2011年华约自主招生联考数学试题解析

2011年高水平大学自主选拔学业能力测试（华约）

数学试题答案解析

注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设复数z 满足||1z <且15

||2

z z +

=，则||z = （A ）45 （B ）34

（C ）23

（D ）12

【答案】D 解：由15||2z z +

=得25

||1||2

z z +=，已经转化为一个实数的方程。解得|z| =2（舍去）

，1

2

。

2．在正四棱锥P-ABCD 中，M ，N 分别为PA ，PB 的中点，且侧面与地面所成二面角的正切值为2。则异面直线DM 与AN 所成交角的余弦值为

（A ）

13 （B ）

16 （C ）18

（D ）112

【答案】B

[分析]本题有许多条件，可以用“求解法”，即假设题中的一部分要素为已知，利用这些条件来确定其余的要素。本题中可假设底面边长为已知（不妨设为2），利用侧面与底面所成二面角可确定其他要素，如正四棱锥的高等。然后我们用两种方法，一种是建立坐标系，另一种是平移其中一条线段与另一条在一起。

解法一：如图，设底面边长为2。

如图建立坐标系，则A (1，-1，0)，B (1，1，0)，C (-1，1，0)，D (-1，-1，0)，P (0，0)，

则1111(,,(,,)222222M N -

，31213(,,),(,,222222

DM AN =-=-。设所成的角为θ，则1

cos 6

DM AN DM AN

θ=

=

。

解法二：如图，设底面边长为2。平移DM 与AN 在一起。即M 移到N ，D 移到CD 的中点Q 。于是QN = DM = AN 。而PA = PB

= AB = 2，所以QN = AN =

而AQ =

容易算出等腰ΔAQN 的顶角1

cos 6

ANQ ∠=。

解法三：也可以平移AN 与DM 在一起。即A 移到M ，N 移到PN 的中点Q 。以下略。

3．过点(1,1)-的直线l 与曲线3

2

21y x x x =--+相切，且(1,1)-不是切点，则直线l 的斜率是 （A ）2 （B ）1 （C ）1- （D ）2-

【答案】C

解：显然(－1, 1)在122

3+--=x x x y 的图象上.设切点为)12,(020300+--x x x x ， 2232--='x x y ，所以22302

--=x x k .另一方面， )

1(1)12(002

030---+--=

x x x x k )2(00-=x x 22302

0--=x x .所以x 0＝1,所以1-=k .选C.

4．若23

A B π+=

，则22

cos cos A B +的最小值和最大值分别为

（A ）312-

（B ）

13,22

（C ）1-

（D ）1,12+ 【答案】B

[分析]首先尽可能化简结论中的表达式2

2

cos cos A B +，沿着两个方向：①降次：把三角函数的平方去掉；②去角：原来含两个角，去掉一个。

解：22

1cos 21cos 21

cos cos 1(cos 2cos 2)222

A B A B A B +++=

+=++ 1

1cos()cos()1cos()2

A B A B A B =++-=--，可见答案是B

5．如图，⊙O 1和⊙O 2外切于点C ，⊙O 1，⊙O 2又都和⊙O 内切，切点分别为A ，B 。

,AOB ACB αβ∠=∠=，则

（A ）cos sin 02

α

β+=

（B ）sin cos

02

α

β-=

（C ）sin 2sin 0βα+=

（D ）sin 2sin 0βα-=

【答案】B

[分析]题目中的条件是通过三个圆来给出的，有点眼花缭乱。我们来转化一下，就可以去掉三个圆，已知条件变为：ΔO O 1 O 2边O 1 O 2上一点C ，O O 1、O O 2延长线上分别一点A 、B ，使得O 1A = O 1C ，O 2B = O 2C 。

解法一：连接12O O ，C 在12O O 上，则1221OO O OO O πα∠+∠=-，

111212O AC O CA OO O ∠=∠=∠，22211

2O BC O CB OO O ∠=∠=∠，故

1212211()22

O CA O CB OO O OO O πα

-∠+∠=∠+∠=

， 12()2O CA O CB παβπ+=-∠+∠=，sin cos 2

α

β=。 解法二：对于选择填空题，可以用特例法，即可以添加条件或取一些特殊值，在本题中假设两个小圆的半径相等，则12212

OO O OO O πα

-∠=∠=

，

1212124

O CA O CB OO O πα

-∠=∠=∠=

， 12()2O CA O CB παβπ+=-∠+∠=，sin cos 2

α

β=

6．已知异面直线,a b 所成60°角，A 为空间中一点，则过A 与,a b 都成45°角的平面 （A ）有且只有一个 （B ）有且只有两个

（C ）有且只有三个 （D ）有且只有四个 【答案】D

[分析]已知平面过A ，再知道它的方向，就可以确定该平面了。因为涉及到平面的方向，我