用空间向量计算夹角问题

16
例1 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，B1E1

D1F1

A1B1 4
，求
BE1
与
DF1 所成的角的余弦值。
z
D1
F1
C1
DF1

0
,
1 4
，1 (0
,
0
,
0)

0
,
1 4
，1 .
A1
E1 B1
BE1
DF1

0

0



1 4


•引入
2019/8/20
•复习
•线线角
•线面角
•二面角
•小结 2
1.若a (a1, a2, a3)，b (b1,b2,b3),则：
数量积： ab | a | | b | cos a,b
a1b1 a2b2 a3b3
夹角公式：cos a b a b
•二面角
•小结 5
题型一：线线角
解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系C xy如z图
所示，设 则CC：1 1 A(1, 0, 0), B(0,1, 0),
C1 z
F1
B1
1
11
F1( 2 , 0, a1), D1( 2 , 2 ,1)
所以：
AF1

(
1 2
, 0,1),
A1
D1
C
By
A
BD1
则D (0,0,0),A 1(1,0,1)
A1
B1
E1,1, 1 , 2
F 1 , 1 ,1 2 2
D A
E
C B
EF 1 , 1 , 1

EF

DA1



1 2
,
1 2
,
1 2


2
1,01

2
0
2
2019/8/20
24
练习4
利用向量解决 夹角问题
紫阳中学陈兴平
•引入
2019/8/20
•复习
•线线角
•线面角
•二面角
•小结 1
空间向量的引入为代数方法处理 立体几何问题提供了一种重要的工具 和方法，解题时，可用定量的计算代 替定性的分析，从而避免了一些繁琐 的推理论证。求空间角与距离是立体 几何的一类重要的问题，也是高考的 热点之一。本节课主要是讨论怎么样 用向量的办法解决空间角问题。

(
1 2
,

1 2
,1)
cos

AF1, BD1


|
AF1 BD1 AF1 || BD1
|
x 1 1 4
53
30 10
所以 BD与1 所AF成1 角的余弦值为
30 4 2 10
2019/8/20
6
题型一：线线角
练习： 在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，AB= 5，AD 8,
题型一：线线角
例一：Rt ABC中，BCA 900,现将 ABC沿着
平面ABC的法向量平移到A1B1C1位置，已知
BC CA CC1，取A1B1、A1C1的中点D1、F1，
求BD1与AF1所成的角的余弦值. C1
F1 D1
B1
A1 C
B
A
•引入
2019/8/20
•复习
•线线角
•线面角
D1
C1
A1
B1
证明: DB1 DA DC DD1，AC DC DAA
B
DB1 AC (DA DC DD1)(DCDA)0
DB1 AD1 (DA DC DD1)(DD1 DA)0
2019/8/20
25
练习4
D1
C1
证明: 建立如图空间直角坐标系 A1
1 4
11

15 16
,
D
O
A
x
2019/8/20
C
y | BE1 |
17 4
, | DF1 |
17 . 4 15
B
cos

BE1
,
DF1

|
BE1 BE1 |

DF1 | DF1
|

16 15 .
17 17 17
4
4 17
例2
2019/8/20
z
D1 A1
C1 B1
D
E
F
C
y
A
2019/8/20
A
xx
OO··
B
C
y
y
y
19
例4．已知点P是平行四边形ABCD所在平
面外一点，AB (2, 1, 4) AD (4, 2,0) 如果 AP (1, 2, 1)，
(1)求平面 ABCD 的一个法向量；
（2）求证：AP 是平面ABCD的法向量；
（3）求平行四边形ABCD的面积．
D1
F1
C1
立空间直角坐标系 O xyz ，则
A1
E1 B1
B(1,1, 0)
,
E1 1,
3 4
, 1
,
D
O
A
x
Cy
D(0 , 0 , 0)
,
F1

0
,
1 4
，1 .
B
BE1

1 ,
3 4
, 1

(1 , 1 ,
0)


0
,

1 4
, 1
,
2019/8/20
AM A1D＝0 A1D AM .
D1 C1
Dy
C
2019/8/20
7
题型二：二面角
二面角的范围： [0, ]
n2
A

n1
O
B
n2
n1


cos | cos n1, n2 |
cos | cos n1, n2 |
关键：观察二面角的范围
•引入
2019/8/20
2019/8/20
26
•引入
2019/8/20
•复习
•线线角
•线面角
•二面角
•小结 11
题型三：线面角
例二： 在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，AB= 5，AD 8,
AA1 4, M为BC1上的一点,且B1M 2,点N在线段A1D上，
A1D AN. (1)求证：A1D AM .
z
（2）求AD与平面ANM所成的角. A1 N
2019/8/20
20
练习
１.在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1 中，E,F分别是
DD1, DB中点，G在棱CD上，CG= 1 CD ，H是C1G的中点，
4
（1）求证：EF B1C ；
z
（2）求EF与C1G所成的角的余弦； D1
C1
（3）求FH的长
A1 E
B1 H
（4）求平面EFH的一个法向量
c2o01s9/8/20n1, n2

|
n1 n2 n1 || n2
|

6 3
即所求二面角得余弦值是 6 3 10
题题型型二三：：线线面面角角
直线与平面所成角的范围： [0, ]
2
An
思考：
B O
n, BA 与的关系？
结论： sin | cos n, AB |
•线面角
•二面角
•小结 3
题型一：线线角
异面直线所成角的范围：



0,

2

C
D
思考：

A D1 B
CD, AB 与的关系？
DC, AB 与的关系？
结论： cos | cos CD, AB |
•引入
2019/8/20
•复习
•线线角
•线面角
•二面角
•小结 4
AA1 4, M为B1C1上的一点,且B1M 2,点N在线段A1D上，
A1D AN. (1)求证：A1D AM .
z
（2）求AD与平面ANM所成的角. A1 N B1 M
A(0, 0, 0), A1(0, 0, 4),D(0,8, 0), M (5, 2, 4)
A
AM (5, 2, 4), A1D (0,8, 4), x B
（用空间向量法解决以上问题）
A x
D F
G
C y
B
2019/8/20
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练习2.证明四点A(1,0,1),B(4,4,6),C(2,2,3),
D(10,14,17) 共面
2019/8/20
22
练习 3 证明:
2019/8/20
D1 A1
F
C1
B1
D A
E C
B
23
练习 3
证明: 建立空间直角坐标系O-xyz D1 F C1
1
, 0)
B
C
CD (1, 1 , 0), SD (0, 1 , 1) 2
2
2
xA D y
设平面SCD的法向量n2 (x, y, z), 由n2 CD, n2 SD,得：
x2y2yz

0 0


x


z

y 2 y 2
任取n2 (1, 2,1)
sin | cos n, AB |
3.二面角：
cos | cos n1, n2 | cos | cos n1, n2 |
关键：观察二面角的范围
2019/8/20
C
D
A D1

B
A
n
B O
n2 n1


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例1、如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1
A(0, 0, 0), A1(0, 0, 4), D(0,8, 0),
B1 M
C1
A
AD (0,8,0), A1D (0,8, 4),
Dy
25
cos AD, A1D 5
AD与平面ANM 所成角的正弦值是
xB
25
C
5
•引入
2019/8/20
•复习
•线线角
•线面角
•二面角
•小结 12
题型三：线面角
练习： 正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为1.
求B1C1与面AB1C所成的角.
A1
B1
D1 C1
A B
D C
•引入
2019/8/20
•复习
•线线角
•线面角
•二面角
•小结 13
小结：
1.异面直线所成角：
cos |cos CD, AB |
2.直线与平面所成角：
B
x 18
例3.如图,空间四边形PABC的每条边及对角
线的长都是２，试建立空间直角坐标系，并
求出四个顶点的坐标.
0,,01,3,003 ,1,0
CC002,3,1323,,,001,30,,00,0,0
z
zz
P
CPPP 033,330,3,0,132,,2,2313x,36606
a1b1 a2b2 a3b3
| a | | b | a12 a22 a32 b12 b22 b32
2.若A(x1, y1, z1), B(x2 , y2 , z2 )，则：
AB (x2 x1, y2 y1, z2 z1)
•引入
2019/8/20
•复习
•线线角
B1
则 D (0,0,0),B 1(1,1,1)
AD
C
B
A (1,0,0),D 1(0,0,1),C (0.1,0),
DB1 (1,1,1), AD (1,01), CD (0,1,1)
AD1 DB1, AC DB1 又AD1 AC A,
DB1 平面ACD1
SA 平面ABCD, SA AB BC 1, AD 1 , 求面SCD与面SBA
所成二面角的余弦值.
2z
解：建立空直角坐系A - xyz如所示,
S
A (0,0,0), C (- 1,1,0), D (0,1 , 0), S(0, 0,1)
易知面SBA的法向量n1

2
AD
(0,
中成B1E，的1 角D1的F1 余 14弦A1值B1
DF1 ，BE求1 与
z
所
D1
F1
C1
A1
E1 B1
2019/8/20
D
xA
C B
y
15
例1 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，B1E1

D1F1

A1B1 4
，求
BE1
与
DF1 所成的角的余弦值。
z
解：设正方体的棱长为1，如图建
•复习
•线线角
•线面角
•二面角
•小结 8
题型二：二面角 例三 如所示，A B C D 是一直角梯形，A B C = 900,
SA 平面ABCD, SA AB BC 1, AD 1 ,求面SCD与面SBA 2
所成二面角的余弦值.
S
B
C
A
D
2019/8/20
9
例三 如所示， A B C D 是一直角梯形，A B C = 900 ,