 轴，AP 为z 轴成立空间直角坐标系： ()0,0,0A ，()0,0,2P，)B，3,02D ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，)C()3,0,2PB =-，3,22PD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，设PMPM MC MC λλ=⇒= 32,11M λλλ⎫⎪⎪++⎝⎭，32,111BM λλλ⎛⎫-= ⎪ ⎪+++⎝⎭设平面PBD 法向量为(),,x y z =n ，∴200 30202z PB yPD z =⋅=⇒⎨⋅=+-=⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩n n ，取(=n ， 设BM 与平面PBD 所成角为ϕ，sin cos BM ϕ=⋅==n解1λ=，1PMMC∴=． 18．如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为2的正三角形，13BB =，1AB =160CBB ∠=︒．（1）求证：平面ABC ⊥平面11BCC B ； （2）求二面角1B AB C --的正弦值． 【答案】（1）观点析；（2【解析】（1）取BC 的中点O ，连接OA ，1OB ，∵底面ABC 是边长为2的正三角形，∴OA BC ⊥，且OA∵13BB =，160CBB ∠=︒，1OB =，∴222113213cos607OB =+-⨯⨯⨯︒=， ∴1OB =1AB =2221110OA OB AB +==， ∴1OA OB ⊥，又∵1OB BC O =，∴OA ⊥平面11BCC B ，又∵OA ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面11BCC B ． （2）如图所示，以点O 为坐标原点，OC 为x 轴，OA 为y 轴，OH 为z 轴成立空间直角坐标系，其中2BH =， 则()A ，()1,0,0B -，()1,0,0C ，112B ⎛ ⎝⎭，∴11,2AB ⎛= ⎝⎭，()1,AB =-，()1,AC =， 设()1111,,x y z =n为平面1ABB 的法向量，则1110 0AB AB ⎧⎪⎨⋅⎪=⋅=⎩n n ，即111110102x x ⎧⎪⎨-=-+=⎪⎩-，令11y =，得()1=n ；设()2222,,x y z =n 为平面1AB C 的法向量，则2210 0AC AB ⎧⎪⎩⋅=⎨⎪⋅=n n，即222220102x x ⎧⎪⎨+=⎪⎩=， 令21y =，得213⎫=⎪⎭n；∴121212131cos ,-++⋅===⋅n n n n n n∴二面角1B AB C --．。
空间向量线面夹角的计算公式
空间向量线面夹角的计算公式在我们学习数学的过程中，空间向量线面夹角可是一个挺有趣的知识点。
咱们先来说说什么是空间向量和线面夹角。
想象一下，你在一个大大的三维空间里，有一根根的线，还有一个个的面。
而空间向量呢，就像是在这个空间里跑的小箭头，它们有大小也有方向。
线面夹角呢，就是线和平面之间形成的那个角度。
那空间向量线面夹角的计算公式是怎么来的呢？这就得从向量的点乘说起啦。
比如说，有一个平面，它有一个法向量（就是垂直于这个平面的向量），还有一条线，它也能用向量表示。
咱们把这两个向量做点乘运算，再除以它们的模长的乘积，得到的就是这两个向量夹角的余弦值。
但是要注意哦，这个夹角不一定就是线面夹角。
如果这个夹角是锐角，那线面夹角就是它；要是这个夹角是钝角，那线面夹角就得用 90度减去它。
我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个学生特别可爱。
他瞪着大眼睛问我：“老师，这咋这么复杂呀，生活里能用得上吗？”我就笑着跟他说：“你想想看，咱们盖房子的时候，要是工程师不知道线面夹角怎么算，那房子的墙能砌得直吗？”这孩子一听，好像恍然大悟似的点了点头。
咱们再来说说怎么用这个公式解题。
比如说，给你一个平面，它的方程是 Ax + By + Cz + D = 0 ，那它的法向量就可以表示成 (A, B, C) 。
然后又给你一条直线，它的方向向量是 (m, n, p) 。
咱们就按照刚才说的公式去算。
先算出法向量和直线方向向量的点乘，再除以它们模长的乘积，得到夹角的余弦值，然后再判断是锐角还是钝角，就能求出线面夹角啦。
在实际解题的时候，可一定要仔细，别把数算错了。
有时候一个小马虎，结果就全错啦。
总的来说，空间向量线面夹角的计算公式虽然看起来有点复杂，但是只要咱们多练习，多琢磨，就能掌握得很好。
就像咱们学走路一样，一开始可能摇摇晃晃的，但只要坚持，就能走得稳稳当当。
希望大家在学习这个知识点的时候，都能充满信心，把它拿下！。
用空间向量研究夹角问题
用空间向量研究夹角问题课程标准 学习目标1.能用向量方法解决简单夹角问题.2.体会向量方法在研究几何问题中的作用1.知道两个相交平面夹角的含义,借助直线的方向向量和平面的法向量,能求直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角或夹角.2.能分析和解决一些立体几何中的角度问题,体会向量方法与综合几何方法的共性和差异,体会直线的方法向量和平面的法向量的作用,感悟向量是研究几何问题的有效工具知识点一 空间角空间图形范围 向量法几何法 异面直线所成的角0°< θ≤90°cosθ=|cos <u ,v>|= 平移交于一点,解三角形直线与平面所成的角sin θ=|cos <u ,n>|=过直线上一点作平面的垂线,解三角形 平面与平面的夹角cos θ=|cos <n 1,n 2>|=作两平面的垂面解三角形【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)异面直线所成的角与其方向向量的夹角相等.( )(2)若平面α的法向量为u ,直线l 的方向向量为v ,直线l 与平面α所成的角为θ,则cos θ=|u ·v ||u ||v |.( )(3)二面角的大小等于平面与平面的夹角. ( ) 知识点二 解决立体几何中空间角问题的步骤用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”可以概括为“一化二算三译”六字诀.“一化”就是把立体几何问题转化为向量问题;“二算”就是通过向量运算,研究点、线、面之间的位置关系以及它们之间的角度问题;“三译”就是把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.探究点一 异面直线所成角的求法例1 (1)已知在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 是DC 的中点,建立如图1-4-27所示的空间直角坐标系,图1-4-27则AB 1与D 1E 所成角的余弦值为( )A .√1010 B .√105 C .-√1010D .-√105(2)如图1-4-28所示,在三棱柱OAB-O 1A 1B 1中,平面OBB 1O 1⊥平面OAB ,∠O 1OB=60°,∠AOB=90°,且OB=OO 1=2,OA=√3,求异面直线A 1B 与AO 1所成角的余弦值.图1-4-28[素养小结]用向量法求异面直线的夹角时,常在两异面直线a 与b 上分别取点A ,B 和C ,D ,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别为a ,b 的方向向量,若异面直线a ,b 的夹角为θ,则cos θ=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |.运用向量法常有两种途径:①基底法:在一些不适合建立坐标系的题型中,经常采用取基底的方法.在由公式cos <a ,b>=a ·b|a ||b |求向量a ,b 的夹角时,关键是求出a ·b ,|a|与|b|,一般是把a ,b 用基向量表示出来,再求有关的量.②坐标法:根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系,写出相关各点的坐标,利用坐标法求线线角,避免了传统找角或作角的步骤,使过程变得简单.探究点二求直线和平面所成的角例2 [2020·安徽芜湖高二期中] 如图1-4-29,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是AB的中点.(1)证明:AC1⊥平面D1B1C;(2)求直线CE与平面D1B1C所成角的余弦值.图1-4-29变式[2020·山东肥城高二期中] 在如图1-4-30所示的多面体中,AD⊥平面PDC,四边形ABCD为平行四边形,E为AD的中点,F为线段BP上一点,∠CDP=120°,AD=3,AP=5,CD=2.(1)若F为BP的中点,证明:EF∥平面PDC;BP,求直线AF与平面PBC所成角的正弦值.(2)若BF=13图1-4-30[素养小结]向量法求线面角的步骤:①分析图形中的位置关系,建立空间直角坐标系;②求出直线的方向向量s和平面的法向量n;③求出夹角<s,n>;④判断直线和平面所成的角θ和<s ,n>的关系,求出角θ.拓展 [2021·北京丰台区高二期中] 如图1-4-31,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA 1=3.M 是AB 的中点,N 是B 1C 1的中点,点P 在线段A 1N 上,且A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,Q 是BC 1与B 1C 的交点.(1)求证:PQ ∥平面A 1CM.(2)在线段AA 1上是否存在点S ,使得直线CS 与平面A 1CM 所成角的正弦值为√214?请说明理由.图1-4-31探究点三 求平面与平面的夹角例3 [2020·江苏如皋高二期中] 如图1-4-32所示,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB=BC ,AA 1,AC ,A 1C 1的中点分别为D ,E ,F. (1)求证:AC ⊥平面BEF ;(2)若异面直线AA 1与BF 所成的角为45°,且BC 与平面BEF 所成角的正弦值为√55,求平面BCD 与平面CDB 1夹角的余弦值.图1-4-32变式 [2020·江苏盐城亭湖区月考] 如图1-4-33所示,在三棱锥P-ABC 中,△PAC 为等腰直角三角形,∠APC=90°,△ABC 为正三角形,AC=2. (1)证明:PB ⊥AC ;(2)若平面PAC ⊥平面ABC ,求平面APC 与平面PCB 夹角的余弦值.图1-4-33[素养小结]设n 1,n 2分别是平面α,β的法向量,则向量n 1与n 2的夹角(或其补角)就是两个平面的夹角θ,用坐标法的解题步骤如下:(1)建系:依据几何条件建立适当的空间直角坐标系; (2)求法向量:在建立的坐标系下求两个平面的法向量n 1,n 2; (3)计算:cos θ=|n 1·n 2||n 1||n 2|.拓展 如图1-4-34,在四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥AD ,AB ∥CD ,CD ⊥AD ,AD=CD=2AB=2,E ,F 分别为PC ,CD 的中点,DE=EC. (1)求证:平面ABE ⊥平面BEF ;(2)设PA=a ,若平面EBD 与平面ABCD 的夹角θ∈π4,π3,求a 的取值范围.图1-4-341.若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°,则直线l 与平面α所成的角等于( )A .120°B .60°C .30°D .以上均错2.已知两个平面的法向量分别是m=(1,2,-1),n=(1,-1,0),则这两个平面所成的二面角的余弦值为 ( ) A .-√36或√36B .-√33或√33C .-√36D .√363.[2020·江苏南通高一期末] 在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=BC=2,AA 1=1,则直线BC 1与平面BB 1DD 1所成角的正弦值为 ( ) A .√63B .√102C .√155D .√1054.[2021·天津部分区高二期中] 如图1-4-35,在四面体OABC 中,OA=OB=OC ,OA ⊥OB ,OB ⊥OC ,OC ⊥OA ,则平面BAC 与平面ACO 夹角的余弦值为 ( )图1-4-35A .√33 B .√22C .1D .13用空间向量研究夹角问题参考答案【课前预习】知识点一|u ·v ||u ||v |0°≤θ≤90° |u ·n ||u ||n |0°≤θ≤90° |n 1·n 2||n 1||n 2|诊断分析(1)× (2)× (3)× [解析] (1)当两个方向向量的夹角是锐角或直角时,向量的夹角与异面直线所成的角相等;当两个方向向量的夹角为钝角时,向量的夹角与异面直线所成的角互补.故错误. (2)sin θ=|u ·v ||u ||v |,故错误.(3)二面角中不大于90°的二面角称为平面与平面的夹角.故错误. 【课中探究】探究点一例1 (1)A [解析] ∵A (2,2,0),B 1(2,0,2),E (0,1,0),D 1(0,2,2),∴AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-2,2),ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2),∴|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√2,|ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5,AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0-2+4=2,∴cos <AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=2√2×√5=√1010,∴AB 1与ED 1所成角的余弦值为√1010. (2)解:建立如图所示的空间直角坐标系,则O (0,0,0),O 1(0,1,√3),A (√3,0,0),A 1(√3,1,√3),B (0,2,0),所以A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,1,-√3),O 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,-1,-√3),所以|cos <A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,O 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·O 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|O 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= √3,√3)·(√3,√3√7×√7=17,所以异面直线A 1B 与AO 1所成角的余弦值为17.探究点二例2 解:(1)证明:如图,以D 为坐标原点,分别以DA ,DC ,DD 1所在直线为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则A (2,0,0),E (2,1,0),C (0,2,0),B 1(2,2,2),C 1(0,2,2),D 1(0,0,2), ∴CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-2,2),CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,2),AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,2,2). ∵AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2×0+2×(-2)+2×2=0, AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2×2+2×0+2×2=0,∴AC 1⊥D 1C ,AC 1⊥B 1C ,又D 1C ∩B 1C=C , ∴AC 1⊥平面D 1B 1C.(2)由(1)知,EC⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1,0), AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,2,2)是平面D 1B 1C 的一个法向量,设直线CE 与平面D 1B 1C 所成的角为θ,则sin θ=|cos <EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√5×2√3=√155,∴直线CE 与平面D 1B 1C 所成角的余弦值为(√155)=√105. 变式 解:(1)证明:以D 为坐标原点,DC 所在直线为x 轴,过点D 且与平面ABCD 垂直的直线为y 轴,DA 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系(图略),则D (0,0,0),C (2,0,0),B (2,0,3),P (-2,2√3,0),A (0,0,3). 因为E 为AD 的中点,F 为BP 的中点,所以E 0,0,32,F 0,√3,32,所以直线EF 的方向向量EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0). 易知平面PDC 的一个法向量为n=(0,0,1). 因为EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n=0,所以EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n ,又EF ⊄平面PDC , 所以EF ∥平面PDC.(2)由(1)知,CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,3),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,-2√3,0), 设F (x ,y ,z ),BF⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-2,y ,z-3)=13BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =-43,23√3,-1, 所以F23,23√3,2,所以AF⃗⃗⃗⃗⃗ =23,23√3,-1.设平面PBC 的法向量为n 1=(x ,y ,z ),则{n 1·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 1·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{3z =0,4x -2√3y =0,取y=1,得n 1=√32,1,0,所以cos <AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n 1>=AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 1|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 1|=23×√32+23√3√49+43+1×√34+1=√353×√72=6√2135, 所以直线AF 与平面PBC 所成角的正弦值为635√21.拓展 解:(1)证明:以A 为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图所示,则A 1(0,0,3),C (2,0,0),M (0,1,0),N (1,1,3),Q 1,1,32,∴A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0),A 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1,1,-32,CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1,0),CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,3),∴A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23,23,0,∴PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13,13,-32.设平面A 1CM 的法向量为n=(x ,y ,z ),则{n ·CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{-2x +3z =0,-2x +y =0,取z=2,得n=(3,6,2),∴PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n=3×13+6×13-2×32=0,∴PQ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n , 又PQ ⊄平面A 1CM ,∴PQ ∥平面A 1CM.(2)假设在线段AA 1上存在点S ,使得直线CS 与平面A 1CM 所成角的正弦值为√214. 不妨设AS=h (0≤h ≤3), 则S (0,0,h ),∴CS⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,h ), ∴|cos <CS ⃗⃗⃗⃗ ,n>|=|CS⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||CS⃗⃗⃗⃗⃗ ||n |=√4+ℎ2×7, ∴7√4+ℎ2=√214,解得h=2或h=347(舍),∴当点S 为线段AA 1上靠近A 1的三等分点时,直线CS 与平面A 1CM 所成角的正弦值为√214.探究点三例3 解:(1)证明:由题可知,AA 1⊥平面ABC ,∵AC ∥A 1C 1,AC=A 1C 1,E ,F 分别是AC ,A 1C 1的中点,∴AE=A 1F ,∴四边形AEFA 1是平行四边形, ∴EF ∥AA 1,∴EF ⊥平面ABC ,又AC ⊂平面ABC ,∴EF ⊥AC.∵AB=BC ,E 是AC 的中点, ∴BE ⊥AC ,又BE ∩EF=E , ∴AC ⊥平面BEF.(2)∵AA 1∥EF ,∴∠BFE 为异面直线AA 1与BF 所成的角,即∠BFE=45°,∴EF=BE.∵AC ⊥平面BEF ,∴∠CBE 为直线BC 与平面BEF 所成的角, ∴sin ∠CBE=√55,∴tan ∠CBE=12,∴BE=2CE.以E 为原点,EB ,EC ,EF 所在直线分别为x ,y ,z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示,设CE=1,则B (2,0,0),C (0,1,0),D (0,-1,1),B 1(2,0,2), ∴DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,-1),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1,0),CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-1,2).设平面BCD 的法向量为m=(x 1,y 1,z 1),则{m ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{2y 1-z 1=0,-2x 1+y 1=0,取x 1=1,得m=(1,2,4).设平面CDB 1的法向量为n=(x 2,y 2,z 2),则{n ·DC⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{2y 2-z 2=0,2x 2-y 2+2z 2=0, 取y 2=1,得n=-32,1,2,∴cos <m ,n>=m ·n|m ||n |=172√21×√292=17√609609.设平面BCD 与平面CDB 1的夹角为θ,则cos θ=|cos <m ,n>|=17√609609, ∴平面BCD 与平面CDB 1夹角的余弦值为17√609609. 变式 解:(1)证明:取AC 的中点D ,连接PD ,BD ,∵△PAC 为等腰直角三角形,D 为中点,∴PD ⊥AC ,又△ABC 为正三角形,D 为中点,∴BD ⊥AC ,又PD ∩BD=D ,PD ⊂平面PBD ,BD ⊂平面PBD ,∴AC ⊥平面PBD.∵PB ⊂平面PBD ,∴PB ⊥AC.(2)∵平面PAC ⊥平面ABC ,平面PAC ∩平面ABC=AC ,PD ⊂平面PAC ,PD ⊥AC ,∴PD ⊥平面ABC.由(1)知BD ⊥AC ,以D 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A (1,0,0),B (0,√3,0),C (-1,0,0),P (0,0,1),∴DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0),CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,1),CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,0). 设n=(x ,y ,z )为平面PBC 的法向量,则{CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,CB⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,即{x +z =0,x +√3y =0, 取x=1,得n=1,-√33,-1,又DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0)是平面PAC 的一个法向量, ∴cos <DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n>=DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n |DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n |=-√77, 设平面APC 与平面PCB 的夹角为θ,则cos θ=|cos <DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n>|=√77, ∴平面APC 与平面PCB 夹角的余弦值为√77.拓展 解:(1)证明:∵AB ∥CD ,CD ⊥AD ,AD=CD=2AB=2,F 为CD 的中点,∴四边形ABFD 为矩形,∴AB ⊥BF.∵DE=EC ,F 为CD 的中点,∴DC ⊥EF ,又AB ∥CD ,∴AB ⊥EF.∵BF ∩EF=F ,∴AB ⊥平面BEF.又AB ⊂平面ABE ,∴平面ABE ⊥平面BEF.(2)由(1)知DC ⊥EF ,又PD ∥EF ,AB ∥CD ,∴AB ⊥PD.又AB ⊥AD ,PD ∩AD=D ,∴AB ⊥平面PAD ,∴AB ⊥PA.以A 为原点,AB 所在直线为x 轴,AD 所在直线为y 轴,AP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系,如图所示,则B (1,0,0),D (0,2,0),P (0,0,a ),C (2,2,0),E 1,1,a 2, 所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2,0),BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,1,a 2. 易得平面ABCD 的一个法向量为n 1=(0,0,1).设平面EBD 的法向量为n 2=(x ,y ,z ),由{n 2⊥BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n 2⊥BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得{n 2·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 2·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{-x +2y =0,y +az 2=0, 取y=1,得x=2,z=-2a , 则平面EBD 的一个法向量为n 2=2,1,-2a , ∴cos θ=2a√4+1+4a 2=√5a 2+4.又∵平面EBD 与平面ABCD 的夹角θ∈π4,π3,∴cos θ∈12,√22, 即2√5a 2+4∈12,√22,∴2√55≤a ≤2√155, 故a 的取值范围是2√55,2√155.【课堂评价】 1.C [解析] ∵l 的方向向量与平面α的法向量的夹角为120°,∴它们所在直线的夹角为60°,则直线l 与平面α所成的角为90°-60°=30°.2.A [解析] 设两个平面的夹角为θ,则|cos θ|=|cos <m ,n>|=√6×√2=√36,故cos θ=±√36. 3.D [解析] 如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=BC=2,AA 1=1,以D 为原点,DA 所在直线为x 轴,DC 所在直线为y 轴,DD 1所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系,则B (2,2,0),C 1(0,2,1),D (0,0,0),D 1(0,0,1),所以BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,1),DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0),DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1).设平面BB 1DD 1的法向量为n=(x ,y ,z ),则{n ·DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +2y =0,n ·DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =z =0,取x=1,得n=(1,-1,0).设直线BC 1与平面BB 1DD 1所成角为θ,则sin θ=|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n |=√5×√2=√105.故选D .4.A [解析] 在四面体OABC 中,OA=OB=OC ,OA ⊥OB ,OB ⊥OC ,OC ⊥OA ,以O 为原点,OA 所在直线为x 轴,OB 所在直线为y 轴,OC 所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示,设OA=OB=OC=1,则A (1,0,0),B (0,1,0),C (0,0,1),O (0,0,0),所以AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,0),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1),OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1).设平面ABC 的法向量为n=(x ,y ,z ),则{n ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-x +y =0,n ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-x +z =0,取x=1,得n=(1,1,1),由题知平面AOC 的一个法向量为m=(0,1,0),设平面BAC 与平面ACO 的夹角为θ,则cos θ=|cos <m ,n>|=|m ·n ||m ||n |=√3=√33,故平面BAC 与平面ACO 夹角的余弦值为√33.故选A .。
用空间向量研究夹角1
B
(0, ]
2
[0 ,90 ]
A
o
[0,π]
例题解析
例7 如图1.4-19，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形) ABCD中， M， N分别为BC， AD的
中点，求直线AM和CN夹角的余弦值。
解：如图1.4 19, 以{CA, CB, CD}作为基底, 则MA CA CM CA 1 CB,
分析：因为降落伞匀速下落，所以降落伞8根绳子拉力的合力的大小等于礼物重力的大小．8 根绳子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量的和向量与礼物的重力是一对相反向量．
解：如图1.4 24, 设水平面的单位法向量为n, 其中每一根绳子的拉力
均为F .因为n, F 30,所以F在n上的投影向量为
3 F n.
cos cosn1, n2
n1 n2 n1 n2
n1 n2 n1 n2
n1
例题解析
例8 如图1.4 22, 在直三棱柱ABC A1B1C1中, AC CB 2, AA1 3, ACB 90, P为BC的中点, 点Q, R分别在棱AA1, BB1上, A1Q 2AQ, BR 2RB1. 求平面PQR与平面A1B1C1夹角的余弦值.
A
2
CN 1 (CA CD), 设向量CN与MA的夹角为 , 则直线AM与CN夹角的 2
N
余弦值等于 cos .
化为向量问题
CN MA 1 (CA CD) (CA 1 CB)
2
2
1
2
CA
1
CA CB
1
CD CA
1
CD CB
1
1
1
1
1
2
4
2
4
2844 2
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16
例1 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，B1E1
D1F1
A1B1 4
，求
BE1
与
DF1 所成的角的余弦值。
z
D1
F1
C1
DF1
0
,
1 4
，1 (0
,
0
,
0)
0
,
1 4
，1 .
A1
E1 B1
BE1
DF1
0
0
1 4
•引入
2019/8/20
•复习
•线线角
•线面角
•二面角
•小结 2
1.若a (a1, a2, a3)，b (b1,b2,b3),则：
数量积： ab | a | | b | cos a,b
a1b1 a2b2 a3b3
夹角公式：cos a b a b
•二面角
•小结 5
题型一：线线角
解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系C xy如z图
所示，设 则CC：1 1 A(1, 0, 0), B(0,1, 0),
C1 z
F1
B1
1
11
F1( 2 , 0, a1), D1( 2 , 2 ,1)
所以：
AF1
(
1 2
, 0,1),
A1
D1
C
By
A
BD1
则D (0,0,0),A 1(1,0,1)
A1
B1
E1,1, 1 , 2
F 1 , 1 ,1 2 2
D A
E
C B
EF 1 , 1 , 1
EF
DA1
1 2
,
1 2
,
1 2
2
1,01
2
0
2
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练习4
利用向量解决 夹角问题
紫阳中学陈兴平
•引入
2019/8/20
•复习
•线线角
•线面角
•二面角
•小结 1
空间向量的引入为代数方法处理 立体几何问题提供了一种重要的工具 和方法，解题时，可用定量的计算代 替定性的分析，从而避免了一些繁琐 的推理论证。求空间角与距离是立体 几何的一类重要的问题，也是高考的 热点之一。本节课主要是讨论怎么样 用向量的办法解决空间角问题。
(
1 2
,
1 2
,1)
cos
AF1, BD1
|
AF1 BD1 AF1 || BD1
|
x 1 1 4
53
30 10
所以 BD与1 所AF成1 角的余弦值为
30 4 2 10
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题型一：线线角
练习： 在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，AB= 5，AD 8,
题型一：线线角
例一：Rt ABC中，BCA 900,现将 ABC沿着
平面ABC的法向量平移到A1B1C1位置，已知
BC CA CC1，取A1B1、A1C1的中点D1、F1，
求BD1与AF1所成的角的余弦值. C1
F1 D1
B1
A1 C
B
A
•引入
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•复习
•线线角
•线面角
D1
C1
A1
B1
证明: DB1 DA DC DD1，AC DC DAA
B
DB1 AC (DA DC DD1)(DCDA)0
DB1 AD1 (DA DC DD1)(DD1 DA)0
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练习4
D1
C1
证明: 建立如图空间直角坐标系 A1
1 4
11
15 16
,
D
O
A
x
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C
y | BE1 |
17 4
, | DF1 |
17 . 4 15
B
cos
BE1
,
DF1
|
BE1 BE1 |
DF1 | DF1
|
16 15 .
17 17 17
4
4 17
例2
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z
D1 A1
C1 B1
D
E
F
C
y
A
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A
xx
OO··
B
C
y
y
y
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例4．已知点P是平行四边形ABCD所在平
面外一点，AB (2, 1, 4) AD (4, 2,0) 如果 AP (1, 2, 1)，
(1)求平面 ABCD 的一个法向量；
（2）求证：AP 是平面ABCD的法向量；
（3）求平行四边形ABCD的面积．
D1
F1
C1
立空间直角坐标系 O xyz ，则
A1
E1 B1
B(1,1, 0)
,
E1 1,
3 4
, 1
,
D
O
A
x
Cy
D(0 , 0 , 0)
,
F1
0
,
1 4
，1 .
B
BE1
1 ,
3 4
, 1
(1 , 1 ,
0)
0
,
1 4
, 1
,
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AM A1D＝0 A1D AM .
D1 C1
Dy
C
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题型二：二面角
二面角的范围： [0, ]
n2
A
n1
O
B
n2
n1
cos | cos n1, n2 |
cos | cos n1, n2 |
关键：观察二面角的范围
•引入
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•引入
2019/8/20
•复习
•线线角
•线面角
•二面角
•小结 11
题型三：线面角
例二： 在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，AB= 5，AD 8,
AA1 4, M为BC1上的一点,且B1M 2,点N在线段A1D上，
A1D AN. (1)求证：A1D AM .
z
（2）求AD与平面ANM所成的角. A1 N
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练习
１.在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1 中，E,F分别是
DD1, DB中点，G在棱CD上，CG= 1 CD ，H是C1G的中点，
4
（1）求证：EF B1C ；
z
（2）求EF与C1G所成的角的余弦； D1
C1
（3）求FH的长
A1 E
B1 H
（4）求平面EFH的一个法向量
c2o01s9/8/20n1, n2
|
n1 n2 n1 || n2
|
6 3
即所求二面角得余弦值是 6 3 10
题题型型二三：：线线面面角角
直线与平面所成角的范围： [0, ]
2
An
思考：
B O
n, BA 与的关系？
结论： sin | cos n, AB |
•线面角
•二面角
•小结 3
题型一：线线角
异面直线所成角的范围：
0,
2
C
D
思考：
A D1 B
CD, AB 与的关系？
DC, AB 与的关系？
结论： cos | cos CD, AB |
•引入
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•复习
•线线角
•线面角
•二面角
•小结 4
AA1 4, M为B1C1上的一点,且B1M 2,点N在线段A1D上，
A1D AN. (1)求证：A1D AM .
z
（2）求AD与平面ANM所成的角. A1 N B1 M
A(0, 0, 0), A1(0, 0, 4),D(0,8, 0), M (5, 2, 4)
A
AM (5, 2, 4), A1D (0,8, 4), x B
（用空间向量法解决以上问题）
A x
D F
G
C y
B
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练习2.证明四点A(1,0,1),B(4,4,6),C(2,2,3),
D(10,14,17) 共面
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练习 3 证明:
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D1 A1
F
C1
B1
D A
E C
B
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练习 3
证明: 建立空间直角坐标系O-xyz D1 F C1
1
, 0)
B
C
CD (1, 1 , 0), SD (0, 1 , 1) 2
2
2
xA D y
设平面SCD的法向量n2 (x, y, z), 由n2 CD, n2 SD,得：
x2y2yz
0 0
x
z
y 2 y 2