椭圆的定义及其标准方程
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2.1.1 椭圆及其标准方程
（3）已知两圆 C1：(x－4) ＋y ＝169，C2：(x＋
2 2
2
2
4) ＋y ＝9，动圆和圆 C1 内切，和圆 C2 外切，求 动圆圆心的轨迹方程．
解：如图所示，设动圆圆心为 M(x，y)，半径为 r. 由题意得动圆 M
和内切于圆 C1， ∴|MC1|＝13－r. 圆 M 外切于圆 C2， ∴|MC2|＝3＋r. ∴
一、椭圆的定义
平面内到两个定点F1，F2的 定义
距离之和等于常数
(大于| F1F2|)的点的集合叫作椭圆 两个 定点 F1，F2叫作椭圆的焦点 两焦点F1，F2间的 距离 叫作椭圆的焦距 P＝{M| |MF1|＋|MF2|＝2a, ＞| F1F2|}
焦点 焦距 集合语
言
椭圆的标准方程
焦点在x轴上
解： 设圆 P 的半径为 r ，又圆 P 过点 B ， ∴ |PB| ＝r，又∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10. ∴两圆的圆心距|PA|＝10－r， 即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|)． ∴点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆． ∴2a＝10,2c＝|AB|＝6， ∴a＝5，c＝3.∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.
以过 B、C 两点的直线为 x 轴，线段 BC 的垂直平分线为 y 轴，建立直 角坐标系 xOy，如图所示．由|BC|＝8，可知点 B(－4,0)，C(4，0)，c ＝4. 由|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，|BC|＝8，得|AB|＋|AC|＝10.因此，点 A
的轨迹是以 B，C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之
a2＝ 15， 解得 2 b ＝ 5.
x2 y2 所以所求椭圆的方程为 ＋ ＝ 1. 15 5 y2 x2 ②当焦点在 y 轴上时，设椭圆的标准方程为 2＋ 2＝1(a＞ b＞ 0)．依题 a b
椭圆及其标准方程
例： ( 1 ) 已知 F ， F 是两定点， F F 6 ，动点 M 满足 1 2 1 2
线段 MF MF 6 ，则动点的轨迹为 ___ 1 2
(2 ) 已知 A （ -1 ,0 ）， B ( 1 ,0 ), M 是一个动点 M 到 AB 两点的距离之和为 6 ，
椭圆 则 M 的轨迹为 ______
3 2 2
+
2 5 +2 2
+
3 2 2
+
2 5 -2 =2 2
10.即
������2 ������2 ∴ 所求椭圆的方程为 + =1. 10 6
反思根据已知条件,判定焦点的位置,设出椭圆的方程是解决此
题的关键.
“神五”飞船的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，地 球半径为R公里，飞船的近地点距地球地面200公里，远 地点距地球地面350公里，则飞船的椭圆轨道的标准方程 为——
♦自然界处处存在着椭圆,我们如
何用自己的双手画出椭圆呢?
先 回 忆 如 何 画 圆
·
· F
1
·
F2
一、椭圆的定义
椭圆定义的文字表述：
• 平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于定长 (2a)（大于|F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆。
• 定点F1、F2叫做椭圆的焦点。 • 两焦点之间的距离叫做焦距（2c）。
������2 ������2 A 的轨迹方程是 + =1(y≠0). 25 16
【典型例题 2】 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别是(-4,0),(4,0),椭圆上任意一点 P 到两焦点的 距离的和等于 10; (2)两个焦点的坐标分别为(0,-2),(0,2),并且椭圆经过点 - ,
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目 录
• 椭圆的定义 • 椭圆的方程 • 椭圆的性质 • 椭圆的图像 • 椭圆的实际应用
01
椭圆的定义
椭圆的几何定义
01
椭圆是由平面内两个定点F1、F2 的距离之和等于常数（常数大于 F1、F2之间的距离）的点的轨迹 形成的图形。
02
两个定点F1、F2称为椭圆的焦点 ，焦点的距离c满足关系式： c²=a²-b²，其中a为椭圆长轴半径 ，b为短轴半径。
椭圆的范围
总结词
椭圆的范围是指椭圆被坐标轴所限制的范围。
详细描述
这意味着椭圆永远不会出现在坐标轴之外。在x轴上，椭圆的范围是从-a到a；在y轴上，椭圆的范围是从-b到b。 其中a和b是椭圆的长轴和短轴的半径。
椭圆的顶点
总结词
椭圆的顶点是指椭圆与坐标轴的交点 。
详细描述
椭圆的顶点是椭圆与x轴和y轴的交点 。这些点是椭圆的边界点，并且它们 位于椭圆的长轴和短轴上。具体来说 ，椭圆的顶点是(-a,0)，(a,0)，(0,-b) 和(0,b)。
小和形状。
平移变换
将椭圆在坐标系中移动，可以实现 椭圆的平移变换。平移变换不会改 变椭圆的大小和形状，只会改变椭 圆的位置。
旋转变换
通过旋转椭圆，可以实现椭圆的旋 转变换。旋转变换会改变椭圆的方 向，但不会改变椭圆的大小和形状 。
椭圆的图像应用
天文学
在天文观测中，行星和卫星的轨道通常可以用椭圆来近似 描述。通过研究椭圆的性质，可以更好地理解天体的运动 规律。
焦点位置
离心率
定义为c/a，其中c是焦点到椭圆中心 的距离，a是椭圆长轴的半径。离心率 越接近0，椭圆越接近圆；离心率越 大，椭圆越扁。
高二数学椭圆的定义和标准方程
(1)
F1
F2
椭圆的定义： 平面内与两定点F1、F2 的距离之和为常数 的距离之和为常数的点 (大 的轨迹 或集合)叫做椭圆。 于 | F1F( 2|) 的点的轨迹(或集合)叫做椭圆。
椭圆的焦点： F1、F2 椭圆的焦距： |F1F2|
解： 平面内与两定点F1、 F2 的距离之和为常数 (大 椭圆的定义：平面内与两定点 F1、F2 的距离之和 于 | F1F2( |) 的点的轨迹 (或集合) ？ 为常数 大于 | F1F2|)的点的轨迹 (或集合)叫做椭圆。 Y |MF1|+|MF2|= 2a
2 2 2 2 2 2 2
| F1F2|=2c (c>0)
常数=2a (a>0)
a -2a cx+c x =a x -2a cx+a c +a y
(a 2 -c2 )x 2 +a 2 y2 =a 2 (a 2 -c2 )
b a c
2 2 2
(b>0)
a>c
b2 x 2 +a 2 y2 =a 2b2
解：因为 2a=6
所以 a=3
设焦点在X轴的椭圆标准方程为
2c= 2 5
c=
5
设焦点在Y轴的椭圆标准方程为
x2 y2 2 1 2 a b
y2 x2 2 1 2 a b
b a c 95 4
2 2 2
b2 a 2 c 2 9 5 4
焦点在X轴的椭圆标准方程为 焦点在Y轴的椭圆标准方程为
x y 25 9
2
F1
o
F2
2a 2 c 2
X
1
a 25 a 5 2a 10
2
F1
F2
椭圆的定义： 平面内与两定点F1、F2 的距离之和为常数 的距离之和为常数的点 (大 的轨迹 或集合)叫做椭圆。 于 | F1F( 2|) 的点的轨迹(或集合)叫做椭圆。
椭圆的焦点： F1、F2 椭圆的焦距： |F1F2|
解： 平面内与两定点F1、 F2 的距离之和为常数 (大 椭圆的定义：平面内与两定点 F1、F2 的距离之和 于 | F1F2( |) 的点的轨迹 (或集合) ？ 为常数 大于 | F1F2|)的点的轨迹 (或集合)叫做椭圆。 Y |MF1|+|MF2|= 2a
2 2 2 2 2 2 2
| F1F2|=2c (c>0)
常数=2a (a>0)
a -2a cx+c x =a x -2a cx+a c +a y
(a 2 -c2 )x 2 +a 2 y2 =a 2 (a 2 -c2 )
b a c
2 2 2
(b>0)
a>c
b2 x 2 +a 2 y2 =a 2b2
解：因为 2a=6
所以 a=3
设焦点在X轴的椭圆标准方程为
2c= 2 5
c=
5
设焦点在Y轴的椭圆标准方程为
x2 y2 2 1 2 a b
y2 x2 2 1 2 a b
b a c 95 4
2 2 2
b2 a 2 c 2 9 5 4
焦点在X轴的椭圆标准方程为 焦点在Y轴的椭圆标准方程为
x y 25 9
2
F1
o
F2
2a 2 c 2
X
1
a 25 a 5 2a 10
2
椭圆的定义及标准方程
9
4
4.
x
2
2
y
2
2
则 1 ， a＝ 7 ，b＝ 3 ；
3
7
5、 mx
ny
1 (m n 0)
写出下列椭圆的焦点坐标
x
2
y
2
1
25
16
2
答：在x轴上 (-3，0)，(3，0) 答：在y轴上 (0，5)，(0，-5) (-1，0)，(1，0)
x
2
y
2
y
2
1
144
x a 1
2 2
2 令：b2＝a2－c2(b＞0) 2 y x 得： 2 2 1 (a＞b＞0) a b
椭圆的标准方程的再认识： y
y M
F2(0 , c) X F1(0,-c)
M
F1 (-c,0) O F2 (c,0) X O
⑴椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1 ⑵椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。 ⑶由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。 ⑷椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点 在 哪一个轴上。
椭圆的定义 与 标准方程
课题引入
生 活 中 的 椭 圆 如何精确地设计、制作、建造出现实生活 中这些椭圆形的物件呢？
什么叫椭圆？
联想圆的定义： 在平面内，到定点的距离等于定长 的点的轨迹。
如果将圆的定义中的一个定点变成两个定 点，动点到定点距离的定长变成动点到两 定点的距离之和为定长。那么，将会形成 什么样的轨迹曲线呢？
2 2
(x c) y
2
2
2a
令：b2＝a2－c2(b＞0) 得：
3.1椭圆的定义与方程
三、椭圆的标准方程
♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案
yy y
y
M
F1 O O OF2 x x x
O
x
方案一
y F2
M
O
F1
方案二
原则： 尽可能使方程的 形式简单、运算 简单；(一般利用 x 对称轴或已有的 互相垂直的线段 所在的直线作为 坐标轴.)
三、椭圆的标准方程
Y M (x,y)
F1
O
(-c,0)
是命题乙的
A.充分不必要条件?
B.必要不充分条件
C.充分且必要条件?
D.既不充分也不必要条件
二、椭圆的定义
例2：
如果点M (x, y)在运动过程中，总满足关系式 x2 ( y 3)2 x2 ( y 3)2 10，点的轨迹是什么？
将10换为6, 那么会是什么结果，将10换为5，是什么结果？
y2 a2
x2 b2
1(a b 0)
三、椭圆的第二定义
Y M (,0)
(c,0)
N X
MF2 c da
四、巩固提升
例3：课本P65 例1、例2
例4：
已知 y2 x2 1表示焦点在y轴上的椭圆, 求实数m的取值范围 10 m m 2
例5：
若椭圆经过点M 2，, 3 和N 1, 2 3 ,求椭圆的标准方程。
F2 X
(c,0)
如图所示： F1、F2为两定 点，且|F1F2|=2c，求平面 内到两定点F1、F2距离之 和为定值2a（2a>2c)的动 点M的轨迹方程。
三、椭圆的标准方程
Y M (x,y)
F1
O
(-c,0)
椭圆的定义及标准方程
椭圆及其标准方程
1、椭圆的定义： 、椭圆的定义：
椭圆定义
平面内到两个定点 的距离之和等于常 平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常 大于|F 椭圆。 数（大于 1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。 ）的点的轨迹叫做椭圆 这两个定点叫做椭圆的焦点， 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离 焦点 M 叫做椭圆的焦距。 叫做椭圆的焦距。 焦距
y x + 2 =1 2 a b
2
2
(a > b > 0 )
它也是椭圆 的标准方程。 的标准方程。
这样建立平面直角坐标系椭圆方程会是什 么样？ 么样？
y
M ( x, y )
F1 O F2
x
( x − c) y + 2 = 1 (a > b > 0 ) 2 a b
2 2
椭圆的标准方程
思考四: a、 思考四: a、b、c的几何意义
M
F1 F2
动画
椭圆的标准方程
2、椭圆的标准方程 、
怎样建立平面直角坐标系呢？ 怎样建立平面直角坐标系呢？
y
M ( x, y )
F1
O
F2
x
椭圆的标准方程
x y + 2 =1 2 a b
2
2
(a > b > 0)
y
M ( x, y )
F1
O
F2
x
这个方程叫做椭圆的标准方程， 这个方程叫做椭圆的标准方程， 椭圆的标准方程 它所表示的椭圆的焦点在 轴上。 它所表示的椭圆的焦点在x 轴上。 焦点在x 如果椭圆的焦点在y 轴上， 如果椭圆的焦点在y 轴上，用类似的 方法，可得出它的方程为： 方法，可得出它的方程为：
1、椭圆的定义： 、椭圆的定义：
椭圆定义
平面内到两个定点 的距离之和等于常 平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常 大于|F 椭圆。 数（大于 1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。 ）的点的轨迹叫做椭圆 这两个定点叫做椭圆的焦点， 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离 焦点 M 叫做椭圆的焦距。 叫做椭圆的焦距。 焦距
y x + 2 =1 2 a b
2
2
(a > b > 0 )
它也是椭圆 的标准方程。 的标准方程。
这样建立平面直角坐标系椭圆方程会是什 么样？ 么样？
y
M ( x, y )
F1 O F2
x
( x − c) y + 2 = 1 (a > b > 0 ) 2 a b
2 2
椭圆的标准方程
思考四: a、 思考四: a、b、c的几何意义
M
F1 F2
动画
椭圆的标准方程
2、椭圆的标准方程 、
怎样建立平面直角坐标系呢？ 怎样建立平面直角坐标系呢？
y
M ( x, y )
F1
O
F2
x
椭圆的标准方程
x y + 2 =1 2 a b
2
2
(a > b > 0)
y
M ( x, y )
F1
O
F2
x
这个方程叫做椭圆的标准方程， 这个方程叫做椭圆的标准方程， 椭圆的标准方程 它所表示的椭圆的焦点在 轴上。 它所表示的椭圆的焦点在x 轴上。 焦点在x 如果椭圆的焦点在y 轴上， 如果椭圆的焦点在y 轴上，用类似的 方法，可得出它的方程为： 方法，可得出它的方程为：
(椭圆及其标准方程)
例2、求满足下列条件的椭圆的标准方程： （1）满足a=4,b=1，焦点在X轴上的椭圆
x2 2 y 1 的标准方程为__________ __ 16
（2）满足a=4,c= 15 ，焦点在Y轴上的椭圆 2 y 2 x 1 的标准方程为____________ 16
例3 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
x y 1 答：在 X 轴。（-3，0）和（3，0） 25 16
x y 1 144 169
2 2
2
2
答：在 y 轴。（0，-5）和（0，5） 答：在y 轴。（0，-1）和（0，1）
x y 2 1 2 m m 1
2
2
判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：
焦点在分母大的那个轴上。
O
F2 (c,0)
X
x2 y2 2 1 (a>b>0) 2 a b
这个方程叫做椭圆的标准方程， 它所表示的椭圆的焦点在x 轴上。2(0 , c) X O F1(0,-c)
2 2
F1 (-c,0)
2 2
O
F2 (c,0)
X
x y y x 2 1(a b 0) 2 1(a b 0) 2 2 a b a b 椭圆的标准方程的再认识：
1 2
5、如果2a < 2c，则M点的轨迹不存在.（由三角形的性质知）
Y
M (x,y)
F1 (-c,0)
O
F2 (c,0)
如图所示： F1、F2为两定 点，且|F1F2|=2c，求平面 内到两定点F1、F2距离之 X 和为定值2a（2a>2c)的动 点M的轨迹方程。
解：以F1F2所在直线为X轴， F1F2 的中 点为原点建立平面直角坐标系，则焦点F1、F2 的坐标分别为(-c,0)、 (c,0)。 设M（x,y)为所求轨迹上的任意一点， 则:|MF1|+ |MF2|=2a
高二数学椭圆的定义和标准方程
(1)
F1
F2
椭圆的定义： 平面内与两定点F1、F2 的距离之和为常数 的距离之和为常数的点 (大 的轨迹 或集合)叫做椭圆。 于 | F1F( 2|) 的点的轨迹(或集合)叫做椭圆。
椭圆的焦点： F1、F2 椭圆的焦距： |F1F2|
解： 设点M(x,y)为所求轨迹上任意一点
求平面内与两定点F1、 F2 的距离之和为常数 (大 椭圆的定义：平面内与两定点 F1、F2 的距离之和 于 | F1F2( |) 的点的轨迹 (或集合) ？ 为常数 大于 | F1F2|)的点的轨迹 (或集合)叫做椭圆。 Y |MF1|+|MF2|= 2a
2 2 2
a 2x 2 +(a 2 -c2 )y2 =a 2 (a 2 -c2 )
b2 x 2 +a 2 y 2 =a 2 b2
2 2
b2 a 2 -c2 (b 0) 2 2 2 2 2 2 a x +b y =a b
x y 2 1 a b
y x 2 1 2 a b
2
2
解 ： 因为 5 4
解
x2 y2 1 与X轴，Y轴 25 16
1 SABF1 = AF 1 OB 2
B
1 = OF 1 + OA OB 2
F1
O
A
X
因为点A为椭圆与X轴正半轴交点
所以 因为点B为椭圆与Y轴正半轴交点
所以
x2 0 1x 5 OA 5 25 16
0 y2 1 y 4 OB 4 25 16
x y 1 9 4
2
2
y x 1 9 4
2
2
设F1、
F2为椭圆
P为椭圆上一点，与F1、
F1
F2
椭圆的定义： 平面内与两定点F1、F2 的距离之和为常数 的距离之和为常数的点 (大 的轨迹 或集合)叫做椭圆。 于 | F1F( 2|) 的点的轨迹(或集合)叫做椭圆。
椭圆的焦点： F1、F2 椭圆的焦距： |F1F2|
解： 设点M(x,y)为所求轨迹上任意一点
求平面内与两定点F1、 F2 的距离之和为常数 (大 椭圆的定义：平面内与两定点 F1、F2 的距离之和 于 | F1F2( |) 的点的轨迹 (或集合) ？ 为常数 大于 | F1F2|)的点的轨迹 (或集合)叫做椭圆。 Y |MF1|+|MF2|= 2a
2 2 2
a 2x 2 +(a 2 -c2 )y2 =a 2 (a 2 -c2 )
b2 x 2 +a 2 y 2 =a 2 b2
2 2
b2 a 2 -c2 (b 0) 2 2 2 2 2 2 a x +b y =a b
x y 2 1 a b
y x 2 1 2 a b
2
2
解 ： 因为 5 4
解
x2 y2 1 与X轴，Y轴 25 16
1 SABF1 = AF 1 OB 2
B
1 = OF 1 + OA OB 2
F1
O
A
X
因为点A为椭圆与X轴正半轴交点
所以 因为点B为椭圆与Y轴正半轴交点
所以
x2 0 1x 5 OA 5 25 16
0 y2 1 y 4 OB 4 25 16
x y 1 9 4
2
2
y x 1 9 4
2
2
设F1、
F2为椭圆
P为椭圆上一点，与F1、
椭圆的定义和标准方程
2 2
1. 已知椭圆经过点P(3,0), 且a 3b, 求椭圆的标准方程。
变式训练
(2)当椭圆的焦点在y轴上时 y x 设方程为 2 2 1(a b 0) a b 9 1 y2 x2 2 则 b 得a 9, b 3, 1 81 9 a 3b x2 y2 x2 综合(1)( 2)得椭圆的标准方程为 y 2 1或 1 9 81 9
2
2
2
例 1 已知动点 P 到点 F1 (0, 2) , F2 (0, 2) 的距离之 和为 12,求动点 P 的轨迹方程.
解:⑴由椭圆定义可知,动点 P 的轨迹是椭圆, 且焦点是 F1 (0, 2) , F2 (0, 2) ,∴ c 2 . ∵ PF1 PF2 12 ,∴ 2a 12 ,∴ a 6 , ∴ b2 a 2 c 2 36 4 32 x2 y2 1. ∴所求的轨迹方程为 32 36
例 2 已知 B、C 是两个定点， BC 6 ，且△ABC 的周长 等于 16，求顶点 A 的轨迹方程.
解:如图,以直线 BC 为 x 轴,线段 BC 的中点为原点,建立 平面直角坐标系,则 B(3,0), C (3,0) .
设顶点 A 的坐标为 ( x , y )
∵ AB AC BC 16 , ∴ BA CA 10 . x2 y2 ∴由椭圆定义及标准方程知识可知 1 25 16 又∵A、B、C 三点不共线，∴ y 0 .
2
o
M
x
F1
b a o c F2 x
F1
y2 x2 2 1(a b 0) 2 a b
其中F1(-c,0)，F2(c,0)
b2=a2— c2 其中F1(0,-c)，F2(0,c) 共同点：椭圆的标准方程表示焦点在坐标轴上，中心 在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.
1. 已知椭圆经过点P(3,0), 且a 3b, 求椭圆的标准方程。
变式训练
(2)当椭圆的焦点在y轴上时 y x 设方程为 2 2 1(a b 0) a b 9 1 y2 x2 2 则 b 得a 9, b 3, 1 81 9 a 3b x2 y2 x2 综合(1)( 2)得椭圆的标准方程为 y 2 1或 1 9 81 9
2
2
2
例 1 已知动点 P 到点 F1 (0, 2) , F2 (0, 2) 的距离之 和为 12,求动点 P 的轨迹方程.
解:⑴由椭圆定义可知,动点 P 的轨迹是椭圆, 且焦点是 F1 (0, 2) , F2 (0, 2) ,∴ c 2 . ∵ PF1 PF2 12 ,∴ 2a 12 ,∴ a 6 , ∴ b2 a 2 c 2 36 4 32 x2 y2 1. ∴所求的轨迹方程为 32 36
例 2 已知 B、C 是两个定点， BC 6 ，且△ABC 的周长 等于 16，求顶点 A 的轨迹方程.
解:如图,以直线 BC 为 x 轴,线段 BC 的中点为原点,建立 平面直角坐标系,则 B(3,0), C (3,0) .
设顶点 A 的坐标为 ( x , y )
∵ AB AC BC 16 , ∴ BA CA 10 . x2 y2 ∴由椭圆定义及标准方程知识可知 1 25 16 又∵A、B、C 三点不共线，∴ y 0 .
2
o
M
x
F1
b a o c F2 x
F1
y2 x2 2 1(a b 0) 2 a b
其中F1(-c,0)，F2(c,0)
b2=a2— c2 其中F1(0,-c)，F2(0,c) 共同点：椭圆的标准方程表示焦点在坐标轴上，中心 在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.
§2.2.1 椭圆及其标准方程
b 2 a 2 c 2 10 4 6.
y2 x2 1. 所以所求椭圆的标准方程为 10 6
5、回顾小结 一种方法： 求椭圆标准方程的方法 二类方程:
x2 y2 y2 x2 2 1 2 2 1 a b 0 2 a b a b
三个意识： 求美意识， 求简意识，前瞻意识
M
立坐标系才能使 椭圆的方程简单?
y
M
y M
F1o
y
F2
x
F1 o
y
F2
x
F1 o
yF2xຫໍສະໝຸດ F2F2M
F2
M
o
M
x
F1
o
x
F1
o
x
F1
以 F1 , F2 的中点为坐标原点， F1 , F2 所在直线为 设M(x,y)是椭圆上任意一点 x轴建立直角坐标系，
F1F2 =2C,那么F1 ,F2的坐标分别是 -c,0 , c,0
圆的标准方程？哪些是椭圆的方程。
练习2比较椭圆的两种标准方程并填表
标准方程 不 同 点 图形
焦点坐标 定义 共 同 a、b、c 点 的关系
F1 c,0
F2 c,0
F1 0, c
F2 0, c
c 2 a 2 b2 (a b 0, c 0)
焦点位置 的判定
y A
F1 o F2
B
x
例1 已知△ABC的一边BC固定，长为6，周长为16， 求顶点A的轨迹方程。
解： AB BC AC 16, BC 6
.
y
A
AB AC 10, 且10 BC 根据椭圆的定义知所求轨迹是椭圆， B o C 且B、C为焦点 以BC的中点为原点，BC所在的直线为x轴建立直 角坐标系。 所以可设椭圆的标准方程为 ： x2 y2 2 1(a b 0) 2 a b
椭圆及其标准方程
2．1.1 椭圆及其标准方程(一)
要点 1
椭圆的定义 (大于
平面内与两定点 F1、F2 的距离之和 等于常数 |F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点 点． 两焦点间的距离 叫做椭圆的焦距．
叫做椭圆的焦
要点 2
椭圆的标准方程
(1)这里的“标准”指的是中心在 原点 ，对称轴为 坐标轴． x2 y2 (2)焦点在 x 轴时，标准方程为a2＋b2＝1(a>b>0)；焦点在 y y2 x2 轴时，标准方程为a2＋b2＝1(a>b>0)．为了计算上的方便，有时将 方程写为 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)． (3)标准方程中的两个参数 a 和 b， 确定了椭圆的形状和大小， 是椭圆的定形条件．
(4)椭圆的两种标准方程中，如果 x2 的分母大，焦点就在x 轴 上；如果 y2 的分母大，则焦点就在 y 轴 上． (5)椭圆的方程中，a、b、c 三者之间 a 最大，且满足
a2＝b2＋c2 .
1．椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小 于|F1F2|”的常数，其他条件不变点的轨迹是什么？
解析
设椭圆方程为 mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0 且 m≠n)，
椭圆经过 P1，P2 点，所以 P1，P2 点坐标适合椭圆方程，
6m＋n＝1 有 3m＋2n＝1
① ②
1 1 x2 y2 解得 m＝ ，n＝ ，∴所求椭圆方程为 ＋ ＝1 9 3 9 3
探究 3
方程 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0 且 m≠n)表示椭圆：若
m<n，则焦点在 x 轴上；若 n<m，则焦点在 y 轴上。 思考题 3 求经过两点 A(3， 3)，B(2,3)的椭圆标准方程．
要点 1
椭圆的定义 (大于
平面内与两定点 F1、F2 的距离之和 等于常数 |F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点 点． 两焦点间的距离 叫做椭圆的焦距．
叫做椭圆的焦
要点 2
椭圆的标准方程
(1)这里的“标准”指的是中心在 原点 ，对称轴为 坐标轴． x2 y2 (2)焦点在 x 轴时，标准方程为a2＋b2＝1(a>b>0)；焦点在 y y2 x2 轴时，标准方程为a2＋b2＝1(a>b>0)．为了计算上的方便，有时将 方程写为 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)． (3)标准方程中的两个参数 a 和 b， 确定了椭圆的形状和大小， 是椭圆的定形条件．
(4)椭圆的两种标准方程中，如果 x2 的分母大，焦点就在x 轴 上；如果 y2 的分母大，则焦点就在 y 轴 上． (5)椭圆的方程中，a、b、c 三者之间 a 最大，且满足
a2＝b2＋c2 .
1．椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小 于|F1F2|”的常数，其他条件不变点的轨迹是什么？
解析
设椭圆方程为 mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0 且 m≠n)，
椭圆经过 P1，P2 点，所以 P1，P2 点坐标适合椭圆方程，
6m＋n＝1 有 3m＋2n＝1
① ②
1 1 x2 y2 解得 m＝ ，n＝ ，∴所求椭圆方程为 ＋ ＝1 9 3 9 3
探究 3
方程 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0 且 m≠n)表示椭圆：若
m<n，则焦点在 x 轴上；若 n<m，则焦点在 y 轴上。 思考题 3 求经过两点 A(3， 3)，B(2,3)的椭圆标准方程．
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标准方程 及图形
条件 范围
2a＞2c，a2＝b2＋c2，a＞0，b＞0，c＞0
|x|≤a；|y|≤b
|x|≤b；|y|≤a
曲线关于 对称性
x轴
、
y 轴、原点 对称
曲线关于
对
x轴、y轴、原点
称
顶点 焦点
长轴顶点( ±a,0 ) 短 轴顶点(0，±b )
( ±c,0 )
长轴顶点( 0，±a)短轴顶点 ( ±b,0 )
13.1 椭圆的定义及其标准方程
一、椭圆的定义
平面内到两个定点F1，F2的距离之 等和于常数 ( 大于|F1F2)|的点的集合叫作椭圆，这两个定点F1，F2 叫作椭圆的 焦点，两焦点F1，F2间的距离叫做椭圆的 焦距 ．
二、椭圆的标准方程及其几何
意义
条件
2a＞2c，a2＝b2＋c2，a＞0，b＞0，c＞0
()
A．椭圆
B．线段
C．椭圆或线段或不存在 D．不存在
解析：当a＜6时，轨迹不存在；
当a＝6时，轨迹为线段；
当a＞6时，轨迹为椭圆． 答案：C
3．已知椭圆
上一点P到椭圆一个焦点的距离
为3，则P到另一个焦点的距离为 ( )
A．2
B．3
C．5
D．7
解析：
答案：D
4．椭圆
的焦点坐标为________．
【解】 设所求的椭圆方程为 ＝1(a＞b＞0)，
由已知条件得解得 故所求方程为
a＝4，c＝2，b2＝12，
练习1．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经
过两点 P1( 6,1), P2( 3, ，2求) 椭圆的方程．
解：设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)．
∵椭圆经过P1、P2点，∴P1、P2点坐标适合椭圆方程，
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)或
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
(3)找关系：根据已知条件，建立关于a、b、c或 m、n的方程组．
(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，即 为所求．
【注意】 当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时， 可设 x2 y2 1(m＞0，n＞0，m n)，可以避免讨论
则
6m n 1 3m 2n 1
两式联立，解得
m
1
,n
1
.
93
∴所求椭圆方程为
求椭圆的标准方程主要有定义法、待定系数法，
有时还可根据条件用代入法．
用特定系数法求椭圆方程的一般步骤是：
(1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，
还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能．
(2)设方程：根据上述判断设方程
( 0，±c )
焦距
|F1F2|＝ 2c (c2＝ a2－b2 )
离心率
e＝ ∈ (0,1) ，其中c＝
三、课前热身
1．若椭圆
的离心率为 ，则实数m ( )
或 或
解析：分两种情况可得 答案：A
2．设定点F1(0，－3)，F2(0,3)，动点P(x，y)满足条件|PF1|
＋|PF2|＝a(a＞0)，则动点P的轨迹是
mn 和繁杂的计算，也可以设为mx 2＋ny 2＝1(m＞0，n＞0 且A B)，在已知椭圆上两点时，这种形式在解题时 更简便．
解析：由方程知焦点在y轴上，故a2＝9，b2＝4， ∴c2＝5，∴焦点为(0，± )． 答案：(0，± )
5．如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实 数k的取值范围是________．
解析：椭圆方程化为
焦点在y轴上，则
即k＜1.又k＞0，∴0＜k＜1. 答案：(0,1)
四、例题
已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两 焦点的距离分别为5,3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的 一个焦点，求椭圆的方程．