年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题(含解析)新人教A版

2012年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

1．从n 名男生和2名女生中，任选2人参加英语口语比赛，若2人中至少有1名男生的概率为

1415

，则n 的值为 ( ▲ ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】B

【解析】222214

1415

n C n C +-=⇒=.

2．将向量(3,4)a =按向量(1,2)b =平移得到向量c ，则||c = ( ▲ ) A

．

．．5 D

．【答案】C

【解析】由向量平移的不变性可知(3,4)c =，||5c ∴=.

3．对任意

0,2

πθ⎛⎫∈ ⎪

⎝

⎭

,下列不等式正确的是

( ▲ )

A ．()tan cos tan θθ>

B ．()tan tan tan θθ>

C ．()cos tan cos θθ<

D ．()cos tan cos θθ> 【答案】C

【解析】取=

3π

θ，由1cos

323

π

π

=

<知A 错误；

取tan 2θ=，由tan 202<<知B 错误；

取=

4

π

θ，由tan

14

4

π

π

=>

知D 错误；

由tan 02πθθθ⎛⎫

><<

⎪⎝

⎭

知C 正确. 4．在ABC ∆中，(1,2),(34),(2,)A B C k ，

，若B ∠为锐角，则实数k 的取值范围是( ▲ ) A ．5k > B ．5k <

C ．35k <<

D ．335k k <<<或

【答案】D 【解析】

B ∠为锐角，0AB B

C ∴⋅<且A 、B 、C 三点不共线，解得335k k <<<或.

5．已知函数()f x 满足(1)2f =，1()

(1)1()

f x f x f x ++=

-(*)x N ∈，则(1)(2)(3)(2012)f f f f ⋅⋅⋅⋅

的值为 ( ▲ ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．6- 【答案】C

【解析】

1()

111()(2),(4)(),1()()11()

f x f x f x f x f x f x f x f x ++-

+=

=-∴+=+--

()f x ∴的周期4T = 由已知条件，可求得(2)3f =-，1(3)2f =-

，1(4)3

f =， (1)(2)(3)(4)1f f f f ∴⋅⋅⋅=，故(1)(2)(3)(2012)1f f f f ⋅⋅⋅⋅= ．

【另解】由1()

(1)1()

f x f x f x ++=

-(*)x N ∈，联想到两角和的正切公式，

设(1)2tan f θ==，则有(2)tan 4f πθ⎛⎫=+

⎪⎝⎭，(3)tan 2f πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭

， 3(4)tan 4f πθ⎛⎫

=+ ⎪⎝⎭

，()1(5)tan f a πθ=+=，…

则(1)(2)(3)(4)1f f f f ⋅⋅⋅=，故(1)(2)(3)(2012)1f f f f ⋅⋅⋅⋅= ．

6．已知a R ∈，则函数1

()421(0)x

x f x a x +=+⋅+≥的最小值是 ( ▲ )

A ．22a +

B ．2

1a - C ．2

22(1)1(1)a a a a +≤-⎧⎨->-⎩ D ．21(1)

22(1)a a a a ⎧-≤-⎨+>-⎩

【答案】D

【解析】1

22()42

1(2)1x

x x f x a a a +=+⋅+=+-+，

0x ≥，21x ∴≥，

∴当1a ≤-时，2min ()1f x a =-，

当1a >-时，min ()22f x a =+.

7．已知A 为ABC ∆的最小内角，若向量(cos ,1),2sin(),16a A b A π

⎛

⎫

==+

⎪⎝

⎭

，则a b ⋅的取值范围是 ( ▲ ) A ．15,22⎡⎤-

⎢⎥⎣⎦ B ．15,22⎛⎤- ⎥⎝⎦ C ．52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．52,2⎛⎤

⎥⎝⎦

【答案】C

【解析】22sin()cos 1cos cos 16

a b A A A A A π

⋅=+

+=++

1cos 23sin 21sin(2)2262

A A A π+=

++=++， 55(0,]2(,][2,]36662

A A a b ππππ∈∴+∈∴⋅∈.

8．已知函数3

()f x x x =+，2

()sin (2cos )g x x x =⋅-，则()()f x g x 、的图像的交点个数为 ( ▲ ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无数个

【答案】A

【解析】3

2

3

()()sin (2cos )sin sin f x g x x x x x x x =⇒+=-=+ 2

2

(sin )(sin sin 1)0x x x x x x ⇒-+++=

2

23(sin )[(sin )1]0sin 24

x x x x x x x ⇒-+++=⇒=

0x ∴=，0y ∴=，从而()()f x g x 、的图像只有一个交点.

【另解】3

2

3

()()sin (2cos )sin sin f x g x x x x x x x =⇒+=-=+，

构造函数3()f x x x =+，则()f x 在R 上单调递增，从而sin x x =，

0x ∴=，0y ∴=，从而()()f x g x 、的图像只有一个交点.

9．定义

1231

n

k

n k x

x x x x ==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∏ ，则

89

1

89

1

(1cos 2)

sin 2k k k k ==-︒︒

∏∏的值为 ( ▲ )

A ．1-

B ．1

C ．89-

D ．89

【答案】B

【解析】

89

89

89

1

89

11

1

(1cos 2)

1cos 2tan 1sin 2sin 2k k k k k k k k k ====-︒-︒==︒=︒︒

∏∏∏∏.

10．若函数()f x 在定义域内满足(2)(1)()f x f x f x +=+-，有以下命题：