有限元大作业讲述

研究生课程考核试卷

科目：有限元分析技术教师：金晓清

姓名：刘双龙学号：20140713189 专业：机械工程领域类别：（专业）

上课时间：2014年10月至2014年12月

考生成绩：

卷面成绩平时成绩课程综合成绩

阅卷评语：

阅卷教师(签名)

重庆大学研究生院制

带孔薄板应力分布及应力集中探究

摘要：带孔薄板的应力集中问题是使用工程领域中一个较为常见的问题，也是弹性力学中平面问题的一个经典问题。本文首先采用弹性力学中平面问题的相关知识进行推导，其中只考虑三个应力分量，而忽略其在厚度方向上的变化，从而得出圆孔附近的应力分布，由此可以看出应力集中最大点及其应力集中系数，从而在理论上验证了本探究的Benchmark（当孔径远小于薄板尺寸时，应力集中系数为k=3）。接着应用ansys软件进行分析，得到直观的应力分布图，及应力集中最大点及其应力集中系数，随即绘制应力集中系数随圆孔直径变化的折线图，直观的可以看出应力集中系数的变化趋势，再用benchmark进行验证，正好吻合。

一、问题描述：

如图（1）所示：在长为300mm、宽为300mm的矩形薄板中央开一个半径为a（a为可变常数）的圆孔，当薄板受横向拉伸的外载荷下，分析薄板的应力分布及应力集中系数。本探究设定该薄板为各向同性材料，其弹性模量E=200000MPa，泊松比为v=0.3。

（1）

二：理论求解

应用弹性理论知识求解“孔半径远远小于薄板尺寸”时的应力系数1、将次实际问题问题转化为带孔薄板“等值拉压”和“等向拉伸”两种典型情况解答。

具体如下：

（1）等值拉压：如下图所示：

（2）等值拉压X轴方向两边均布载荷F=/2

q

Y轴方向两边均布载荷F=/2

-

q

（2）等向拉伸：如下图所示：

（3）等向拉伸X轴方向两边均布载荷F=/2

q

Y轴方向两边均布载荷F=/2

-

q

2、具体求解：

（1）等值拉压：如图（1）所示单位厚度矩形薄板的等值拉压情况。在离边界较远处有半径a 的小圆孔。X 轴方向两边均布载荷F=/2q ，Y 轴方向两边均布载荷F=/2q -，即已知：

/2X q σ=，/2y q σ=-，τxy =0 （a ）

选用极坐标，板的矩形边界用半径为b 的同心圆来代替。当b 足够大时，将式（a ）代入转轴公式（7.81）（注：在《弹性理论基础》182页）

cos 222

X y y x X r y σσσσστθ+-=++sin 2θ cos 2sin 222

y X xy X y θσ

σσσσθτθ+-=-- (7.81) sin 2cos 22

X y r xy θθθττσσ-=-+ 得： cos 22r r b q σθ=|=，sin 22r r b

q θθ=τ∣=- （b ） 在内孔处的力边界条件是：

0r r a σ=|=，0r r a θ=τ∣= （c ）

（b ）式表明r σ的环向分布规律为cos2θ。由（7.84）（注：第183页）:

22211r r r r

σθ∂φ∂φ=+∂∂ 22r

θσ∂φ=∂ （7.84） 1()r r r θθ

∂∂φτ=-∂∂ 的第一式可知r σ与22θ∂φ∂及1r r

∂φ∂有关，所以应力函数也按cos2θ 变化，设为： φ =f （r ）cos2θ （d ） 代入协调方程（7.78）（注：第182页）： 22222222221111()()r r r r r r r r θθ

∂∂∂∂∂∂++++φ=0∂∂∂∂∂∂ （7.78） 得： 2222221414cos 2()()f 0d d d d dr r dr r dr r dr r

θ+-+-= 消去因子cos2θ 得欧拉方程，其特征方程为：

[(k 2)(k 3)(k 2)4][k(k 1)k 4]0--+---+-=

即： k(k-4)(k+2)(k-2)=0

因而通解为： ()22D f r Ar Br C r

=+++ 代入（d ）式得φ =22()D

Ar Br C r

+++ cos2θ ，再代入（7.84）式得应力分量： 24

46cos 2(2B )r C

D r r σθ=-++ 24

6cos 2(122)D Ar B r θσθ=++ （e ） 22426sin 2(62)r C

D Ar B r r

θθτ=+-- 利用边界条件(b)和(c)定出积分常数： 222q (1)2A Nb =β-β ，46(136)4q B N

=-+β-β （f ） 2

6(1)2qa C N

=-β ，44(1)4qa D N =--β 其中，N=2(1)-β4; 1a b

β=< 对于无限大板小圆孔情况，β→0;N →1 ，各常数简化成：

A=0，B=-2qa4424

qa q C D ,=,=- （g ） 代回（e ）式得等值拉压无限大板中小圆孔附近的应力： 2222(1)(13)cos 22r a a q r r

σθ=-- 44(13)cos 22a q r

θσθ=-+ （h ） 2222(1)(13)sin 22r a a q r r

θθτ=--+ 可以看出，在孔边r=a 处：

0r σ=

2cos 2q θσθ=- （i ） 0r θτ=

（2）等向拉伸：如图（2）所示单位厚度矩形薄板的等值拉伸情况。在离边界较远处有半径a 的小圆孔。X 轴方向两边均布载荷F=/2q ，Y 轴方向两边均布载荷F=/2q ，即已知：

/2X q σ=，/2y q σ=-，τxy =0