2011年华约自主招生联考数学试题解析
2011北约华约自主招生联考笔试试题
2011北约华约自主招生联考笔试试题2011北约华约自主招生联考笔试试题华约试题英语：考题回放：第一项，完型填空，20个空，每空1.5分，共30分；第二项，文章填空，从一篇文章中抽出五个短句，要求考生将抽出的短句填在合适的位置上，每空3分；第三项，将一篇英语短文翻译并概括为200字左右的中文，20分；第四项，翻译，将五个与教育相关的中文句子翻译为英文；第五项，作文，以第四项翻译的内容为背景，请考生谈谈自己的看法。
语文：-《阅读和写作》阅读部分(50分)一、现代文阅读：杨福家的《哥本哈根精神》二、现代文阅读：老舍的《五九》三、古代诗文阅读1.辛弃疾《清平乐校检山园，书所见》2.《南齐书良政》断句3.翻译《论语泰伯》《韩非子外储说右下》4.写作部分(50分)你对忧患意识是怎样认识的？请写一篇文章，谈谈你的思想和认识，角度自选，立意自定，标题自拟；不要编造虚假事实论据，不要套作，不得抄袭。
文科：考题回忆版：1、根据材料论述法国农民与法兰西第三共和国间的关系。
2、北极冰川融化对国际贸易的影响(11分)北极冰川融化对生态环境的影响(10分)。
3、论述题(10分)，给定三段材料，大致内容为：网络在线阅读的弊端在于内容冗杂，使阅读的有效性降低。
它的浏览方式使得读者无法进行更深层次的思考。
网络在线阅读方式的出现所引发的争议在打印机打印取代传统手写等过程中同样有过。
请结合材料分析，人们利用网络在线阅读得到的比失去的要多。
4.阅读材料，回答问题。
材料一“各级领导干部要自觉贯彻群众路线、切实转变作风，多做顺民意、解民忧、得民心的实事，坚决纠正损害群众利益的行为。
”——胡锦涛材料二某地政府官员以破坏了政府办公楼的“风水”为由要强行拆除一座楼房，遭到抵制后说出了“跟政府作对就是恶”的话，在网络上被称为“最雷人官话”之一。
在现实生活中，政府的具体行为并非总是与民众的意愿一致，有时甚至会产生矛盾冲突。
从人民与政府的关系来看，为什么不能说“跟政府作对就是恶”？理科：物理70分，化学30分。
2011年北京大学等13所大学自主招生数学试题解答
的二次 函数 表达式 ， 后实 现 ２个解题 目标． 最
解 法 ２ 设 等差 数列 ｛ 的公 差 为 ｄ， ３ 口｝ 则 一ａ 一
ａ ＋ ４ ＝ 一 １ ４４ ，解 得 ＝４ ０ 则 通 项 。 ｄ ３ －ｄ ＝ ＞ ， ＝
ａ 一 ａ ４ （ｚ ３ ｄ一 ４ 一 ２ ． ３ － ，一 ） ｎ ５
１ ．解 法 １ 思路 提示 ） 两次运 用余 弦定 理 ． （
解 法 ２ 设题设 的平行 四边 形 的另一 条对 角 线 的 长 度等 于 ｚ， 运用 结论 “ 则 平行 四边 形两 条对 角线 长 的 平 方等 于 四边长 的平 方 和” ｚ ４ ６ 一２ ３ ＋５ ） 解 得 － （ ，
６ ．设 Ｃ 和 ｃ 是 平 面上 两 个不 重 合 的 固定 圆周 ， 。 设 ｃ是该 平 面上 的一个 动 圆 ， 与 ｃ 它 和 Ｃ 均 相 切 ， 。 问 Ｃ的 圆心轨 迹是 何种 曲线 ？请 证 明你 的结论 ． ７ ．求 ｌ 一１ ＋ ｌｚ一 １ ＋ … ＋ １ １ ｚ １ 的最 小 ｚ Ｉ ２ ｌ ０１ 一 ２ ｌ
ｆ ｖ一 ２ — ２ ｘ２ ｘ一 】。
≤ ２ ｉ ｑ Ｂ一 ｓｎＡ －
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一
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解 法 ２ 联 立 方程 组
一 － ５￣ ＋ ２ ５２ ｚ＋ ３ ．
消去
￣ ２ｓｎ —８ ｉ １Ｏ
－ —
２ 。ｓ－Ⅲ ｃ Ｃ
一
得
同理得 ６ ２ —１ ． ｚ ＋７ ２ —０
詈
１ ．已知平 行 四边 形 的 两 边 长 分别 是 ３和 ５ 一 条 对 ， 角线 长是 ６ 求 另一 条对 角线 的长 度． ，
① ×５ ＋② ×２ ７ １ 得 ｙ 一一６ １ － ， ６ ＋７ １ ＝０ ｘ １ 即 ｌ —１ ． ４ 所 以， 两交 点 Ａ、 都 在直 线 ６ Ｂ ｚ＋７ 一 １ ０上 ， ． ｙ —
华师一自主招生数学试卷及答案2011年
5 如果多项式 x2 + px +12 以 解成两个一 因式的 那么整数 p 的值是
6 如 图所示 P 是边长为 1 的 角形 ABC 的 BC 边 一点 从 P 向 AB 作垂线 PQ Q 为垂足 延长 QP AC 的延长线交于 R 设 BP= x
0 ≤ x ≤ 1 △BPQ △CPR 的面 之和为 y 把 y 表示为 x 的函数是
6 1 方程有两个实数根 则 m2 − 1 ≠ 0 解方程得
x1
=
6 m +1
x2
=
3 m −1
故m = 2
题意 得 m +1 = 1, 2, 3, 6, 即 m = 0,1,2,5,
m −1 = 1,3,
m = 2,4.
2 把 m = 2 代入两等式 化简得 a 2 − 4a + 2 = 0 b2 − 4b + 2 = 0
5
55
又 点 C3 点 C2 关于原点对
得 C3 − 2 5, − 4 5 55
Байду номын сангаас
N
C
若
等腰
角形以 OA 为
边
则 C4 的纵坐标为 1
1 从而其横坐标为
得 C4
1 ,1
.
2
2
所以 满足题意的点 C 有 4 个 坐标 为
8 ,16 55
2 5, 4 5 55
− 2 5,− 4 5 55
C4 1 ,1 2
1
列图中阴影部 面
算式
−
3 4
+
1 2 2
+ 2−1 的结果相同的是………………
2 列命题中 确的个数有…………………………………………………………… 实数 是有理数就是无理数 a a a 121 的平方根是 ±11 在实数范围内
2011“北约”“华约”“卓越”自主招生考试试题及参考答案
2011年“北约”自主招生选拔考试语文试题及参考答案一、选择正确的或者最好的表达形式10分1、为维护语言的纯洁禁止在广告中用谐音字______成语。
A篡改B窜改C纂改2、大家推举在学界______的朱德熙先生担任学会主席。
A深负众望B不负众望C深孚众望3、只要有诚心再厚的冰也会______。
A融化B熔化C溶化4、棋摊摊主卖个破绽引路人______骗取钱财。
A入网B入瓮C入彀5、所有机票代售点一律不得向旅客收取或______收取手续费。
A变向B变相C 变项6、当时正值三年自然灾害______尚有困难有谁操心可有可无的戏班子的存亡。
A 裹腹B裹肤C果腹7、政府领导作为人们的公仆要______都关心群众的疾苦。
A不时不刻B时时刻刻C无时无刻8、我国的农业生产取得了举世______的伟大成就首先应归功于改革开放的政策。
A瞩目B侧目C注目9、中国队20号前锋一脚远射令对方门将______皮球正入网中。
A措不及防B猝手及防C猝不及防10、把这些数据放在一起就能看出______来。
A端倪B端睨C端眤二、文言文阅读10分州郡遇圣节锡宴率命猥妓数十群舞于庭作“天下太平”字殊为不经。
而唐《乐府杂录》云“舞有字以舞人亚身于地布成字也。
”王建《宫词》云“罗衫叶叶绣重重金凤银鹅各一丛。
每遇舞头分两向太平万岁字当中。
”则此事由来久矣。
周密《齐东野语》1、文中所叙是一种什么景象周密对此有何看法2、结合现实生活中所见谈谈你对类似现象的看法。
三、将下段古文翻译为现代汉语20分古者先王尽力于亲民加事于明法彼法明则忠臣劝罚必则邪臣止忠劝邪止而地广主尊者秦是也群臣朋党比周以隐正道、行私曲而地削主卑者山东是也乱弱者亡人之性也治强者王古之道也越王勾践恃大朋之龟与吴战而不胜身臣入宦于吴反国弃龟明法亲民以报吴则夫差为擒故恃鬼神者慢于法恃诸侯者危其国《韩非子·饰邪》四、现代文阅读20分不久前我在鄯善迪坎儿村见一大棵梭梭树长在路旁。
我从小认识梭梭见了亲切的很就像看见一个亲人站在那儿。
2011华约试题
2011年清华等高校联合自主招生试题一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，有一个或多个选项符合题目要求，把符合题目要求的选项前的字母填在题后括号内)1．根据玻尔原子理论，当一个氢原子吸收一个光子后 ( B )A ．氢原子所处的能级下降B ．氢原子的电势能增大C ．电子绕核运动的轨道半径减小D ．电子绕核运动的动能增加2．如图所示，AB 杆以恒定角速度ω绕A 点转动，并带动套在水平杆OC 上小环M 运动．运动开始时，AB 杆在竖直位置，则运动中小环M 的加速度将（A ） A ．逐渐增大 B ．先减小后增大 C ．先增加后减小D ．逐渐减小3．在杨氏双缝干涉实验中，如果单色光源S 从图所示的中轴位置沿垂直SO 的方向向上移动一段微小的距离，则中心干涉条纹向何方向移动?相邻明条纹间的间距如何变化? ( C )A ．相邻明条纹间的间距不变中心干涉明条纹向上移动B ．相邻明条纹间的间距变大中心干涉明条纹向下移动C ．相邻明条纹间的间距不变中心干涉明条纹向下移动Ｄ．相邻明条纹间的间距变小中心干涉明条纹向上移动上移动4．一质点沿直线做简谐运动，相继通过距离为16cm 的两点A和B ，历时ls ，并且在A 、B两点处具有相同的速率；再经过ls ，质点第二次通过B 点，该质点运动的周期和振幅分别为( D)A ．3s ，83cmB ．3s ，82cmC ．4 s ，83cmD ．4s ，82cm5．水流以与水平方向成角度θ的速度冲入到水平放置的水槽中，则从左面流出水量的和从右面流出的水量的比值可能为 (D )A ．l 十2sin 2θB ．l 十2cos 2θC ．l+2tan 2θD ．l 十2cot 2θ6．如图所示，带电质点P 1固定在光滑的水平绝缘桌面上，在桌面上距P 1一定距离处有另一个带电质点P 2，P 2在桌面上运动，某一时刻质点P 2的速度沿垂直于P 1P 2的连线方向，则 ( ACD) A ．若P 1、P 2为同种电荷，以后P 2一定做速度变大的曲线运动B ．若P 1、P 2为同种电荷，以后P 2一定做加速度变大的曲线运动2 PC ．若P 1、P 2为异种电荷，以后P 2的速度大小和加速度大小可能都不变D ．若P 1、P 2为异种电荷，以后P 2可能做加速度、速度都变小的曲线运动7．空间某区域内存在匀强磁场，磁场的上下边界水平，方向向和竖直平面（纸面）垂直，两个由完全相同的导线制成的刚性线框a 和b ，其形状分别是周长为4l 的正方形和周长为6l 的矩形，线框a 和b 在竖直平面内从图示位置开始自由下落，若从开始下落到线框完全离开磁场的过程中安培力对两线框的冲量分别为I a 、I b ，则I a ∶I b为 ( A ) A ．3:8 B ．1:2 C ．1:1 D ．3:2二、实验题(共12分，根据题目要求作答)11．当压强不变且温度变化量T 不太大时，液体或固体在某一温度下的体膨胀系数α可以表示为T V V ∆∆=α，式中为该温度时的体积，△V 为体积的变化量．一般来说，在常温下液体的体膨胀系数分别在10-3/K 量级和10-6~10-5/K 量级．如图所示的装置，可以用来测量控温箱中圆筒形玻璃控温箱容器内液体的体膨胀系数，实验步骤如下：①拿掉浮标，将液体的温度调为接近室温的某一温度T 0，测量液柱的高度化h ．②放入浮标，保持压强不变，将液体的温度升高一个不太大的量△T ，用精密的位置传感器确定指针高度的变化量△h ．③利用步骤①和②中测得的数据，计算液体在T 0时的体膨胀系数α．回答下列问题：(1)不考虑温度变化导致的液体密度变化，写出用测量量表示的α的表达式；(2)步骤②在温度升高过程中，液体密度变化会对用上面的表达式计算出的结果有什么影响?为什么?(3)当所用的浮标为直立圆柱体时，某同学对如何减少这一影响提出以下条几建议，其中有效的是 ．(填大入正确选项前的字母)A ．选用轻质材料制成的浮标B ．选用底面积较大的浮标C ．选用高度较小的浮标D ．尽量增大液柱的高度hE ．尽量选用底面积大的玻璃容器解析 (1)不考虑温度变化导致的液体密度变化，由于液体质量不变，则液体的体积V 不变.设圆筒形玻璃容器内液体的底面积为S ，则Th h T Sh h S T V V ∆∆=∆∆=∆∆=α (2) α会偏大．因为温度升高，导致液体体积变大，故液体密度ρ液会变小，根据阿基米德定× × × × × × B a b l 2l律可得ρ液V 排g=ρ物V 物g ，则V 物变大，即浮标进入液体的深度会更深，测得的△h 会偏大，α会偏大．(3)由ρ液V 排g=mg 可知，浮标质量越小，对V 物的影响就越小，即对△h 的影响减少，故A 选项正确．从ρ液V 排g=ρ物V 物g 可知，浮标底面积的大小及浮标的高度都不影响V 物，即△h 不变，则B 、C 选项错误；增大液柱的高度h 、选用底面积较大的玻璃容器，浮标进入液体的深度变化对液柱高度的变化量△h 影响减小，则D 、E 选项正确三、推理、论证题(共32分．解答时应写出必要的文字说明和推理过程)14．我们知道，在压强不太大、温度不太低的情况下，气体分子本身的大小比分子间的距离要小很多，因而，在理想气体模型中通常会忽略分子的大小．己知液氮的密度ρ=810kg/m 3，氮气的摩尔质量M mol =28×10-3kg/mol ．假设液氮可看作是由立方体分子堆积而成的，根据所给数据对标准状态下的氮气做出估算，说明上述结论的合理性．解析 1个氮分子自身的体积为3293232mol 0m 108.5m 1002.68101028--⨯=⨯⨯⨯==A N M V ρ 1个氮分子的边长为m 104m 108.51032930--⨯≈⨯==V l1个氮气分子占据的体积为 AN V V m ol =氮气分子间的距离为 m 193m 1002.6104.22932333mol 3--⨯≈⨯⨯===A N V V d 比较可知，气体分子本身的大小比分子间的距离要小很多，因此可以忽略分子的大小．四、计算题(共26分·解答时应写出必要的文字说明、方程式和主要演算步骤，只写出最后结果不能得分)15．(12分)竖直墙面和水平地面均光滑，质量分别为m A =m ，m B =3m 的A 、B 两物体如图所示放置，其中物体A 紧靠墙壁，A 、B 之间由质量不计的轻弹簧相连，现对物体B 缓慢施加一个向左的力，该力做功为W ，使A 、B 之间轻弹簧被压缩且保持系统静止，然后突然撤去向左的推力解除压缩，求： （1）从撤去外到物块A 开始运动，墙对A 冲量多大?（2）A 、B 都运动后，A 、B 两物体的最小速度各为多少？解析 (1)压缩弹簧时，外力做的功全部转化为弹性势能；撤去外力后，物体B 在弹力作用下做加速运动；在弹簧恢复原长的过程中，系统的机械能守恒．设弹簧恢复原长时，物体B 的速度为v B0．，则有 20321B mv W ⋅= 得 mW v B 320= 此过程中墙壁对A 的冲量大小等于弹簧对A 的冲量大小，也等于弹簧对B 的冲量大小，则有mW mv I B 630==(2)当弹簧恢复原长后，A 离开墙壁开始运动，因开始时B 的速度比A 的速度大，弹簧伸长，A 在弹簧弹力作用下做加速运动，B 做减速运动，弹簧伸长量增大，当A 、B 速度相等时弹簧伸长到最长，之后A 的速度比B 的速度大，弹簧的形变量减小，过程中A 仍做加速运动，B 仍做减速运动当弹簧恢复到原长时，物体A 的速度为最大，B 的速度最小，此时A 的速度比B 的速度大，弹簧开始压缩，A 做减速运动，B 做加速运动，当弹簧再次恢复到原长时A 的速度最小，B 的速度为最大．设弹簧恢复到原长时A 的速度为为v A ，B 的速度为v B ，在此过程中系统的动量守恒、机械能守恒．则有3mv B0=mv A +3mv B222032121321B A B mv mv mv ⋅+=⋅ 联立解得v A1=0， v B1=v B00223B A v v =，0221B B v v = 所以，物体A 的最小速度为0，B 的最小速度为m W v v B B 62102==． 16.(14分)在xOy 平面内，x ＞0，y ＞0的空间区域内存在匀强电场，场强大小为100V/m ；x ＞0，y ＜3m 的区域内存在垂直于xOy 平面的磁场．现有一带负电的粒子，电量为q =2×10-7C ，质量为m =1×10-6 k g ，从坐标原点O 以一定的初动能射出，经过点P (4，3)时，其动能变为初动能的0.2倍，速度方向平行于y 轴正方向．最后，粒子从y 轴上点M (0，5)射出电场，此时动能变为过O 点时初动能的0.52倍．粒子重力不计．(1)写出在线段OP 上与M 点等电势点Q 的坐标；(2)求粒子由P 点运动到M 点所需的时间．解析 (1)设粒子在O 点时的动能为E k0，则在M 点的动能为0.52E k0，由于洛伦兹力不做功，粒子从O 点到P 点和从P 点到M 点的过程中，电场力做的功分别为―0.8 E k0、―0.48 E k0，O 、P 及O 、M 间的电势差分别为q E U k OP 08.0=、q E U k OM 048.0= 点及M 点的电势差分别为 如图所示，由几何关系知OP 的长度为5m ，沿OP 方向电势均匀降落，电势每米下降qE k 016.0，则OQ =3m ． 设OP 与x 轴的夹角为α，则sin α=3/5，cos α=4/5，Q 点的坐标为x Q =OQ cos α=3×0.8m=2.4my Q =OQ sin α=3×0.6m=1.8m(2)M 、Q 是等势点，MQ 是电场的一条等势线，等势线与电场垂直，可知电场方向沿OP 方向．电场强度的x 分量为E x =E cos α=100×0.8V/m=80 V/m粒子由P 点运动到M 点，在x 方向上作初速度为0的匀加速直线运动，则221t mqE x x P = s 22s 8010241012276=⨯⨯⨯⨯⨯==--x P qE mx t。
华约自主招生试题
华约自主招生试题一、数学部分1. 有一个集合A={1,2,3,4,5}，请列举出A中的所有子集。
2. 设集合A={a, b, c}，集合B={1, 2, 3}，则集合A与集合B的笛卡尔积为什么？3. 已知函数f(x) = 3x + 4，求f(-2)的值。
4. 已知集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则集合A与集合B的交集为什么？5. 求方程3x^2 - 2x + 1 = 0的解。
6. 在一个等边三角形ABC中，BC=x，求三角形ABC的面积。
7. 已知函数f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x，求f'(x)。
二、英语部分1. 根据所给的短文，回答以下问题：The Great Wall is one of the most famous sights in the world. It is more than 20,000 kilometers long and is known as one of the Seven Wonders of the World. The Great Wall was built over 2,000 years ago to protect the Chinese Empire from invasions. It attracts millions of tourists from all over the world every year.a) How long is the Great Wall?b) Why was the Great Wall built?c) What does the Great Wall attract every year?2. 根据所给的对话，填写空缺处的单词：A: Can you help me with my math homework?B: Sure, what's the problem?A: I can't solve this equation. _______ you show me how?B: Of course, let me take a look. ________ the equation for me.A: It's 3x^2 + 4x - 5 = 0.B: Alright, first we need to find the _______ of the equation. Then we can use the quadratic formula.A: How do we find the _______?B: We look at the coefficient of the x^2 term, which is 3 in this case. Now let's plug the values into the quadratic formula...三、逻辑思维部分1. 莉莉、爱丽丝、汤姆和鲍勃是四个朋友。
2011华约自主招生数学题及解答
AB CO D E 2011华约自主招生数学题及解答∎1：设复数z 满足|z|<1，且|z ̅+1z |=52，则|z|=( ) A.54 B.34 C.23 D.12 解：|zz+1z |=52，||z|2+1|=52|z|，2|z|2−5|z |+2=0，(|z|−2)(2|z|−1)=0，∴|z|=12。
选D∎2：一个正四棱锥P-ABCD ，侧面与底面所成二面角的正切为√2，M 、N 分别为PA 、PB 的中点，则异面直线DM 与AN 夹角θ的余弦值为（ ）A.13B.16C.18D.112 解：建坐标系，设A(1,−1,0)，B(1,1,0)，C(−1,1,0)，D(−1,−1,0)，则P(0,0,√2)，M(12,−12,√22)， N(12,12,√22)，DM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(32,12,√22)，AN ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−12,32,√22)，∴cos θ=12√3√3=16。
选B∎3：过点(−1,1)的直线ℓ与曲线,y=x 3−x 2−2x +1相切，且(−1,1)不是切点，则直线ℓ的斜率是（ ）A.2B.1C.−1D.−2解：设切点(x 0,x 03−x 02−2x 0+1)，y ′=3x 02−2x 0−2，所以x 03−x 02−2x 0x 0+1=3x 02−2x 0−2，可得x 0=1，所以k=−1. 选C ∎4：若A+B=2π3，则cos 2A +cos 2B 的最小值和最大值分别为（ ）A.1−√32, 32B.12,32 C.1−√32, 1+√32D.12,1+√22解：cos 2A +cos 2B =1+cos2A2+1+cos2B2=1+12(cos2A +cos2B)=1+cos(A+B)cos(A −B)=1−12cos (A −B)，当A −B=0时，1−12cos (A −B)=12，当A −B=π时，1−12cos (A −B)=32。
2011年华约自主招生样题分析
2011年华约自主招生样题分析阅读写作语文教师刘学艳英语教师郭静中文部分分现代文阅读、文言文阅读、作文三大题。
现代文《十二点的列车》从文学鉴赏的角度考查学生对文本的个性化解读能力，与巴尔扎克、契诃夫等人的风格类似，让学生能够把课内所学的知识迁移到这篇文章中来，既考查了学生的阅读鉴赏能力，又体现了语文学习的开放性和经典性。
古文部分考查断句和翻译句子，均为课外内容，需要学生具有良好的古文理解力。
写作部分以传统方式考查了一段新型材料，文体是高中学生非常熟悉的给材料议论文，材料兼顾中英文理解。
本次试卷能够很好地考查学生的语文运用能力和语文素养，较好地体现了新课程对高中生语文能力的要求。
英文部分阅读部分的设计，属于根据文章内容选出恰当句子使文章内容完整的新题型。
此类题型考查的灵活度更高，更高层次地考查了考生英语的综合运用能力。
作文部分的设计，使中文和英文两种语言学科结合，既考查了学生对于语文作文的理解能力，又考查了学生的英文写作水平和用英文进行思维、表达交流的能力。
■数学王红革副校长数学教师王斌突出数学学科的基础知识、基本方法、基本能力和基本思想的考查，对中学数学教学有较好的导向作用。
如对复数、排列组合、集合等知识的考查要求学生基本概念清楚、基本公式熟练；试题不刻意追求知识点的覆盖面，如立体几何试卷样题中未反映，但突出高中数学中的主干内容；重点考查用数学知识解决问题的能力，有较大的灵活性，但并不偏、难、怪；突出对思维能力和解题技巧的考查。
圆锥曲线综合题的考查，除了对字母运算有较高的要求外，还突出对数学思想方法、算理和思维策略的考查，试题思维含量大，要有一定的解题技巧。
■自然科学物理教师张茂谊化学教师张天颐试卷学科之间综合程度不大，基本为各学科独立试题，其中物理学科题量占三分之二。
从题型、题量以及理解、运用主干知识和对学生几大能力的要求等方面来看，与高考要求基本相同。
对学生知识掌握程度方面的要求，与课程标准和考纲无异，但对于深层次理解知识，进而灵活运用知识分析和解决问题方面，体现出较高要求。
2011年华约自主招生联考数学试题解析
2011年高水平大学自主选拔学业能力测试（华约）数学试题答案解析注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设复数z 满足||1z <且15||2z z +=，则||z = （A ）45 （B ）34（C ）23（D ）12【答案】D 解：由15||2z z +=得25||1||2z z +=，已经转化为一个实数的方程。
解得|z| =2（舍去），12。
2．在正四棱锥P-ABCD 中，M ，N 分别为PA ，PB 的中点，且侧面与地面所成二面角的正切值为2。
则异面直线DM 与AN 所成交角的余弦值为（A ）13 （B ）16 （C ）18（D ）112【答案】B[分析]本题有许多条件，可以用“求解法”，即假设题中的一部分要素为已知，利用这些条件来确定其余的要素。
本题中可假设底面边长为已知（不妨设为2），利用侧面与底面所成二面角可确定其他要素，如正四棱锥的高等。
然后我们用两种方法，一种是建立坐标系，另一种是平移其中一条线段与另一条在一起。
解法一：如图，设底面边长为2。
如图建立坐标系，则A (1，-1，0)，B (1，1，0)，C (-1，1，0)，D (-1，-1，0)，P (0，0)，则1111(,,(,,)222222M N -，31213(,,),(,,222222DM AN =-=-。
设所成的角为θ，则1cos 6DM AN DM ANθ==。
解法二：如图，设底面边长为2。
平移DM 与AN 在一起。
即M 移到N ，D 移到CD 的中点Q 。
于是QN = DM = AN 。
而PA = PB= AB = 2，所以QN = AN =而AQ =容易算出等腰ΔAQN 的顶角1cos 6ANQ ∠=。
2011年“华约”自主招生笔试试卷评析暨2012年备考建议
—
ｔｎＡ ａ
ｓ２ ｉ ｃ的倒数成等差数列 ，求 ｃ Ｃ的值 ｎ 。 Ａ－
．
ＡＥ ，— Ｃ Ａ—
ＤＦ －Ｄ— ’— Ｅ ，
Ｂ
ｃ
解 （ ） ｔ Ｃ： ｔ （ ＋ ） Ｉ ａ ｎ 一ａ Ａ Ｂ ： ｎ
ｔｎＡ ＋ｔｎＢ ａ ａ
’
整
Ａ— Ｂ
且Ｙ — ＋Ｚ Ｘ：１ ，则 Ａ ＤＦ面 积 的最 大值 为 Ｂ
６
Ｃ
．
Ｄ． ８ １ ２
３ 个省市的 ３ 个城市的考点进行 ， ０ ３ 考生可就近 自由
选择 ． 报考“ 华约” 的考 生要注意 ，７ 所高校虽然统一 招考 ，但各校招 生范围各有不同．
评析 选 Ｂ．本题通过对异面直线的夹角的求法 的考查 ，检测学生数形结合思想及空 间想象能力、 运算求解能力 ．建立空间直角坐标系，借助向量法， 问题便可迎刃而解 ． 此外 ， 本题也可将线段 ３ ） １ ｆ ， 平移 到Ⅳ （ Ｑ Ｑ是 Ｄ Ｃ中点 ） ，作出夹角所在的三角形后 通过解三角形求值 ．
Ｄ ． ｓｎ２ 一ｓｎ口 ＝０ ｉ ｉ
在解决解析几何 问题中的主导地位 ．考 生可直接利 用直 线与抛物 线相交 的条件 ，通 过联立 方程组及 ＺＦ Ｏ Ａ可得交点分别为 （ ２２２ ２２ ， ３ ２ ２ ３ ４ ，＋－） Ｂ（— ４ ， ＋ ］
评析 选 Ｄ． 本题以平面几何 中圆的相切为背景 ， 考查学生数形结合 、转化与化归的数学思想 ．连接
完 善认 知结 构 ， 到举一 反 三、融会 贯通 的效 果 ． 达 另
一
用相关的知识、规律、信息建构“ 桥梁” ，找到突破 点 ．必要时 ，学会取舍 ，合理安排时间，完成 自己
华约自主招生数学答案
第一题：已知集合{}10A x Z x =∈≥，B 是A 的子集，且B 中元素满足下列条件①数字两两不等②任意两个数字之和不等于9 ⑴B 中有多少个两位数，多少个三位数 ⑵B 中是否有五位数？是否有六位数？将B 中元素从小到大排列，第1081个元素是多少？【试题分析】本题是集合元素的计数问题，需要用到排列组合的知识，对分步思维的理解要求较高。
先想如何确定一个元素，合理的方法应该是从高位开始依次按照要求选择各个数位上的数字，理解到这里之后就是简单地排列组合计算了。
【参考答案】 解：①对于两位数来说，当一位数m 确定以后，根据题意，另一位数只有除9-m 和m 以外8个可能选择的数字，那么B 中包含的两位数个数是9872⨯=个。
记一个三位数为abc ，其中a 有9种选择，依次b 有8种，c 有6种，所以三位数的个数为986432⨯⨯=个②依照上面的规律，四位数个数为98641728⨯⨯⨯=个，五位数个数为986423456⨯⨯⨯⨯=个，当是六位数的时候，前面的五个数字确定后，第六个数字将不存有，所以没有六位数。
证明能够用抽屉原理解决，非常简单。
③两位数和三位数共有504个，故第1081个数是四位数，设为abcd 。
我们只需找出四位数中的第1081-504=577个数字就是所要求的数字。
当1a =时，bcd 有864192⨯⨯=种组合，依次类推，2a =有192个数字，故1,2,3a =时 共有1923576⨯=个数字，故第577个数字也就是整体第1081个数字就是4012.第二题：已知sin x +sin y =13，cos cos x y - =15，求sin()x y -，cos()x y +【试题分析】很简单的三角函数计算题，需要熟练掌握三角函数的合角公式和差角公式，对整体的数学思维也有一定的要求，因为三角函数的计算往往无法避免多值问题，如果能对已知的等式实行整体的运算那么就会避免非常复杂的讨论，直接得到希望的结果。
2011年华约自招——数学
13．已知函数 f x 2x 、、 f 1 1
ax b
f
1 2
2 3
．令
x1
1、 2
xn1 f xn ．
1 数列xn的通项公式；
2
证明
x1 x2
xn1
1 2e
．
14．已知双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1a
0、、、b
0
F1
F2 分别为 C 的左右焦点． P 为 C 右
支上一点，且使 F1PF2
1 p1 、、、 p2 p3 p4 ；
2 探究数列pn的递推公式，并给出证明；
讨论数列 pn 的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义．
D．任何一种分法所分出的三角形都恰有 1 个锐角三角形
二、解答题
11．已知 △ABC 不是直角三角形． 1 证明： tan A tan B tan C tan A tan B tan C ；
2 若 3 tan C 1 tan B tan C 、 且 sin 2A、、、sin 2B tan A
b
3 2
x2 y2 z2 的最小值为（
A．1
B． 4 3
1 2
c
3 2
）
C． 3 2
1 2
xa yb zc 1
1则
D． 2
8． AB 为过抛物线 y2 4x 焦点 F 的弦， O 为坐标原点，且 OFA 135、
物线准线与 x 轴的交点，则 ACB 的正切值为（
）
A． 2 2
角的正切为 2 ．则异面直线 DM 与 AN 所成角的余弦为（ ）
A． 1 3
B． 1 6
C． 1 8
D． 1 12
2011年华约自主招生数学试题及详解
2011年高水平大学自主选拔学业能力测试（华约）数学部分注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题1．设复数z 满足|z |<1且15||2z z +=则|z | ＝ ( ) 4321A B C D 54322．在正四棱锥P －ABCD 中，M 、N 分别为P A 、PB 的中点，且侧面与底面所成二面角则异面直线DM 与AN 所成角的余弦为( )1111A B C D 368123．已知1223+--=x x x y ，过点(－1, 1)的直线l 与该函数图象相切，且(－1, 1)不是切点，则直线l 的斜率为 ( ) A 2B1C 1D 2 - -4．若222cos cos 3A B A B π+=+，则的最小值和最大值分别为 ( )3131A1,B ,C1D ,12222 + +6．已知异面直线a ，b 成60°角.A 为空间一点则过A 与a ，b 都成45°角的平面 ( )A.有且只有一个B.有且只有两个C.有且只有三个D.有且只有四个7．已知向量11(0,1),(),(),(1,1)2222a b c xa yb zc ==--=-++=则222x y z ++ 的最小值为( )43A1B C D 2328．AB 为过抛物线y 2＝4x 焦点F 的弦，O 为坐标原点，且135OFA ∠=，C 为抛物线准线与x 轴的交点，则ACB ∠的正切值为 ( )A C D10．一个正11边形用对角线划分为9个三角形，对角线在正11边形内两两不相交，则（ ）A. 存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形B. 存在某种分法，所分出的三角形恰有两个锐角三角形C. 存在某种分法，所分出的三角形至少有3个锐角三角形D. 任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形二、解答题12.已知圆柱形水杯质量为a 克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚度及重量忽略不计，且水杯直立放置）.质量为b 克的水恰好装满水杯，装满水后的水杯的重心还有圆柱轴的中点处.（I ）若b ＝ 3a ，求装入半杯水的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值； （II ）水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低？为什么？13.已知函数21()(1)1()2x f x f f ax b ===+2，，3.令111()2n n x x f x +==，. (I)求数列{}n x 的通项公式；(II)证明12112n x x x e+>. 14.已知双曲线221222:1(0,0),,x y C a b F F a b-=>>分别为C 的左右焦点.P 为C 右支上一点，且使21212=,3F PF F PF π∠∆又的面积为.(I)求C 的离心率e ；(II)设A 为C 的左顶点，Q 为第一象限内C 上的任意一点，问是否存在常数λ（λ>0）,使得22QF A QAF λ∠=∠恒成立.若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.15.将一枚均匀的硬币连续抛掷n 次，以p n 表示未出现连续3次正面的概率. (I)求p 1，p 2，p 3，p 4；(II)探究数列{ p n }的递推公式，并给出证明；(III)讨论数列{ p n }的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义.2011年华约数学参考答案一、选择题DBCBB BBADD二、解答题11解：（I ）tan tan tan tan()tan tan 1A BC A B A B +=-+=-，整理得tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++（II ）tan tan tan tan A C A B C =++，与（I ）比较知tan 3B B π==.又11222sin 2sin 2sin 2sin 3A CB π+===，sin 2sin 2sin 2sin 2A C A C +=，sin()cos()cos 2()cos 2()A C A C A C A C +-=--+sin()sin 2A C B +==， 1cos 2()cos 22A CB +==-，代入得2cos 2()13cos()A C A C -+=-， 24cos ()3cos()10A C A C ----=，1cos()14A C -=-，，cos 12A C -= 12解：不妨设水杯高为1.（I ）这时，水杯质量 ：水的质量 ＝ 2 ：3.水杯的重心位置（我们用位置指到水杯底面的距离）为12，水的重心位置为14，所以装入半杯水的水杯的重心位置为11237242320+=+ (II) 当装入水后的水杯的重心最低时，重心恰好位于水面上.设装x 克水.这时，水杯质量 ：水的质量 ＝ a ：x .水杯的重心位置为12，水的重心位置为2x b ，水面位置为xb，于是122xa x xb a x b+=+，解得x a = 13解 由12(1)1()1()21xf f a b f x x =====+2，得，3(I)方法一：先求出123412482359x x x x ====，，，，猜想11221n n n x --=+.用数学归纳法证明.当n = 1显然成立；假设n = k 成立，即11221k k k x --=+，则122()121kk k k kk x x f x x +===++，得证. (II)方法一：证明12112n e x x x +> .事实上，12111112(1)(1)(1)242n n x x x +=+++ .我们注意到2212(1)12(1)nn a a a a +<++<+ ，，，（贝努利（Bernoulli ）不等式的一般形式： nx x n +≥+1)1(，x ),1(+∞-∈）于是122121212111112(1)2(1)2(1)2222n n nn n n n e x x x -+++-+<+=+<+<14解：(I)如图，利用双曲线的定义，将原题转化为：在ΔP F 1 F 2中，21212=3F PF F PF π∠∆，的面积为，E 为PF 1上一点，PE ＝ PF 2，E F 1 ＝2a ，F 1 F 2 ＝ 2c ，求ca.设PE ＝ PF 2＝ EF 2 ＝ x ，F F 2 ＝2x ，1221211(222F PF S PF FF x a x ∆==+= ，224120x ax a +-=，2x a =.ΔE F 1 F 2为等腰三角形，1223EF F π∠=，于是2c =，ce a==. (II) 21=λ 15分析与解：(I)显然p 1＝p 2＝1，878113=-=p ；又投掷四次连续出现三次正面向上的情况只有：正正正正或正正正反或反正正正，故161316314=-=p . (II)共分三种情况：①如果第n 次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面的概率121-⨯n P ；②如果第n 次出现正面，第n －1次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前n －2次不出现连续三次正面是相同的，所以这个时候不出现连续三次正面的概率是241-⨯n P ；③如果第n 次出现正面，第n －1次出现正面，第n －2次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前n －3次不出现连续三次正面是相同的，所以这个时候不出现连续三次正面的概率是381-⨯n P .综上，=n P +⨯-121n P +⨯-241n P 381-⨯n P .（4≥n ），④(III)由(II)知=-1n P +⨯-221n P +⨯-341n P 481-⨯n P ，（5≥n ）⑤，④－12×⑤，有=n P --1n P 4161-⨯n P （5≥n ） 所以5≥n 时，p n 的单调递减，又易见p 1＝p 2＞p 3＞p 4＞….3≥n 时，p n 的单调递减，且显然有下界0，所以p n 的极限存在.对=n P --1n P 4161-⨯n P 两边同时取极限可得0lim =-∞→n n p .其统计意义：当投掷的次数足够多时，不出现连续三次正面向上的次数非常少，两者比值趋近于零.。
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2011年高水平大学自主选拔学业能力测试（华约）数学试题答案解析注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设复数z 满足||1z <且15||2z z +=，则||z = （A ）45 （B ）34（C ）23（D ）12【答案】D 解：由15||2z z +=得25||1||2z z +=，已经转化为一个实数的方程。
解得|z| =2（舍去），12。
2．在正四棱锥P-ABCD 中，M ，N 分别为PA ，PB 的中点，且侧面与地面所成二面角的正切值为2。
则异面直线DM 与AN 所成交角的余弦值为（A ）13 （B ）16 （C ）18（D ）112【答案】B[分析]本题有许多条件，可以用“求解法”，即假设题中的一部分要素为已知，利用这些条件来确定其余的要素。
本题中可假设底面边长为已知（不妨设为2），利用侧面与底面所成二面角可确定其他要素，如正四棱锥的高等。
然后我们用两种方法，一种是建立坐标系，另一种是平移其中一条线段与另一条在一起。
解法一：如图，设底面边长为2。
如图建立坐标系，则A (1，-1，0)，B (1，1，0)，C (-1，1，0)，D (-1，-1，0)，P (0，0)，则1111(,,(,,)222222M N -，31213(,,),(,,222222DM AN =-=-。
设所成的角为θ，则1cos 6DM AN DM ANθ==。
解法二：如图，设底面边长为2。
平移DM 与AN 在一起。
即M 移到N ，D 移到CD 的中点Q 。
于是QN = DM = AN 。
而PA = PB= AB = 2，所以QN = AN =而AQ =容易算出等腰ΔAQN 的顶角1cos 6ANQ ∠=。
解法三：也可以平移AN 与DM 在一起。
即A 移到M ，N 移到PN 的中点Q 。
以下略。
3．过点(1,1)-的直线l 与曲线3221y x x x =--+相切，且(1,1)-不是切点，则直线l 的斜率是 （A ）2 （B ）1 （C ）1- （D ）2-【答案】C解：显然(－1, 1)在1223+--=x x x y 的图象上.设切点为)12,(020300+--x x x x ， 2232--='x x y ，所以22302--=x x k .另一方面， )1(1)12(002030---+--=x x x x k )2(00-=x x 223020--=x x .所以x 0＝1,所以1-=k .选C.4．若23A B π+=，则22cos cos A B +的最小值和最大值分别为（A ）312-（B ）13,22（C ）1-（D ）1,12+ 【答案】B[分析]首先尽可能化简结论中的表达式22cos cos A B +，沿着两个方向：①降次：把三角函数的平方去掉；②去角：原来含两个角，去掉一个。
解：221cos 21cos 21cos cos 1(cos 2cos 2)222A B A B A B +++=+=++ 11cos()cos()1cos()2A B A B A B =++-=--，可见答案是B5．如图，⊙O 1和⊙O 2外切于点C ，⊙O 1，⊙O 2又都和⊙O 内切，切点分别为A ，B 。
,AOB ACB αβ∠=∠=，则（A ）cos sin 02αβ+=（B ）sin cos02αβ-=（C ）sin 2sin 0βα+=（D ）sin 2sin 0βα-=【答案】B[分析]题目中的条件是通过三个圆来给出的，有点眼花缭乱。
我们来转化一下，就可以去掉三个圆，已知条件变为：ΔO O 1 O 2边O 1 O 2上一点C ，O O 1、O O 2延长线上分别一点A 、B ，使得O 1A = O 1C ，O 2B = O 2C 。
解法一：连接12O O ，C 在12O O 上，则1221OO O OO O πα∠+∠=-，111212O AC O CA OO O ∠=∠=∠，222112O BC O CB OO O ∠=∠=∠，故1212211()22O CA O CB OO O OO O πα-∠+∠=∠+∠=， 12()2O CA O CB παβπ+=-∠+∠=，sin cos 2αβ=。
解法二：对于选择填空题，可以用特例法，即可以添加条件或取一些特殊值，在本题中假设两个小圆的半径相等，则12212OO O OO O πα-∠=∠=，1212124O CA O CB OO O πα-∠=∠=∠=， 12()2O CA O CB παβπ+=-∠+∠=，sin cos 2αβ=6．已知异面直线,a b 所成60°角，A 为空间中一点，则过A 与,a b 都成45°角的平面 （A ）有且只有一个 （B ）有且只有两个（C ）有且只有三个 （D ）有且只有四个 【答案】D[分析]已知平面过A ，再知道它的方向，就可以确定该平面了。
因为涉及到平面的方向，我们考虑它的法线，并且假设a ，b 为相交直线也没关系。
于是原题简化为：已知两条相交直线a ，b 成60°角，求空间中过交点与a ，b 都成45°角的直线。
答案是4个。
7．已知向量(0,1)=a，122⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭b，122⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭c ，(1,1)x y z ++=a b c 。
则222x y z ++ 的最小值为（A ）1 （B ）43（C ）32（D ）2【答案】B解：由(1,1)xa yb zc ++=得1)111222y z y z y z y z x x ⎧⎧=-=⎪⎪⎪⎪⎨⎨+⎪⎪--=-=⎪⎪⎩⎩， 由于222222()()2y z y z x y z x ++-++=+，可以用换元法的思想，看成关于x ，y+ z ，y - z三个变量，变形2(1)y z y z x ⎧-=⎪⎨⎪+=-⎩，代入222222()()2y z y z x y z x ++-++=+222228242(1)343()3333x x x x x =+-+=-+=-+，答案B8．AB 过抛物线24y x =焦点F 的弦，O 为坐标原点，且135OFA ∠=，C 为抛物线准线与x 轴的交点，则ACB ∠的正切值为 （A）（B）5（C）3（D）3【答案】A解法一：焦点F （1，0），C （-1，0），AB 方程y = x – 1，与抛物线方程y 2 = 4x联立，解得A B (3+2+ (3-2- ，，于是22CA CBk k==，tan1CA CBCA CBk kACBk k-∠==+A解法二：如图，利用抛物线的定义，将原题转化为：在直角梯形ABCD中，∠B AD = 45°，EF∥DA，EF = 2，AF = AD，BF = BC，求∠AEB。
tan tan2DE GFAEF EADAD AF∠=∠===。
类似的，有tan tanBEF EBC∠=∠=，2AEB AEF BEF AEF∠=∠+∠=∠，tan tan2AEB AEF∠=∠= A9．如图，已知△ABC的面积为2，D，E分别为边AB，边AC上的点，F为线段DE上一点，设,,AD AE DFx y zAB AC DE===，且1y z x+-=，则△BDF面积的最大值为（A）827（B）1027（C）1427（D）1627【答案】D解：BDF BDE BDEDFS S zSDE∆∆∆==，(1)BDE ABE ABEBDS S x SAB∆∆∆==-，ABE ABC ABCAES S ySAC∆∆∆==，于是(1)2(1)BDF ABCS x yzS x yz∆∆=-=-。
将11y z x y z x+-=+=+，变形为，暂时将x看成常数，欲使yz取得最大值必须12xy z+==，于是21(1)(1)2BDFS x x∆=-+，解这个一元函数的极值问题，13x=时取极大值1627。
BACDEF10．将一个正11边形用对角线划分为9个三角形，这些对角线在正11边形内两两不相交，则（A ）存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形 （B ）存在某种分法，所分出的三角形恰有2个是锐角三角形 （C ）存在某种分法，所分出的三角形至少有3个锐角三角形 （D ）任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形 【答案】D解：我们先证明所分出的三角形中至多只有一个锐角三角形。
如图，假设ΔABC 是锐角三角形，我们证明另一个三角形ΔDEF (不妨设在AC 的另一边)的(其中的边EF 有可能与AC 重合)的∠D 一定是钝角。
事实上，∠D ≥ ∠ADC ，而四边形ABCD 是圆内接四边形，所以∠ADC = 180°-∠B ，所以∠D 为钝角。
这样就排除了B ，C 。
下面证明所分出的三角形中至少有一个锐角三角形。
假设ΔABC 中∠B 是钝角，在AC 的另一侧一定还有其他顶点，我们就找在AC 的另一侧的相邻(指有公共边AC ) ΔACD ，则∠D = 180°-∠B 是锐角，这时如果或是钝角，我们用同样的方法继续找下去，则最后可以找到一个锐角三角形。
所以答案是D 。
二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
11．（本小题满分14分）已知△ABC 不是直角三角形。
（I ）证明：tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=； （II ）tan tan 1tan B C C A +-=，且sin2,sin2,sin2A B C 的倒数成等差数列，求cos2A C-的值。
解：（I ）tan tan tan tan()tan tan 1A BC A B A B +=-+=-，整理得tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++（II ）tan tan tan tan A C A B C =++，与（I ）比较知tan 3B B π==。
又11222sin 2sin 2sin 2sin 3A CB π+===，sin 2sin 2sin 2sin 2A C A C +=，sin()cos()cos 2()cos 2()A C A C A C A C +-=--+sin()sin 2A C B +==，1cos 2()cos 22A CB +==-，代入得2cos 2()13cos()AC A C -+=-，24cos ()3cos()10A C A C ----=，1cos()14A C -=-，，cos 124A C -=，12．（本小题满分14分）已知圆柱形水杯质量为a 克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚度及重量忽略不计，且水杯直立放置）。