数值分析读书报告

数值分析作业

姓名：姜欣欣

班级：Y110402

学号：S********

*师：**

数值分析之曲线拟合

1. 问题的提出

在化工设计及化工模拟算中，需要大量的物性参数及各种设备参数。这些参数有些可以通过计算得到，但大量的参数还是要通过实验测量得到。实验测得的常常是一组离散数据序列(),x i i

y ，如果序列(

),x i i

y ()0,1,...i m =，含有不可避免的误差，或者无法同时满

足某特定的函数，这时通常通过数据拟合来完成，曲线拟合往往并不需要曲线通过给定的所有数据点（即待定参数的数量比给定的数据点的数量少），而只要求用曲线（函数）近似代替给定的列表函数，时，其误差在某种度量意义下最小。如：要求所作的逼近函数最优地靠近样点，即向量的误差或距离最小。按所求的逼近函数和样点之间误差最小原则作 “最优”标准的构造的逼近函数，称为拟合函数。

2. 曲线拟合的方法及拟合标准 2.1 曲线拟合的方法

设在

[],a b 上给出一组数据

)({},,0,1 (i)

i

x y

i m =，i a x b ≤≤()2.1

以及一组线性无关的函数族，())(

0,1...j x j n

ψ=，其中n m ≤。问题是要在曲线族

()()

n

j j j y x c x ==ψ∑()2.2

中寻找一个合适的曲线以某种原则使其无限逼近数据点()2.1所表示的函数关系。 现在定义如下： 若曲线

()()

n

j j j y x c x *

*==ψ∑()2.3

使

(){}()2

2

0000min j m

n m n j j i i j j i i c i j i j c x y c x y *====⎡⎤⎡⎤

ψ-=ψ-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑()2.4

成立，这就是最小二乘逼近，这种方法称为曲线拟合的最小二乘法。可知，若要求曲

线()2.3，就是按条件()2.4求出系数)(0,1...j

c j n *=。

求最小二乘法的方法： 设

()()()()

()01,0,1T

j j j j m x x x j m Φ=ψψψ=

()

01,,...T

n A =ΦΦΦ

()01,,...T

m y y y y = ()

01,,...T

n

c c c c =

()

01,,...T

n c c c c ****=

() 3就等价于()()1

,min ,n c R

Ac y Ac y

Ac y Ac y

+**∈--=--

即T

T

A Ac A y *

=成立。

其中00

01

00

1

T T T n T T T T

n n n n A A ⎛⎫

ψψψψψψ

⎪

⎪= ⎪ ⎪ ⎪ψψψψψψ⎝

⎭

2.2 拟合标准

拟合曲线()2.3与数据点()2.1之间的误差或距离有不同的定义方法：

1. 用各点误差的绝对值的和表示： ()11

m

i

i

i R x y

==

ψ-∑()2.5

2. 用各点误差按绝对值的最大值表示：

()2max i i

R x y =ψ-()2.6

3. 用各点误差的平方和表示： ()2

31

m

i

i

i R x y ==

ψ-⎡⎤⎣⎦

∑()

2.7

()2.7式中的3R 称为均方误差。

3. 曲线拟合的几种类型

3.1

单变量拟合

1. 线性拟合

给定一组数据(),x i i

y ()0,1,...i m =，作拟合曲线()p x ax b =+，均方误差为

()()()

2

2

1

1

,m

m

i i i i i i Q a b p x y a bx y ===-=+-⎡⎤⎣⎦∑∑()3.1

由数学知识可知，(),Q a b 的极小值需要满足

()

()1,20m

i i i Q a b a bx y a =∂=+-=∂∑ ()

()1

,20m i i i i Q a b a bx y x b =∂=+-=∂∑ 整理得到拟合曲线满足的方程

1

12111m

m i i i i m m m

i i i i i i i m x y a b x x x y =====⎛

⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

∑∑∑∑∑()3.2

式()3.2称为拟合曲线的法方程。可用消元法或克莱姆方法求解。 2. 二次拟合函数

给定一组数据(),x i i

y ()0,1,...i m =，用二次项式函数拟合这组数据。

设()2

p x a bx cx =++，作出拟合函数与数据序列的均方误差表达式

()()()

2

2

2

1

1

,,m

m

i i i i i Q a b c p x y a bx cx y ===-=++-⎡⎤⎣⎦∑∑()3.3

由数学知识可知，(),,Q a b c 的极小值满足

()()()2

1

21221202020m i i m

i i i m i i i Q a bx cx y a

Q

a bx cx y x b

Q

a bx cx y x c

===∂⎧=++-=⎪∂⎪

⎪∂=++-=⎨

∂⎪⎪∂=++-=⎪

∂⎩∑∑∑ 整理上式得二次多项式函数拟合需满足的条件方程