幻方的解题

长期以来，纵横图被作为一种数字游 戏。直到南宋时期，杨辉将她作为一个 数学问题而加以深入的研究。 杨辉在他的《续古摘奇算法》一书中， 不仅搜集到了大量的各种类型的纵横图， 而且对其中的部分纵横图还给出了如何 构造的规则和方法，从而开创了这一组 合数学研究的新领域。
一般地，把 n2 个不同数字依次填入 由n×n个小方格构成的正方形中，使得 横行数字之和、直列数字之和以及对角 线数字之和都相等，这样的数图叫做一 个（ n 阶）幻方，各直线上数字之和叫 幻和。

我们还会遇到更复杂的调度和安排问题。 例如，在生产原子弹的曼哈顿计划中，涉 及到很多工序，许多人员的安排，很多元 件的生产，怎样安排各种人员的工作，以 及各种工序间的衔接，从而使整个工期的 时间尽可能短？这些都是组合数学典型例 子。

库房和运输的管理也是典型的组合数学问 题。怎样安排运输使得库房充分发挥作用， 进一步来说，货物放在什么地方最便于存 取（如存储时间短的应该放在容易存取的 地方）

用形状相同的方型砖块可以把一个地面铺 满（不考虑边缘的情况），但是如果用不 同形状，而又非方型的砖块来铺一个地面， 能否铺满呢？这不仅是一个与实际相关的 问题，也涉及到很深的组合数学问题。
组合数学又称为离散数学。广义的组合数学就是 离散数学，狭义的组合数学是图论、代数结构、 数理逻辑等的总称.组合数学是研究离散结构的 存在，计数，分析，和优化等问题的一门学科。 组合数学的主要内容有组合计数、组合设计、组 合矩阵、组合优化（最佳组合）等.
如何构作幻方？
幻方也称纵横图、魔方、魔阵，它是科学的结 晶与吉祥的象征，发源于我国古代的洛书—— 九宫图。洛书被世界公认为组合数学的鼻祖， 它是中华民族对人类的伟大贡献之一。同时， 洛书以其高度抽象的内涵，对我国古代政治伦 理、数学、天文气象、哲学、医学、宗教等等 都产生了重要影响。
2500年前，孔子在他研究《易经》 的著作《系词上传》中记载了：“ 河出图，洛出书，圣人则之。”
“河图” 龙马背上驮了一 幅图，上面有黑白点55 个 ， 用 直 线 连 成 10 数 （如图 )即为“河图”。 伏羲依此而演绎成八 卦，后为《周易》来 源。
河图的排列是一、六在后，二、七在前， 三、八在左，四、九在右，五、十背中。 河图中的点数是五十五，其中一、三、五 、七、九是天数，二、四、六、八、十是 地数，天数累加是二十五，地数累加为三 十，两数之和为五十五。河图中的天数是 奇，是阳；地数是偶，是阴，阴阳相索。 据古代哲学家的解释，河图中上、下、左 、右、中五组数目分别与火、水、木、金 、土五行有关。金、木、水、火、土这几 种物质基本形态的生成与转换，甚至万物 发育都可以从这图上得到启示。由此定义 这十个自然数中一、二、三、四、五为生 数，六、七、八、九、十为成数。从而得 出五行相生之理，天地生成之道。
组合数学 -----幻方
在日常生活中我们常常遇到组合数学的问题。
四色问题
如果你仔细留心一张世界地图，你会发现用一种 颜色对一个国家着色，那么一共只需要四种颜色 就能保证每两个相邻的国家的颜色不同。这样的 着色效果能使每一个国家都能清楚地显示出来。 但要证明这个结论确是一个著名的世界难题，最 终借助计算机才得以解决，最近人们才发现了一 个更简单的证明。
（1）洛书与幻方
把“洛书”用数字表达就是下 面的数表，这就是我们今天要讨论 的一个“幻方”。
4 3
9 5
2 7
8
1
6
最早有关幻方的文字记载是中国古代数
学书《数术拾遗》，那里记载了上述源 自“洛书”的方图，当时称为“九宫 图”，我国南宋数学家杨辉称这种图为 纵横图，欧洲人称之为魔术方阵或幻方。

当你装一个箱子时，你会发现要使箱子尽 可能装满不是一件很容易的事，你往往需 要做些调整。从理论上讲，装箱问题是一 个很难的组合数学问题，即使用计算机也 是不容易解决的。

在中小学的数学游戏中，有这样一个问题， 一个船夫要把一只狼，一只羊和一棵白菜 运过河。问题是当人不在场时，狼要吃羊， 羊要吃白菜，而他的船每趟只能运其中的 一个。他怎样才能把三者都运过河呢？这 就是一个很典型、很简单的组合数学问题。

具体解决以下4个问题：①满足一定条件的 安排是否存在。②在确知解存在的前提下， 确定一切可能的安排个数。③给出所有可 能的安排。④当对不同的安排有优劣标准 时，求出最好的安排。简称存在、计数、 安排、优化问题。起源于数学消遣和游戏。

例1、食堂现有单价分别为1元——9元的菜 各一种，按照三种菜为一组分配，须保证 每组菜的合计价格都为15元，问有多少种 分配方案?
黄河支流洛水中，浮现出 的神龟，甲上背有 9 种花 点的图案，就是后人称之 为的“洛书”。

数起源于远古时代黄河出现的河图与洛水出现的 洛书，伏羲依靠河图画出八卦，大禹按照洛书划 分九州，并制定治理天下的九类大法，圣人们根 据它们演绎出各种治国安邦的良策，对人类社会 与自然界的认识也得到步步深化。大禹从洛书中 数的相互制约，均衡统一得到启发而制定国家的 法律体系，使得天下一统，归于大治。
Hale Waihona Puke Baidu
是否对任意自然数 n 都存在 n 阶幻方？ 对每个n存在多少个n阶幻方？如何构作？ 这就是组合数学研究的问题之一。
（2）为什么要研究幻方？
幻方有多少？
为什么要研究幻方？
幻方起源于古老的传说，自古有一种神 秘色彩，人们把她当作护身避邪的吉祥物。 许多人热衷于研究幻方，起初，只是因为她 包含了无尽的神奇之美，而且，研究幻方本 身也是对人的智力的开发。喜欢幻方、研究 幻方的人不仅限于数学家，还有物理学家、 政治家；不仅有成年人，也有孩子。现代科 学家研究幻方，已经远远不是为了好玩或驱 灾避邪。电子计算机出现以后，幻方在程序 设计、组合分析、人工智能、图论等许多方 面发现了新用场。

十三世纪，我国南宋数学家杨辉在世界上首先 开展了对幻方的系统研究，欧洲十四世纪也开 始了这方面的工作。著名数学家费尔玛、欧拉 都进行过幻方研究，如今，幻方仍然是组合数 学的研究课题之一，经过一代代数学家与数学 爱好者的共同努力，幻方与它的变体所蕴含的 各种神奇的科学性质正逐步得到揭示。目前， 它已在组合分析、实验设计、图论、数论、群、 对策论、纺织、工艺美术、程序设计、人工智 能等领域得到广泛应用。