高考数学专题讲解：立体几何平行证明

高考数学专题讲解：立体几何平行证明第一部分：三角形中位线平行于底边第一部分：三角形自现原则一（原创方法）例题一：已知：E 为PA 的中点，F 为PB 的中点。

分析方法：确定目标三角形（有中位线的三角形）E 为PA 的中点⇒点P 和点A 为目标三角形的两个端点；F 为PB 的中点⇒点P 和点B 为目标三角形的两个端点；中位线：EF点P 和点A ，点P 和点B ⇒目标三角形⇒PAB AB EF //⇒。

底边：AB分析：①两个中点的连线为中位线；②目标三角形的四个端点，去掉两个相同端点，两个不同端点组成的边为底边。

证明方法：E 为PA 的中点，F 为PB 的中点EF ⇒为PAB ∆的中位线AB EF //⇒。

例题二：已知：A 为DE 的中点，B 为DF 的中点。

分析方法：确定目标三角形（有中位线的三角形）A 为DE 的中点⇒点D 和点E 为目标三角形的两个端点；B 为DF 的中点⇒点D 和点F 为目标三角形的两个端点；中位线：AB点D 和点E ，点D 和点F ⇒目标三角形⇒DEF EF AB //⇒。

底边：EF证明方法：A 为DE 的中点，B 为DF 的中点AB ⇒为DEF ∆的中位线EF AB //⇒。

训练一：已知：M 为AB 的中点，N 为AC 的中点。

训练二：已知：P 为MA 的中点，Q 为MB 的中点。

训练一证明：M 为AB 的中点，N 为AC 的中点MN ⇒为ABC ∆的中位线BC MN //⇒。

训练二证明：P 为MA 的中点，Q 为MB 的中点PQ ⇒为MAB ∆的中位线AB PQ //⇒。

例题一：2012年高考数学浙江卷：如下图所示，在四棱锥ABCD P -中，底面是边长为32的菱形，且0120=∠BDA ，且⊥PA 平面ABCD ，62=PA ，M 、N 分别为PB 、PD 的中点。

（Ⅰ）证明：//MN 平面ABCD 。

证明：M 为PB 的中点，N 为PD 的中点MN ⇒为PBD ∆的中位线BD MN //⇒，⊂BD 平面ABCD //MN ⇒平面ABCD 。

例题二：2015年高考数学江苏卷第16题：如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，已知BC AC ⊥，设1AB 的中点为D ，F BC C B =⋂11。

（Ⅰ）求证：//DF 平面C C AA 11。

证明：平行四边形C C BB 11，F BC C B =⋂11F ⇒为C B 1的中点，D 为1AB 的中点DF ⇒为C AB 1∆的中位线AC DF //⇒，⊂AC 平面⇒C C AA 11//DF 平面C C AA 11。

例题三：2014年全国高考数学江苏卷：如下图所示：在三棱锥ABC P -中，D 、E 、F 分别为棱PC 、AC 、AB 的中点。

已知：AC PA ⊥，6=PA ，8=BC ，5=DF 。

（Ⅰ）求证：直线//PA 平面DEF 。

证明：D 为PC 的中点，E 为AC 的中点DE ⇒为PAC ∆的中位线PA DE //⇒，⊂DE 平面DEF //PA ⇒平面DEF 。

例题四：2011年高考数学北京卷：如图所示，在四面体PABC 中，AB PC ⊥，BC PA ⊥，点D 、E 、F 、G 分别为棱AP 、AC 、BC 、PB 的中点。

（Ⅰ）求证：//DE 平面BCP 。

证明：D 为AP 的中点，E 为AC 的中点DE ⇒为PAC ∆的中位线PC DE //⇒，⊂PC 平面BCP //DE ⇒平面BCP 。

例题五：2016年高考数学江苏卷第16题：如图所示，在直三棱柱111C B A ABC -中，D 、E 分别为AB 、BC 的中点，点F 在侧棱B B 1上，且F A D B 11⊥，1111B A C A ⊥。

（Ⅰ）求证：直线//DE 平面F C A 11。

证明：D 为AB 的中点，E 为BC 的中点DE ⇒为ABC ∆的中位线AC DE //⇒，11//C A AC 11//C A DE ⇒，⊂11C A 平面⇒F C A 11直线//DE 平面F C A 11。

第二部分：三角形自现原则二（原创方法）【题型一】：四棱锥题型。

例题一：在四棱锥ABCD P -中：四边形ABCD 为平行四边形，M 为PA 的中点。

求证：直线PC //平面MBD 。

分析过程：M 为PA 的中点平面MBDBD 为平行四边形的对角线M 为PA 的中点⇒点P 和点A 为目标三角形的两个端点；直线PC //平面MBD ⇒点P 和点C 为目标三角形的两个端点。

、AC 为平行四边形的对角线，AC 需要产生第二个中点。

证明过程：连接AC 、BD 交于点O ，连接OM 。

四边形ABCD 为平行四边形，O BD AC =⋂⇒O 为AC 的中点，M 为PA 的中点OM ⇒为PAC ∆的中位线PC OM //⇒，⊂OM 平面⇒MBD 直线PC //平面MBD 。

例题二：在四棱锥ABCD P -中：四边形ABCD 为矩形，M 为PD 的中点。

求证：直线PB //平面MAC 。

分析过程：M 为PD 的中点平面MACAC 为平行四边形的对角线M 为PD 的中点⇒点P 和点D 为目标三角形的两个端点；直线PB //平面MBD ⇒点P 和点B 为目标三角形的两个端点。

、BD 为平行四边形的对角线，BD 需要产生第二个中点。

证明过程：连接AC 、BD 交于点O ，连接OM 。

四边形ABCD 为平行四边形，O BD AC =⋂⇒O 为BD 的中点，M 为PD 的中点OM ⇒为PBD ∆的中位线BD OM //⇒，⊂OM 平面⇒MAC 直线PD //平面MAC 。

【题型二】：棱柱题型。

例题一：在三棱柱111C B A ABC -中，点M 为11B A 的中点。

求证：直线//1C A 平面1MBC 。

分析过程：M 为11B A 的中点平面1MAC 1BC 为平行四边形的对角线M 为11B A 的中点⇒点1A 和点1B 为目标三角形的两个端点；直线C A 1//平面1MAC ⇒点1A 和点C 为目标三角形的两个端点。

、C B 1为平行四边形的对角线，C B 1需要产生第二个中点。

证明过程：连接1BC 和C B 1交于点O ，连接OM 。

四边形11BCC B 为平行四边形，O O C B BC ⇒=⋂11为C B 1的中点，点M 为11B A 的中点OM ⇒为C B A 11∆的中位线C A OM 1//⇒，⊂OM 平面⇒1MBC 直线//1C A 平面1MBC 。

例题二：在直四棱柱1111D C B A ABCD -中，点M 为CD 的中点。

求证：直线//1C B 平面1MBD 。

分析过程：点M 为CD 的中点平面1MBD 1BD 为平行四边形的对角线点M 为CD 的中点⇒点C 和点D 为目标三角形的两个端点；直线//1C B 平面1MBD ⇒点1B 和点C 为目标三角形的两个端点。

、D B 1为平行四边形的对角线，D B 1需要产生第二个中点。

证明过程：连接1BD 和D B 1交于点O ，连接OM 。

四边形11BDD B 为平行四边形，O O D B BD ⇒=⋂11为D B 1的中点，点M 为CD 的中点OM ⇒为CD B 1∆的中位线C B OM 1//⇒，⊂OM 平面⇒1MBD 直线//1C B 平面1MBD 。

例题一：2011年高考数学天津卷：如图所示，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为平行四边形，045=∠ADC ，1==AC AD ，O 为AC 的中点。

（Ⅰ）已知：M 为PD 的中点。

证明：直线//PB 平面ACM 。

证明：连接AC 和BD 交于点O ，连接OM 。

底面ABCD 为平行四边形，O O BD AC ⇒=⋂为BD 的中点，M 为PD 的中点OM ⇒为PBD ∆的中位线PB OM //⇒，⊂OM 平面⇒ACM 直线//PB 平面ACM 。

例题二：2013年高考数学新课标Ⅱ卷：如图所示，直三棱柱111C B A ABC -中，D 、E 分别为AB 、1BB 的中点，AB CB AC AA 221===。

（Ⅰ）证明：直线//1BC 平面CD A 1。

证明：连接C A 1和1AC 交于点O ，连接OD 。

四边形11ACC A 为矩形，O O AC C A ⇒=⋂11为1AC 的中点，D 为AB 的中点OD ⇒为1ABC ∆的中位线⇒⇒1//BC OD 直线//1BC 平面CD A 1。

例题三：2014年高考数学新课标Ⅱ卷：如下图所示。

四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，⊥PA平面ABCD ，E 为PD 的中点。

（Ⅰ）证明：直线//PB 平面AEC 。

证明：连接AC 和BD 交于点O ，连接OE 。

底面ABCD 为矩形，O O BD AC ⇒=⋂为BD 的中点，E 为PD 的中点OE ⇒为PBD ∆的中位线PB OE //⇒，⊂OE 平面⇒AEC 直线//PB 平面AEC 。

第二部分：根据两个平面平行推理直线与平面平行例题一：已知：E 为AB 的中点，F 为CD 的中点，PC AD //。

证明：直线//EF 平面PBC 。

分析方法：AB 中一点和CD 种一点合成一个线段，取该线段的中点。

第一种：取AC 的中点O ，连接OE 和OF 。

O 为AC 的中点，E 为AB 的中点OE ⇒为ABC ∆的中位线BC OE //⇒，⊂BC 平面PBC//OE ⇒平面PBC 。

O 为AC 的中点，F 为CD 的中点OF ⇒为ACD ∆的中位线AD OF //⇒，PC OF PC AD ////⇒，⊂PC 平面//OF PBC ⇒平面PBC 。

//OE 平面PBC ，//OF 平面PBC ，O OF OE =⋂，⊂OE 平面OEF ，⊂OF 平面OEF⇒平面//OEF 平面PBC ，⊂EF 平面⇒OEF 直线//EF 平面PBC 。

第二种：取AD 的中点O ，连接OE 和OF 。

O 为AD 的中点，E 为AB 的中点OE ⇒为ABD ∆的中位线BD OE //⇒，⊄BD 平面PBC得不到//OE 平面PBC 。

所以：第二种方法失败。

第三种：取BC 的中点O ，连接OE 和OF 。

O 为BC 的中点，E 为AB 的中点OE ⇒为ABC ∆的中位线AC OE //⇒，⊄AC 平面PBC得不到//OE 平面PBC 。

所以：第三种方法失败。

第四种：取BD 的中点O ，连接OE 和OF 。

O 为BD 的中点，E 为AB 的中点OE ⇒为ABD ∆的中位线AD OE //⇒，PC AD //PC OE //⇒,⊂PC 平面PBC //OE ⇒平面PBC 。

O 为BD 的中点，F 为CD 的中点OF ⇒为BCD ∆的中位线BC OF //⇒，⊂BC 平面PBC//OF ⇒平面PBC 。

//OE 平面PBC ，//OF 平面PBC ，O OF OE =⋂，⊂OE 平面OEF ，⊂OF 平面OEF⇒平面//OEF 平面PBC ，⊂EF 平面⇒OEF 直线//EF 平面PBC 。