2014寒假高三数学作业4理

1.已知函数{}2

|20A x x

x a =

-+>，且1A ∉，则实数a 的取值范围是 （ ）

A (,1]-∞

B [1,)+∞

C [0,)+∞

D (,1)-∞- 2．设复数i z +=11

，)(22R b bi z ∈+=，若21z z ⋅为实数，则b 的值为（ ） A ．2 B ．1 C ．1- D ．2-

3．在某次测量中得到的A 样本数据如下:82, 84, 84, 86, 86, 86, 88, 88, 88, 88.若B 样本数据恰好是A 样本数据都加2后所得数据,则A ,B 两样本的下列数字特征对应相同的是（ ）A ．众数 B ．平均数 C ．中位数

D ．标准差

4. 下列有关命题的说法正确的是 ( )．A ．命题“若21x =，则1=x ”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”． B ．“1x =-” 是“2560x x --=”的必要不充分条件.C ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题.

D ．命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，均有210x x ++<”．

5．若函数

)(log )(b x x f a +=的大致图像如右图，其中b a ,为常数，则函数b a x g x +=)(的大致图像是

A B C D

6. 设数列{}n a 是公差不为0的等差数列，11a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S 等于 ）

A ． 2788n n +

B ．2744

n n +

C ．2324n n

+ D ．2n n +

7．如图，定义某种运算a S b =⊗，运算原理如右图所示，则式子1

31100lg ln )45tan 2(-⎪⎭

⎫

⎝⎛⊗+⊗e π

的值为（ ）A ．11

B ．13

C ．8

D ．4

8．定义域为R 的函数()f x 满足(1)2()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，2()f x x x =-，则当[2,1]x ∈--时，()f x 的最小值为（ ）

A ）116

-

（B ） 18- C ） 1

4- （D ） 0

9、若函数sin()y A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||2

π

ϕ<

）在一个周期内的图象如图所示，,M N

分别是这段图象的最高点和最低点，且0OM ON ⋅=

（O 为坐标原点），则=A （ ）

A ．6

π B

C

D

10. 函数

2

()2x f x a x

=-

-的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是（A ．(1,3) B ．(1,2)C ．(0,3) D ． (0,2) 11. 如图，一个底面半径为R 的圆柱被与其底面所成角为θ（0

0090θ<<）的平面所截，截面是一个椭

圆.当θ为30o

时，这个椭圆的离心率为（A ）

12

（B

（C （D ）23

12．对a ∀、b R ∈，运算“⊕”、“⊗”定义为：a b ⊕=,().()a a b b a b <⎧⎨

≥⎩，a b ⊗=,()

.()a a b b a b ≥⎧⎨<⎩

，则下列各式其中不恒成

立的是（ ）

a b a b a b =+⊗+⊕⑵a b a b a b =-⊗-⊕⑶[][]a b a b a b =⋅⊗⋅⊕⑷[][]a b a b a b =÷⊗÷⊕

A ．⑴、⑶

B ．⑵、⑷

C ．⑴、⑵、⑶

D ．⑴、⑵、⑶、⑷ 13、13．某大型超市销售的乳类商品有四种：纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉，且纯奶、

酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉分别有30种、10种、35种、25种不同的品牌．现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n 的样本进行三聚氰胺安全检测，若抽取的婴幼儿奶粉的品牌数是7，则=n 。 14.某四棱锥的三视图如右图所示，则该四棱锥的体积为__.

15.已知点(,)P x y 的坐标满足40,12,0,x y x y +-≤⎧⎪

≤≤⎨⎪≥⎩

则2z x y =+的最大值为________.

16.在△ABC 中， ︒=∠120A ，1AB AC ⋅=- ，则AB AC = ；||BC

的最小值是 .

17．设平面向量)sin ,(cos x x a =

，1

)2

b = ，函数()1f x a b =⋅+ 。

（Ⅰ）求函数)(x f 的值域和函数的单调递增区间;

（Ⅱ）当9()5f α=

,且263ππα<<时,求2sin(2)3

πα+的值. 18. 以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个

数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以a 表示． （Ⅰ）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求a 的值；（Ⅱ）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率； （Ⅲ）当2a =时，分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．

19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，

o 90ABC ∠=，AD ∥BC ，且2PA AD ==，1AB BC ==，E 为PD 的中点．

（Ⅰ）求证：CD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）求二面角E AC D --的余弦值；（Ⅲ）在线段AB 上是否存在一点F （不

与A B ，两点重合）

，使得AE ∥平面PCF ?若存在，求出AF 的长；若不存在，请说明理由． 20. 已知函数()x

f x e ax =-（e 为自然对数的底数）.（Ⅰ）当2a =时，求曲线()f x 在点(0(0))f ，处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）已知函数()f x 在0x =处取得极小值，不等式()f x mx <的解集为P ，若1

{|

2}2

M x x =≤≤，且M P ≠∅ ，求实数m 的取值范围. 21. 已知椭圆：（）过点(20)，，且椭圆的离心率为.（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若动点在直线上，过作直线交椭圆于两点，且MP PN =

，再过作直线.证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.

22. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，且对任意正整数n ,点()n n S a ,1+在直线022=-+y x 上.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）是否存在实数λ，使得数列⎭

⎬⎫

⎩

⎨⎧+

⋅+n

n n S 2λλ为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，则说明理由

.

正视图

3

左视图

俯视图

A

P

E

B

D

C

甲组 乙组 8

9

0 1 a

8

2 2