安徽中考数学专题复习：多解题
安徽中考数学复习专题全辑 专题二 几何图形最值问题
21．(2019·黄冈)如图，AC，BD 在 AB 的同侧，AC＝2，BD＝8，AB＝8，点 M 为 AB 的中点，若∠CMD＝120°，则 CD 的最大值是________．
而且点移动到不同的位置，我们要研究的图形可能会改变．当一个问题是确定 图形的变量之间关系时，通常建立函数模型求解，当确定图形之间的特殊位置 关系或一些特殊值时，通常建立方程模型求解．在解题时，常常需要作辅助线 帮助理清思路，然后利用直角三角形或圆的有关知识解题．如本题，作辅助线， 利用轴对称的性质将问题转化为三角形中两边之和大于第三边，当 P 点在 A1B 上 时，PA＋PB 取得最小值．
A．3 2－1
B．2
C．2 2
D．3 2
2．如图，在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点 D 在 BC 上，以 AC 为
对角线的所有平行四边形 ADCE 中，DE 最小的值是( )
A．2
B．3
C．4
D．5
3．(2019·合肥 42 中一模)如图，AB 是半⊙O 的直径，点 C 在半⊙O 上，AC＝8cm，
专题二 几何图形最值问题
类型一 线段最值问题
(2017·安徽)如图，在矩形 ABCD 中，AB＝5，AD＝3.动点 P 满足 S ＝ △PAB
1
S 矩形 ABCD，则点 P 到 A，B 两点距离之和 PA＋PB 的最小值为(
)
3
A. 29
B. 34
C．5 2
D. 41
2021年中考数学专题复习 专题49 中考数式图规律型试题解法(教师版含解析)
专题49 中考数式图规律型试题解法给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．这类问题成为探索规律性问题。
主要采用归纳法解决。
1.数字猜想型：数字规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通过适当的计算回答问题．2.数式规律型：数式规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式即函数关系式为主要内容．3.图形规律型：图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的算式描述其中的规律，要注意对应思想和数形结合．4.数形结合猜想型：数形结合猜想型问题首先要观察图形，从中发现图形的变化方式，再将图形的变化以数或式的形式反映出来，从而得出图形与数或式的对应关系，数形结合总结出图形的变化规律，进而解决相关问题．5.解题方法规律探索问题的解题方法一般是通过观察、类比特殊情况(特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等)中数据特点，将数据进行分解重组、猜想、归纳得出规律，并用数学语言来表达这种规律，同时要用结论去检验特殊情况，以肯定结论的正确．【例题1】(2019安徽合肥)观察下列各组式子：①26115 13133⨯-+==⨯；②1262111 353515⨯-+==⨯；③1263117 (575735)⨯-+==⨯ (1)请根据上面的规律写出第 4个式子；(2)请写出第n 个式子，并证明你发现的规律．【答案】(1)1264123797963⨯-+==⨯；(2)()()126121212121n n n n n ⨯-+=-+-⨯+， 证明见解析．【解析】(1)1264123797963⨯-+==⨯ (2)()()126121212121n n n n n ⨯-+=-+-⨯+ 证明：等式左边122121n n =+-+， ()()()()()2212121?2121?21n n n n n n -+=+-+-+ ()()()2122121?21n n n n ++-=-+ ()()6121?21n n n ⨯-=-+ ∵等式右边为()()612121n n n ⨯--⨯+，与等式左边计算出的结果相等， ∴()()126121212121n n n n n ⨯-+=-+-⨯+成立. 【点拨】本题主要考查了分式运算的规律探讨问题，根据题意正确总结归纳出相应的规律是解题关键.【对点练习】(2019湖南益阳)观察下列等式：①3﹣2＝(﹣1)2，②5﹣2＝(﹣)2，③7﹣2＝(﹣)2，…请你根据以上规律，写出第6个等式．【答案】13﹣2＝(﹣)2．【解析】第n个等式左边的第1个数为2n+1，根号下的数为n(n+1)，利用完全平方公式得到第n个等式右边的式子为(﹣)2(n≥1的整数)．写出第6个等式为13﹣2＝(﹣)2．【例题2】(2019湖北咸宁)有一列数，按一定规律排列成1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，其中某三个相邻数的积是412，则这三个数的和是．【答案】﹣384．【解析】根据题目中的数字，可以发现它们的变化规律，再根据其中某三个相邻数的积是412，可以求得这三个数，从而可以求得这三个数的和．∵一列数为1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，∴这列数的第n个数可以表示为(﹣2)n﹣1，∵其中某三个相邻数的积是412，∴设这三个相邻的数为(﹣2)n﹣1、(﹣2)n、(﹣2)n+1，则(﹣2)n﹣1•(﹣2)n•(﹣2)n+1＝412，即(﹣2)3n＝(22)12，∴(﹣2)3n＝224，∴3n＝24，解得，n＝8，∴这三个数的和是：(﹣2)7+(﹣2)8+(﹣2)9＝(﹣2)7×(1﹣2+4)＝(﹣128)×3＝﹣384【对点练习】(2019湖南常德)观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+72019的结果的个位数字是( )A．0 B．1 C．7 D．8【答案】A【解析】首先得出尾数变化规律，进而得出70+71+72+…+72019的结果的个位数字．∵70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，∴个位数4个数一循环，∴(2019+1)÷4＝505，∴1+7+9+3＝20，∴70+71+72+…+72019的结果的个位数字是：0．【点拨】本题属于数字规律探究的问题。
中考数学专题复习一题多变与多解试题
无棣县埕口中学中考数学专题复习 一题多变与多解 新人教版制卷人：打自企； 成别使； 而都那。
审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。
一、一题多解,拓宽思路,培养思维的多向性,发散性，采用一题多解的方法可以训练同学们应用多种方法,以多种角度去认识、解决问题. 例 ：如图1，直线AB ∥CD ，P 是AB 和CD 之间的一点.试说明∠ABP +∠PDC =∠BPD .该题证明思路较多，主要有以下几种：证法一：如图1，过点P 向右作PE ∥AB ，那么有∠ABP =∠BPE .又∵ AB ∥CD ，∴ PE ∥CD ，∴ ∠EPD =∠PDC .因此，∠ABP +∠PDC =∠BPE +∠EPD =∠BPD .证法二：如图2，过点P 向左作PE ∥AB ，那么有∠ABP +∠BPE =180°. 易得PE ∥CD ，∴∠EPD +∠PDC =180°. 故有∠ABP +∠BPE +∠EPD +∠PDC =360°.又∵ ∠BPE +∠EPD +∠BPD =360°，∴ ∠ABP +∠PDC =∠BPD . 证法三：如图3，延长BP ，交CD 于点E ，那么∠BPD =∠PED +∠PDC . ∵ AB ∥CD ，∴ ∠ABP =∠PED . ∴ ∠ABP +∠PDC =∠BPD . 证法四：如图4，过点P 作直线EF ，分别交AB 、CD 于点E 、F . 那么∠EPB +∠BPD =∠EPD =∠PFD +∠PDC .又∵ AB ∥CD ，∴ ∠PFD =∠AEF =∠ABP +∠EPB ， ∴ ∠EPB +∠BPD =∠ABP +∠EPB +∠PDC . ∴ ∠ABP +∠PDC =∠BPD .二、题多变,同中求异,培养思维的敏捷性、深入性.ACDP图1 E B ACD 图2E BP图3C D E AP BP E 图4A CD F B一题多变指改变同一问题中的条件或者题目改变求解目的,或者加深题目难度,从而训练同学生举一反三,以不变应万变的才能。
2020年中考数学复习解答题专项训练---方程(组)和不等式的实际应用(无答案))
方程（组）和不等式的实际应用一、一元一次方程的应用1.（2019∙安徽）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难问题，当地政府决定修建一条高速公路。
其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工。
甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米。
已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？2.（2019∙岳阳）岳阳市整治农村“空心房”新模式，获评全国改革开放40年地方改革创新40案例．据了解，我市某地区对辖区内“空心房”进行整治，腾退土地1200亩用于复耕和改造，其中复耕土地面积比改造土地面积600多亩．（1）求复耕土地和改造土地面积各为多少亩？（2）该地区对需改造的土地进行合理规划，因地制宜建设若干花卉园和休闲小广场，要求休闲小广场总面积不超过花卉园总面积的1，求休闲小广场总面积最3多为多少亩？3.（2019∙甘肃）中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何?译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车?二、二元一次方程组的应用1.（2019∙淄博）“一带一路”促进了中欧贸易的发展，我市某机电公司生产的A、B两种产品在欧洲市场热销，今年第一季度这两种产品的销售额为2060万元，总利润为1020万元（利润=售价-成本），其每件产品的成本和售价信息如问该公司这两种产品的销售件数分别是多少？2.（2019∙百色）一艘轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用6小时，逆流航行比顺流航行多用4小时。
(1)求该轮船在静水中的速度和水流速度；(2)若在甲、乙两地之间建立丙码头，使该轮船从甲地到丙地和从乙地到丙地所用的航行时间相同，问甲、丙两地相距多少干米?3.（2019∙广东）某校为了开展“阳光体育运动”，计划购买篮球、足球共60个，已知每个篮球的价格为70元，每个足球的价格为80元．（1）若购买这两类球的总金额为4600元，求篮球，足球各买了多少个？（2）若购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，求最多可购买多少个篮球？小王与小张各自乘坐满滴快车，在同一地点约见，已知到达约见地点时他们的实际行车里程分别为6公里与8.5公里，两人付给滴滴快车的乘车费相同。
2024年中考数学压轴题型(安徽专用)专题07解答题压轴题(圆的综合)(学生版)
专题07解答压轴题（圆的综合）通用的解题思路：一、切割线定理当出现圆中一条弦和一条切线（或另一条弦）所在直线交于圆外一点时，可利用相似三角形解决线段相关问题。
二、解决三角形外接圆的问题做这类题时可通过连接圆心（外心）和三角形的顶点，或过圆心（外心）作边的垂线，进而应用圆周角定理、垂径定理及勾股定理解决问题。
三、证切线的方法1、已知半径证垂直；2、已知垂直证半径。
1.（2023-安徽•中考真题）已知四边形班CD内接于。
，对角线如是。
的直径.⑴如图1,连接OA,C4,若求证；04平分乙BCD；（2）如图2,E为。
内一点，满足AE±BC,CE±AB,若BD=30AE=3,求弦BC的长.2.（2022.安徽.中考真题）已知AB^jQO的直径，。
为。
上一点，D为BA的延长线上一点，连接CQ.c c图1上AB图2⑴如图1,若COLAB,20=30。
，0A=L求AQ的长;(2)如图2,若OC与。
0相切，E为OA上一点，且ZACD=ZACE,求证：CE±AB.3.(2021.安徽.中考真题)如图，圆0中两条互相垂直的弦AB,CQ交于点E.(1)M是CD的中点，(W=3,CD=12,求圆。
的半径长；(2)点尸在CQ上，＞CE=EF,求证：AF1BD.1.(2024-安徽六安•一模)如图，4ABC内接于O。
，是。
的直径，0D1AB交O。
于点E,交AC于点KDF=DC.D\R(1)求证：CD是。
的切线；(2)若。
F=而,BC=6,求DE的长.2.(2024.安徽•一模)如图，已知点尸为。
外一点，点A为。
上一点，直线P4与。
的另一个交点为点B,AC是。
的直径，APAC的平分线刀。
交。
于点Q,连接CD并延长交直线霹于点M,连接OQ.(1)求证：OD||BM；(2)若tan ZACD-,。
的直径为4,求刀B的长度.3.(2024-安徽合肥•二模)如图，AB为。
的直径，的和吨是。
的弦，连接AD f CD.P(1)若点C为AP的中点，且PC=PD,求ZB的度数；⑵若点。
安徽省2020年中考二轮复习题型三：填空压轴题之几何图形多解问题-(数学)
题型三 填空压轴之几何图形多解问题1. 已知正方形ABCD 的边长为42，如果P 是正方形对角线BD 上一点，满足△ABP ≌△CBP ，若△PCB 为直角三角形，则BP 的长为________．2. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝6，E 为AB 边上一点，将△BEC 沿CE 翻折，点B 落在点F 处，当△AEF 为直角三角形时，BE ＝________．第2题图 第4题图3. 在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，若点P 在AD 边上，连接PB 、PC ，△BPC 是以PB 为腰的等腰三角形，则PB 的长为________．4. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，点P 、Q 分别为直线AB 、BC 上的点，满足PD ⊥PQ ，则当△PDQ 为等腰三角形时，AP 的长为________．5. 已知△ABC 中，tan B ＝23，BC ＝6，过点A 作BC 边上的高，垂足为点D ，且满足BD ∶CD ＝2∶1，则△ABC 面积的所有可能值为________．6. 如图，有一张面积为10的三角形纸片，其中一边AB 为4，把它剪开两次拼成一个矩形(无缝隙、无重叠)，且矩形的一边与AB 平行，则矩形的周长为________．第6题图 第7题图 7. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝8，MN 为对角线BD 的垂直平分线，以BD 为底边作等腰三角形BPD ，使得点P 落在直线MN 上，且PD ＝5，则AP ＝________．8. 在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ＝2＋2，D 是边AC 上的动点，满足BD 的垂直平分线交BC 于点E ，若△CDE 为直角三角形，则BE 的长为________．9. 如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠ABC ＝90°，AD ＝1，BC ＝3，E 是边CD 的中点，连接BE 并延长交AD 的延长线于点F ，若△BCD 是等腰三角形，则四边形BDFC 的面积为________．第9题图 第10题图10. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝23，E是AB边上一点，AE＝2，F是直线CD上一动点，将△AEF沿直线EF折叠，点A的对应点为点A′，当点E、A′、C三点在一条直线上时，DF的长度为________．11. 已知在Rt△ABC中，斜边AB＝5，BC＝3，以点A为旋转中心，旋转这个三角形至△AB′C′的位置，那么当点C′落在直线AB上时，BB′＝________12. △ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿射线BC方向平移得到△A′B′C′，使得B′C ＝4，连接A′C，则△A′B′C的周长为________．13. 如图，在▱ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，点E、F分别为AD、BC的中点，沿EF折叠平行四边形，使CD落在直线AB上，点C的对应点为C′，点D的对应点为D′，若BD′＝1，则AD的长为__________．第13题图第14题图14. 定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形．如图，在互补四边形纸片ABCD中，BA＝BC，AD ＝CD，∠A＝∠C＝90°，∠ADC＝30°.将纸片先沿直线BD对折，再将对折后的纸片从一个顶点出发的直线裁剪，把剪开的纸片打开后铺平，若铺平后的纸片中有一个面积为4的平行四边形，则CD的长为________．15. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE，将△EDC 绕点C按顺时针方向旋转，当△EDC旋转到A，D，E三点共线时，线段BD的长为________．第15题图1. 4或8 【解析】由题可知，∵△ABP≌△CBP，∴点P一定处于正方形对角线BD上，∴共存在两种情况使△PBC为直角三角形，(1)如解图①，当CP⊥PB时，有PC2＋PB2＝BC2.又∵∠CBP＝45°，∴PB＝PC，∴BP ＝4；(2)如解图②，当P点与D点重合时△PBC为直角三角形，BP＝2BC＝8.第1题解图2. 3或6 【解析】如解图①，当∠AFE＝90°时，设BE＝x，则EF＝x，AE＝8－x，FC＝BC＝6，由勾股定理得AC＝AB2＋BC2＝10，∴AF＝10－6＝4，在Rt△AEF中，42＋x2＝(8－x)2，解得x＝3，∴BE＝3；如解图②，当∠AEF＝90°时，四边形BCFE是正方形，BE＝BC＝6.综上所述，BE＝3或6.参考答案第2题解图 3. 5或6 【解析】如解图①，当PB ＝PC 时，点P 是BC 的中垂线与AD 的交点，则AP ＝DP ＝12AD ＝3，在Rt △ABP 中，由勾股定理可得PB ＝AP 2＋AB 2＝32＋42＝5；如解图②，当PB ＝BC ＝6时，△BPC 也是以PB 为腰的等腰三角形．综上所述，PB 的长度为5或6.第3题解图4. 1或7 【解析】∵△PDQ 是等腰三角形，∴分三种情况：①如解图①，若点P 在线段AB 上，∠DPQ ＝90°，∴PD ＝PQ ，∠APD ＋∠BPQ ＝90°，∵在矩形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝90°，∴∠APD ＋∠ADP ＝90°，∴∠ADP ＝∠BPQ ，∴△DAP ≌△PBQ (AAS)，∴PB ＝AD ＝3，∴AP ＝4－3＝1；②如解图②，若点P 在线段AB 的延长线上，PQ 交CB 的延长线于点Q ，PD ＝PQ ，同理可证△ADP ≌△BPQ ，∴AD ＝PB ，∴AP ＝AB ＋AD ＝3＋4＝7；③当P 在线段BA 的延长线上时，显然不成立，故AP 的长为1或7.第4题解图 5. 8或24 【解析】如解图①，∵BC ＝6，BD ∶CD ＝2∶1，∴BD ＝4，在Rt △ABD 中，AD ＝BD ·tan B ＝4×23＝83，∴S △ABC ＝12BC ·AD ＝12×6×83＝8；如解图②，∵BC ＝6，BD ∶CD ＝2∶1，∴BD ＝12，在Rt △ABD 中，AD ＝BD ·tan B ＝12×23＝8，∴S △ABC ＝12BC ·AD ＝12×6×8＝24.∴△ABC 面积的所有可能值为8或24.第5题解图6. 13或14 【解析】分为两种情况：①如解图①，沿MN 剪开，再沿CQ 剪开(CD ⊥AB 于点D ，MN 为△ABC 的中位线，CD 交MN 于点Q )，将△CQN 放在△BFN 的位置上，△CQM 放在△AEM 的位置上，由三角形面积公式得10＝12×4×CD ，解得CD ＝5，∵MN 为△ABC 的中位线，∴CQ ＝DQ ＝12CD ＝2.5，∴矩形AEFB 的周长为(2.5＋4)×2＝13；②如解图②，沿NQ 、MT 剪开(N 、M 分别为AC 、BC 中点，EQ ⊥BA 于点Q ，FT ⊥AB 于点T ，CD ⊥AB于点D )，将△AQN 放在△CEN 的位置上，△BTM 放在△CFM 的位置上，由三角形面积公式得10＝12×4×CD ，解得CD ＝5，∵N 为AC 中点，CD ∥EQ ，∴AQ ＝DQ ，同理BT ＝DT ，∴QT ＝12AB ＝2，∴矩形EQTF 的周长为(5＋2)×2＝14.故答案为13或14.第6题解图7. 3或41 【解析】如解图，连接BM ，DN ，AN ，得到四边形BNDM 为菱形，∴BM ＝MD ，AM ＋MD ＝AM ＋BM ＝AD ＝8，在Rt △ABM 中，设AM ＝x ，则BM ＝8－x ，AB ＝4，根据勾股定理得：x 2＋42＝(8－x )2，解得x ＝3，∴AM ＝3，MD ＝5.当PB 和PD 在BD 上方时，点P 与点M 重合，则AP ＝AM ＝3；当PB 和PD 在BD 下方时，点P 与点N 重合，由对称性得到PD ＝ND ＝BN ＝MD ＝5，在Rt △ABN 中，AB ＝4，BN ＝5，根据勾股定理得：AN ＝AB 2＋BN 2＝42＋52＝41，此时AP ＝AN ＝41.综上所述，AP 的长为3或41.第7题解图8. 2＋1或2 【解析】①当∠CED ＝90°时，点D 与点A 重合，E 是BC 的中点，如解图①.∵BC ＝2AB＝2(2＋2)＝2(2＋1)，∴BE ＝12BC ＝12×2(2＋1)＝2＋1；②当∠CDE ＝90°时，如解图②，∵∠A ＝90°，AB ＝AC ，∴∠C ＝45°，∴△CDE 是等腰直角三角形，∴CE ＝2DE ，易得BE ＝DE ，∴CE ＝2BE ，∴CE ＋BE ＝2BE ＋BE ＝2(2＋1)．∴BE ＝2.综上所述，若△CDE 为直角三角形，则BE 的长为2＋1或2.第8题解图9. 62或3 5 【解析】∵∠A ＝∠ABC ＝90°，∴BC ∥AD ，∴∠CBE ＝∠DFE ，∵∠BEC ＝∠FED ，CE ＝DE ，∴△BEC ≌△FED (AAS)，∴BE ＝FE ，∴四边形BDFC 是平行四边形，①当BC ＝BD ＝3时，在Rt △ABD 中，AB＝32－12＝22，S 四边形BDFC ＝3×22＝62；②当BC ＝CD ＝3时，如解图，过点C 作CG ⊥AF 于点G ，则四边形ABCG 是矩形，∴AG ＝BC ＝3，∴DG ＝AG －AD ＝3－1＝2，在Rt △CDG 中，CG ＝32－22＝5，∴S 四边形BDFC＝3×5＝35；③BD ＝CD 时，BC 边上的中线应与BC 垂直，从而BC ＝2AD ＝2，矛盾，此时不成立．故四边形BDFC 面积为62或3 5.第9题解图10. 6＋27或6－27 【解析】如解图①，F 是线段CD 上一动点，由翻折可知，∠FEA ＝∠FEA′，∵CD ∥AB ，∴∠CFE ＝∠AEF ，∴∠CFE ＝∠CEF ，∴CE ＝CF ，在Rt △BCE 中，EC ＝BC 2＋EB 2＝（23）2＋42＝27，∴CF ＝CE ＝27，∵AB ＝CD ＝6，∴DF ＝CD －CF ＝6－27；如解图②，F 是DC 延长线上一点，由翻折可知，∠FEA＝∠FEA′，∵CD∥AB ，∴∠CFE ＝∠BEF ，∴∠CFE ＝∠CEF ，∴CE ＝CF ，在Rt △BCE 中，EC ＝BC 2＋EB 2＝（23）2＋42＝27，∴CF ＝CE ＝27，∵AB ＝CD ＝6，∴DF ＝CD ＋CF ＝6＋27，故答案为6＋27或6－27.图① 图②第10题解图11. 10或310 【解析】①如解图①，当点C′在线段AB 上时，∵AB ＝5，BC ＝3，∴在Rt △ABC 中，AC＝AB 2－BC 2＝4，∵以点A 为旋转中心，旋转这个三角形至△AB′C′的位置，∴AC′＝4，BC′＝1，B′C′＝3，∴BB′＝（B′C′）2＋（BC′）2＝10；②如解图②，当点C′在线段BA的延长线上时，∵AB＝5，BC＝3，∴AC＝4，∵以点A为旋转中心，旋转这个三角形至△AB′C′的位置，∴BC′＝9，B′C′＝3，∴BB′＝（BC′）2＋（B′C′）2＝310.故长BB′长为10或310.图①图②第11题解图12. 12或8＋4 3 【解析】当点B′在线段BC上，如解图①，∵△ABC沿射线BC方向平移得到△A′B′C′，∴AB＝A′B′＝4，BC＝B′C′＝6，∠ABC＝∠A′B′C′＝60°，∵B′C＝4，∴A′B′＝B′C，∴△A′B′C 为等边三角形，∴△A′B′C的周长为12；当点B′在线段BC的延长线上，如解图②，作B′H⊥A′C，∵△ABC 沿射线BC方向平移得到△A′B′C′，∴AB＝A′B′＝4，∠ABC＝∠A′B′C′＝60°，∵B′C＝4，∴A′B′＝B′C，∴∠B′CA＝∠B′A′C，CH＝A′H，而∠A′B′C′＝∠B′CA′＋∠B′A′C，∴∠B′CA′＝30°，在Rt△B′CH中，∵∠B′CH＝30°，∴B′H＝12CB′＝2，∴CH＝3B′H＝23，∴A′C＝2CH＝43，∴△A′B′C的周长＝4＋4＋43＝8＋4 3.故答案为12或8＋4 3.第12题解图13. 4或8 【解析】如解图①，当点D′在线段AB上时，AD′＝AB－BD′＝3－1＝2，∵E是AD的中点，∴AE＝DE，由折叠的性质得ED′＝ED，∴ED′＝AE，∵∠A＝60°，∴△AED′是等边三角形，∴AE＝AD′＝2，∴AD＝4.如解图②，当点D′在AB的延长线上时，AD′＝AB＋BD′＝4.同理可知△AED′是等边三角形，∴AE＝AD′＝4，∴AD＝8.图①图②第13题解图14. 22＋6或42＋2 6 【解析】如解图①，作CE∥AB交BD于点E，延长CE交AD于点F，连接AE，过点B作BG⊥AE于点G，∵BA＝BC，∴此时的平行四边形ABCE为菱形，∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ADC＝30°，AB∥CF，∴∠CFD＝90°，∠BCE＝∠BAE＝∠AEF＝30°，设BG＝m，则BA＝2m，∵菱形ABCE的面积为4，∴2m×m＝4，解得m＝2(负值舍去)，∴AE＝CE＝BA＝22，EF＝AE·cos30°＝6，∴CF＝22＋6，在Rt△CFD中，CD＝2CF＝42＋26；如解图②，作BE∥AD交CD于点E，作BF∥CD交AD于点F，根据折叠与裁剪可知BE＝BF，此时的平行四边形BEDF也是菱形，∴BE∥FD，∴∠BEC＝∠ADC＝30°，∵∠A＝∠C ＝90°，设BC＝n，则BE＝2n，CE＝3n，∵菱形BEDF的面积为4，∴2n×n＝4，解得n＝2(负值舍去)，∴BC＝2，DE＝BE＝22，CE＝6，∴CD＝CE＋DE＝22＋6，综上所述，CD的长为22＋6或42＋2 6.第14题解图15. 45或1255 【解析】如解图①，易得AC＝AB2＋BC2＝45，CD＝4，CD⊥AD，∴AD＝AC2－CD2＝（45）2－42＝80－16＝8，∴AD＝BC，AB＝DC，∠B＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴BD＝AC＝45；如解图②，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P，∵AC＝45，CD＝4，CD⊥AD，∴AD＝AC2－CD2＝（45）2－42＝8，∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴DE＝12AB＝2，∴AE＝AD－DE＝8－2＝6，CE＝ED2＋CD2＝25，∵∠ECD＝∠ACB，∴∠ECA＝∠DCB，又∵ECDC＝ACBC，∴△ECA∽△DCB，∴AEBD＝ECDC＝52，∴BD＝652＝1255，综上所述，BD的长为45或1255.第15题解图①第15题解图②。
专题14 圆中的两解及多解问题分类讨论思想)归类集训-2023年中考数学二轮复习核心考点拓展训练
专题14 圆中的两解及多解问题（分类讨论思想）归类集训（解析版）类型一讨论弦上某点或端点的位置1．在半径为10的⊙O中，弦AB的长为16，点P在弦AB上，且OP的长为8，AP长为 ．思路引领：作OC⊥AB于点C，根据垂径定理求出OC的长，根据勾股定理求出PC的长，分当点P在线段AC上和当点P在线段BC上两种情况计算即可．解：作OC⊥AB于点C，∴AC=12AB＝8，由勾股定理得，OC=OA2―AC2=6，∴PC=OP2―OC2=27，当点P在线段AC上时，AP＝AC﹣PC＝8﹣27，当点P在线段BC上时，AP＝8+27，故答案为：8﹣27或8+27．总结提升：本题考查的是垂径定理的应用和勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形、运用分情况讨论思想是解题的关键．2．（2021•无棣县模拟）已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则AC的长为（ ）A．25cm B．43cm C．25cm或45cm D．23cm或43cm思路引领：分两种情况，根据题意画出图形，先根据垂径定理求出AM的长，连接OA，由勾股定理求出OM的长，进而可得出结论．解：连接AC，AO，∵⊙O的直径CD＝10cm，AB⊥CD，AB＝8cm，∴AM=12AB=12×8＝4（cm），OD＝OC＝5（cm），当C点位置如图1所示时，∵OA＝5cm，AM＝4cm，CD⊥AB，∴OM=OA2―AM2=52―42=3（cm），∴CM＝OC+OM＝5+3＝8（cm），∴AC=AM2+CM2=42+82=45（cm）；当C点位置如图2所示时，同理可得：OM＝3cm，∵OC＝5cm，∴MC＝5﹣3＝2（cm），在Rt△AMC中，AC=AM2+CM2=42+22=25（cm）；综上所述，AC的长为45cm或25cm，故选：C．总结提升：本题考查的是垂径定理和勾股定理等知识，根据题意画出图形，利用垂径定理和勾股定理求解是解答此题的关键．3．（2020•黑龙江）在半径为5的⊙O中，弦AB垂直于弦CD，垂足为P，AB＝CD＝4，则S△ACP ＝ ．思路引领：如图1，作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连接OD、OB，如图，根据垂径定理得到AE＝BE=12AB＝2，DF＝CF=12CD＝2，根据勾股定理在Rt△OBE中计算出OE＝1，同理可得OF＝1，接着证明四边形OEPF为正方形，于是得到PA＝PC＝1，根据三角形面积公式求得即可．解：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连接OD、OB，则AE＝BE=12AB＝2，DF＝CF=12CD＝2，如图1，在Rt△OBE中，∵OB=5，BE＝2，∴OE=OB2―BE2=1，同理可得OF＝1，∵AB⊥CD，∴四边形OEPF为矩形，∴PE＝PF＝1，∴PA＝PC＝1，∴S△APC=12×1×1=12；如图2，同理：S△APC=12×3×3=92；如图3，同理：S△APC=12×1×3=32；故答案为：12或32或92．总结提升：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．类型二圆心在两弦之间或者两弦之外4．（2021•商河县校级模拟）一下水管道的截面如图所示．已知排水管的直径为100cm，下雨前水面宽为60cm．一场大雨过后，水面宽为80cm，求水面上升多少？思路引领：分两种情形分别求解即可解决问题．解：作半径OD⊥AB交AB于C，连接OB，如图所示，由垂径定理得：BC=12AB＝30cm，在Rt△OBC中，OC=502―302=40cm，当水位上升到圆心以下，水面宽80cm时，则OC′=502―402=30cm，水面上升的高度为：40﹣30＝10cm；当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为：40+30＝70cm，综上可得，水面上升的高度为10cm或70cm．总结提升：本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂径定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．5．（1）半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为3，那么这条弦所对的圆周角的度数等于 ；（2）在半径为1的⊙O中，弦AB，AC的长分别为3和2，则∠BAC的度数是 ；（3）已知圆内接△ABC中．AB＝AC，圆心O到BC的距离为3cm，圆的半径为7cm，求腰长AB．思路引领：（1）根据垂径定理求得AD的长，再根据三角形函数可得到∠AOD的度数，再根据圆周角定理得到∠ACB的度数，根据圆内接四边形的对角互补即可求得∠AEB的度数；（2）连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，根据垂径定理求出AE、FA值，根据解直角三角形的知识求出∠OAB和∠OAC，然后分两种情况求出∠BAC即可；（3）可根据勾股定理先求得BD的值，再根据勾股定理可求得AB的值．注意：圆心在内接三角形内时，AD＝10cm；圆心在内接三角形外时，AD＝4cm．解：（1）如图1，过O作OD⊥AB，则AD=12AB=12×3=32．∵OA＝1，∴sin∠AOD=ADOA=32，∠AOD＝60°．∵∠AOD=12∠AOB＝60°，∠ACB=12∠AOB，∴∠ACB＝∠AOD＝60°．又∵四边形AEBC是圆内接四边形，∴∠AEB＝180°﹣∠ACB＝180°﹣60°＝120°．故这条弦所对的圆周角的度数等于60°或120度．故答案为：60°或120度．（2）解：有两种情况：①如图2所示：连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∴∠OEA＝∠OFA＝90°，由垂径定理得：AE＝BE=32，AF＝CF=32，cos∠OAE=AEOA=32，cos∠OAF=AFOA=22，∴∠OAE＝30°，∠OAF＝45°，∴∠BAC＝30°+45°＝75°；②如图3所示：连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∴∠OEA＝∠OFA＝90°，由垂径定理得：AE＝BE=32，AF＝CF=22，cos∠OAE=AEOA=32，cos∠OAF=AFOA=22，∴∠OAE＝30°，∠OAF＝45°，∴∠BAC＝45°﹣30°＝15°，故答案为：75°或15°；（3）分圆心在内接三角形内和在内接三角形外两种情况讨论，如图4，假若∠A是锐角，△ABC是锐角三角形，连接OB，作AD⊥BC于D，连接OD，∵AB＝AC，∴AD是BC的中垂线，∴OD也是BC的中垂线，∴A、O、D三点共线，∵OD＝3cm，OB＝7cm，∴AD＝10cm，∴BD=OB2―OD2=210cm，∵OD⊥BC，∴BD＝CD，∵AB＝AC，∴AD⊥BC，∴AB=AD2+BD2=235cm；如图5，若∠A是钝角，则△ABC是钝角三角形，和图4解法一样，只是AD＝7﹣3＝4cm，∴AB=AD2+BD2=214cm，综上可得腰长AB＝235cm或214cm．总结提升：本题主要考查了垂径定理和勾股定理，注意分圆心在内接三角形内和在内接三角形外两种情况讨论，解题的关键是根据题意作出图形，求出符合条件的所有情况．类型三讨论点在优弧上或劣弧上6．（2022秋•双城区期末）已知⊙O的半径为2，弦AB的长为23，则弦AB的中点到这条弦所对的弧的中点的距离为 ．思路引领：由垂径定理得出AC，再由勾股定理得出OC，从而得出CD和CE的长．解：如图，∵C是弦AB的中点，AB＝23，∴OC⊥AB，AC=12AB=3，∴AD=BD，AE=BE，在Rt△AOC中，OC=22―(3)2=1，∴CD＝2﹣1＝1cm，CE＝2+1＝3．故答案为：1或3．总结提升：本题考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．8．（2021秋•凉州区校级期末）如图，AB、AC分别与⊙O相切于点B、C，∠A＝50°，点P是圆上异于B、C的一动点，则∠BPC的度数是 ．思路引领：此题分为两种情况，如图p点的位置有两个，所以∠BPC可能是锐角，也有可能是钝角，分别连接O、C；O、B；B、P1；B、P2；C、P1；C、P2各点．（1）当∠BPC为锐角，也就是∠BP1C时，根据AB，AC与⊙O相切，结合已知条件，在△ABC中，即可得出圆心角∠COB的度数，根据同弧所对的圆周角为圆心角的一半，即可得出∠BP1C的度数；（2）如果当∠BPC为钝角，也就是∠BP2C时，根据⊙O的内接四边形的性质，即可得出∠BP2C的度数．解：分别连接O、C；O、B；B、P1；B、P2；C、P1；C、P2各点，（1）当∠BPC为锐角，也就是∠BP1C时：∵AB，AC与⊙O相切于点B，C两点∴OC⊥AC，OB⊥AB，∵∠A＝50°，∴在△ABC中，∠COB＝130°，∵在⊙O中，∠BP1C为圆周角，∴∠BP1C＝65°，（2）如果当∠BPC为钝角，也就是∠BP2C时∵四边形BP1CP2为⊙O的内接四边形，∵∠BP1C＝65°，∴∠BP2C＝115°故答案为：65°或115°．总结提升：本题考查圆的切线性质，在解题过程中还要注意对圆的内接四边形、圆周角、圆心角的有关性质的综合应用．类型四弦所对的圆周角7．（2018秋•泗阳县期中）若圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，则该弦所对的圆周角等于 ．思路引领：圆的一条弦把圆分成度数之比为1：3的两条弧，则所分的劣弧的度数是90°，当圆周角的顶点在优弧上时，这条弦所对的圆周角等于45°，当这条弦所对的圆周角的顶点在劣弧上时，这条弦所对的圆周角等于135°．解：如图，弦AB将⊙O分成了度数比为1：3两条弧．连接OA、OB；则∠AOB＝90°；①当所求的圆周角顶点位于D点时，这条弦所对的圆周角∠ADB=12∠AOB＝45°；②当所求的圆周角顶点位于C点时，这条弦所对的圆周角∠ACB＝180°﹣∠ADB＝135°．故答案为：45°，135°．总结提升：本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及圆周角定理，在解答此类问题时要注意是在“同圆或等圆中”才适用，这是此类问题的易错点．9．（2020秋•溧阳市期末）已知△ABC是半径为2的圆内接三角形，若BC＝23，则∠A的度数为（ ）A．30°B．60°C．120°D．60°或120°思路引领：首先根据题意画出图形，然后由圆周角定理与含30°角的直角三角形的性质，求得答案．解：如图，作直径BD，连接CD，则∠BCD＝90°，∵△ABC是半径为2的圆内接三角形，BC＝23，∴BD＝4，∴CD=BD2―BC2=2，∴CD=12 BD，∴∠CBD＝30°，∴∠A＝∠D＝60°，∴∠A′＝180°﹣∠A＝120°，∴∠A的度数为：60°或120°．故选：D．总结提升：此题考查了圆周角定理与含30°角的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．类型五讨论圆内接三角形的形状10．（2019•绥化）半径为5的⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，AB＝AC，连接OB、OC，延长CO交弦AB 于点D．若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为 ．思路引领：如图1，当∠ODB＝90°时，推出△ABC是等边三角形，解直角三角形得到BC＝AB＝53，如图2，当∠DOB＝90°，推出△BOC是等腰直角三角形，于是得到BC=2OB＝52．解：如图1，当∠ODB＝90°时，即CD⊥AB，∴AD＝BD，∴AC＝BC，∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠DBO＝30°，∵OB＝5，∴BD =32OB =532，∴BC ＝AB ＝53，如图2，当∠DOB ＝90°，∴∠BOC ＝90°，∴△BOC 是等腰直角三角形，∴BC =2OB ＝52，综上所述：若△OBD 是直角三角形，则弦BC 的长为53或52，故答案为：53或52．点睛：本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．101．已知等腰△ABC 的三个顶点都在半径为5的⊙O 上，如果底边BC 的长为8，求BC 边上的高．思路引领：从圆心向BC 引垂线，交点为D ，则根据垂径定理和勾股定理可求出，OD 的长，再根据圆心在三角形内部和外部两种情况讨论．解：连接AO 并延长交BC 于D 点，∵AB ＝AC ，∴AB =AC ，根据垂径定理得AD ⊥BC ，则BD ＝4，根据勾股定理得OD ＝3①圆心在三角形内部时，三角形底边BC 上的高＝5+3＝8；②圆心在三角形外部时，三角形底边BC 上的高＝5﹣3＝2．所以BC 边上的高是8或2．总结提升：本题综合考查了垂径定理和勾股定理在圆中的应用，因三角形与圆心的位置不明确，注意分情况讨论．类型六讨论点与圆的位置关系12．（2020•南通模拟）若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b（a＞b），则此圆的半径为 ．思路引领：点P可能在圆内，也可能在圆外；当点P在圆内时，直径为最大距离与最小距离的和；当点P在圆外时，直径为最大距离与最小距离的差；再分别计算半径．解：若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b，若这个点在圆的内部或在圆上时，圆的直径为a+b，因而半径为a+b 2；当此点在圆外时，圆的直径是a﹣b，因而半径是a―b 2；故答案为：a+b2或a―b2．总结提升：本题考查了点与圆的位置关系，培养学生分类的思想及对点P到圆上最大距离、最小距离的认识．13．已知点P到⊙O的最长距离为6cm，最短距离为2cm．试求⊙O的半径长．思路引领：分两种情况进行讨论：①点P在圆内；②点P在圆外，进行计算即可解：①当P在⊙O外时，如图，∵P当⊙O的最长距离是为6cm，最短距离为2cm，∴PB＝6cm，PA＝2cm，∴AB＝4cm，∴⊙O的半径为2cm'；当P在⊙O内时，，此时AB＝8cm，⊙O的半径为4cm．即⊙O的半径长为2cm或4cm．解题秘籍：本题考查了点和圆的位置关系，分类讨论是解此题的关键．类型七讨论直线与圆的位置关系14．（2021•崇明区二模）已知同一平面内有⊙O和点A与点B，如果⊙O的半径为3cm，线段OA＝5cm，线段OB＝3cm，那么直线AB与⊙O的位置关系为（ ）A．相离B．相交C．相切D．相交或相切思路引领：根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．解：∵⊙O的半径为3cm，线段OA＝5cm，线段OB＝3cm，即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，∴点A在⊙O外．点B在⊙O上，∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切，故选：D．总结提升：本题考查了直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键．15．（2021秋•信都区校级月考）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，若以点C为圆心，r为半径的圆与边AB所在直线相离，则r的取值范围为 ；若⊙C与AB边只有一个公共点，则r的取值范围为 ．思路引领：如图，作CH⊥AB于H．利用勾股定理求出AB，再利用面积法求出CH即可判断．解：如图，作CH⊥AB于H．在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，BC＝8，AC＝6，∴AB=AC2+BC2=62+82=10，∵S△ABC=12•AC•BC=12•AB•CH，∴CH=24 5，∵以点C为圆心，r为半径的圆与边AB所在直线相离，∴r的取值范围为r＜24 5，∵⊙C与AB边只有一个公共点，∴r的取值范围为6＜r≤8或r=24 5，故答案为：r＜245，6＜r≤8或r=245．总结提升：本题考查直线与圆的位置关系，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16．（衢州中考）如图，已知直线l的解析式是y=43x﹣4，并且与x轴、y轴分别交于A、B两点．一个半径为1.5的⊙C，圆心C从点（0，1.5）开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动，当⊙C与直线l 相切时，则该圆运动的时间为（ ）A．3秒或6秒B．6秒C．3秒D．6秒或16秒思路引领：由y=43x﹣4可以求出与x轴、y轴的交点A（3，0）、B（0，﹣4）坐标，再根据勾股定理可得AB＝5，当C在B上方，根据直线与圆相切时知道C到AB的距离等于1.5，然后利用三角函数可得到CB，最后即可得到C运动的距离和运动的时间；同理当C在B下方，利用题意的方法也可以求出C 运动的距离和运动的时间．解：如图，∵x＝0时，y＝﹣4，y＝0时，x＝3，∴A（3，0）、B（0，﹣4），∴AB＝5，当C在B上方，直线与圆相切时，连接CD，则C到AB的距离等于1.5，∴CB＝1.5÷sin∠ABC＝1.5×53=2.5；∴C运动的距离为：1.5+（4﹣2.5）＝3，运动的时间为：3÷0.5＝6；同理当C在B下方，直线与圆相切时，连接CD，则C运动的距离为：1.5+（4+2.5）＝8，运动的时间为：8÷0.5＝16．故选：D．总结提升：此题首先注意分类讨论，利用了切线的性质和三角函数等知识解决问题．17．（2018•浦东新区二模）已知l1∥l2，l1、l2之间的距离是3cm，圆心O到直线l1的距离是1cm，如果圆O 与直线l1、l2有三个公共点，那么圆O的半径为 cm．思路引领：根据题意可以画出相应的图形，从而可以解答本题．解：如下图所示，设圆的半径为r如图一所示，r﹣1＝3，得r＝4，如图二所示，r+1＝3，得r＝2，故答案为：2或4．总结提升：本题考查直线和圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答．18．（2021秋•新荣区月考）综合与实践问题情境：数学活动课上，老师出示了一个直角三角板和量角器，把量角器的中心O 点放置在AC 的中点上，DE 与直角边AC 重合，如图1所示，∠C ＝90°，BC ＝6，AC ＝8，OD ＝3，量角器交AB 于点G ，F ，现将量角器DE 绕点C 旋转，如图2所示．（1）点C 到边AB 的距离为 245 ．（2）在旋转过程中，求点O 到AB 距离的最小值．（3）若半圆O 与Rt △ABC 的直角边相切，设切点为K ，求BK 的长．思路引领：（1）如图1，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，利用勾股定理求得AB ，再利用AB •CH ＝AC •BC ，即可求得答案．（2）当CD ⊥AB 时，点O 到AB 的距离最小，再由OH ＝CH ﹣OC ，即可求得答案．（3）分两种情况：①当半圆O 与BC 相切时，如图2，设切点为K ，连接OK ，运用勾股定理即可求得答案；②当半圆O 与AC 相切时，如图3，设切点为K ，连接OK ，运用勾股定理求得CK ，再利用勾股定理即可求得BK ．解：（1）如图1，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，∵∠ACB ＝90°，BC ＝6，AC ＝8，∴AB =AC 2+BC 2=62+82=10，∵CH ⊥AB ，∴AB •CH ＝AC •BC ，∴CH =AC ⋅BC AB=6×810=245，即点C 到边AB 的距离为245，故答案为：245.（2）∵O 为AC 的中点，∴OC =12AC =12×8＝4，当CD ⊥AB 时，点O 到AB 的距离最小，∴OH ＝CH ﹣OC =245―4=45，∴点O 到AB 距离的最小值为45．（3）①当半圆O 与BC 相切时，如图2，设切点为K ，连接OK ，∴∠OKC ＝90°，在Rt △OCK 中，OK ＝3，OC ＝4，∴CK =OC 2―OK 2=42―32=7，∴BK ＝BC ﹣CK ＝6―7；②当半圆O 与AC 相切时，如图3，设切点为K ，连接OK ，∴∠OKC ＝90°，在Rt △OCK 中，OK ＝3，OC ＝4，∴CK =OC 2―OK 2=42―32=7，在Rt △BCK 中，BK =BC 2+CK 2=62+(7)2=43；综上所述，BK 的长为7或43．解题秘籍：本题是几何综合题，考查了圆的性质，切线的性质，旋转变换的性质，勾股定理，三角形面积，解题关键是熟练掌握旋转变换的性质等相关知识，运用分类讨论思想解决问题．。
中考数学总复习《多解题》专项检测卷(附带答案)
中考数学总复习《多解题》专项检测卷（附带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________类型一点位置不确定典例精讲例1(2023抚本铁辽葫黑白卷)如图，在▱ABCD中，∠B＝45°，AB＝62，E为射线BC 上一点，若∠CDE＝15°，则DE的长为________．【思维教练】∵点E在射线BC上，且∠CDE＝15°，∴分两种情况进行讨论：①E在线段BC上；②点E在线段BC延长线上．例1题图针对训练1.在平面直角坐标系中，点B在y轴的正半轴上，OB＝23，点A在第二象限，且横坐标为－1.当AB＝AO时，以点O为旋转中点旋转△ABO，使点B落在x轴上，则点A的对应点的坐标是________．2.如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝6，连接BD，点P为边AB的三等分点，则tan ∠PDB的值为______．第2题图3.在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，点E是AB边上一点，CE＝5，点F是CD边上一动点，若AE＝EF，则四边形AEFD的周长为________．4.(2023抚本铁辽葫黑白卷)如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D是线段AC上一点，连接BD，将△BCD沿BD所在的直线折叠，点C的对应点为点E，当点E落在△ABC 的边所在的直线上时，CD的长为________．第4题图5.已知点A、B在⊙O上，∠AOB＝112°，直线l平分∠AOB，与⊙O交于点C，点D是OC 延长线上的一点，当AC＝CD时，∠CAD的度数为______．6.已知四边形ABCD为平行四边形，∠B＝30°，AB＝23，AC⊥BC，点E是平行四边形ABCD边上的点，且AE＝2，则△ABE的面积为________．类型二等腰、直角三角形边或角不确定典例精讲例2如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，D为BC上一点，连接AD，过点A作AE⊥AD，取AE＝AD，连接BE交AC于点F.当△AEF为等腰三角形时，CD＝________．例2题图【思维教练】△AEF为等腰三角形，需分两种情况进行讨论：①EA＝EF；②AF＝EF.满分技法具体方法见P104微专题与等腰、直角三角形有关的探究——类型一与等腰三角形有关的分类讨论例3 在平行四边形ABCD中，∠A＝60°，AD＝6，连接BD，若△ABD为直角三角形，则平行四边形的面积为________．【思维教练】△ABD为直角三角形，需分两种情况讨论：①∠ABD＝90°；②∠ADB＝90°.满分技法具体方法见微专题等腰、直角三角形边或角不确定——类型二与直角三角形有关的分类讨论针对训练1.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E为BC边上一点，将△ABE沿AE翻折，点B落在点F处，连接CF，当△CEF为直角三角形时，BE的长为________．第1题图2.如图，已知四边形OABC是菱形，且OA＝AB＝4，∠OAB＝60°.将线段AB沿线段AC方向从点A向点C平移，记平移中的线段AB为A′B′，当△CA′B′为直角三角形时，AA′的长为________．第2题图3.如图，在平面直角坐标系中，点A(5，0)，点B(0，25)，连接AB，在第一象限内以AB 为腰作等腰直角三角形ABC，则点C的坐标为________．第3题图4.(2023沈阳于洪区一模)如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点B 逆时针旋转一定的角度α(0°＜α＜90°)，直线A1C1分别交AB，AC于点G，H.当△AGH为等腰三角形时，则CH的长为________．第4题图5.如图，已知矩形ABCD的边长AB＝3 cm，E为对角线AC上的一点(点E不与点A，C重合)，∠DAC＝30°，CF平分∠ACD交AD边于点F，连接EF.若△CEF是等腰三角形，则CE的长为________cm.第5题图类型三相似三角形对应关系不确定典例精讲例4如图，在△ABC中，AB＝25，点E是BC上一点，BE＝2，过点E作AC的垂线，交AC于点O，O为AC的中点，连接AE，且AE＝32，点P是线段AC上一点，连接EP.当△OEP与△ABE相似时，则AP的长为________．【思维教练】△OEP与△ABE相似，需分情况讨论：①△AEB∽△EOP；②△AEB∽△POE.例4题图满分技法具体方法见微专题相似三角形对应关系不确定针对训练1.在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是A(－4，2)、B(－1，－1)，以原点O为位似中心，将△AOB扩大到原来的2倍，则点A的对应点A′的坐标为________．2.在△ABC中，AB＝12，AC＝7，点D在AB边上，且BD＝8，点E在AC边上，连接DE，若△ADE与△ABC相似，则CE的长为________．3.如图，已知AB＝2，AD＝4，∠DAB＝90°，AD∥B C.点E是射线BC上的动点(点E与点B不重合)，点M是线段DE的中点，连接BD，交线段AM于点N，若以点A、N、D为顶点的三角形与△BME相似，则线段BE的长为________．第3题图4. (2023抚本铁辽葫黑白卷)如图，在平面直角坐标系中，A(0，－3)，B(4，0)，点P是△AOB 内一点，PQ⊥OA于点Q，连接AP，OP，若△APQ∽△BAO，且△AOP是等腰三角形，则点P的坐标为________．第4题图类型四特殊四边形边或对角线不确定典例精讲例5在▱ABCD中，BC边上的高为3，AB＝5，AC＝23，则BC的长为______．【思维教练】BC边上的高为3，设BC边上的高为AE，可分情况讨论：①点E在BC上；②点E在BC的延长线上．针对训练1.在平行四边形ABCD中，∠A＝60°，且两边长分别为1和2，过点A作CD的垂线，交CD的延长线于点E，连接BE，则BE的长为________．2.如图，A(0，4)，B(8，0)，点C是x轴正半轴上一点，D是平面内任意一点，若以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为________．第2题图参考答案类型一点位置不确定例112或43【解析】∵点E在射线BC上，且∠CDE＝15°，∴存在以下两种情况：①当点E在线段BC上时，如解图①，过点E作EF⊥AD于点F，过点A作AH⊥BC于点H，则四边形AHEF是矩形，∠AHB＝∠DFE＝90°.∵∠B＝45°，AB＝62，∴AH＝EF＝22AB＝6.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠CDA＝45°.∵∠CDE＝15°，∴∠EDF＝∠CDF －∠CDE＝45°－15°＝30°，∴DE＝2EF＝12；②当点E在线段BC延长线上时，如解图②，过点E作EF⊥AD于点F，过点A作AH⊥BC于点H，同理可得EF＝6，∠FDE＝60°，∴DE＝EFsin60°＝4 3.综上所述，DE的长为12或4 3.例1题解图针对训练1.(－3，－1)或(3，1)【解析】∵点B在y轴的正半轴上，OB＝23，点A的横坐标为－1，AB＝AO，∴A(－1，3)，如解图，①当△ABO绕点O逆时针旋转90°，使点B落在x轴负半轴上时，根据旋转的性质A1(－3，－1)；②当△ABO绕点O顺时针旋转90°，使点B落在x轴正半轴上时，根据旋转的性质A2(3，1)；故点A的对应点的坐标是(－3，－1)或(3，1)．第1题解图2.12或15【解析】如解图①，当点P为边AB的三等分点，且AP＝2时，过点P作PE⊥BD于点E，∵四边形ABCD为正方形，∴∠PBE＝45°，∴PE＝BE＝22PB＝22×(6－2)＝22，∵BD＝2AB＝62，∴DE＝42，∴tan∠PDB＝PEDE＝12；如解图②，当点P为边AB的三等分点，且AP＝4时，过点P作PE⊥BD于点E，同理可求PE＝2，DE＝52，∴tan∠PDB ＝PE DE ＝15，综上所述，tan ∠PDB 的值为12或15.第2题解图3. 22或16 【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴BC ＝AD ＝4，∠B ＝90°.在Rt △BCE 中，BE ＝CE 2－BC 2＝3.∵AB ＝8，∴AE ＝AB －BE ＝5.∵AE ＝EF ，∴EF ＝5.分以下两种情况讨论：①当点F 与点C 重合时，此时四边形AEFD 的周长为AE ＋CE ＋CD ＋AD ＝5＋5＋8＋4＝22；②如解图，当点F 不与点C 重合时，过点F 作FG ⊥AB 于点G ，则DF ＝AG ，FG ＝AD ＝4.在Rt △EFG 中，EG ＝EF 2－FG 2＝3.∴AG ＝AE －EG ＝5－3＝2，∴DF ＝2.此时四边形AEFD 的周长为AE ＋EF ＋DF ＋AD ＝5＋5＋2＋4＝16.综上所述，四边形AEFD 的周长为22或16.第3题解图4. 185或3011【解析】如解图①，当点E 在直线AC 上时，过点A 作AF ⊥BC 于点F .∵AB ＝AC ＝5，BC ＝6，∴BF ＝CF ＝12BC ＝3，由折叠的性质知，∠BDC ＝∠BDE ＝90°.∵∠C ＝∠C ，∴△ACF ∽△BCD ，∴AC BC ＝CF CD ，即56＝3CD ，∴CD ＝185；如解图②，当点E 在直线AB 上时， 过点C 作CF ∥AB ，交BD 的延长线于点F ，则∠ABF ＝∠F ，由折叠的性质知，∠ABD ＝∠CBD ，∴∠CBD ＝∠F ，∴CF ＝BC ＝6.∵∠ABD ＝∠F ，∠ADB ＝∠CDF ，∴△ABD ∽△CFD , ∴AD CD ＝AB CF ＝56，∴CD ＝611AC ＝3011.综上所述，CD 的长为185或3011.第4题解图5. 31°或14° 【解析】①如解图①，当点C 在∠AOB 的平分线的延长线上时，∵直线l 平分∠AOB ，∴∠AOC ＝12∠AOB ＝12×112°＝56°.又∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA .∴∠ACO ＝12(180°－∠AOC )＝12×(180°－56°)＝62°.又∵AC ＝DC ，∴∠CAD ＝∠CDA .∵∠CAD ＋∠CDA ＝∠ACO ＝62°，∴∠CAD ＝12∠ACO ＝12×62°＝31°；②如解图②，当点C 在∠AOB 的平分线的反向延长线上时，∵直线l 平分∠AOB ，∴∠1＝12∠AOB ＝12×112°＝56°.∴∠ACO ＝12∠1＝12×56°＝28°.又∵AC ＝DC ，∴∠CAD ＝∠CDA .∵∠CAD ＋∠CDA ＝∠ACO ＝28°，∴∠CAD ＝12∠ACO ＝12×28°＝14°.第5题解图6. 332或3 【解析】∵要求△ABE 的面积，∴点E 不可能在边AB 上，∴分三种情况讨论：①当点E 在边AD 上时，如解图①，∵AB ＝23，∠ABC ＝30°，AC ⊥BC ，∴AC ＝3，BC ＝3，∴AD ＝BC ＝3，∵AE ＝2，∴S △ABE ＝12AE ·AC ＝12×2×3＝3；②当点E 在边CD 上时，如解图②，此时S △ABE ＝12S ▱ABCD ＝12BC ·AC ＝332；③当点E 在边BC 上时，如解图③，∵AE ＝2，AC ＝3，∴CE ＝1，∴BE ＝BC －CE ＝3－1＝2，∴S △ABE ＝12BE ·AC ＝12×2×3＝3，综上所述，△ABE 的面积为332或 3.第6题解图类型二 等腰、直角三角形边或角不确定例2 2或6【解析】当EA ＝EF 时，如解图①，过点E 作EH ⊥AC 于点H .∵EA ＝EF ，EH ⊥AF ，∴AH ＝FH ，∵EA ⊥AD ，∴∠EAD ＝∠EHA ＝∠C ＝90°，∴∠EAH ＋∠CAD ＝90°，∠CAD ＋∠ADC ＝90°，∴∠EAH ＝∠ADC ，在△EHA 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EAH ＝∠ADC ∠EHA ＝∠C AE ＝DA，∴△EHA ≌△ACD ，∴AH ＝DC ，EH ＝AC ＝CB .在△EHF 和△BCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EFH ＝∠BFC ∠EHF ＝∠C EH ＝BC，∴△EHF ≌△BCF ，∴FH ＝FC ，∴AH ＝FH ＝CF ＝CD ，∴CD ＝13AC ＝2，如解图②，当AF ＝EF 时，点D 与B 重合，此时CD ＝BC ＝6.综上所述，满足条件的CD 的长为2或6.例2题解图例3 93或363【解析】分两种情况讨论：①如解图①，当∠ABD ＝90°时，∵AD ＝6，∠A ＝60°，∴在Rt △ABD 中，AB ＝12AD ＝3，BD ＝32AD ＝33，∴S 平行四边ABCD ＝AB ·BD ＝93；②如解图②，当∠ADB ＝90°时，在Rt △ADB 中，∠A ＝60°，AD ＝6，∴BD ＝3AD ＝63，∴S 平行四边形＝AD ·BD ＝363，综上所述，平行四边形的面积为93或36 3.例3题解图针对训练1. 3或6 【解析】当∠CFE 为90°时，A ，F ，C 三点共线，设BE 长为x ，则CE ＝8－x ，由翻折可得EF ＝BE ＝x ，AF ＝AB ＝6，在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC ＝AB 2＋BC 2＝10，∴CF ＝AC －AF ＝10－6＝4，∵∠CFE ＝∠B ＝90°，∴EF 2＋FC 2＝EC 2，即x 2＋42＝(8－x )2，解得x ＝3；当∠CEF 为90°时，四边形ABEF 为正方形，∴BE ＝AB ＝6，∴综上所述，BE的长为3或6.第1题解图2. 433或23 【解析】∵四边形OABC 是菱形，∴∠OCB ＝∠OAB ＝60°，∵AC 是菱形OABC 的对角线，∴∠BAC ＝∠ACB ＝30°，∵A ′B ′∥AB ，∴∠CA ′B ′＝∠CAB ＝30°，∵AB ＝BC ＝4，∴AC ＝43，若△CA ′B ′为直角三角形，下面分两种情况讨论：①如解图①，当∠A ′B ′C ＝90°时，△CA ′B ′为直角三角形．∵A ′B ′＝AB ＝4，∠CA ′B ′＝30°，∴A ′C ＝833，∴A ′A ＝43－833＝433；②如解图②，当∠A ′CB ′＝90°时，△CA ′B ′为直角三角形，∴A ′C ＝23，∴A ′A ＝2 3.综上所述，A ′A 的长为433或2 3.第2题解图3. (35，5)或(25，35) 【解析】∵点A (5，0)，点B (0，25)，∴OA ＝5，OB ＝25，分两种情况：①∠BAC ＝90°，AC ＝AB 时，如解图①，过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，则∠ADC ＝90°＝∠BOA ，∵∠DAC ＋∠ACD ＝∠DAC ＋∠BAO ＝90°，∴∠ACD ＝∠BAO ，在△ACD和△BAO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ADC ＝∠BOA ∠ACD ＝∠BAO AC ＝BA，∴△ACD ≌△BAO (AAS)，∴AD ＝BO ＝25，CD ＝AO ＝5，∴点C 的坐标为(35，5)；②∠ABC ＝90°，AB ＝BC 时，过C 作CE ⊥y 轴于点E ，如解图②，同①得△BCE ≌△ABO (AAS)，∴CE ＝BO ＝25，BE ＝AO ＝5，∴OE ＝OB ＋BE ＝35，∴点C 的坐标为(25，35)；综上所述，点C 的坐标为(35，5)或(25，35)．第3题解图4. 10－1或1 【解析】如解图①，当AG ＝AH 时，∵AG ＝AH ，∴∠AHG ＝∠AGH ，∵∠A ＝∠A 1，∠AGH ＝∠A 1GB ，∴∠AHG ＝∠A 1BG ，∴∠A 1GB ＝∠A 1BG ，∴A 1B ＝A 1G ，∵∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，∴AB ＝5，∴A 1B ＝AB ＝A 1G ＝5，∴GC 1＝A 1G －C 1G ＝1，∵∠BC 1G ＝90°，∴BG ＝C 1B 2＋C 1G 2＝32＋12＝10，∴AH ＝AG ＝AB －BG ＝5－10，CH ＝AC －AH ＝4－(5－10)＝10－1；如解图②，当GA ＝GH 时，过点G 作GM ⊥AH 于点M .同理可证，GB ＝GA 1，设GB ＝GA 1＝x ，∴C 1G ＝4－x ，在Rt △BGC 1中，BG 2＝BC 21＋GC 21，则有x 2＝32＋(4－x )2，解得x ＝258，∴BG ＝258，AG ＝5－258＝158，易知GM ∥BC ，∴AG AB ＝AM AC，∴1585＝AM 4，∴AM ＝32，∵GA ＝GH ，GM ⊥AH ，∴AM ＝HM ，∴AH ＝3，∴CH ＝AC －AM ＝1.当HG ＝AH 时，∠HGA ＝∠HAG <45°<∠ABC (大边对大角，小边对小角)，∴∠A 1HC ＝∠HGA ＋∠HAG <90°，∴∠C 1BC ＝360°－90°－90°－∠A 1HC ＞90°，即旋转角度大于90°，不符合题意．综上所述，满足条件的CH 的长为10－1或1.第4题解图5. 23或2 【解析】如解图①，当CF ＝CE 时，∵四边形ABCD 为矩形，∴AB ＝CD ＝3 cm.在Rt △ACD 中，∠DAC ＝30°，∴∠ACD ＝60°.∵CF 平分∠ACD ，∴∠FCD ＝30°.在Rt △CDF中，CF ＝CD cos30°＝332＝23，即CE ＝23；如解图②，当CE ＝EF 时，得出∠EFC ＝∠ECF ＝30°.又∵∠DCF ＝30°，∴EF ∥DC ，∴△AFE ∽△ADC ，∴FE DC ＝AE AC ，∴FE DC ＝AC －CE AC.在Rt △ACD 中，∠DAC ＝30°，∴AC ＝2CD ＝6，∴FE 3＝6－CE 6，又∵CE ＝FE ，∴CE 3＝6－CE 6，解得CE ＝2；当FE ＝FC 时，点E 与点A 重合，不符合题意，综上所述，CE 的长为2 3 cm 或2 cm.第5题解图类型三 相似三角形对应关系不确定例4 2或4 【解析】由题意得AB 2＝(25)2＝20，BE 2＝(2)2＝2，AE 2＝(32)2＝18，∴AB 2＝BE 2＋AE 2，∴∠AEB ＝90°，又∵OE ⊥AC ，且O 为AC 中点，∴△AEC 为等腰直角三角形，∴AE ＝EC ＝32，在Rt △AOE 中，OE ＝OA ＝3，△OEP 与△ABE 相似时可分情况讨论；①当△AEB ∽△EOP 时，点P 在O 点右侧时，可得BE PO ＝AE EO ，即2OP ＝323，∴OP ＝1，∴AP ＝OA －OP ＝3－1＝2；当点P 在O 点左侧时，同理可得，OP ＝1，∴AP ＝OA ＋OP ＝3＋1＝4，②当△AEB ∽△POE 时，BE EO ＝AE PO ，即23＝32OP，∴OP ＝9，∵O 为AC 中点，∴AC ＝2OA ＝6，又∵OP ＝9＞AC ，不符合题意，综上所述，AP 的长为2或4.针对训练1. (－8，4)或(8，－4) 【解析】以点O 为位似中心，将△AOB 扩大到原来的2倍，∵A (－4，2)，∴A 的对应点A ′的坐标为(－4×2，2×2)或(－4×(－2)，2×(－2))，即A ′的坐标为(－8，4)或(8，－4)．2. 143或17 【解析】∵∠A ＝∠A ，∴分两种情况：①当AD AB ＝AE AC时，△ADE ∽△ABC ，∵BD ＝8，AB ＝12，∴AD ＝4，∴AE ＝73，∴CE ＝7－73＝143；②当AD AC ＝AE AB时，△ADE ∽△ACB ，同理可得AE ＝487，∴CE ＝7－487＝17.综上所述，CE 的长为143或17. 3. 8或2 【解析】设BE 长为x ，若△ADN 和△BME 相似，一定不相等的角是∠ADN 和∠MBE ，故应分两种情况进行讨论：①如解图①，当∠ADN ＝∠BEM 时，∠ADB ＝∠BEM ，过点D作DF ⊥BE ，垂足为F ，tan ∠ADB ＝tan ∠BEM .∴AB AD ＝DF FE ＝AB BE －AD ，即24＝2x －4，解得x ＝8，即BE ＝8；②如解图②，过点D 作DF ⊥BE 于点F ，∴四边形ABFD 为矩形，当∠ADB ＝∠BME 时，∵∠ADB ＝∠DBE ，∴∠DBE ＝∠BME ，∵∠BEM 是公共角，∴△BED ∽△MEB ，∴DE BE ＝BE ME ，∴BE 2＝DE ·EM ，即x 2＝12DE 2＝12[22＋(4－x )2]，∴x 1＝2，x 2＝－10(舍去)，∴BE ＝2.综上所述，线段BE 的长为8或2.第3题解图4. (98，－32)或(95，－35) 【解析】如解图，过点P 作PC ⊥OB 于点C ，∵∠AOB ＝90°，PQ ⊥OA ，∴四边形PQOC 是矩形，∴CP ＝OQ .∵△APQ ∽△BAO ，∴∠P AQ ＝∠ABO .如解图①，当AP ＝OP 时，∵PQ ⊥OA ，∴CP ＝OQ ＝AQ ＝12OA ＝32，∵tan ∠ABO ＝OA OB ＝34，∴tan ∠P AQ ＝PQ AQ ＝PQ 32＝34，∴PQ ＝98，此时点P 的坐标为(98，－ 32)；如解图②，当AP ＝OA ＝3时，∵△APQ ∽△BAO ，∴∠P AQ ＝∠ABO ，AQ BO ＝AP BA .∵OA ＝3，OB ＝4，∴AB ＝5，∴AQ 4＝35，解得AQ ＝125，∴CP ＝OQ ＝OA －AQ ＝3－125＝35.∵tan ∠ABO ＝OA OB ＝34，∴tan ∠P AQ ＝PQ AQ ＝PQ 125＝34，解得PQ ＝95，此时点P 的坐标为(95，－35)．综上所述，点P 的坐标为(98，－32)或(95，－35)．第4题解图类型四 特殊四边形边或对角线不确定例5 4＋3或4－3 【解析】如解图①，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，∵AE ＝3，AB ＝5，∴BE ＝4，∵AC ＝23，∴CE ＝AC 2－AE 2＝3，∴BC ＝BE ＋CE ＝4＋3；如解图②，过点A 作AE ⊥BC 交BC 的延长线于点E ，∵AE ＝3，AB ＝5，∴BE ＝4，∴CE ＝AC 2－AE 2＝3，∴BC ＝BE －CE ＝4－ 3.综上所述，BC 的长为4＋3或4＋－ 3.例5题解图针对训练1. 2或192【解析】分两种情况讨论：①如解图①，∠BAD ＝60°，AD ＝2，AB ＝1，∵AE ⊥CE ，∴∠DAE ＝30°，在Rt △AED 中，AE ＝32AD ＝3，∴BE ＝AE 2＋AB 2＝3＋1＝2；②如解图②，同理可求AE ＝32，∴BE ＝AE 2＋AB 2＝34＋4＝192.综上所述，BE 的长为2或192.第1题解图2. (5，4)或(45，4) 【解析】当AB 为菱形的对角线时，如解图①，设菱形的边长为m ，∵A (0，4)，B (8，0)，∴OA ＝4，OB ＝8，∵四边形ABCD 为菱形，∴CA ＝AD ＝BC ，AD ∥BC ，∴CA ＝CB ＝8－m ，在Rt △AOC 中，42＋(8－m )2＝m 2，解得m ＝5，∴D (5，4)；当AB 为菱形的边时，如解图②，AB ＝42＋82＝45，∵四边形ABCD 为菱形，∴BC ＝AB ＝AD＝45，AD∥BC，∴D(45，4)，综上所述，D点坐标为(5，4)或(45，4)．第2题解图。
中考数学几何一题多解获奖作品
中考几何母题的一题多解(多变) 一、三角形一题多解如图：已知AB=AC，E是AC延长线上一点，且有BF=CE，连接FE交BC于D。
求证：FD=DE。
证法一证明：过E点作EM ∥AB交DC延长线于M点，则∠M=∠B，又因为∠ACB=∠B∠ACB=∠ECM=∠M，所以CE=EM，又EC=BF 从而EM=BF，∠BFD=∠DEM则△DBF≌△DME，故FD=DE；证法二证明：过E点作EM ∥AB交DC延长线于M点，则∠M=∠B，又因为∠ACB=∠B∠ACB=∠ECM=∠M，所以CE=EM，又EC=BF 从而EM=BF，∠BFD=∠DEM则△DBF≌△DME，故FD=DE；证法二证明：过F点作FM∥AE，交BD于点M，则∠1=∠2 = ∠B 所以BF=FM，又∠4=∠3 ∠5=∠E所以△DMF≌△DCE，故FD=DE。
二、平行四边形一题多解如图4，平行四边形ABCD中AD=2AB,E、F在直线AB上，且AE=BF=AB,求证：DF⊥CE.证法一、易知ΔADF、ΔBCE为等腰三角形，故∠1=∠F, ∠2=∠E,又CD∥AB,故∠3=∠F, ∠4=∠E,从而∠1=∠3，∠2=∠4，而∠1+∠2+∠3+∠4=1800，故∠3+∠4=900，表明∠COD=900，所以DF⊥CE。
证法二、如图5，连接MN，则CD=BF,且CD∥BF，故BFCD为平行四边形，则CN=BN=AB,同理,DM=MA=AB,故CN=DM且CN∥DM，得平行四边形CDMN，易见CD=DM，故CDMN也是菱形，根据菱形的对角线互相垂直，结论成立。
证法三、如图6，连接BM、AN, 可证ΔAFN中，BN=BF=BA,则ΔAFN为直角三角形，即DF⊥AN,利用中位线定理可知AN∥CE，故DF⊥CE。
证法四、如图7，作DG∥CE交AE延长线于G，则EG=CD=AB=AE,故AD=AG=AF,从而DF⊥DG,而DGCE,故DF⊥CE四\一题多解、多变《四边形面积》1.如图所示，一个长为a，宽为b的矩形，两个阴影都是长为c是多少。
2023年安徽中考数学总复习专题：最值问题(PDF版,有答案)
2023年安徽中考物理总复习专题：最值问题类型一单动点求两线段和的最小值将军饮马问题：两点在一直线同侧时，作一个点的对称点与另一个点连接，所得线段的长即为所求。
典例1如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，点P是边BC上一动点，点D在边AB上，且BD=14AB，则PA+PD的最小值为（ ）A．8B．43C．213D．833【思路】作D关于BC的对称点E，连接AE交BC于P，则PA+PD的值最小，过E作EF⊥AC交AC的延长线于F，过D作DH⊥AC于H，则DH＝EF，DH∥BC，根据勾股定理即可得到结论．解：作D关于BC的对称点E，连接AE交BC于P，则PA+PD的值最小，过E作EF⊥AC 交AC的延长线于F，过D作DH⊥AC于H，则DH＝EF，DH∥BC，∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝8，∴AC=12AB＝4，∠ADH＝∠B＝30°，∵BD=14AB＝2，∴AD＝6，CF=12DE=12BD＝1，∴AF＝5，∴DH=AD2―AH2=33，∴EF＝33，∴AE=AF2+EF2=213，∴PA+PD的最小值为213．【总结】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．针对训练1如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的两条中线，AD＝5，BE＝6，P是AD上的一个动点，连接PE，PC，则PC+PE的最小值是（ ）A．5B．6C．7D．8类型二求一条线段的最小值垂线段最短典例2如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，点E是射线OB上的一个动点，若PD＝3，则PE的最小值是 ．【思路】过P作PE⊥OB于E，根据垂线段最短得出此时PE的长最小，根据角平分线的性质得出PE＝PD，再求出答案即可．解：过P作PE⊥OB于E，此时PE的长最小，∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PE＝PD，∵PD＝3，∴PE＝3，即PE的最小值是3．【总结】本题考查了垂线段最短和角平分线的性质，能找出当PE最小时点E的位置是解此题的关键．针对训练2如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD为△ABC的角平分线，过点D作直线l∥AB，点P为直线l上的一个动点，若△BCD的面积为16，BC＝8，则AP最小值为 ．类型三双动点求两线段和的最小值将军饮马问题与垂线段最短的综合典例2如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，∠BAC＝30°，∠BAC的平分线交BC 于点D，E，F分别是线段AD和AB上的动点，则BE+EF的最小值是 ．【思路】根据对称性，过点F作FG⊥AC交AD于点Q，连接BG交AD于点E，此时BG＝BE+EF，当BG垂直于AC30°直角三角形的边的性质即可求解．解：方法一：如图1所示：在AC边上截取AB′＝AB，作B′F⊥AB于点F，交AD于点E，∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠B′AE，AE＝AE，∴△ABE≌△AB′E（SAS）．∴BE＝B′E，∴B′F＝B′E+EF＝BE+EF，∵垂线段最短，∴此时BE+EF最短．∵AB＝AB′＝6，∠BAC＝30°，∴B′F=12AB′＝3．方法二：如图2所示：在AC边上截取AG＝AF，连接BG交AD于点E，作BH⊥AC于点H，同方法一：得△AEG≌△AFG（SAS）∴EG＝EF，∴BG＝BE+EG＝BE+EF，当BG垂直于AC时最短，即BH的长最短，∵AB＝6，∠BAC＝30°，∴BH＝3．【总结】本题考查了最短路线问题、角分线的性质、含30度角的直角三角形，解决本题的关键是作对称点．针对训练3 已知，等腰△ABC中，AB＝AC，E是高AD上任一点，F是腰AB上任一点，腰AC＝5，BD＝3，AD＝4，那么线段BE+EF的最小值是（ ）A．5B．3C．245D．72针对训练4 在四边形ABCD中，∠ABC＝60°，∠BCD＝45°，BC＝23+2，BD平分∠ABC，若P，Q分别是BD，BC上的动点，则CP+PQ的最小值是（ ）A．23+2B．3+3C．22+2D．2+4类型四一点两线求周长最小值根据轴对称的性质，结合三角形三边关系定理典例4 如图，∠AOB＝30°，∠AOB内有一定点P，且OP＝15，若在OA、OB上分别有动点M、N，则△PMN周长的最小值是（ ）A．5B．15C．20D．30【思路】根据题意画出符合条件的图形，求出OD＝OE＝OP，∠DOE＝60°，得出等边三角形DOE，求出DE＝15，求出△PMN的周长＝DE，即可求出答案．解：作P关于OA的对称点D，作P关于OB的对称点E，连接DE交OA于M，交OB 于N，连接PM，PN，则此时△PMN的周长最小，连接OD，OE，∵P、D关于OA对称，∴OD＝OP，PM＝DM，同理OE＝OP，PN＝EN，∴OD＝OE＝OP＝15，∵P、D关于OA对称，∴OA⊥PD，∵OD＝OP，∴∠DOA＝∠POA，同理∠POB＝∠EOB，∴∠DOE＝2∠AOB＝2×30°＝60°，∵OD＝OE＝15，∴△DOE是等边三角形，∴DE＝15，即△PMN的周长是PM+MN+PN＝DM+MN+EN＝DE＝15．【总结】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，关键是画出符合条件的图形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．针对训练5 如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝140°，点E，F分别为BC和CD上的动点，连接AE，AF．当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（ ）A．60°B．90°C．100°D．120°类型五求两条线段差的最大值两点在一直线两侧时，作一个点的对称点，再将对称点与另一点连接所得线段的长。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
专题解读：多解问题为安徽中考近10年的高频题型，多在填空题压轴题题位考 查，近4年考查形式为分情况讨论，折叠剪拼形式不同，求得多个结果，而2015 年之前考查形式则为多个结论判断，判断结论的正误．
2020安徽中考数学专题复习（三）： 多解题 （12张 PPT） 中考复 习课件 中考ppt课件中 考专题 复习课 件优秀 课件
2020安徽中考数学专题复习（三）： 多解题 （12张 PPT） 中考复 习课件 中考ppt课件中 考专题 复习课 件优秀 课件
提分要点 几何图形多解题中的的分类讨论： 1. 动点位置不确定： (1)点在直线上：①点在线段上；②点在线段的延长线上；③点在线段的反向延长 线上；(2)点在三角形中或四边形中：①点在边上(三角形有三条边、四边形有四条 边，要分点在哪条边上)；②点在对角线上(四边形有两条对角线，要分点在哪条 对角线上)．
例1解题图
2020安徽中考数学专题复习（三）： 多解题 （12张 PPT） 中考复 习课件 中考ppt课件中 考专题 复习课 件优秀 课件
例2 在平面直角坐标系中，已知直线y＝－13 x＋53 经过点M(－1，m)和点N(2，
n)，抛物线y＝ax2－x＋2(a≠0)与线段MN有两个不同的交点，则a的取值范围
2020安徽中考数学专题复习（三）： 多解题 （12张 PPT） 中考复 习课件 中考ppt课件中 考专题 复习课 件优秀 课件
2020安徽中考数学专题复习（三）： 多解题 （12张 PPT） 中考复 习课件 中考ppt课件中 考专题 复习课 件优秀 课件
类型一 分类讨论
（2019、2018.14）
长线上，不合题意)．①如解图，当DA＝DP＝8时(点P为图中的点P1，E为图中
的点E1)，由题意得BDA＝B2 AD2
由△P1BE1∽△DBC得PD1 EC1
＝P1 B DB
PA
62＝ 82
＝10，BP1＝BD－DP1＝10－8＝2，
，P即1 E1 6
1＝0 2
，解得P1E1＝65
；②如解图，当
2020安徽中考数学专题复习（三）： 多解题 （12张 PPT） 中考复 习课件 中考ppt课件中 考专题 复习课 件优秀 课件
例1 (2018安徽14题)矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P在矩形ABCD的内部，点 6
E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为_3_或__5___.
【解析】根据△PBE∽△DBC，判断点P一定在对角线BD上，根据△APD是等
腰三角形，分为三种情况：DA＝DP，PA＝PD，AP＝AD(此时点P在边AB的延
2020安徽中考数学专题复习（三）： 多解题 （12张 PPT） 中考复 习课件 中考ppt课件中 考专题 复习课 件优秀 课件 2020安徽中考数学专题复习（三）： 多解题 （12张 PPT） 中考复 习课件 中考ppt课件中 考专题 复习课 件优秀 课件
2020安徽中考数学专题复习（三）： 多解题 （12张 PPT） 中考复 习课件 中考ppt课件中 考专题 复习课 件优秀 课件
2020安徽中考数学专题复习（三）： 多解题 （12张 PPT） 中考复 习课件 中考ppt课件中 考专题 复习课 件优秀 课件
2020安徽中考数学专题复习（三）： 多解题 （12张 PPT） 中考复 习课件 中考ppt课件中 考专题 复习课 件优秀 课件
2. 特殊三角形边、角不确定：(1)边不确定：①等腰三角形中边是底边还是腰；② 特殊三角形的中线、高线、角平分线、垂直平分线、中位线等有三条需分别讨论； (2)角不确定：①直角三角形中，未指明哪个角为直角；②等腰三角形中，未指明 顶角或底角． 3. 全等、相似图形对应边不确定：若题中未明确对应关系时，需分类讨论，根据 不同的对应关系分别计算； 4. 所画图形位置不确定：以基础图形的一边作特殊三角形或正方形，所作图形在 基础图形的两侧；
例3题图
2020安徽中考数学专题复习（三）： 多解题 （12张 PPT） 中考复 习课件 中考ppt课件中 考专题 复习课 件优秀 课件
2020安徽中考数学专题复习（三）： 多解题 （12张 PPT） 中考复 习课件 中考ppt课件中 考专题 复习课 件优秀 课件
＝PD时(点P为图中的点P2，E为图中的点E2)，由等腰三角形的性质得直线P2E2
垂直平分AD(或BC)，那么P2E2＝12
DC＝3，∴PE的长为36或 5
.
2020安徽中考数学专题复习（三）： 多解题 （12张 PPT） 中考复 习课件 中考ppt课件中 考专题 复习课 件优秀 课件
是_a_≤_－__1_或____14_≤_a_<__13__．
【解析】∵直线y＝－1 x＋5
＋5
1
35 3
经过点M(－1，m)和点N(2，n0与，0时，线n，由＝段b－2M2－≥3Na4＋×有ac12两>＋＋0个得23不，＝，49同1－解，的4得3∴a交＞aM点≤0－(，，－1∴∴1，，－a∴＜213)a，≤13x－＋，N(1532；，＝当1a)ax，＞2－∵0x时抛＋，物2，线2整≤ya＝理＋a得1x＋2a－x22x－＋解23 得x
类型二 折叠
（2017、2016.14） 例3 如图，在等边△ABC中，AB＝2 3 ＋2，点D在边AB上，且AD＝2，点E是BC 边上一动点，将∠B沿DE折叠，当点B的对应点B′落在△ABC的边上时，BE的长为 __3_或__6_-_2__3_.
2020安徽中考数学专题复习（三）： 多解题 （12张 PPT） 中考复 习课件 中考ppt课件中 考专题 复习课 件优秀 课件
1≥4a－2＋2
1≤4a－2＋2
1 a≥ 4
，∴ 1 4
≤a＜13
，综上所述，a≤－1或14
1 ≤a< 3
.
2020安徽中考数学专题复习（三）： 多解题 （12张 PPT） 中考复 习课件 中考ppt课件中 考专题 复习课 件优秀 课件
2020安徽中考数学专题复习（三）： 多解题 （12张 PPT） 中考复 习课件 中考ppt课件中 考专题 复习课 件优秀 课件