2020年高考数学第8讲二次函数

答案： A
5．函数 f(x)＝－2x2－x＋1，x∈[－3,1]． (1)f(x)的单调递增区间为 ________ ，单调递减区间为 ________； (2Biblioteka Baiduf(x)的最大值为________，最小值为_______.
解：因为 f(x)＝－2x2－x＋1＝－2(x＋14)2＋98， 1
(1)当 x∈[ －3,1]时，函数 f(x)在[ －3，－4]上为增函数， 在[ －14，1]上为减函数．
2．二次函数的图象和性质
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c (a>0)
f(x)＝ax2＋bx＋c (a<0)
图象
定义域 值域
R
[4ac4－a b2，＋∞)
R (－∞，4ac4－a b2]
增减性
在 x∈ (－∞，－2ba] 上单调递减；
在 x∈ [－2ba，＋∞)上单调递增
在 x∈ [－2ba，＋∞) 上单调递减；
第8讲 二次函数
1．熟练掌握二次函数的定义、图象与性质． 2．会求二次函数在闭区间上的最值．
1．二次函数的三种表达式 (1)一般式：f(x)＝______________. (2)顶点式：若二次函数 f(x)的顶点坐标为(k，h)，则其解 析式为 f(x)＝______________. (3)零点式：若二次函数的图象与 x 轴的交点坐标为(x1,0)， (x2,0)，则其解析式为 f(x)＝______________.
1．若二次函数的图象的顶点为 (2，－1)，且过点(3,1)，
则此函数的解析式为(
)
A．y＝2(x＋2)2－1
B．y＝2(x－2)2－1
C．y＝－2(x＋2)2－1 D．y＝－2(x－2)2－1
解：设所求函数的解析式为 y＝a(x－2)2－1， 把点(3,1)代入得 a＝2. 故所求函数的解析式为 y＝2(x－2)2－1.
答案： B
2．已知函数 f(x)＝ax2＋bx＋c，如果 a>b>c 且 a＋b＋c
＝0，则它的图象可能是 (
)
解：因为 a>b>c 且 a＋b＋c＝0，所以 a>0，c<0， 则抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的图象开口向上，与 y 轴交于 负半轴，由此可知选 D.
答案： D
3．如果函数 f(x)＝x2＋bx＋c 对任意实数 t 都有 f(2＋t)＝
??Δ<0
3．对二次函数 f(x)＝a(x－k)2＋h (a＞0)在区间[m，n]上 的最值问题，有以下结论：
①若 k∈[m，n]，则 ymin＝f(k)＝h，ymax＝max{f(m)，f(n)}． ②若 k? [m，n]， 当 k＜m 时，y＝f(x)在[m，n]上单调递增，ymin＝f(m)，ymax ＝f(n)； 当 k＞n 时，y＝f(x)在[m，n]上单调递减，ymin＝f(n)，ymax ＝f(m)．
点评： 二次函数的单调性是以对称轴为分界线的，因 此，讨论二次函数的单调性时，要抓住对称轴与所给定义 域的关系．
【变式探究】
1．已知函数 f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]． (1)若 f(x)在[－5,5]上单调递增，则 a 的取值范围为______； (2)若 f(x)在[－5,5]上单调递减，则 a 的取值范围为______； (3)若 f(x)在[－5,5]上单调，则 a 的取值范围为_________； (4)若 f(x)在[－5,5]上不单调，则 a 的取值范围为_______.
在 x∈ (－∞，－2ba] 上单调递增
奇偶性
b＝0 时为 偶函数 ，b≠0 时为非奇非偶函数
对称性
图象关于直线 x＝ －2ba 成轴对称图形
a 决定图象的 开口方向 ，a 与 b 决定对称轴的位置，c 决定图象与 y 轴交点的位 a，b，c 的作用
置，a，b，c 决定图象的顶点
3.二次函数在闭区间的最值 可利用二次函数的图象，结合二次函数在所给区间上 的___单__调__性___进行分析求解．
答案： A
4．若 f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3 为偶函数，则 f(x)在区间
(－5，－2)上是(
)
A. 增函数
B. 减函数
C. 部分为增函数，部分为减函数
D. 无法确定增减性
解：由 f(x)＝f(－x)，可得 m＝0，所以 f(x)＝－x2＋3，由 此知 f(x)在(－5，－2)上是增函数．
【例 1】若函数 f(x)＝2x2＋mx－1 在区间[－1，＋∞)上递
增，则 f(－1)的取值范围为____________．
解：作出 f(x)的图象，
根据图象可知，其对 称轴 x＝－m4 处在区间[－1，＋∞)的左边(包括端点)时，f(x) 在[－1，＋∞)上递增， 所以－m4 ≤－1，解得 m≥4. 所以 f(－1)＝－m＋1≤－3. 即 f(－1)的取值范围为 (－∞，－3]． 答案：(－∞，－3]
f(2－t)，那么( )
A. f(2)＜f(1)＜f(4)
B. f(1)＜f(2)＜f(4)
C. f(2)＜f(4)＜f(1)
D. f(4)＜f(2)＜f(1)
解：因为 f(x)＝x2＋bx＋c，所以 a＝1，抛物线的图象开 口向上，
又 f(2＋t)＝f(2－t)，x＝2 是其对称轴， 即当 x＝2 时，f(x)取得最小值． 而当 x≥2 时，f(x)是增函数，有 f(2)＜f(3)＜f(4)， 又 f(2－1)＝f(2＋1)，即 f(1)＝f(3)， 所以 f(2)＜f(1)＜f(4)．
(2)当 x＝－14时，y 取得最大值 f(－14)＝98； 又因为 x＝－3 与对称轴 x＝－14的距离大于 x＝1 与对称 轴的距离，所以 x＝－3 时取得最小值，且最小值为 f(－3)＝ －14.
二次函数的图象与性质 轴定区间定的二次函数的最值 轴动或区间动的二次函数的最值
考点一 ·二次函数的图象与性质
1．若函数 f(x)满足 f(x)＝f(2a－x)，则 f(x)的图象关于 x ＝a 对称；
若 f(x)满足 f(a＋x)＝f(a－x)，则 f(x)的图象关于 x＝a 对 称．
2．若 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则 当???a>0， 时，恒有 f(x)>0；
??Δ<0 当???a<0， 时，恒有 f(x)<0.