《材料力学》第8章 组合变形及连接部分的计算 习题解

（2）如果要求混凝土中没有拉应力，试问最大许可水深 h 为多大？
解：（1）求墙底处的最元，则墙的重力为：
G (0.311.2) 2.45 9.8 8.6436(kN) （↓）
作用在墙底处的水压力为：
q h 1 9.81.2 1 11.76(kN / m)
2
3
3
t max
G A
M Wz
8.6436kN 0.3 1m 2
4.9 h3kN m 3 1 1 0.32 m3
28.812 108.9h3
0
6
28.812 108.9h3 0
h 0.642(m) 故当 h 0.642m 时，混凝土中不出现拉应力。
[ 习 题 8-10] 受拉构 件形 式状如 图，已知 截面尺 寸为 40mm 5mm ， 承受轴向 拉力 F 12kN 。现拉杆开有切口，如不计应力集中影响，当材料的[ ] 100MPa时，试确定
tan M z max I y 1.732F 10094119 1.9816577
M y max I z
F 8822419
arctan1.9816577 63.2230 63013' ，即：中性轴是过大圆的圆心，与 y 轴的正
向成 63013' 的一条直线（分布在二、四象限）。
3
M max
M2 z max
M
y
2 max
3F 2 F 2 2F
（沿 F 作用线方向）
Wz
Iz D/2
8822419 60
147040(mm3 )
max
M max Wz
2F 103 N mm 147040mm3
160MPa
F 11763N 11.763kN
[F] 11.763kN
[习题 8-4] 图示一楼梯木料梁的长度 l 4m ，截面为 0.2m 0.1m 的矩形，受均布荷载作
：
即
即
解得：
m
[习题 8-7] 螺旋夹紧器立臂的横截面为 a b 和矩形，如图所示。已知该夹紧器工作时承受 的夹紧力 F 16kN ，材料的许用应力[ ] 160MPa，立臂厚 a 20mm，偏心距 e 140mm 。试求立臂宽度 b 。
解：立柱是拉弯构件。最大拉应力为：
t max
F ab
Fe 1 ab2
F a
(1 b
6e b2
)
6
16000 1 6 140
(
)
20 b b2
1 840 800( )
b b2
正应力强度条件：
7
t max [ ] 800(1 840) 160
b b2 b2 5b 4200 0 解得： b 67.356mm
[习题 8-8] 试求图示杆内的最大正应力。力 F 与杆的轴线平行。
5196x 1299x2 200 50x 1299x2 5246x 200 （ kPa)
令 d t (x) 2598x 5246 0 ，得：当 x 2.019m 时，拉应力取最大值： dx
t max 1299 2.019 2 5246 2.019 200 5096 .5(kPa) 5.097 MPa
用， q 2kN / m 。试作梁的轴力图和弯矩图，并求横截面上的最大拉应力与最大压应力。
解：以 A 为坐标原点，AB 方向为 x 轴的正向。过Ａ点，倾斜向下方向为 y 轴的正向。
qx
q sin 300
2
1 2
1(kN / m)
（负 x 方向：↙）
q y q cos30 0 2
3 2
3(kN / m)
M y zA Iy
Mz yA Iz
F 12a 2
2aF 2a 11a 4
2aF 2a 32a 4
151F 264a 2
0.572
F a2
（5）计算最大压应力
c max
B
F A
M yzB Iy
Mz yA Iz
F 2aF 0.5a 2aF 4a 17F 0.258 F
12a 2
11a 4
4
0
0
1
2
-1
-2
-3
-4
-5 N(kN)
轴力图
x(m)
3
4
0
1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
M(kNm)
2
3
x(m) 4
弯矩图
t
(x)
M (x) Wz
N ( x) A
(3.464 1
x 0.866 x2 )kN 0.1 0.22 m3
m
(4 x)kN 0.1 0.2m2
6
1500 (3.464 x 0.866 x2 ) 50(4 x)
（正 y 方向：↘）
A、B 支座的反力为： X A 4kN ， YA RB 2 3kN ＡＢ杆的轴力： N (x) qx (4 x) x 4
ＡＢ杆的弯矩： M (x) 2
3x
1 2
qy x2
2
3x
3 x2 2
x
0
1
2
3
4
N
-4
-3
-2
-1
0
M
0
2.598
3.464
2.598
0
AB 杆的轴力图与弯矩图如图所示。
墙底处的弯矩：
M (1 11.761.2) 1 1.2 2.8224(kN m)
2
3
混凝土墙为压弯构件，墙底的应力为：
cmax
G M A Wz
8.6436kN 0.3 1m 2
2.8224kN m 1 1 0.32 m3
216.972kPa 0.217MPa （右）
6
t max
第八章 组合变形及连接部分的计算 习题解
[ 习 题 8-1] 14 号 工字钢 悬臂梁受 力情况 如图所 示。已知 l 0.8m ， F1 2.5kN ， F2 1.0kN ，试求危险截面上的最大正应力。
解：危险截面在固定端，拉断的危险点在前上角点，压断的危险点在后下角，因钢材的拉压 性能相同，故只计算最大拉应力：
2.6 2
16.25(kN
m)
c max
16.25 103 N m 1.85 104 m3
25103 3 N 2
30.6 104 m2
(87.83 7.07) 106 Pa
94.9MPa
[习题 8-6] 砖砌烟囱高 h 30m ，底截面 m m 的外径 d1 3m ，内径 d 2 2m ，自重 P1 2000 kN ，受 q 1kN / m 的风力作用。试求：
切口的最大许可深度，并绘出切口截面的应力变化图。
解：在切口处，杆件发生拉弯组合变形。
偏心距 e 20 (20 0.5x) 0.5x 。把 F 向剩余截面的形心平移后，产生的力矩：
M z Fe 12 0.5x 6x(kN mm)
最大拉应力出现在切口的上缘，即剩余截面的下缘：
（1）烟囱底截面上的最大压应力；
（2）若烟囱的基础埋深 h0 4m ，基础及填土自重按 P1 1000 kN 计算，土壤的许用 压应力[ ] 0.3MPa，圆形基础的直径 D 应为多大？
6
注：计算风力时，可略去烟囱直径的变化，把它看作是等截面的。 解：烟囱底截面上的最大压应力：
=
=
土壤上的最大压应力
所以 满足正应力强度条件，即不会拉断或压断，亦即强度上是安全的。
（2）刚度校核
=
2
0.0202m [w] 4 /150 0.0267m 。即符合刚度条件，亦即刚度安全。
[习题 8-3] 悬臂梁受集中力 F 作用如图所示。已知横截面的直径 D 120mm，d 30mm， 材料的许用应力[ ] 160MPa。试求中性轴的位置，并按照强度条件求梁的许可荷载[F]。
32a 4
66a 2
a2
故杆内的最大正应力是： t max
A
0.572 F a2
。
[习题 8-9] 有一高为1.2m 、厚为 0.3m 的混凝土墙，浇筑于牢固的基础上，用作挡水用的
小坝。试求：
（1）当水位达到墙顶时，墙底处的最大拉应力和最大压应力（高混凝土的密度为
2.45 10 3 kg / m3 ）；
解：
Fy F cos300 0.866F （正 y 方向↓）
Fz q sin 30 0 0.5F （负 z 方向←） M zmaz Fyl 0.866 F 2 1.732 F (N m) 出现在固定端截面，上侧受拉
M ymaz Fzl 0.5F 2 F (N m)
出现在固定端截面，外侧受拉
式中，Wz ，Wy 由 14 号工字钢，查型钢表得到Wz 102 cm3 ，Wy 16.1cm3 。故
max
3 2.5 10 3 N 0.8m 2 102 10 6 m3
1.0 10 3 N 0.8m 16.110 6 m3
79.110 6
Pa
79.1MPa
[习题 8-2] 受集度为 q 的均布荷载作用的矩形截面简支梁，其荷载作用面与梁的纵向对
m。试求当荷载
作用在 AB 的中点 D 处时，杆内的最大正应力。设工字钢的自重可略去不计。
解：18 号工字钢
，
，AB 杆系弯压组合变形。
c max
M中 W
FBC
cos30 0 A
MA
0 ： FBC
sin 300
l F l 2
0 ， FBC
25 k N
M中
FBC
sin 300
l 2
25
0.5
解：（1）求 T 形截面的形心位置