第2节 分式线性映射
复变函数课件6-2分式线性映射
够处理更广泛的函数。
值的扩展
02
将分式线性映射的值域从实数域扩展到复数域，从而能够处理
复数函数的变换。
参数的扩展
03
引入更多的参数，以实现更复杂的分式线性映射，并提高映射
的灵活性和适用性。
分式线性映射的推广
推广到高维空间
将分式线性映射从二维平面推广到更高维的空间 ，以处理更复杂的几何变换和函数变换。
解答1
对于题目1，首先化简$f(z) = frac{z^2 - 1}{z(z - 1)} = frac{(z + 1)(z - 1)}{z(z - 1)} = frac{z + 1}{z}$，然后根据 留数的定义，得到在$z = 1$和$z = 0$的留数分别为0和1。
解答2
对于题目2，首先化简$f(z) = frac{1}{z^2 - 4z + 3} = frac{1}{(z - 1)(z - 3)} = frac{1}{2}left(frac{1}{z - 1} frac{1}{z - 3}right)$，然后根据留数的定义，得到在$z = 2 + i$和$z = 2 - i$的留数分别为$frac{i}{4}$和$frac{i}{4}$。
分式线性映射在信号处理中的应用
在信号处理中，分式线性映射可以用于实现信号的滤波、频域变换和调制解调等处理，以提高信号的质量和传输 效率。
05
分式线性映射的习题和解答
分式线性映射的习题
题目1
01
题目2
02
03
题目3
设$f(z) = frac{z^2 - 1}{z(z 1)}$，求$f(z)$在$z = 1$和$z = 0$的留数。
应用
分式线性映射的导数在研究函数的性质、曲线和曲面的几何形状等 方面有重要应用。
分式线性映射
3、保对称点性
定理 设点 z1 , z2 关于圆周 C 对称，则在分式线性映射下，它们
P150 定理 6.7
的象点 w1 , w2 也关于象曲线 C 对称。
Γ
O C
z1
z2
Γ
w2
O C
w1
Γ
Γ
22
四、唯一决定分式线性映射的条件
分析
az b 分式线性映射 w 中含有四个常数 a , b , c , d . cz d
w 1 z 是单位圆周对称映射与实轴对称映射的复合。 1 w1 z z
w1
w
11
三、分式线性映射的几种特性
1. 保形性 定理 分式线性映射在扩充复平面上是共形映射。
P146 定理6.5
注意 该定理不仅从理论上确保了分式线性映射是共形映射， 而且其中的保角性在分式线性映射的构造中非常实用。 2. 保圆性
4
5
6
二、分式线性映射的分解
3. 相似映射
w r z , ( r 为正数 )
i i 令 z | z | e , 则有 w r | z | e .
其特点是保持点的辐角不变， 但模扩大(或缩小)r 倍。 它将曲线或者区域相似地扩大(或缩小)r 倍。
7
二、分式线性映射的分解
4. 反演(或倒数)映射
(w)
例 已知区域 D { z : | z | 1 , Im z 0 } , 求一分式线性映射，将区域 D 映射
~ Γ
Γ
1
2
~ C
zi 例 求区域 D {z :| z 1 | 2 , | z 1 | 2 }在映射 w zi
下的像区域。 P148 例6.7 解 首先作一个简单的定性分析 (1) 区域 D 的边界 C1 和 C 2 是圆弧段， 且 C1 和 C 2 的交角为 90 度； (2) 由于所给的映射为分式线性映射， 因此具有保圆性与保角性； (3) 由于 i 被映射为 , i 被映射为 0，因此圆弧 C1 和 C 2 被映射为从原点出发且相互垂直的两条射线。
6-2分式线性映射
az + b ( ad − bc ≠ 0, a , b, c , d均为常数 .) 定义 w = cz + d 称为分式线性映射 分式线性映射. 称为分式线性映射 任一分式线性映射都可看成是由下列三种基本的 分式映射复合而成: 分式映射复合而成
(1)平移映射 w = z + b ; ( 2)旋转与相似映射 w = az ; 1 ( 3)反演映射 w = . z
由于过原点的直线与以原点为心的圆正交， 由于过原点的直线与以原点为心的圆正交， 故命题得证. 故命题得证 [证毕 证毕] 证毕
17
试将如图所示的区域映射到上半平面. 试将如图所示的区域映射到上半平面 y z+i i , 解 取分式线性映射 w1 = z−i • 将切点 i映射为w1 = ∞ , 并将
9
3) 当二圆交点中的一个映射成无穷远点时 这 当二圆交点中的一个映射成无穷远点时, 二圆周的弧所围成的区域映成角形区域. 二圆周的弧所围成的区域映成角形区域
10
三、典型例题
例1 求分式线性映射 , 使 z = 1映射成 w = 1 , 且使 z = 1,1 + i 映射成 w = 1, ∞ .
=e
− πiw1
=e
− πi
z+i z−i
为所求映射. 为所求映射
( w1 )
z+i w1 = z−i
•i
−1
O −i
1x
O
19
y
i
( w1 )
•
O −i
•i
1x
w2 = − iw1
i
( w2 )
−1
O
O
w3 = πw2
第二节 分式线形函数及其映射性质
注：
(1)分式线性函数的定义域可以推广到扩充复平
面 C。 (2)当 0时，规定它把 z 映射成 w ；
(3)当 0 时，规定它把z , z 映射成
w , w
二、分式线性函数的拓广
由此，我们可以解出分式线性函数。显然 这样的分式线性函数也是唯一的。
注：
z z1 : z3 z1 和 w w1 : w3 w1 分别称为 z z2 z3 z2 w w2 w3 w2 及 z1, z2, z, z3 的交比。w1, w2, w, w3 分别记为 (z1, z2 , z, z3 ) ，(w1, w2 , w, w3 )
2
2i
则得圆的复数表示：
azz z z d 0,
其中a,b,c,d是实常数，
1 2
(b
ic)
是复常数。
函数 w 1 把圆映射成为 z
dww w w a 0,
即w平面的圆（如果d=0，它表示一条直线， 即扩充w平面上半径为无穷大的圆）。
注解：
(1)、设分式线性函数把扩充z平面上的圆C映射 成扩充w平面上的圆C‘。于是，C及C’把这两个 扩充复平面分别分成两个没有公共点的区域， D1, D2 及 D1', D2 '，其边界分别是C及C'。
（3）、w rz 确定一个以原点为相似中心的相 似映射；
（4）、w
1 z
是由 z1
1 z
映射及关于实轴的对称
映射 w z1 叠合而得。
四、映射的性质
1、保圆性
规定：在扩充复平面上，任一直线看成半径是无 穷大的圆。 定理6.6 在扩充复平面上，分式线性函数把圆映射 成圆。
复变函数教程 §6-2 分式线性映射
1. 分式线性映射的定义 2. 分式线性映射的性质
1. 分式线性映射的定义
定义 映射w az b (ad bc 0) (1) cz d
称为分 ~~~式~~线 ~~~性~~映~~~射,其中a, b, c, d是复常数.
ad bc (1) w' (cz d )2
w
w1
1 ei r
o
x,u
w
w 1的几何作图
z
z
w1
r1 r
1, z与w1在同一射线上; z, w1关于 z 1对称.
1)作出点z关于圆周z 1的对称点w1.
2)作 出 点w1关 于 实 轴 对 称 的 点 即 得w(见 图).
2. 分式线性映射的性质
先讨论以上三种特殊映射的性质, 从而得
出一般分式线性映射的性质.
(1)保角性
对于(iii)w 1 的情况 z
z 1 w 1 z 1 w 1
z 1 w 1;
若arg z , arg w
因此映射w 1 通常称为反演变换
w f (z)
z
w f (z)
z 0 w ; z w 0(见第一章§2)
v y u2 v2
C : a( x2 y2 ) bx cy d 0
w1z : d (u2 v 2 ) bu cv a 0
a,d 0 a 0, d 0 a 0, d 0 a 0, d 0
圆 周C 圆 周 圆 周C 直 线 直 线C 圆 周 直 线C 直 线
cz d
cw a
则,逆映射仍为分式线性的,
复变函数第十五讲
第十五讲《§2分式线性映射》 §2分式线性映射 一、分式线性映射定义分式线性映射是共形映射中比较简单但很重要的一类映射，它的一般形式：w az b cz dad bc =++-≠()0其中a b c d ,,,均为常数。
ad bc -≠0是为了保证映射的保角性成立而限定的。
否则dw dz ad bccz d =-+()2将有dwdz=0，这时w ≡常数，它将整个z 平面映射成w 上的一个点。
将z 解出，即得逆映射：z dz bcw aa d bc =-+----≠,(()())0 分式线性映射的逆映射也是分式线性映射。
容易知道两个分式线性映射的复合仍是分式线性映射。
任何一个分式线性映射都能分解成一些简单分式线性的复合。
设w z =++-≠αξβγδαδβγ()0用除法可以把它化为w z =-++()βαδγγδαγ1令 ξγξδξξ1211=+=,，那么w A B A B =+ξ2,(,为常数）由此可见，一个一般的分式线性映射是由下列三种分式线性映射复合而成：), ); ).1111111w z b w az w z=+== 现在来讨论这三种映射。
为了方便，我们暂且将w 平面与z 平面重合。
)1w z b =+。
这是一个平移映射。
因为复数相加可以化成向量相加，所以在映射w z b =+之下，z 沿向量b （即复数b 所表示的方向）的方向平行移动一段距离b 后，就得到w 。
),110w az a =≠。
这是一个旋转与伸长（或缩短）映射。
事实上，设z re a e i i ==θαλ,，那么w r e i =+λθα()。
因此，把z 先旋转一个角度α，再将z 伸长（或缩短）到a=λ倍后得到w （图6.6）.)1111w z=，这个映射可以分解为 w zw w 111==,为了用几何方法从z 作出w ，首先给出关于一已知圆周的对称点的概念。
定义 设C 为以原点为心，r 为半径的圆周。
共形映射-分式线性映射
w f (z)在z0解析, f (z0 ) 0
w f (z)在z0是共形的
Argf
(z0 )为w
f
( z )在z0的转动角
f
(z0 )
为w
f
(z)在z0的伸缩率
§2.分式线性映射(Mobius映射)
1.分式线性映射及其分解
w az b , ad bc 0. cz d
曲线C在z(t0 )处正向切向量的辐角为 Arg z(t0 ).
物理解释: t: 时间, z(t): 位移,
z(t0): 即时速度, z(t0) : 速率
2.解析函数导数的几何意义
w f (z)在D中解析,z0 D, f (z0 ) 0
I) Argf (z0 )
(z)
(w)
z0
A2. 在C上按逆时针方向依次取三点,像点在上按逆(顺)
时针方向分布,则由保角性知:C的内部被映射成了的内
(外)部.
C
z3
z
z1
z2
w3
w
w2
w1
w1 w
w3
w2
4.分式线性映射的保对称性
Thm.(保对称性) z1, z2关(广义)圆周C对称,那么在分式线 性映射下,它们的像点 w1, w2关于C的像曲线对称.
w f (z)
C
w0 Argf (z0 )
O
O
C : z z(t), t ,
:w(t) f (z(t)), t ,
t : C
t :
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
z0 z(t0 ), z(t0 ) 0
w0 w(t0 ) f (z(t0 ))
6.2.1 分式线性函数
第六章 保形映射 第二节 分式线性函数及其映射性质3、分式线性函数：分式线性函数是指下列形状的函数：,δγβα++=z z w 其中δγβα,,,是复常数，而且0≠-βγαδ。
在0=γ时，我们也称它为整线性函数。
分式线性函数的反函数为,αγβδ-+-=w w z 它也是分式线性函数，其中0))((≠---βγαδ。
注解1、当0=γ时，所定义的分式线性函数是把z 平面双射到w 平面，即把C 双射到C 的单叶解析函数；注解2、当0≠γ时，所定义的分式线性函数是把}{C γδ--双射到}{C γα-的单叶解析函数；注解3、我们可以把分式线性函数的定义域推广到扩充复平面∞C 。
当0=γ时，规定它把∞=z 映射成∞=w ；当0≠γ时，规定它把∞=-=z z ,γδ映射成γα=∞=w w ,；则把∞C 双射到∞C 。
现在把保形映射的概念扩充到无穷远点及其邻域，如果)(1z f t =把0z z =及其一个邻域保形映射成t =0及其一个邻域，那么我们说w=f (z )把0z z =及其一个邻域保形映射成∞=w 及其一个邻域。
如果)/1(1ζf t =把0=ζ及其一个邻域保形映射成t =0及其一个邻域，那么我们说w=f (z )把∞=z 及其一个邻域保形映射成∞=w 及其一个邻域。
注解4、分式线性函数把扩充z 平面保形映射成扩充w 平面。
注解5、区域、连通性等概念可以推广到扩充复平面。
一般分式线性函数是由下列四种简单函数叠合而得的：（1）、α+=z w （α为一个复数）；（2）、z e w i θ=（θ为一个实数）；（3）、rz w =（r 为一个正数）；（4）、z w 1=。
事实上，我们有：),0( )(=+=+=γδβδαδβαz z w ),0( )(2≠+-+=++=γγδγαδβγγαδγβαz z z w 把z 及w 看作同一个复平面上的点，则有：（1）、α+=z w 确定一个平移；（2）、z e w i θ=确定一个旋转；（3）、rz w =确定一个以原点为相似中心的相似映射；（4）、z w 1=是由映射z z 11=及关于实轴的对称映射1z w =叠合而得。
分式线性映射及应用
NUDT
§2 分式线性映射
分式线性映射 w az b (ad bc 0)
cz d
总结分式线性映射的性质:
1.保角性
分式线性映射是扩充复平面到扩充复平面的一对一的 保角映射 2.保圆性 分式线性映射将扩充复平面上的圆映成到扩充复平面 上的圆 3.保对称性
设 z1和 z2关于圆 C 对称，分式线性映射 w f (z)将 z1和 z2 映成 w平面上的点 w1 和 w2 ，将圆 C映成 w平面上圆 ， 则w1和 w2关于圆 对称.
§2 分式线性映射
z
. z0. z1
R C
.z2
w.2
C
w az b cz d
w
.w1 .w0
保对称性
proof .z1, z2关于圆C对称由引理可知 : 过z1, z2任一圆C必与圆C正交
又点w1,
w2,圆, 是点z1,
z2及圆C, C经过w
az b cz d
映射之后得到的
再由分式线性映射的保角性可得：经过点w1, w2的任一圆必与圆正交 由引理：w1, w2关于圆对称。
从保角性出发可看出分式线性映射是办不到的.
w z2 提问: w 是z共2 形映射?
在第一象限上是单叶解析函数,即在第一象限是 共形映射.
✓ 但在原点处不是共形的!
NUDT
§4 初等函数的映射性质
1. 幂函数 w za
z-平面
O
w za
zaw
w-平面
a
O
z reiargz , w z a r aeia argz
定理 若函数 f (z)在区域 D 内解析，且 f (z) 0 (z D) ，则 f (z)为区域 D内的共形映射.
《复变函数与积分变换》§6.2 分式线性映射
一 分式线性映射
分式线性映射定义为 w az b cz d
a 、b 、c 、d 均为复常数．
ab
其中
0
cd
条件 ad bc 0
是为了使
dw dz
ad bc (cz d )2
0
因此分式线性映射是保角映射．
对于分式线性映射 w az b cz d
在扩充复平面上补充定义如下：
当c0时
z d 映射为 w c
z 映射为 w a c
当 c0时
z 映射为 w
一 分式线性映射
一 分式线性映射
容易求出该映射的逆映射 z dw b cw a
d b
由于
c
ad bc 0 a
因此分式线性映射的逆映射仍是分式线性映射, 且为扩充 复平面上的一一映射．容易验证分式线性映射的复合仍是分式 线性映射．
则映射化为
u v
x y
b1 b2
平移公式
(2) w ei z 为实数
由 w z , Arg w Arg z
则该映射保持 z 的模不变，辐角旋转 ．
二 分式线性映射的分解
(3) w kz (k 0)
则 w k z , Arg w Arg kz Arg z
该映射保持 z 的方向不变，模放大 k 倍．
C
r
O P
P
二 分式线性映射的分解
如图，从 P 作圆周 C 的切线 PT ，
CT
由 T 作 OP 的垂线 TP 与 OP 交于P ，
r
则 P 与 P关于圆周 C 对称．
O P
P
规定
无穷远点 关于圆周的对称点为圆心 O ．
二 分式线性映射的分解
第二节 分式线性变换(映射)
第二节 分式线性变换（映射）本节以及下一节，我们将介绍保形变换中两类基本的保形变换---分式线性变换和某些初等解析函数构成的保形变换---及其简单的应用．一、分式线性变换及其分解 （一）分式线性变换形如：az bw cz d+=+（其中0a b ad bc c d =-≠）的变换称为分式线性变换，简记为L()w z =．注：10 分式线性变换中，系数满足的条件不可少，否则，0a b ad bc c d=-=，即a bk c d= ，必将导致L()z k ≡为常数，显然它不可能构成保形变换．20 为研究的方便，在扩充平面上，我们对分式线性变换L()w z =补充定义如下：（·）当0c ≠时，补充定义L()d c-=∞，L()a c∞=； （··）当0c =时，补充定义L()∞=∞．则分式线性变换就成为整个扩充平面上线性变换．30 补充定义后，分式线性变换成为整个扩充z 平面与整个扩充w 平面之间的一一变换，即它在整个扩充z 平面上是单叶的，换言之，它将扩充z 平面单叶地变成扩充w 平面．事实上，在扩充平面上，分式线性变换L()az bw z cz d+==+具有单值的逆变换dw bz cw a-+=-．40 根据保域性定理（定理1）的推广，分式线性变换L()w z =在扩充平面上具有保域性．50 易知，分式线性变换与分式线性变换的复合仍为分式线性变换．（二）分式线性变换的分解（分式线性变换的四种基本形式）分式线性变换L()w z =总可以分解成下面四种简单变换的复合： （Ⅰ）i w e z θ= ------------------ 称为旋转变换； （Ⅱ）w r z =⋅ ------------------ 称为伸缩变换； （Ⅲ）w z h =+ ------------------ 称为平移变换； （Ⅳ）1w z= ------------------ 称为反演变换． 事实上，当0c =时，分式线性变换变为a b w z dd=+， 记i a re dθ=，它又变为()i bw r e z dθ=+， 显然，它是由下面三个形如（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）的变换i e z θξ=，r ηξ= 和 bw dη=+， 复合而成．当0c ≠时，分式线性变换可变形为21()1()1az b c az b a cz d bc ad a bc ad w d cz d c cz d c cz d c c z c++++--==⋅=⋅=+⋅++++， 记 2i bc adre cθ-=，它还可变形为211()i a bc ad a w r e d d c c c z z c cθ-=+⋅=+⋅++．显然，它是由下面五个形如（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）（Ⅳ）的变换d z c ξ=+，1ηξ=，i e θςη=，r ζς=和aw cζ=+，复合而成．上面的四种变换中（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）可合并成形如w kz h =+（0k ≠）的分式线性变换，称为整线性变换．为了弄清楚分式线性变换的几何性质，下面，我们分别考察上述四种简单变换的几何意义．对于变换（Ⅰ）：它是将平面上的点z 绕原点按逆时针或顺时针（视θ的正负而定）旋转θ角；对于变换（Ⅱ）：它是将平面上的点z 沿z 的方向扩大或缩小（视r 大于1还是小于1而定）r 倍；对于变换（Ⅲ）：它是将平面上的点z 平移一个向量h ；图7.7（线性变换的示意图）可见，上述三种变换的一个共同特点是保持平面上图形的形状不变，图形的方向也不变，因此，这三种变换都是保持平面图形方向不变的相似变换，另外，由于相似变换的复合仍是相似变换，所以整线性变换w kz h =+（0k ≠）也是保持平面图形方向不变的相似变换．对于变换（Ⅳ）：它可以分解成下面两个更简单的变换的复合，1ω= ------ 称为关于单位圆周的对称变换，其中z和ω称为关z于单位圆周的点；= ------ 称为关于实轴的对称变换，其中ω和w称为关于实wω轴的对称点．可见，反演变换（Ⅳ）是通过两个对称变换的复合而成，此时原象点z和象点w之间的关系可通过图7.8所示的几何方法来实现．图7.8（反演变换的示意图）关于单位圆周1z=的对称点的补注：10 补充关于单位圆周1z=对称点的定义：若点z和ω都在从圆心z=的两侧（即一点在圆周z=出发的同一条射线上，分属于圆周1z=的内部，另一点在圆周1z=的外部），并且它们到圆心的距离的1乘积等于1（即1z=对称，点zzω⋅=），则称点z和ω关于单位圆周1和ω也称为关于单位圆周1z=的对称点．20 设点z和ω关于单位圆周1z=对称，由于它们都在从圆心0z=出发的同一条射线上，且1zω⋅=，从而它们的幅角相等，记i=，z reθ于是1111i i i i e e e z r re z θθθθωω-=⋅=⋅=⋅==， 即1zω=--------对称点的计算公式． 30 规定：圆心0z =和∞是关于单位圆周1z =的对称点． 40 关于单位圆周1z =的对称点的几何作法：（如图7.8）先过点z 作射线oz 的垂线与圆周交于一点A ，再过点A 作圆周1z =的切线与射线oz 交于一点ω，则ω就是点z 关于单位圆周1z =的对称点． 例 1 证明：除恒等变换外，一切分式线性变换在扩充平面上恒有两个相异的或一个二重的不动点（即将自己变成自己的点称为不动点）． 证明 设分式线性变换为 az bw cz d+=+，其中0ad bc -≠．由不动点的含义，其不动点必满足方程 az bz cz d+=+，即2()0cz d a z b +--= ------------------(*) 如果方程（*）的系数全为零，则az bw z cz d+==+为恒等变换，与题设矛盾，故方程（*）的系数必不全为零．下面分两种情况证明：（1）若0c ≠，则方程（*）有两根 1,2z =2()4a d bc ∆=-+当0∆≠时，方程（*）有两个相异的根，即az bw cz d+=+有两个相异的不动点1z 和2z ；当0∆=时，方程（*）有两个相等的根，即az bw cz d+=+有一个二重的不动点2a dz c-=． （2）若0c ≠，则方程（*）变为 ()0d a z b --=，此时az bw cz d+=+变为a b w z dd=+．当0d a -≠时，方程（*）有一个根 b z d a =-，即az bw c z d+=+有一个不动点bz d a =-，显然z =∞也是不动点． 故az b w cz d +=+仍有两个不动点bz d a=-和z =∞．当0d a -=时，此时0b ≠，方程（*）的根形式上变为bz d a==∞-，即az b w cz d +=+的不动点也变为b z d a ==∞-，因此，z =∞成为az bw cz d+=+的二重不动点，即az bw cz d+=+有一个二重不动点z =∞．注：归纳例1结论，关于分式线性变换az bw cz d+=+（其中0ad bc -≠）的不动点，我们有如下结果：Ⅰ、当0c ≠时，它仅有有限不动点而无无穷不动点∞．进一步，当2()40a d bc ∆=-+≠时，它有两个相异的有限不动点； 当2()40a d bc ∆=-+=，它有一个二重有限不动点． Ⅱ、当0c =时，它必有无穷不动点∞．进一步，当a d ≠时，它还有一个有限不动点；当a d =，0b ≠时，它没有有限不动点，此时∞是二重不动点； 当a d =，0b =时，此时变换成为恒等变换w z =，扩充平面上的任何点都是不动点．例2 求下列分式线性变换的不动点： （1）11z w z +=-； （2）311z w z -=+； （3）1w z =+； （4）w kz =（0k ≠）． 解（1）设z 为此变换的不动点，则z 满足11z z z +=-，即2210z z --=．解得1z =-+1z =-．即为此变换的两个相异的不动点（没有无穷不动点）．（2）设z 为此变换的不动点，则z 满足311z z z -=+，即 2210z z --=．显然，此方程有两个相等的根1z =，即1z =为此变换的二重不动点（没有无穷不动点）．（3）根据例1的结论，由于0c =，1a d ==，10b =≠，所以，此变换仅以∞为不动点，且为二重不动点（只有无穷不动点，而没有有限不动点）．（4）显然，当1k ≠时，在此变换下0变成0，∞变成∞，则此变换有一个有限不动点0z =和一个无穷不动点z =∞（既有一个有限不动点，也有一个无穷不动点）．当1k =时，此变换为恒等变换。
§6.2 分式线性映射
a c
bc ad c2
z
1 d
记
bc ad c2
rei
c
则上式可分解为以下映射的有限次复合
z, ei z , rz, 1
z
下面分别讨论这四类映射：
（1） z
设 uiv, z xiy, b1 ib2,
则映射化为
u
v
x y
b1 b2
平移公式
（2） ei z 为实数
D 0时为直线
说明反演变换将复平面上的圆周映成圆周。
定理6.7 分式线性映射将扩充 z 平面上的
圆周映射成扩充 平面上的圆周。(保圆性)
3、保对称性
引理6.1 点 z 1 与 z 2 关于圆周 C 对称的充分 必要条件是， 经过 z 1 与z 2 的所有圆周都与 圆周 C 正交。（证略）
定理6.8 设点 z 1 与z 2 是关于圆周 C 的一对
对称点， 则在分式线性映射下，它们的像
点 1 与 2 是关于 C 的像曲线 的对称点。
（证略）
先求 z 关于单位圆周 z 1 的对称点 1，
再求 1关于实轴的对称点， y
z
即得 。
C
1
O
x
Hale Waihona Puke 三、分式线性映射的性质1、保角性
对于映射z、 ei z 、 kz
显然在 z时导数非零，是保角的。 对于反演映射 1 ，显然在 z 0 ， z
z 时，导数非零，是保角的。
下面定义两条曲线在无穷远点的夹角：
先给出关于圆周的对称点的定义：
设 C 为以原点 O 为圆心， r 为半径的圆周。
在以圆心为起点的射线上，
若有两点 P 与 P ，满足 C
复变函数——第十五讲
8
作图: 设P在C外, 从P作C的切线PT, 由T作OP的垂
线 TP与 OP交于 P, 那么 P与 P即互为对称点.
.T
C
r o.
.P
OPT ~ OTP
. P OP : OT OT : OP
OP OP OT 2 r29设z源自re i,则有
w1
1 z
1 ei r
z
w
可知当 w 时, z 0.
结论:分式线性映射在扩充复平面上一一对应.
11
2.保角性
(1) 考察 w 1 z
因
w
1 z2
，所以除去z
0与z
,映射是共形的.
若规定: 两条伸向无穷远的曲线在无穷远点处 的交角, 等于它们在映射 w 1 下所映成的通过
z 圆点的两条象曲线的交角. 那么映射 w 1在 z 处是共形的.
w1
1 z
,
w w1
欲由点z作出点w, 可考虑如下作图次序:
z w1 w
关键:
在几何上如何由 z ® w ? 1
7
对称点的定义: 设C为以原点为中心, r为半径的圆周. 在以
圆心为起点的一条半直线上, 如果有两点 P与 P 满足关系式
OP OP r 2 , 那末就称这两点为关于这圆周的对称点.
第二节 分式线性映射
一、分式线性映射的概念 二、几种简单的分式线性映射 三、分式线性映射的性质 四、小结与思考
一、分式线性映射的概念
w az b (ad bc 0, a,b,c,d均为常数.) cz d
称为分式线性映射.
小知识
说明:
1) ad bc 0的限制，保证了映射的保角性.
分式线性变换及其映射性质
当四点中有一点为,应当将包含此点项用1代替. 如:z1 ,即有
1 1 (, z2 ,z3 ,z4 )= : . z4 z2 z3 z2
定理6.2.2 对于扩充z上任意三个不同的点 z1 , z2 , z3以及扩充w平面上任意三个不同的点w1 , w2 , w3 ,
存在唯一的分式线性函数, 把z1 ,z2 ,z3分别映射成 w1 , w2 , w3 .
~~~~~~~~
P'
x
~~~~~~~~~~~~~~~~~
规定无穷远点的对称点为圆心o
T
设给定圆C :| z z0 | R(0 R )，如果两个有限点 z1与z2在过点z0的同一条射线上, 且 |z1 z0 | | z2 z0 | R 2 . 则称z1与z2为关于圆C的对称点.
w w1 w3 w1 z z1 z3 z1 : : . w w2 w3 w2 z z2 z3 z2 w w1 z z1 z3 z1 : . w w2 z z2 z3 z2
(6.2.4) (6.2.5)
上两式左右两边分别称为w1 , w2 , w3及z1 ,z2 ,z3的交比, 记作( w1 , w2 , w3 , w)及( z1 , z2 , z3 , z ).
z0
z1
z2
引理6.2.1 不同两点z1与z2是关于C的对称点 通过z1与z2的任何圆与圆C直交. 证 如果C是直线或者C是半径为有限的圆, 而且 z1与z2之中有一个是无穷远点,引理显然成立.
现在考虑C :| z z0 | R(0 R ), 且 z1与z2是有限点的情形.
必要性() 设z1与z2是关于C的对称,
P'
6.2.2 分式线性函数的映射性质
第六章 保形映射 第二节 分式线性函数及其映射性质 4、分式线性函数的映射性质：规定：在扩充复平面上，任一直线看成半径是无穷大的圆。
定理4.1 在扩充复平面上，分式线性函数把圆映射成圆。
证明：由于分式线性函数所确定的映射是平移、旋转、相似映射及zw 1=型的函数所确定的映射复合而得，但前三个映射显然把圆映射成圆，所以只用证明映射z w 1=也把圆映射为圆即可。
在圆的方程,0)(22=++++d cy bx y x a（如果a=0，这表示一条直线）中，代入,2,2,22izz y z z x z z y x -=+==+ 则得圆的复数表示：,0=+++d z z z az ββ其中a,b,c,d 是实常数，)(21ic b +=β是复常数。
函数zw 1=把圆映射成为,0=+++a w w dw ββ即w 平面的圆（如果d=0，它表示一条直线，即扩充w 平面上半径为无穷大的圆）。
设分式线性函数把扩充z 平面上的圆C 映射成扩充w 平面上的圆C'。
于是，C 及C'把这两个扩充复平面分别分成两个没有公共点的区域，21,D D 及','21D D ，其边界分别是C 及C'。
则此分式线性函数把1D 映射成','21D D 之中的一个区域，但是究竟1D 的象是'1D 还是'2D ，我们必须通过检验1D 中某一个点的象来决定。
定理4.2 对于扩充 z 平面上任意三个不同的点321,,z z z 以及扩充 w 平面上任意三个不同的点321,,w w w ，存在唯一的分式线性函数，把321,,z z z 分别映射成321,,w w w 。
证明：先考虑已给各点都是有限点的情形。
设所求分式线性函数是,dcz baz w ++=那么，由dcz baz w d cz b az w d cz b az w ++=++=++=222222111,, 得))(())(())((1111d cz d cz d cz b az d cz b az w w ++++-++=-))(())((11d cz d cz bc ad z z +++-=同理，有：))(())((111d cz d cz bc ad z z w w +++-=-，))(())((131313d cz d cz bc ad z z w w +++-=-，))(())((232323d cz d cz bc ad z z w w +++-=-，))(())((222d cz d cz bc ad z z w w +++-=-，因此，有231321231321::z z z z z z z z w w w w w w w w ----=----， 由此，我们可以解出分式线性函数。
6-2唯一决定分式线性映射的条件
再由w' (i ) 0先求得
dw i z i z i i 1 Re Re 2 dz z i ( z i ) zi 2i 1 R i ( 2 ) 即 w' ( i ) Re e 2i 2
i
zi i w0 2k 2k e i 故w Ri zi 2 2
' 1
数学与统计学院
例9 求把带形域 a Re z b映射成上半平面 Im( z ) 0. (z) v (w) 解 y
we
a b
i
z a ba
x
( z1 )
u
w e z2
za z1 ba
1
z2 iz1
i
( z2 )
Re(z ) 0 例10 问：w e 将半带形域： 0 Im( z ) 映射成什么区域？
4
u x
z4
( )
w
i i
i
数学与统计学院
例5求将圆弧 c1与c2所围成的交角为 的月牙域
0 arg w 0 的一映射.
y ( z)
i
c2
we
i 0
zi 2 ( ) zi
v
(w)
c1
1 -i
0
u
x
zi i( ) zi
半单位圆映射成 w 1(Im (z ) 0)
y (z) v (w)
i
u x
数学与统计学院
0 Re(z ) 例11 求将半带形域： 0 Im( z ) 映射成 v (w) 上半平面Im( z ) 0的映射。 y ez 1 2 (z) w ( z ) e 1 i
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复变函数
2. w=az
这是一个旋转与伸长（或缩短)的映射。
事实上，设z re i ei , 那么w rei( ) .
(z)=(w) w
因此，把z先旋转一个角度a，
再将 |z| 伸长(或缩短）到
z
|a|= 倍后， 就得到w 右图. o
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线性映射。
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复变函数 二、 分式线性映射的分解
设有线性映射 w ( 0) 把它化为
( ) ( )
w
( ) 1
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复变函数
3. w=1\z
先讨论 圆C的一对对称点。
T
如果有两点p 和p'满足关系式 r
op op r 2 那么我们就称这 O P
P
两点为关于圆周C的对称点。此外，我们规定，
无穷远点的对称点是圆心O 。
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复变函数
将映射w 1 z
分解为w1
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复变函数
这表明z'. 在C上，而Γ的切线就是C的半径， 因此Γ与C正交。
(充分性) 设是经过z1 z2 且与C正交的任一圆周， 那么连接z1与z2 的直线作为 的特殊情形。
（半径为无穷大的圆）必与C正交， 因此必过z0 。
又因 与C于交点z’处正交，因此C的半径z0 z' 就是 的切线。
反演映射
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复变函数
1. w=z+b
这是一个平移映射。 因为复数相加可以化为
向量相加，所以在映射 w=z+b之下，z沿向量b
（即复数b 所表示的向量）
的方向平行移动一段距离
| b |后，就得到w右图.
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(z)=(w) w b
z o
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复变函数
3. 保对称性
分式线性映射还具有所谓的保对称性，即保持对称 点不变的性质。为此，先证明如下 引理
引理 z1 ，z2 是关于圆周C：|z-z0 |=R的一对对称点 的充要条件是经过z1， z2 的任何圆周与C正交
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复变函数
证明 设经过w1和w2 的任一圆周 是经过z1与z2 的
圆周 由分式线性映射映射过来的。
由于 与C正交，而分式线性映射具有保角性，
所以 与C’（C的象）也必正交。
因此, w1和w2是一对关于C'的对称点 .
1 z
,
w
w1 .
设z rei ,
那么w1
1 z
1 e i r
,
w w1
1 e i , r
从而 | w1 || z | 1.
由此可知，z与w1是关于单位圆周|z|=1的对称点，
而w1与w 是关于实轴的对称点。
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复变函数
要从z作出 w 1 应先作出点z关于 y z z
第六章
复变函数
共形映射
第2节 分式线性映射
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复变函数
分式线性映射
一、内容提要
1.分式线性映射的概念
2.分式线性映射的分解
3.分式线性映射的性质
A.保角性 B.保圆性 C.保对称性
二、课堂练习
三、内容小结
四、课后思考
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五、作业安排 2019/10/9
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将有 dw 0 这时w 常数 dz
它将整个Z平面映射成W平面上的一点。
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复变函数
分式线性映射是德国数学家默比乌斯（1790-1869） 首先研究的，所以也称为默比乌斯映射。
用cz+d乘以(*)的两边得
cwz+dw-az-b=0
(**)
对每个固定的w，上式关于z 是线性的，
复变函数
一、 分式线性映射的概念
分式线性映射是一类比较简单而且很重要的共形映射.
定义 形如 w az b
(*)
cz d
(其中a,b,c,d为常数且ad－bc 0)的映射 称为线性映射。
为了保证映射的保角性，ad－bc 0的限制是必要的，
否则由于
dw ad bc dz (cz d )2
复变函数
证明 (必要性) 若z1 z2 是关于圆周C的对称点，
则 | z1-z0 ||z2 -z0 |=R2
又从z0 作Γ的切线，设切点为z'.
z'.
Γ
由切割线定理得
R
| z'z0 |2 | z1 z0 || z2 z0 | C Z0 Z1
z2
从而| z'z0 |2 R2, | z'z0 | R.
而对每一个固定的z, 它关于w也上线性的。
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复变函数
因此，我们称(**)是双线性的，
所以分式线性映射（*）又称为双线性映射。
从（*）式解出z， 得到逆映射：
z dw b cw a
且 (a)(d ) bc 0
所以分式线性映射的逆映射也是一个分式
圆周|z|=1 的对称点w1，然后再
w1
x
作出点w1关于实轴的对称点，
w
即得w.(右图所示)
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复变函数
三、 分式线性映射的性质
1. 保角性
定理1 分式线性映射在扩充复平面上是一一
对应的，且具有保角性。
2. 保圆性
定理2 分式线性映射将扩充z平面上的圆周映射
成扩充W平面上的圆周，即具有保圆性。
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复变由函切数割线定理有
R2 z0z 2 | z1 z0 || z2 z0 | 即z1与z2 是关于圆周C的一对对称点。
由引理可以得如下定理
定理3 设点z1 ，z2 是关于圆周C的一对对称点，
那么在分式线性映射下，它们的象是w1和w2也是关于
C的象曲线的一对对称点。
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复变函数
w
A 2
B(其中A
,B
为常数)
令
1 , 2
1,
1
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复变函数
由此可见，
一个一般形式的分式线性映射由如下三种 特殊形式复合而成：
1. w=z+b
平移映射
2. w=az
伸缩映射
3. w=1\z