第2节 分式线性映射

复变函数
2. w=az
这是一个旋转与伸长（或缩短)的映射。
事实上，设z re i ei , 那么w rei( ) .
(z)=(w) w
因此，把z先旋转一个角度a，
再将 |z| 伸长(或缩短）到
z
|a|= 倍后， 就得到w 右图. o
10
2019/10/9
前页 后页 返回
线性映射。
5
2019/10/9
前页 后页 返回
复变函数 二、 分式线性映射的分解
设有线性映射 w ( 0) 把它化为
( ) ( )
w
( ) 1


6
2019/10/9
复变函数
3. w=1\z
先讨论 圆C的一对对称点。
T
如果有两点p 和p'满足关系式 r
op op r 2 那么我们就称这 O P
P
两点为关于圆周C的对称点。此外，我们规定，
无穷远点的对称点是圆心O 。
11
2019/10/9
前页 后页 返回
复变函数
将映射w 1 z
分解为w1
16
2019/10/9
前页 后页 返回
复变函数
这表明z'. 在C上，而Γ的切线就是C的半径， 因此Γ与C正交。
(充分性) 设是经过z1 z2 且与C正交的任一圆周， 那么连接z1与z2 的直线作为 的特殊情形。
（半径为无穷大的圆）必与C正交， 因此必过z0 。
又因 与C于交点z’处正交，因此C的半径z0 z' 就是 的切线。
反演映射
8
2019/10/9
前页 后页 返回
复变函数
1. w=z+b
这是一个平移映射。 因为复数相加可以化为
向量相加，所以在映射 w=z+b之下，z沿向量b
（即复数b 所表示的向量）
的方向平行移动一段距离
| b |后，就得到w右图.
9
2019/10/9
(z)=(w) w b
z o
前页 后页 返回
14
2019/10/9
前页 后页 返回
复变函数
3. 保对称性
分式线性映射还具有所谓的保对称性，即保持对称 点不变的性质。为此，先证明如下 引理
引理 z1 ，z2 是关于圆周C：|z-z0 |=R的一对对称点 的充要条件是经过z1， z2 的任何圆周与C正交
15
2019/10/9
前页 后页 返回
18
2019/10/9
前页 后页 返回
复变函数
证明 设经过w1和w2 的任一圆周 是经过z1与z2 的
圆周 由分式线性映射映射过来的。
由于 与C正交，而分式线性映射具有保角性，
所以 与C’（C的象）也必正交。
因此, w1和w2是一对关于C'的对称点 .

1 z
,
w

w1 .
设z rei ,
那么w1

1 z

1 e i r
,
w w1
1 e i , r
从而 | w1 || z | 1.
由此可知，z与w1是关于单位圆周|z|=1的对称点，
而w1与w 是关于实轴的对称点。
12
2019/10/9
前页 后页 返回
复变函数
要从z作出 w 1 应先作出点z关于 y z z
第六章
复变函数
共形映射
第2节 分式线性映射
1
2019/10/9
前页 后页 返回
复变函数
分式线性映射
一、内容提要
1.分式线性映射的概念
2.分式线性映射的分解
3.分式线性映射的性质
A.保角性 B.保圆性 C.保对称性
二、课堂练习
三、内容小结
四、课后思考
2
五、作业安排 2019/10/9
前页 后页 返回
将有 dw 0 这时w 常数 dz
它将整个Z平面映射成W平面上的一点。

2019/10/9
前页 后页 返回
复变函数
分式线性映射是德国数学家默比乌斯（1790-1869） 首先研究的，所以也称为默比乌斯映射。
用cz+d乘以(*)的两边得
cwz+dw-az-b=0
(**)
对每个固定的w，上式关于z 是线性的，
复变函数
一、 分式线性映射的概念
分式线性映射是一类比较简单而且很重要的共形映射.
定义 形如 w az b
(*)
cz d
(其中a,b,c,d为常数且ad－bc 0)的映射 称为线性映射。
为了保证映射的保角性，ad－bc 0的限制是必要的，
否则由于
dw ad bc dz (cz d )2
复变函数
证明 (必要性) 若z1 z2 是关于圆周C的对称点，
则 | z1-z0 ||z2 -z0 |=R2
又从z0 作Γ的切线，设切点为z'.
z'.
Γ
由切割线定理得
R
| z'z0 |2 | z1 z0 || z2 z0 | C Z0 Z1
z2
从而| z'z0 |2 R2, | z'z0 | R.
而对每一个固定的z, 它关于w也上线性的。
4
2019/10/9
前页 后页 返回
复变函数
因此，我们称(**)是双线性的，
所以分式线性映射（*）又称为双线性映射。
从（*）式解出z， 得到逆映射：
z dw b cw a
且 (a)(d ) bc 0
所以分式线性映射的逆映射也是一个分式
圆周|z|=1 的对称点w1，然后再
w1
x
作出点w1关于实轴的对称点，
w
即得w.(右图所示)
13
2019/10/9
前页 后页 返回
复变函数
三、 分式线性映射的性质
1. 保角性
定理1 分式线性映射在扩充复平面上是一一
对应的，且具有保角性。
2. 保圆性
定理2 分式线性映射将扩充z平面上的圆周映射
成扩充W平面上的圆周，即具有保圆性。
17
2019/10/9
前页 后页 返回
复变由函切数割线定理有
R2 z0z 2 | z1 z0 || z2 z0 | 即z1与z2 是关于圆周C的一对对称点。
由引理可以得如下定理
定理3 设点z1 ，z2 是关于圆周C的一对对称点，
那么在分式线性映射下，它们的象是w1和w2也是关于
C的象曲线的一对对称点。
前页 后页 返回
复变函数
w

A 2

B(其中A



,B


为常数)
令
1 , 2
1,
1
7
2019/10/9
前页 后页 返回
复变函数
由此可见，
一个一般形式的分式线性映射由如下三种 特殊形式复合而成：
1. w=z+b
平移映射
2. w=az
伸缩映射
3. w=1\z