垂线定义及其基本事实

3．平面内两直线的位置关系： (1)相交 (2)平行 (3)重合 其中垂直是相交的特殊情况．
例1 如图，CO⊥AB于点O，∠AOE＝∠COF，则射 线OE，OF是什么位置关系？请说明理由．
导引：要判断OE，OF是什么位 置关系，其实质是说明 OE，OF是否垂直，即要 看∠EOF是否为90°； 要让∠EOF＝90°，需说明∠EOF＝∠AOC或 ∠EOF＝∠BOC都可，这样就把问题转化为说 明∠AOE＝∠COF(已知)了．
1 如图，直线AB，CD交于点O，EO⊥CD于点O， OF平分∠AOE，若∠BOD＝56°，求∠COF 的度数．
2 (中考·济南)如图所示，OA⊥OB，∠1＝35°， 则∠2的度数是( ) A．35° B．45° C．55° D．70°
3 如图，CD⊥EF，垂足为O，AB是过点O的直线， ∠1＝50°，则∠2的度数为( ) A．50° B．40° C．60° D．70°
导引：观察图形不难看出，(1)(3)属于过直线外一点画已 知直线的垂线，(2)属于过直线上一点画已知直线 的垂线，所以按照“一靠、二过、三画”的方法 画图即可．
解：画出的直线m，n，p如图 .
总结
过已知点画已知直线的垂线，实际上就是过 已知点画一条直线，使所画直线与已知直线相交 所成的角是90°.
要点精析： (1)在两条直线相交所成的四个角中，只要其中有一
个角是直角，即可由互补与对顶角的性质，得到 另三个角也是直角． (2)垂直定义具有双重作用，已知直角得线垂直，已 知线垂直得直角． (3)垂线是直线：当遇到线段与射线的垂直问题时， 都是指它们所在的直线互相垂直．
2．推理格式： 因为∠AOC＝90°(已知)， 所以AB⊥CD(垂直的定义)． 反过来：因为AB⊥CD(已知)， 所以∠AOC＝90°(垂直的定义)．
10.1
第10章 相交线、平行线与平移
相交线
第2课时 垂线定义及其 基本事实
1 课堂讲解 垂直的定义
垂线的画法
2 课时流程 垂线的基本事实
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
如图所示是北京天安门广场庄严隆重的升国旗仪式， 是亿万中国人民特别关注的活动.众所周知，1949年10月 1日，毛泽东主席在天安门城楼上用洪亮的声音向全世界 宣告中华人民共和国诞生，亲手升起了第一面五星红旗. 天安门广场的升国旗仪式一招一式欣赏性极强，人们概 括有“五绝”.一绝：升旗；二绝：护旗；三绝：敬礼；四 绝：礼毕；五绝：收旗.
总结
利用直线的性质解答题目，要注意直线性质满足 的条件： 1. 在平面内； 2. 过一点，点的位置可以在直线上也可以在直线外； 3. 相交所成的角必须是直角，以上三条缺一不可.
1 下列说法正确的有( )
①在同一平面内，过直线上一点有且只有一条直线
垂直于已知直线；②在同一平面内，过直线外一点
有且只有一条直线垂直于已知直线；③在同一平面
1 下列语句中，正确的有( )
①一条直线的垂线只有一条；②若两条直线相交
所成的四个角相等，则这两条直线互相垂直；
③两条直线相交，则交点叫垂足；④互相垂直的
两条直线形成的四个角一定都是直角．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
2 已知在同一平面内：①两条直线相交成直角；
②两条直线互相垂直；③一条直线是另一条直
21、怠惰是贫穷的制造厂。 22、先知三日，富贵十年。 23、自信是向成功迈出的第一步。——爱因斯 坦 24、一个人除非自己有信心，否则不能 带给别 人信心 ；已经 信服的 人，方 能使人 信服。 ——麦 修·阿诺 德 25、凡是挣扎过来的人都是真金不怕火 炼的； 任何幻 灭都不 能动摇 他们的 信仰： 因为他 们一开 始就知 道信仰 之路和 幸福之 路全然 不同， 而他们 是不能 选选择 的，只 有往这 条路走 ，别的 都是死 路。这 样的自 信不是 一朝一 夕所能 养成的 。你绝 不能以 此期待 那些十 五岁左 右的孩 子。在 得到这 个信念 之之前 ，先得 受尽悲 痛，流 尽眼泪 。可是 这样是 好的， 应该要 这样… …——罗 曼·罗 兰 26、一个人在科学探索的道路上，走过 弯路， 犯过错 误，并 不是坏 事，更 不是什 么耻辱 ，要在 实践中 勇于承 认和改 正错误 。——爱因斯 坦88我 们的理 想应该 是高尚 的。我 们不能 登上顶 峰，但 可以爬 上半山 腰，这 总比待 在平地 上要好 得多。 如果我 们的内 心为爱 的光辉 所照亮 ，我们 面前前 又有理 想，那 么就不 会有战 胜不了 的困难 。——普列姆 昌德 27、旁观者的姓名永远爬不到比赛的计 分板上 。
解：因为OE⊥CD，所以∠DOE＝90°(垂直的定义)． 因为∠BOE＝50°， 所以∠AOC＝∠BOD＝∠DOE－∠BOE ＝90°－50°＝40°. 因为OD平分∠BOF， 所以∠BOF＝2∠BOD＝80°. 所以∠EOF＝∠BOF＋∠BOE＝80°＋50°＝130°， ∠AOF＝∠AOB－∠BOF＝180°－80°＝100°.
解：射线OE，OF互相垂直．理由如下： 因为OC⊥AB，所以∠AOC＝90°. 又因为∠AOE＝∠COF， 所以∠AOE＋∠COE＝∠COF＋∠COE， 即∠AOC＝∠EOF＝90°. 所以OE与OF互相垂直(垂直的定义)．
总结
判断两直线(线段、射线所在直线)互相垂直， 主要依据是垂直定义，只要说明两条相交直线 所成的四个角中有一个角是直角即可．
1、世上没有绝望的处境，只有对处境 绝望的 人。 2、挑水如同武术，武术如同做人。循序 渐进， 逐步实 现目标 ，才能 避免许 多无谓 的挫折 。
3、别想一下造出大海，必须先由小河川 开始。 4、自信是所有成功人士必备的素质之一 ，要想 成功， 首先必 须建立 起自信 心，而 你若想 在自己 内心建 立信心 ，即应 像洒扫 街道一 般，首 先将相 当于街 道上最 阴湿黑 暗之角 落的自 卑感清 除干净 ，然后 再种植 信心， 并加以 巩固。 信心建 立之后；
②→①③；③→①②中，正确的有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
例2 如图，直线AB，CD相交于点O，过O点画射线OE，， 使OE⊥CD，OD平分∠BOF. 如果∠BOE＝50°，求 ∠AOC，∠EOF和∠AOF的度数．
导引：根据∠AOC与∠BOD是对顶角， 且∠BOD与∠BOE互余，即可 求出∠AOC的度数；根据OD平 分∠BOF，∠EOF＝∠BOE＋2∠BOD即可求出 ∠EOF的度数；根据∠AOF与∠BOF互补可求得 ∠AOF的度数．
内，过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线；
④在同一平面内，有且只有一条直线垂直于已知直
线．
A．1个 B．2个
C．3个
D．4个
2 如图所示，过点P作直线l的垂线和斜线，叙述 正确的是( ) A．都能作且只能作一条 B．垂线能作且只能作一 条，斜线可作无数条 C．垂线能作两条，斜线可作无数条 D．均可作无数条
5、一个人在科学探索的道路上，走过弯 路，犯 过错误 ，并不 是坏事 ，更不 是什么 耻辱， 要在实 践中勇 于承认 和改正 错误。 ——爱 因斯坦 6、瓜是长大在营养肥料里的最甜，天才 是长在 恶性土 壤中的 最好。 ——培 根 7、发光并非太阳的专利，你也可以发光 。
8、人们常用“心有余而力不足”来为自 己不愿 努力而 开脱， 其实， 世上无 难事， 只怕有 心人， 积极的 思想几 乎能够 战胜世 间的一 切障碍 。 9、如果你希望成功，当以恒心为良友， 以经验 为参谋 ，以当 心为兄 弟，以 希望为 哨兵。 ——爱 迪生
1 如图，∠BAC为钝角． (1)过点C画AB的垂线； (2)过点A画BC的垂线； (3)过点B画AC的垂线．
2 下列选项中，过点P画AB的垂线CD，三角板放法 正确的是( )
知识点 3 垂线的基本事实
在平面内，不是在空间内，这是需要注意的条件： 1. 其中，一点可以是直线上一点也可以是直线外
其中的每招每式都有极其严格的要求. 每一次，当擎旗 手以优美的动作，在国歌奏响第一个音符时，将国旗 展开抛出，到国歌的最后一个音 符终止，都是2分07秒，国旗也 准时到达30米高的旗杆顶端，做 到了分秒不差.可是，你看着旗 杆与地面，会想到旗杆与地面 有怎样的位置关系呢？
知识点 1 垂直的定义
1．定义：在两条直线AB和CD相交所成的4个角中，如 果有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，记 作“AB⊥CD”，读作“AB垂直于CD”，其中一条 直线叫做另一条直线的垂线， 它们的交点O叫做垂足． 如图：
知识点 2 垂线的画法
1．垂线的画法 经过一点(已知直线上或直线外)，画已知直线的垂线， 步骤如下：
(1)靠线：让直角三角尺的一条 直角边与已知直线重合；
(2)过点：沿直线移动，使直角 三角尺的另一条直角边经过已知点；
(3)画线：沿直角边画线，则这条直线就是经过这个点的 已知直线的垂线．如图.
例3 如图，M是三角形ABC中BC边上的任意一点，请 你按照下列要求画图： (1)过M点画直线AB的垂线m； (2)过M点画直线BC的垂线n； (3)过M点画直线AC的垂线p.
17、在人生的竞赛场上，没有确立明确 目标的 人，是 不容易 得到成 功的。 许多人 并不乏 信心、 能力、 智力， 只是没 有确立 目标或 没有选 准目标 ，所以 没有走 上成功 的途径 。这道 理很简 单，正 如一位 百发百 中的神 射击手 ，如果 他漫无 目标地 乱射， 也不能 在比赛 中获胜 。 18、生活就像海洋，只有意志坚强的人 ，才能 到达彼 岸。——马克 思
10、涓滴之水终可磨损大石，不是由于 它力量 大，而 是由于 昼夜不 舍的滴 坠。只 有勤奋 不懈的 努力才 能够获 得那些 技巧， 因此， 我们可 以确切 地说： 说：不 积跬步 ，无以 致千里 。——贝多芬 11、一定要做最适合自己的事情，不要 迎合别 人的口 味而去 做一件 不属于 自我的 “难事 ”。一 旦“发 现自我 ”，就 要尽力 而为， 但要全 面了解 自己和 周围的 环境， 知道适 可而止 。 12、要有自信，然后全力以赴--假如具有 这种观 念，任 何事情 十之八 九都能 成功。 ——威 尔逊 13、莫找借口失败，只找理由成功。 14、一个有坚强心志的人，财产可以被 人掠夺 ，勇气 却不会 被人剥 夺的。 ——雨 果 15、积极的人在每一次忧患中都看到一 个机会 ，而消 极的人 则在每 个机会 都看到 某种忧 患。 16、不是境况造就人，而是人造就境况 。