最全面的函数的奇偶性知识总结及练习题

函数的奇偶性

中山七欧阳志平

【教学目标】

一、知识目标

1、深刻理解奇偶性的定义及图象特征；

2、掌握判定和证明奇偶性的方法；

3、学会利用函数的奇偶性解决问题

二、能力目标

培养学生的观察、分析、归纳、概括和综合分析能力，培养学生用数形结合和转化变换等思想分析数学问题。

三、情感目标

培养学生自主学习、积极主动探求知识的习惯和品质、合作交流的意识，改变学习方式，改善数学学习信念，帮助学生建立勇于探索创新的精神和克服困难的信心。

【教学重点】

1、理解奇偶性的定义；

2、掌握判定方法；

3、学会利用函数的奇偶性解题。

【教学难点】

灵活运用函数的奇偶性求解函数解析式、对称区间上函数的单调性的判断。

【考点分析】

1、考查判断函数的奇偶性的能力；

2、利用函数奇偶性的图像解题；

3、利用函数的奇偶性求解析式；

4、利用函数奇偶性求单调区间。

【知识点梳理】 一、函数奇偶性的概念

1函数的奇偶性的定义：在定义域关于原点对称的前提乐件下，

如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 就叫做偶函数。例如：函数2

()1f x x =+, 4

()2f x x =-等都是偶函数。

如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么函数

()f x 就叫做奇函数。例如：函数x x f =)(，x

x f 1

)(=

都是奇函数。 说明：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数： （1）其定义域关于原点对称；

（2） ()()f x f x -=或()()f x f x -=-必有一成立。

因此，判断某一函数的奇偶性时，首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算()f x -，看是等于()f x 还是等于()f x -，然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性。

（3）无奇偶性的函数是非奇非偶函数。

（4）函数0)(=x f 既是奇函数也是偶函数，因为其定义域关于原点对称且既满足

)()(x f x f -=也满足)()(x f x f --=。

（5）一般的，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数。偶函数的图象关于y 轴对称，反过来，如果一个函数的图形关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数。

（6）奇函数若在0x =时有定义，则(0)0f =． 2、主要方法：

(1)、判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响；

(2)、牢记奇偶函数的图象特征，有助于判断函数的奇偶性；

(3)、判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，

()

1()

f x f x =±-．

(4)、设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇．

2. 函数的奇偶性的性质

①对称性:奇（偶）函数的定义域关于原点对称．．．．

； ②整体性:奇偶性是函数的整体性质,对定义域内任意一个x 都必须成立； ③可逆性:)()(x f x f =- ⇔)(x f 偶函数；

)()(x f x f -=-⇔)(x f 奇函数；

④等价性:)()(x f x f =-⇔0)()(=--x f x f

)()(x f x f -=-⇔0)()(=+-x f x f

⑤奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于y 轴对称；

⑥可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。 【典型例题】

题型一 判断函数的奇偶性 例1判断下列函数的奇偶性: （1）f(x)=x 4

； （2）f(x)=x 5； （3）f(x)=x+x

1

； （4）f(x)=

2

1x . 思路分析：学生思考奇偶函数的定义，利用定义来判断其奇偶性.先求函数的定义域，并判断定义域是否关于原点对称，如果定义域关于原点对称，那么再判断f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x).

解答过程：

解：（1）函数的定义域是R ，对定义域内任意一个x ，都有f(-x)=(-x)4

=x 4

=f(x)， 所以函数f(x)=x 4

是偶函数.

（2）函数的定义域是R ，对定义域内任意一个x ，都有f(-x)=(-x)5

=-x 5

=-f(x), 所以函数f(x)=x 4

是奇函数.

（3）函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)，对定义域内任意一个x ，都有

f(-x)=-x+

x

-1

=-(x+x 1)=-f(x)，

所以函数f(x)=x+x

1

是奇函数.

（4）函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)，对定义域内任意一个x ，都有f(-x)=

)(12

x -=21x

=f(x)， 所以函数f(x)=

21

x

是偶函数. 点评：本题主要考查函数的奇偶性.函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，对定义域内任意x ，其相反数-x 也在函数的定义域内，此时称为定义域关于原点对称. 小结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ②确定f(-x)与f(x)的关系； ③作出相应结论：

若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数； 若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数.

变式一 设f(x)是R 上的任意函数,则下列叙述正确的是( )

(x)f(-x)是奇函数 (x)|f(-x)|是奇函数 (x)-f(-x)是偶函数 (x)+f(-x)是偶函数

思路分析:A 中设F(x)=f(x)f(-x),则F(-x)=f(-x)f(x)=F(x)，即函数F(x)=f(x)f(-x)为偶函数；

B 中设F(x)=f(x)|f(-x)|，F(-x)=f(-x)|f(x)|，此时F(x)与F(-x)的关系不能确定，即函数F(x)=f(x)|f(-x)|的奇偶性不确定；

C 中设F(x)=f(x)-f(-x),F(-x)=f(-x)-f(x)=-F(x)，即函数F(x)=f(x)-f(-x)为奇函数；

D 中设F(x)=f(x)+f(-x)，F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x)，即函数F(x)=f(x)+f(-x)为偶函数. 答案：D

变式二 设)(x f 是(－∞，＋∞)上的奇函数，)2(+x f ＝－)(x f ，当0≤x ≤1时，)(x f ＝x ，x 则)5.7(f 等于( )

A ．

B ． －0.5

C ．

D ． －

解析：)5.7(f ＝)25.5(+f ＝－)5.5(f ＝－)25.3(+f ＝)5.3(f ＝)25.1(+f ＝－