简化真值表和形式证明

原理——归谬推理 p q, p q ├ p p q q ├ p
1.转换：把推理形式转换成蕴涵式。 p q， p ├ q (pq) p q
2.假设：假设该蕴涵式为假。 (pq) p q 0
3.赋值：以蕴涵为假为条件，逐层赋 值。
注意：赋值过程中，无矛盾无效， 有矛盾有效。
例8 请百度文库形式证明的方法，证明下列推理的 形式有效（不可使用简化真值表方法） p q, r s, t r, (t p) ┣ q s
证一： 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.
p q r s t r (t p) t p t p r t p q r q q r rs q s
组合不必再赋值，即可判定该推理形式无效。 ② 如果所有组合在赋值过程中有矛盾，则该推
理形式有效。
判定“（p→ q）∧（r→ s）∧(q∨ s) p ∧ r”是否有效。
判定“（ p→ q） ∧ （ p ∨ q ） → （ p↔ q）”是否有效。
形式证明
形式证明就是运用真值形式（人工符号） 之间的“逻辑变形”表示必然性推理的 全过程。
前提 前提 前提 前提 4德摩根律 5蕴涵定义律 3蕴涵逆蕴涵交换律 1蕴涵定义律 6、7、8假言连锁 9假言易位 2蕴涵定义律 10、11假言连锁
注意:
如果给定的前提中没有联言命题,那么把析取式 转换成蕴涵式,再利用假言连锁进行推理。
证二： 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.
4、11否肯式
13.
¬t∨¬u
12德摩根律
14.
¬t
7、13否肯式
例4： p→¬q, ¬q →¬s, ¬r ∨s, u ∧(t →r∧ p) ┣ t→x
1.
p→ ¬q
前提
2.
¬q →¬s
前提
3.
¬r ∨s
前提
4.
u ∧(t →r∧ p)
前提
5.
t →r∧ p
4分解式
6.
r →s
3蕴涵定义律
7.
¬s→ ¬r
复合命题推理有效性的判定
（一）规则判定
例：写出下列推理的形式，并分析是否有 效，简答理由。
如果物体受到摩擦，那么物体生热。物体 受到摩擦。所以，物体生热。
例：写出下列推理的形式，并分析是否 有效，简答理由。
如果我努力用功了，那么只要考试不超 出大纲范围，我就能过关。因此等于说， 如果我努力用功了并且考试不超出大纲 范围，那么我就能过关。
¬(q∧s) ,r→s ,p→q, ¬(t∧u) ∨r ,p∧u ┣¬ t
1.
¬(q∧s)
前提
2.
r→ s
前提
3.
p→ q
前提
4.
¬(t∧u) ∨r
前提
5.
p∧u
前提
6.
p
5分解式
7.
u
5分解式
8.
q
3、6肯前式
9.
¬q∨ ¬s
1德摩根律
10.
¬s
8、9否肯式
11.
¬r
2、10否后式
12.
¬(t∧u)
5 (pq) p q 01 1 1 1 0 0 0 1
判定：无矛盾，假设成立，该推理无效。 即：当p赋值为假，q赋值为真时，蕴涵式为假。
例2：1 (pq) p q 0
2 (pq) p q 1 00
3 (pq) p q 1 11 0 0
4 (pq) p q 10 11 0 0
注意： 1、充分利用已知条件。 2、正确理解自然语言，熟练转换符号语言。
由自然语言翻译成人工语言应注意的问题：
1. “只要p就q”不同于“只有p才q” 2. “或者p或者q”不同于“要么p要么q” 3. “甲、乙两人必须一个上场，一个不上场”不同于“甲、乙
不同时上场”
4. “甲、乙两人都不懂法律”不同于“甲、乙不都懂法律” 5. “并非如果买了股票就能发财”不同于“如果不买股票就不
p→q
② p∨ q
①
①
p→ (p∨ q)
②
p→ (p→ q) ①
例5 一天夜里，某百货商店被窃，经侦查了解到并确认以下情况：
① 盗窃者或者是甲(p)，或者是乙(q)。 ② 如果甲是盗窃者，那么作案时间不在零点之前(r)。 ③ 零点时该商店的灯灭了(s)，而甲此时尚未回家(t)。 ④ 若乙的陈述是真的(u)，则作案时间在零点之前。 ⑤ 只有零点时刻该商店灯未灭，乙的陈述才是撒谎。 问：谁是盗窃者？
pq 11 10
01
00
(pq) p q
0
10
0
11
1
00
1
11
判定下列推理形式是否有效：
pq，rs，rt┣t p
简化真值表方法（归谬赋值法）
简化真值表方法首先假设一个推理形式无效， 然后对表示这一推理形式的蕴涵式赋值。 1.若赋值过程中无矛盾，则该推理形式无效。 2.若赋值过程中有矛盾（即q q )，则该推 理形式有效。
5 (p q) p q 110 1 1 0 0 0
6 (pq) p q 0 10 1 1 0 0
判定：产生矛盾，该推理有效。
判定“( p p q) p q”是否有效。
赋值技巧
1 变项赋值一般从结论（后件）开始。理由： 结论为假，容易赋值；结论比较简单。
2 如果结论为假的变项组合不止一种： ① 如果一种组合在赋值过程中无矛盾，余下的
注意：运用等值置换与运用推理有效式的区
别
运用推理有效式时，只能把它们运用于整个 命题，而不能运用于命题的一部分肢命题。 例如
①
(p∧ q)→ r
②
p
①分解式
联言推理分解式是有效推理式，它只能运用 于联言命题，而(p∧ q)→ r是一个假言命题， 对它的肢命题(p∧ q)不能运用联言推理分 解式。
等值置换既可运用于整个命题，也可运用于 命题的一部分肢命题。如下面的运用是正
例9 p∨ q , q→ r∧ s , r∨ p→t ┣ t
1.
p∨ q
前提
2.
q→ r∧ s
前提
3.
r∨ p→ t
前提
4.
¬t
假设前提
5.
¬(r∨ p)
3、4否后式
6.
¬r∧ ¬p
5德摩根律
7.
¬p
6分解式
8.
q
1、7否后式
9.
r∧ s
2、8肯前式
10.
r
9 分解式
11.
¬r
6分解式
12.
r∧ ¬r
受审者：是的，全是实话。
侦查员：你再重复一遍。
受审者：因为那天只有张三(p)和李四(q)到过死者 的房间，杀人的肯定在他们之中。要是张三杀了 人，他就会伪造现场(r)。要是当时我在现场(s)， 我也会被杀死(t)。除非我在现场，张三不会伪造 现场。我知道的就这些，杀人犯是张三。
问：受审者说的是否都是真话？
将前提符号化为：p q, p r, st, ur, su
运用形式证明推导如下：
1.
p q
前提
2.
p r
前提
3.
s t
前提
4.
u r
前提
5.
s u
前提
6.
s
3分解式
7.
u
5、 6肯前式
8.
r
4、7肯前式
9.
p
2 、8否后式
10.
q
1、9否肯式
例6 下面是一起杀人案的审讯记录： 侦查员：你刚才说的都是实话吗？
能发财”
6. “除非p才q”， “除非p不q”不同于“只有p才不q” 7. “甲、乙、丙三人去两人” 8. “甲、乙都去或者甲、乙都不去” 9. “即使甲去乙也不去” 10. “你听从地不是苏格拉底，而是更多地在听从真理”不同
于“你不是在图书馆，就是在去图书馆的路上”
条件证明 p→(q→r)↔ p∧q→ r
1.根据复合命题的逻辑特性，可产生基本 的推理有效式和等值式。
2.形式证明是一个推导序列，推理的有效 性可以在一个推导序列中得到证明。
3.形式证明的结构分为三部分：序列号、 真值形式和理由。
例1： p∨ q ，q→ r, r ┣ p
序列号 真值形式 理由
1.
p∨ q
前提
2.
q→ r
前提
3.
r
前提
4.
q
2、3否后式
5.
p
1、4否肯式
例2： p→ q , p∨ r, q ┣ r∧ p
逆向思维 例3： ¬(q∧s),r→s ,p→q, ¬(t∧u)∨r ,p∧u ┣ ¬t 1. ¬(t∧ u) ∨r ↔ ¬t ∨ ¬u∨ r 2. p∧ u ┣ u 3. p∧ u ┣ p 4. p→ q ,p ┣ q 5. ¬(q∧ s) ↔ ¬q∨ ¬s 6. ¬q∨ ¬s ,q┣ ¬s 7. r→ s, ¬s┣ ¬r 8. ¬t ∨ ¬u∨ r, u∧ ¬r ┣ ¬t
10、11合成式
13.
t
4-12间接证明
说明：间接证明是条件证明的特例
p （前提集合） ¬q 假设前提
…
r
¬r r∧ ¬r q 间接证明
把间接证明转化成条件证明：
p
（前提集合）
¬q
假设前提
…
r
¬r
r∨ q 附加律
q
¬q→ q 条件证明
q∨ q
q
重言律
小结：通常情况下，结论为蕴涵式的 用条件证明，结论为简单命题或负命 题用间接证明。
将前提符号化为：p q, p r, s t, s r, t
根据上述前提作形式证明：
1.
p q
前提
2.
p r
前提
3.
s t
前提
4.
s r
前提
5.
t
前提
6.
s
3、5否后式
7.
r
4、6否前式
8.
p
2、7否后式
9.
q
1、8否肯式
从已知前提中导出结论：杀人者不是张三而是李四， 所以受审者讲的不全是真话。
p q r s t r (t p) q p t p t r s q s
前提 前提 前提 前提 假设前提 1、5否肯式 4德摩根律 6、7否肯式 3、8否前式 2、9否肯式 5—10条件证明
间接证明（归谬证明）
p （前提集合） ¬q 假设前提
.
.
. r∧ ¬r
q 若前提集合p加上假设前提¬q能推出r∧ ¬r，那么就 必然证明假设前提¬q为假，从而间接证明了推理的 结论q。
6假言易位律
8.
p →¬r
1、2、7假言连锁
9.
¬p∨ ¬r
8蕴涵定义律
10 .
¬r∨ ¬p
9交换律
11 .
¬(r∧ p)
10德摩根律
12 .
¬t
5、11否肯式
13 .
¬t ∨ x
12附加律
14 .
t →x
13蕴涵定义律
注意：
如果前提中有联言命题，那么联言命题就做为 形式证明的出发点。
形式证明的方法，不但能证明推理的有效性， 而且还可以在已知的前提下推导出相应的结 论。
p┣ q→ r p （前提集合） q 假设前提
.
.
.
r
q→ r 若前提集合p加上假设前提q能推出r，则前提集 合p必然能推出q→ r。
例7 p∨¬ q, ¬r→¬p┣ q→r
1. p∨¬q 2. ¬r→¬p 3. q 4. p 5. r 6. q→r
前提 前提 假设前提 1、3否肯式 2、4否后式 3-5条件证明
1. (pq) p q
0
2. (pq) p q
1
00
简化真值表方法的检验过程
例1：1 (pq) p q 0
2 (pq) p q 1 00
3 (p q) p q 1 1 1 0 01
4 (pq) p q 11 11 0 01
（二）真值表的判定作用
步骤： 第一步：把蕴涵式放入真值表 第二步：计算出蕴涵式的真值 第三步：判定
判定原则： 蕴涵式是永真式，当且仅当推理形式有效。 蕴涵式不是永真式，当且仅当推理形式无效。
(p q) p q
p q (pq) p q
11
1
11
10
0
10
01
0
11
00
0
10
(p q) p q