算法合集之《母函数的性质及应用》
母函数
母函数（生成函数）（发生函数）（发生函数）英文：generating function我们已知道了解决组合的计数问题的几种方法，从基本的加法原理和乘法原理开始，导出了排列与组合的各种公式，证明了容斥原理，并且已用它来解决某些计数问题。
这里将论证一种方法是属于Eular 的生成函数法。
（对工程师来说，数列的母函数通称为z-变换）§1 母函数利用生成函数可以说是研究计数问题的一个最主要的一般方法：其基本思想很简单：为了获得一个数列{} 210,,0:a a a k a k=≥的知识，我们用一个母函数+++=∑=≥22100)(x a x a a xa x g kk k这里x k 是指数函数来整体地表示这个数列，称g （x ）是数列{}0:kx a k 的普通母函数，这样原数列就转记为成函数。
假如能求得这个函数，则不仅原则上已确定了原数列，还可以通过对函数的运算和分析得到这个数列的许多性质。
这里如果把x k 提成)(x k μ亦称普通母函数指数函数通常选来使得没有两个不同的序列令产生同一个母函数，故序列的母函数仅只是序列的另一种表示。
如1，cos x ，cos2x ，…为指数函数，序列{}2,,1ωω的母函数为+++++=rx x x x F rcos 2cos cos1)(2ωωω另一方面，用，1，1+x ，1-x ，1+x 2，1-x 2，…，1+x r ，1-x r …作为指数函数，序列（3，2，6，0，0）的普通母函数是3+2（1+x ）+6（1-x ）=11-4x ，而序列（1，3，7，6，0）和（1，2，6，1，1）会产生同一母函数即，1+3（1+x ）+7（1-x ）=11-4x ，xx x x x 411)1()1()1(6)1(2122-=-+++-+++故函数 ,1,1,1,1,122x x x x -+-+不应做为指数函数，)(x r μ的最近常用的是r x ，以下我们仅讨论这种情况的指数函数。
母函数的概念和使用
母函数的概念和使用
母函数是组合数学中的一种重要工具，用于描述序列的生成函数。
它可以将序列转化为形式简单的多项式，从而方便地进行计算和推导。
形式上，对于序列$\{a_n\}$，它的母函数可以定义为：
$A(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+...$
母函数$A(x)$通常被视为$x$的函数，可以进行各种计算操作，比如加法、乘法、求导等。
母函数的使用有以下几个方面：
1. 求序列的常用操作：对于给定的序列，可以通过母函数求导、乘法、加法等操作得到新的序列。
例如，序列的微分对应于母函数的求导，序列的乘法对应于母函数的乘法，序列的加法对应于母函数的加法。
2. 求序列的递推关系：通过构造序列的母函数，可以得到序列的递推关系。
递推关系描述了序列相邻项之间的关系，是解决组合计数问题的关键。
通过求解递推关系，可以得到序列的通项公式，从而得到更深入的结论。
3. 求序列的生成函数：母函数可以将序列转化为一个形式简单的多项式。
通过对母函数进行逆变换，可以得到序列的生成函数，从而用多项式的形式来表示序列。
生成函数是分析序列性
质的一种强有力的工具，可以进行各种计算和推导。
母函数在组合计数、离散数学和概率等领域中具有广泛的应用，可以解决各种组合计数问题，如排列组合、图论、走迷宫等问题。
同时，母函数也是解决一些难题的关键，在一些具有复杂递推关系的序列中起到了重要作用。
组合数学之母函数形式Polya定理及其应用
II. 母函数形式的Pò lya定理
我们这里给出的Polya计数定理其实是一 种特殊形式. 一般形式的Polya定理还可以 用来解决有条件限制而且互相不等价的染 色方案数目. 还有一个问题是如何列举出所有不同类型 的染色方案? 显然Polya定理无法告诉我 们这些. 它只能告诉我们总数. 母函数形式Polya定理可以满足这个要求.
22
III. Boole函数及其等价分类
布尔(Boole)函数在现代计算机逻辑 电路的设计中有很重要的应用. n个变量的Boole函数f(x1,x2,…,xn)就 是集合Z2n={(x1,x2,…,xn)|xi=0或1; i=1, 2,…,n} 到集合Z2={0,1}的一个映射. n个变量的不同Boole函数总数: 2 2
24
例如: f(x1,x2,x3)=x1+x2x3与g(x1,x2,x3)=x2+x3x1 等价, 因为g(x1,x2,x3)= f(x2,x3,x1). 取补型等价. 例如f(x1,x2,x3)与f(x1,x2,x3) 取补等价. 取补与下标置换混合等价. 可以利用Polya定理, 通过这些等价所对应 的置换群得出等价类型的数目. 我们不打 算详细推导这些情况. 下面只针对下标置换等价意义下布尔等价 类的计数给出一个例子.
( b1 b 2 b m )
c1 ( g )
( b1 b 2 b m )
n n n
cn ( g )
由此可以知道, 总的染色方案的列举 只要在轮换指标中令:
x i b1 b 2 b m
i i i
15
即可得到能列举出方案情况的母函数 形式的Polya定理:
10
先通过一个简单例题说明思想.
组合数学讲义 2章 母函数
第二章 母函数及其应用问题：对于不尽相异元素的部分排列和组合，用第一章的方2.0.1）。
新方法：母函数方法。
基本思想：把离散的数列同多项式或幂级数一一对应起来，算。
2.1 母 函 数（一） 母函数 （1）定义【定义2.1.1】 对于数列{}n a ，称无穷级数()∑∞=≡0n n n x a x G 为该数列的（普通型）母函数，简称普母函数或母函数。
（2）例【例2.1.1】 有限数列rn C （r ＝0,1,2, …,n ）的普母函数是。
()x G ＝nn n n n nx C x C x C C ++++ 2210＝()nx +1【例2.1.2】 无限数列{1，1，…，1，…}的普母函数是()x G ＝ +++++n x x x 21＝x-11（3）说明● n a 可以为有限个或无限个；● 数列{}n a 与母函数一一对应，即给定数列便得知它的母函数；反之，求得母函数则数列也随之而定；例如，无限数列{0，1，1，…，1，…}的普母函数是+++++nx x x 20＝xx-1● 这里将母函数只看作一个形式函数，目的是利用其有关运算性质完成计数问题，故不考虑“收敛问题”，而且始终认为它是可“逐项微分”和“逐项积分”的。
（4）常用母函数（二） 组合问题 （1）组合的母函数定理2.1.1 组合的母函数：设{}m m e n e n e n S ⋅⋅⋅=,,,2211 ,且n 1＋n 2＋…＋n m ＝n ，则S 的r 可重组合的母函数为()x G ＝∏∑==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛mi n j j i x 10＝∑=n r rr x a 0(2.1.1) 其中，r 可重组合数为rx 之系数r a ，r ＝0,1,2, …,n .理论依据：多项式的任何一项与组合结果一一对应（见例2.1.3）定理2.1.1的优点：● 将无重组合与重复组合统一起来处理； ● 使处理可重组合的枚举问题变得非常简单。
（2）特例推论1 {}n e e e S ,,,21 =，则r 无重组合的母函数为G (x )＝ (1＋x )n (2.1.2)组合数为r x 之系数r n C 。
3.2母函数及其性质2014
8
4
例1
变形： |x|+|y|+|z|+ w = n+1 (w≥1) 的整数解的个数也为Cn 在这里当|x|=0时x=0只有一种取值，当 |x|>0时，x有两个取值。 按照 |x|,|y|,|z|中0的个数来进行分类: （ 1 ）没有一个等于0 该类整数解的个数＝C(3,0)23C(n,3)
9
例1
11
例1
设|x|+|y|+|z|+ w = n (w≥0)的整数 解的个数为Cn
求数列 Cn的母函数：
考虑 x 的取法： |x|=0，x=0，只有一种取法； |x|=t ≥1 ， x= ± t，有两种取法； 可用幂级数（1＋2x+2x2+…）来表示
12
6
例1
设|x|+|y|+|z|+ w = n (w≥0)的整数 解的个数为Cn
⑤性质 5 若 bk kak ，则
B( x ) xA( x )
36
18
三、母函数的性质
设数列{ak}和{bk} 对应的母函数为A(x),B(x)
⑥性质 6 若
bk ak (k 1)，则
1 x B( x ) A( x )dx x 0
37
三、母函数的性质
设数列{ak}和{bk} 对应的母函数为A(x),B(x)
14
7
例1
求数列 Cn的母函数g(x)：
g( x ) (1 x )3 (1 x )4 4 k 1 k (1 3 x 3 x x ) x k k 0 3 k k 2 3 (1 3 x 3 x x ) x 3 k 0
【工程数学课件】4.3 母函数
或取两次，L ，或取r次，L ，是用如下形式表示：
1 x x2 L xr +L
2!
r!
例5 证明从n个不同的物体中允许重复地选取r个物体 的排列数为nr。
解：设ar为所求的排列数，则序列(a0 ,a1,a2,L ,ar ,L )的 指数母函数为：
fe(x) 1
x
x2 2!
L
xr r!
每个物体出现偶数次的方式数。 解：设a2r为所求的方式数，则序列(a0 ,a1,L ,ar ,L )的普 通母函数为：
f
(x)
(1
x2
x4
L
)n
1
1 x2
n
r 0
n
r r
1
x2r
故有：a2r
n
r r
1
六、指数母函数在排列中的应用
与组合不同的是，某个物体在排列中不取，或取一次，
n n
x
n
1
xn
二、指数母函数
定义 fe ( x
)给 定 a0 一 a个1 1无 x! 穷a序2 x2列2! (aL0,
a1 ,L an
,xann n!
,L )，称函数
L
ai i0
xi i!
为序列(a0 ,a1,L ,an ,L )的指数母函数。
例5 容易得到序列(p(n,0), p(n,1),L , p(n, n))的指数母
x4)(142x4)L4(14 3x)
n
(1
x)n
n r 0
n
r
xr
x
r
的系数
n r
为从n个不同的物体选取r个的方法数.
(1 x x2L ) 表示某一物体可以不选，或选一次， 或选二次,…
组合数学之母函数形式Polya定理及其应用
母函数形式Polya定理的应用场景
排列组合问题
母函数形式Polya定理可以应用于 排列和组合问题的计数，通过求 解代数方程得到组合数的通Polya定理可以应用于 生成函数的研究，通过求解代数 方程得到序列的通项公式。
离散概率论
母函数形式Polya定理可以应用于 离散概率论的研究，通过求解代 数方程得到概率分布的通项公式。
后续研究
自Polya定理提出以来，许多数学家对其进行了深入研究 和完善，进一步拓展了其在组合数学中的应用。
Polya定理的重要性
组合计数问题的解决
Polya定理为解决复杂的组合计数问题提供了一种有效的方法。通过使用该定理，可以快 速计算出满足一组约束条件的解的个数。
数学其他领域的应用
Polya定理不仅在组合数学中有广泛应用，还涉及到其他数学领域，如概率论、统计学和 图论等。该定理在这些领域中的应用有助于解决一系列复杂的问题。
04
Polya定理的应用
在组合数学中的应用
1 2
组合计数
Polya定理可以用于解决组合计数问题，例如计 算给定集合的所有子集的数量或排列的数量。
组合优化
在组合优化问题中，Polya定理可以用于寻找最 优解，例如在旅行商问题中寻找最短路径。
3
组合概率
在概率论中，Polya定理可以用于计算事件的概 率，例如计算多项式系数或排列组合的概率。
计数问题
组合数学中的计数问题通常涉及到在给定条件下，计算满足特定要求的元素个数。
Polya定理的历史背景
母函数的发展
母函数理论的发展可以追溯到18世纪，当时数学家开始研 究组合计数问题。随着时间的推移，母函数逐渐成为组合 数学中一个重要的分支。
Polya定理的提出
组合数学(第二版)母函数及其应用
考虑座位号),其中,甲、乙两 班最少1张,甲班最多5张,乙班最
多6张;丙班最少2张,最多7张;丁班最少4张,最 多10张.可有多
少种不同的分配方案?
母函数及其应用
母函数及其应用
【例 2.1.5】 从n 双互相不同的鞋中取出r 只(r≤n),要求
其中没有任何两只是成对 的,共有多少种不同的取法?
母函数及其应用
(1+x)n .
【例 2.1.2】 无限数列{1,1,…,1,…}的普母函数是
母函数及其应用
说明
(1)an 的非零值可以为有限个或无限个;
(2)数列{an}与母函数一一对应,即给定数列便得知它的
母函数;反之,求得母函数则数列也随之而定;
(3)这里将母函数只看作一个形式函数,目的是利用其有
关运算性质完成计数问题, 故不考虑“收敛问题”,即始终认
红红、黄黄、蓝蓝、红黄、黄红、红蓝、蓝红、黄蓝、 蓝
黄.其它情形依此类推.
母函数及其应用
这里需要说明的是:
(1)在例2.1.3中,利用普母函数可以将组合的每一种情况
都枚举出来,但是对排列问 题,指母函数却做不到,只能对排列
进行分类枚举.正如例2.3.1这样,项ryb 的系数6说 明红、蓝、
黄球各取一个时,有6种排列方案,但每一种方案具体是什么,
(每个数字可重复出现), 要求其中3,7出现的次数为偶数,1,5,9
出现的次数不加限制.
母函数及其应用
【例 2.3.4】 把上例的条件改为要求1、3、7出现的次数
一样多,5和9出现的次数不 加限制.求这样的n 位数的个数.
解 设满足条件的数有bn 个,与例2.1.6的分配问题类似,即
将n 个不同的球放入标号 为1、3、5、7、9的5个盒子,其中
(lecture_10)10母函数和其应用_new
几种砝码的组合可以称重的情况， 可以用以上几个函数的乘积表示：
(1+x)(1+x2)(1+x3)(1+x4) =(1+x+x2+x3)(1+x3+x4+x7) =1+x+x2+2x3+2x4+2x5+2x6+2x7+x8+x9+x10
从上面的函数知道，可称出从1克到10克， 系数便是方案数。例如右端有2x5 项，即称出 5克的方案有2：5=3+2=4+1，同样， 6=1+2+3=4+2；10=1+2+3+4。故称出6克的方 案有2，称出10克的方案有1
15 2020/11/22
练习：
例3：若有1克砝码3枚、2克砝码4枚、4 克砝码2枚，问能称出哪几种重量？各 有几种方案？
例4: 整数n拆分成1，2，3，…，m的和， 求其母函数。如若其中m至少出现一次， 其母函数又如何？
请自己写出以上两个问题的母函数。
16 2020/11/22
如何编写程序 实现母函数的应用呢？
while (cin>>n && n!=0)
{ for (i=0;i<=n;i++)
{ c1[i]=1;
c2[i]=0;
}
for (i=2; i<=17; i++)
{ for (j=0;j<=n;j++)
for (k=0;k+j<=n; k+=elem[i-1] )
{ c2[j+k]+=c1[j];
组合数学第二章1母函数PPT课件
若 有 两 个 色 子 ， 则
( t t 2 . . . t 6 ) ( t t 2 . . . t 6 ) t 2 2 t 3 3 t 4 4 t 5 5 t 6 . . . .
中 的 t 6 的 系 数 5 显 然 相 当 于 t 1 t 5 t 6 , t 2 t 4 t 6 , t 3 t 3 t 6 , t 5 t 1 t 6 , t 4 t 2 t 6 诸 乘 积 都 产 生 t 6 这 一 项 的 方 案 数
[a 0 a 1 x a 2 x 2 ]/1 ( x ) A (x )/1 ( x )
26
2.2 母函数的性质
例. 已知
A (x ) 1 x x 2 x n 1 1 x
B (x ) 1 2 x 3 x2 4 x3 (1 1 x )2
(k1)xk
k0
(11x)2
27
2.2 母函数的性质
证
1:b0 a0a1a2 A(1)
x:b1 a1a2 A(1)a0
x2:b2
a2 A(1)a0a1
_ ) _ _ _ _ _
B (x ) A (1 )1 [x x 2 ] a 0 x (1 x x 2 ) a 1 x 2 (1 x x 2 )
30
2.2 母函数的性质
B(x)1A(1x)(a0a1x )x/1(x)
我们来看如下的例子ppt课件方法的引入我们也可以从另一角度来看要使两个色子掷出6点第一个色子除了6以外的都可选这有5种选法一旦第一个选定第二个色子就只有一种可能的选法按乘法法则有515种注意到出现15有两种选法出现24也有两种选法而出现33只有一种选法这些选法互斥且穷尽了出现6点的一切可能的选法按加法法则共有2215种不同选法
[C(n,0)C(n,1)x C(n,n)xn]
组合数学(西安电子科技大学(第二版))第二章母函数_版24样版
g ( x) (1 x x ....)( 1 x x ...)
3 6 4 8
(1 x 2 x 4 ....)( 1 x 5 x10 ...) 1 1 1 1 3 2 4 5 1 x 1 x 1 x 1 x
sfsf
15
2.1母函数
n
r C n , r x n 0
例 从n双互不相同的五指袜子中取出r只，要求没有任何两只是 成对的，共有多少种不同的取法？
r r C n , r 2 x 解：生成函数为: G( x ) (1 2 x)
n
n 0
sfsf
17
2.1母函数
例 某班有甲乙丙三个小组，人数分别为5，6，9。把5本相同的 书分给甲、乙、丙3个小组，再发到个人手上，每人最多发一本。 考虑将分给某组的某本书发给该组的同学A与将其发给同学B被 认为是不同的分法（每个同学最多一本），而且甲、乙两组最 少1本，甲组最多5本，乙组最多6本，丙组最少2本，最多9本， 问有多少种不同的分配方案？ 解：
5 6 9 4 5 6 9 5 6 9 5 6 9 5 1 1 2 x 1 1 3 1 2 2 2 1 2 x 5 6 9 20 5 6 9 x
sfsf
52
2.3指数型母函数
例、求1，3，5，7，9五个数字组成的n位数的个数（每个数 字可重复出现），要求1、3、7出现的次数一样多，5和9 出现的次数不加限制。求这样的n位数的个数。
sfsf
53
2.3指数型母函数
母函数及其应用
六、母函数及其应用6．1定义：称() +++++=-12321n n x a x a x a a x f 为数列{}n a 的形式幂级数，或生成函数，简称母函数。
6．2几个常用初等函数的形式幂级数展开式（1）()111<=-∑+∞=x x x n n ；（2）()()()()1!1110<-+⋅⋅-⋅=+∑+∞=x x n n x n n αααα；（3）()R x n x e n nx∈=∑+∞=0!；（4）()()()R x n x x n nn∈-=∑+∞=02!21cos ； （5）()()()R x n x x n n n∈+-=∑+∞=+012!121sin ； （6）()()()111ln 01<-=+∑+∞=-x nx x n nn ； （7）()()1121arctan 012<+-=∑+∞=+x n x x n n n。
求一个初等函数的形式幂级数的根本方法是利用泰勒展开定理，或马克劳林定理。
在定义域范围内，对上述形式幂级数再进行算术运算和解析运算，可以得到其它初等函数的形式幂级数。
我们在下文的目的，就是利用这种运算方法来求数列的通项公式。
6．3数列{}n a 及其前n 项和数列{}n S 的母函数关系定理1：记数列{}n a 的母函数为()x A ，则其n 项和数列{}n S 的母函数()()xx A x B -=1。
证明：∵ ()()∑∑∑∑+∞=-+∞=-+∞=--+∞=-++=++==21111211111n n n n n n n n n n n n n x a xS x a xa S a xSx B()()()()x A x xB a x A x xB a +=-++=11∴ ()()xx A x B -=1。
定理2：()()*121N n n n k nk ∈+=∑=。
证明：记数列{}n 的前n 项和为n S ，则数列{}n S 的母函数为()()∑∑∑∑+∞=-+∞=-+∞=--+∞=-++=++==21112111111n n n n n n n n n n n nx xS x xn S S xS x B()()()()22111111x x xB x x xB -+=--++=∴ ()()()()∑∑∞+=-∞+=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=22'11'2312121112111n n x n n x x n n nx x x x B ()∑+∞=-+=11121n n nx n 。
母函数
第二章 母函数及其应用问题：对于不尽相异元素的部分排列和组合，用第一章的方法是比较麻烦的（参见表2.0.1）。
新方法：母函数方法，问题将显得容易多了。
其次，在求解递推关系的解、整数分拆以及证明组合恒等式时，母函数方法是一种非常重要的手段。
表2.0.1 条件组合方案数排列方案数对应的集合相异元素，不重复()!!!r n r n C rn -⋅=()!!r n n P rn -={}n e e e S ,,, 21=相异元素，可重复rr n C 1-+rnS ＝{,,21e e ⋅∞⋅∞ne ⋅∞, }不尽相异元素（有限重复）特例r ＝n1 !!!!m n n n n 21S ＝{11e n ⋅，22e n ⋅，…，m m e n ⋅}, n 1＋n 2＋…＋n m ＝nn k ≣1, (k ＝1,2,…, m )r ＝1mm所有n k ≣r rr m C 1-+rm至少有一个n k 满足1≢n k < r母函数方法的基本思想是把离散的数列同多项式或幂级数一一对应起来，从而把离散数列间的结合关系转化为多项式或幂级数之间的运算。
2.1 母 函 数（一）母函数（1）定义定义2.1.1 对于数列{}n a ，称无穷级数()∑∞=≡0n nnxax G 为该数列的（普通型）母函数，简称普母函数或母函数。
（2）例例2.1.1 有限数列C (n ,r )，r ＝0,1,2, …,n 的普母函数是()nx +1。
例2.1.2 无限数列{1，1，…，1，…}的普母函数是+++++=-nxx x x2111（3）说明● n a 可以为有限个或无限个； ● 数列{}n a 与母函数一一对应，即给定数列便得知它的母函数；反之，求得母函数则数列也随之而定；例如，无限数列{0，1，1，…，1，…}的普母函数是 +++++n x x x 20＝xx-1● 这里将母函数只看作一个形式函数，目的是利用其有关运算性质完成计数问题，故不考虑“收敛问题”，而且始终认为它是可“逐项微分”和“逐项积分”的。
母函数
组合数为 x r 之系数 C(n, r).
推论2 推论2
设 S = { ∞ e 1, ∞ e 2 ,L, ∞ e n },则 S 的 r 1 G(x) = ( ∑ x ) = (1 x) n j=0
∞ j n
无限可重组合的母函数 为
组合数为 x r的系数 C(n + r 1, r).
推论3 推论3 设 S = { ∞ e 1, ∞ e 2 ,L , ∞ e n },每个元素至 x G(x) = ( ∑ x ) = 1 x j =1
10组合数 组合数. 例如 求S = {3 a,4 b,5 c}的10组合数.
解 S的 r组合数的母函数为 G(x) = (1 + x + x 2 + x 3 )(1 + x + x 2 + x 3 + x 4 ) (1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) 的系数6即为所求的1 组合数. 展开式中 x 10的系数6即为所求的1 0组合数.
n
是多重集
1
解
k + n 1 (k + n 1)(k + n 2) Lk n = n! ( k) L( k (n 1)) n k = ( 1) = ( 1) n n!
n
所以,{a n }的母函数 所以,
∞ k n k x = ∑ ( x) n G(x) = ∑ ( 1) n n n =0 n =0 1 k = (1 x) = (1 x) k ∞ n
n
1 = (1 x 2 ) n 证 G(x) = (1 x 2 ) n
∞ n 2k n + k 1 2k x = ∑ ( 1) x = ∑ k k k =0 k =0 ∞ k
母函数和特征函数简介
母函数和特征函数简介§1 母函数（生成函数）简介对于取值非负整数的随机变量，其母函数有极其良好的性质且又便于计算和分析，因此引入母函数是非常必要的。
母函数又称生成函数(Generating function)。
母函数的定义● 定义：对于数列}0,{≥n a n ，称幂级数)1(0≤∑∞=s sa n nn 为}0,{≥n a n 的母函数。
● 定义：设X 为取值于非负整数随机变量，分布率为 ,2,1,0,}{===k p x X P k k ，则称1)(?)(0≤==∑∞=s s p s E s g k kk X为随机变量X 的概率母函数，简称母函数。
一些常用分布的母函数（1）若).(~p n B X ，则n sp q s g )()(+=（2）若)(~λPo X ，则)1()(-=s e s g λ （3）若)(~p G X ，则qs pss g -=1)(母函数的基本性质（1）X 的母函数与其分布率是一一对应的，且有!)0()(k g p k k =（2）设非负整值随机变量n X X X ,,,21 相互独立，而n g g g ,,,21 分别是它们的母函数，则∑==nk kXY 1的母函数为：)()()()(21s g s g s g s g n Y =（3）设随机变量X 的母函数为)(s g ，则有：（a ）)1()(g X E '=（b ）2)]1([)1()1()()(g g g X Var X D '-'+''==母函数的应用（4）设n X X X ,,,21 独立同分布，且).1(~p B X i ，求∑==nk kXY 1的分布。
（5）设21,X X 独立，且2,1,).(~=i p n B X i i ，证明),(~2121p n n B X X ++。
（6）设21,X X 独立，且2,1,)(~=i Po X i i λ，证明)(~2121λλ++Po X X 。
第四章 母函数及应用
14:28
12
一般地，由于
故从n个不同物体中不重复取k个的方法数即为xk的系数。 ⑵从n个不同物体中允许重复选取k个物体的方法数
1+x：可象征性地表示一个物体都不选，或只选取一次，即至多选取一次； 1+x+x2：可象征性地表示一个物体都不选，或只选取一次，或选取两次，
即至多选取两次； 1+x+x2+x3+….：可象征性地表示一个物体都不选，或只选取一次，或选取
例3 现有无穷多个字母A、B、C，求从中取n个字母但必须含有偶数个 A的方式数。
例4 现有2n个A，2n个B和2n个C，求从它们中选取3n个字母的不同方 式数。
14:28
15
三、指数母函数在排列计数问题中的应用
已知
(1
x)n
n k 0
n k
xk
,
kn
f (x) (x x2 x3)( x x3 x5 ...)(1 x x2 ...)
(2)因为第1、2个盒子装相同个糖果，故装入这两个盒子的糖果 总数应为偶数。所以先取2i个糖果，现将它们一分为二分别装 入第1、2个盒子。又因为糖果无区别，故每次一分为二的方法 仅一种。所以普通母函数为
为序列{a0,a1,a2,…,an,…}的普通母函数. n0
14:28
1
注:
①普通母函数从形式上看是一个无穷级数(幂级数),但 没有必要讨论它的收敛性,它实质上是序列的记号,x
为形式变元。对该级数可把它看成形式幂级数,从
而可进行加法、乘法及形式微分等运算,从而构成 一个代数体系。
②一个序列和它的普通母函数是一一对应的。
f (x) (1 x2 x4 ...)(1 x x2 ...)
母函数的概念与性质
1绪论母函数又可译为发生函数或生成函数.母函数方法是现代离散数学领域中的重要方法.它是联结离散数学与连续数学的桥梁.它是解决组合计数问题的一个重要工具之一.母函数方法是一种既简单又有用的数学方法，是一个古老方法.他源于De Moivre 在1720前后的工作，1748年欧拉在研究关于划分的问题中发展了这一方法.拉普拉期于18世纪末及19世纪初期对其进行了广泛的论述.其探究主要与概率论相关.尽管这一方法有其悠久的历史，但是正如我们将要看到的那样，这一方法有着广泛的应用.当代计算机科学家克努特（D.E.Knuth）在其名著《The art of computer programming,voll》中作了这样的论述：“…当运用母函数时，通常无需担心级数的收敛性，因为我们只是在探求得到某个问题的解的可能途径，一旦当我们用任何手段发现了解，尽管这些手段也许不严格，就有可能独立的验证这个解…例如有时很容易用数学归纳法来证明，我们甚至不必提到它是利用母函数发现的.此外，可以证明我们对母函数所做的绝大多数——如果不是所有的话——运算都能严格论证其可行而无须顾及级数的收敛性.”这段引文最后的断言是通过把母函数作为形式幂级数而得以实现的.一般情况下，母函数中的x只是一个抽象符号，并不需要对它赋予具体数值.因而不需要考虑它的收敛性.此时的变量x只是一种形式变元.对这种级数可以把它看成形式幂级数，可以按通常方式定义其加法、乘法、形式微分等运算，从而构成一个代数体系.母函数有多种类型，这里仅讨论最常见的两种：普通母函数和指数母函数.下面分别进行讨论.2母函数基本概念定义2.1. 对于数列{}0n n a ≥，称函数 120120()k k k f x a x a a x a x ≥==+++∑为数列{}0n n a ≥的普通型母函数（简称普母函数）．定义2.2. 对于数列{}0n n a ≥，称函数120120()!1!2!k kk x x x f x a a a a k ≥==+++∑为数列{}0n n a ≥的指数型母函数（简称指母函数）．数列与母函数可以互求.已知母函数，可求出其对应的数列；已知数列，可求出其对应的母函数.R 上的母函数的全体记为[]R x ⎡⎤⎣⎦.在集合[]R x ⎡⎤⎣⎦中适当定义加法和乘法运算，可使它成为一个整环，任何一个母函数都是这个环中的元素.定义2.3. 设0()kk k A x a x ∞==∑与0()k k k B x b x ∞==∑是R 上的两个母函数.若对任意0k ≥，有k k a b =.则称()A x 与()B x 相等.记作()()A x B x =.定义 2.4. 设α为任意实数. []0()kk k A x a x R x ∞=⎡⎤=∈⎣⎦∑,则()0()kk k A x a x αα∞==∑称作α与()A x 的数乘积.定义2.5. 设0()kk k A x a x ∞==∑与0()k k k B x b x ∞==∑是R 上的两个母函数.（1）将()A x 与()B x 相加定义为0()()()k k k k A x B x a b x ∞=+=+∑，并称()()A x B x +为()A x 与()B x 的和，把运算“+”称作加法.（2）将()A x 与()B x 相乘定义为01100()()()k k k k k A x B x a b a b a b x ∞-=⋅=+++∑，并称()()A x B x ⋅为()A x 与()B x 的积，把运算“⋅”称作乘法.3母函数的性质母函数与数列之间是一一对应的，因此，若两个母函数之间存在某种关系，那么相应的两个数列之间也必然存在一定的关系；反过来说当然也能成立．设数列{}0n n a ≥的母函数为()A x ，数列{}0n n b ≥的母函数为()B x ，我们可以得到下面的一些性质：性质3.1. 若0n n kn k b a n k-<⎧=⎨≥⎩ , 则 ()()k B x x A x =．证明： 由假设条件，有 21101211()k k k k k k B x b b x b x b x b x b x -+-+=+++++++11k k k k b x b x ++=++ 101k k a x a x +=++()01k x a a x =++()k x A x =.例3.1. 2()11!2!xx x A x e =+++= 且()B x 满足0n n kn k b a n k-<⎧=⎨≥⎩，则求()B x .解：利用性质1，()()k B x x A x =k x x e =⋅性质3.2. 若n n k b a +=，10()()k n k n n B x A x a x x -=⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦∑.证明： 又假设条件，有2012()B x b b x b x =+++212k k k a a x a x ++=+++()12121k k k k k k k a x a x a x x ++++=+++ ()10111()k k k A x a a x a x x--=----10()k n k n n A x a x x -=⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦∑.例3.2. 35()sin 3!5!x x A x x x ==+++,且6k k b a +=，求()B x .解： 6160()()n n n B x A x a x x -=⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦∑356()3!5!x x A x x x ⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦.性质3.3. 若0nn k k b a ==∑，则()()1A x B x x=-． 证明： 有假设条件，有 00b a =， 101b x a x a x =+， 22222012b x a x a x a x =++， …，012n n n n n n n b x a x a x a x a x =++++…， 把以上两边分别相加，得2222012()(1)(1)(1)B x a x x a x x x a x x x =++++++++++++22012()(1)a a x a x x x =++++++()1A x x=-. 例3.3. 21()11A x x x x =+++=- ，且0nn k k b a ==∑，则 ()2()1()11A x B x x x ==-- . 性质3.4. 若n k k nb a ∞==∑，则(1)()()1A xA x B x x -=-．这里0k n a ≥∑是收敛的．证明： 因为0k n a ≥∑是收敛的，所以n k k nb a ∞==∑是存在的．于是有0012(1)b a a a A =+++= 1120[(1)]b x a x a x A a x =++=-， 222222301[(1)]b x a x a x A a a x =++=--，…， 1011[(1)]k k k k k k k k b x a x a x A a a a x +-=++=----，…．把以上各式的两边分别相加，得0()(1)[(1)]B x A A a x =+-201[(1)]A a a x +--+01[(1)]k k A a a x -+--+2(1)(1)A x x =+++20(1)a x x x -+++221(1)a x x x -+++- 21(1)k k a x x x --+++-2012[(1)()]A x a a x a x =-+++2(1)x x +++(1)()1A xA x x-=-.性质3.5. 若n n na b =, 则'()()B x xA x =．证明： 由'()A x 的定义知'11()n n n na xxA x x ∞-==∑0n n n na x ∞==∑n n n b x ∞==∑()B x =．例3.4. 已知21()11A x x x x =+++=- ，n n na b =，则()21()11x B x x x x '⎛⎫== ⎪-⎝⎭-. 性质3.6. 若1nn a b n =+， 则1()()xB x A t dt x =⎰．证明： 由假设条件，有0()xxn n n A t dt a t dt ∞==∑⎰⎰(1)xn n n b n t dt ∞==+∑⎰1n n n b x ∞+==∑＝()xB x ．性质3.7. 若0112200nn n n n n k n k k c a b a b a b a b a b ---==++++=∑.则2012()()()C x c c x c x A x B x =+++=证： 000c a b =()10110c x a b a b x =+ ()222021120c x a b a b a b x =++ …()()()2222001210122012()c x a b b x b x a x bb x b x a x bb x b x =++++++++++++()()22012012a a x a x bb x b x =++++++()()A x B x =.例3.5. 已知21()11n A x x x x x=+++++=- ()22()21n xB x x x nx x =++++=-()11232n n n c n +=++++=则 ()3()1xG x x =-.性质3.8. 若k k k c a b αβ=+ ，则()()()0k k k c x c x A x B x αβ∞===+∑.证明：有假设条件，有()()00kkk k k k k c x c x a b x αβ∞∞====+∑∑0kk k k k k a x b x αβ∞∞===+∑∑kk k k k k a x b x αβ∞∞===+∑∑()()A x B x αβ=+.4性质的应用利用这些性质，可以求某些数列的母函数，也可以计算数列的和.下面列出几个常见的简单数列的母函数.(1) {}111G x=- (2) {}11k G a ak=-(3) {}()21xG k x =-(4) (){}()3211xG k k x +=-(5) {}()()2311x x G k x +=-(6) ()(){}()46121xG k k k x ++=-(7) 1!x G e k ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭(8) ()1aa G x k ⎧⎫⎛⎫=+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭(9) ()111n n k G k x +⎧+⎫⎛⎫=⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭ 例4.1.求序列{}5,6,7,,5,n +的母函数.解：()()25675n A x x x n x =++++++()()2235123x x x xx =+++++++(){}51G G k =+ ()()221545111x xx x x -=⋅+=---. 母函数的应用很多.求解递推关系,排列组合中,计数问题中的应用等等.利用母函数的性质,可以求某些数列的母函数,也可以计算数列的和.结束语母函数又称生成函数，是一种即简单又有用的数学方法，求解递推关系和组合计数问题中母函数是一种重要的数学方法.用母函数可以求解常系数线性齐次、非齐次递推关系、求解非线性递推关系、非常系数递推关系等等递推关系.这篇文章给出了母函数的基本知识,从最基本点开始讨论了母函数的性质.利用母函数的性质,可以求某些数列的母函数,也可以计算数列的和.参考文献【1】卢开澄,卢华明. 组合数学（第四版）.北京：清华大学出版社,2006,12．【2】田秋成等编著. 组合数学. 电子工业出版社,2006,11.【3】李凡长,康宇,董海峰,段爱华编著.组合理论及其应用. 北京：清华大学出版社,2005,9.【4】冯速译. 应用组合学. 拉特格大学狄克森学院：机械工业出版社,2007,5.【5】李乔.组合学讲义（第二版）.北京：高等教育出版社,2008,1.【6】孙淑玲许胤龙编著.组合数学引论.中国科学技术大学出版社,2004,1.【7】孙世新张先迪编著.组合原理及其应用.北京：国防工业出版社,2006,3.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x 取 f ( x ) e , x 0 0 ，得 e x 1 x
x 2 x3 x 4 G ( x) ， 2! 3! 4!
也就是说序列 1,1,1,1, 的指数型母函数的闭形式为 e x 。 同样运用 Taylor 公式，我们可以得到： 序列 1,1,1,1,1,1, 的指数型母函数为 e x 。 序列 0,1,0,1,0,1, 的指数型母函数为
m1 学归纳法同样可以得到结果 g n Cm n1 。
1 1 1 ，之后运用数 m 1 x (1 x) m1 (1 x)
那么闭形式
1 m1 m1 m1 对应的序列为 1, Cm , Cm 1 , Cm 2 , 。 (1 x) m
1 1 ， 我们可以把 x 看成一个整体后来展开， 参考 的 1 x 1 x
关键字
母函数 递推 排列组合
§1.母函数的性质
§1.1. 定义
母函数是用于对应一个无穷序列的幂级数，一般来说母函数有形式：
G ( x) g 0 g1 x g 2 x 2 g n x n
n0
我们称 G( x) 是序列 g 0 , g1 , g 2 , 的母函数,下文表示为：
(1 x) m
§1.4. 指数型母函数
有时候序列 g n 所具有的母函数的性质十分复杂， 而序列
gn 所具有的母函数的 n!
性质十分简单，那我们宁愿选择
gn 来研究，然后再乘以 n! 。 n!
我们称：
G ( x) g n
n0
xn 为序列 g 0 , g1 , g 2 , 的指数型母函数。 n!
G( x) g 0 , g1 , g 2 ,
举一个例子：
2
序列 1,1,1,1,1 对应的母函数是 G( x) 1 x x 2 x 3 用等比数列求和公式我们知道 G ( x) 1 x x x
2 3
x
n0
n
1 1 , 这里我们称 1 x 1 x
k个 0
4.求导：
G( x) g1 2g 2 x 3g 3 x 2 g1 ,2g 2 ,3g 3 ,
求导操作有两个效果，将序列左移一位并使每项乘以它的下标。
3
举个例子： 设 G ( x) 1 x x x
2 3
1 1 x
则
1 G ( x) 1 2 x 3x 2 4 x 3 2 (1 x) 1 对应的序列就是 1,2,3,4,5, (1 x) 2
1 对应的序列就是 1,2,3,4,5, (1 x) 2
由此也可以证明上面闭形式
卷积规则比较重要的一点是在处理组合问题时，当 G( x) 对应在 A 中选择元素的母函 数， F ( x) 对应在 B 中选择元素的母函数， 则 G( x) F ( x) 对应在 A B 选择元素的母函数。
母函数的性质及应用
2009 国家集训队论文 毛杰明 南京外国语学校 Email:maojm517@ 邮政编码:210008
目录 摘要.............................................................................................................2 关键字.........................................................................................................2 §1.母函数的性质 ....................................................................................2 §1.1. 定义 ........................................................................................2 §1.2. 基本操作 ................................................................................3 §1.3. 简单的序列所对应的母函数 ................................................4 §1.4. 指数型母函数 ........................................................................5 §1.5. 母函数型 Pólya 定理 ............................................................7 §2.母函数的应用 ....................................................................................9 §2.1. 原创题 ....................................................................................9 §2.2. Chocolate ............................................................................ 11 §2.3. Sweet ....................................................................................13 §2.4. 证明题 ..................................................................................16 §2.5. Polygon ................................................................................17 §3.总结...................................................................................................20 参考文献...................................................................................................21
是这个母函数的闭形式。 需要注意的是，由于收敛问题，这个公式在 x 1 时并不成立。但因为我们在考虑母函 数的问题时不需要代入 x 的值求出函数值， 所以我们在做母函数时并不需要考虑收敛性， 本 文将忽略母函数的收敛问题。
§1.2. 基本操作
1．放缩：
cG( x) cg 0 cg1 x cg 2 x cg 0 , cg1 , cg 2 ,
那么闭形式
5．卷积规则：
H ( x) G( x) F ( x) ( g0 g1 x g2 x2 )( f 0 f1 x f 2 x 2 )
则
H ( x) 中 x n 的系数 hn g 0 f n g1 f n1 g 2 f n 2 g n f 0
我们再来考虑一下闭形式 展开后我们得到
1 1 x 2 x 2 3 x 3 1, , 2 , 。 1 x
结合
1 我们可以得到一个比较有用的结论： (1 x) m 1
m 1 m 1 2 3 m 1 3 1 C m x 2 Cm 1 x C m 2 x
m个
那么 G( x) 中 x n 的系数 g n 的值就等价于不定方程 x1 x 2 x m n 的非负整数解
4
的个数， 而这个不定方程非负整数解的个数是我们熟悉的问题， 由插板法或者其他方法易得
m1 g n Cm n1 。
我们也可以用另外一种方法求 g n ， G ( x)
§1.3. 简单的序列所对应的母函数
由上面的基本操作我们已经可以求出很多序列对应的母函数了。
上文中已经求出了闭形式
1 1 对应序列，我们考虑求一个常用的母函数 和 1 x (1 x) 2
1 对应的序列： (1 x) m
G ( x) 1 1 1 (1 x x 2 ) m m 1 x 1 x (1 x)
e x ex 。 2 e x ex 。 2
序列 1,0,1,0,1,0, 的指数型母函数为
指数型母函数的放缩与加减法操作与普通母函数是一致的， 但左移和右移操作的方式不 g1 g x 2 x2 1! 2! g g2 x 3 x2 1! 2!
因为指数型母函数在处理排列问题时符合上文提到的卷积规则， 所以我们一般用指数型 母函数来处理排列问题。
5
我们先来研究一下最基本的序列 1,1,1,1, 所对应的指数型母函数， 它对应的指数型母函数根据定义为：
G ( x) 1
x x 2 x3 x 4 1! 2! 3! 4!
则 G ( x) g1
也就是说求导可以完成对指数型母函数的左移操作。 同样的道理，积分操作可以完成对指数型母函数的右移操作。
6
指数型母函数和普通母函数一样，最有趣的运算是乘积。 我们设 G ( x) g 0
g1 g x 2 x 2 是序列 g 0, g1 , g 2 , 的指数型母函数， 1! 2!
F ( x) f 0
那么，
f1 f x 2 x 2 是序列 f 0 , f1 , f 2 , 的指数型母函数。 1! 2!